• Author / Uploaded
• Carlos Cornejo Llontop

• Categories
• Ecuaciones diferenciales
• Ecuaciones
• Linealidad
• Transformada de Laplace
• Fracción (Matemáticas)

Citation preview

Sistema de ecuaciones diferenciales lineales Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una que se puede escribir en la forma

donde P y Q son funciones continuas en un determinado intervalo. Este tipo de ecuación se presenta con frecuencia en varias ciencias. Un ejemplo de una ecuación lineal es porque, para

, se puede escribir de la forma

Observe que esta ecuación diferencial no es separable porque es imposible factorizar la expresión para

como una función de

por una función de

. Pero aún se puede resolver la ecuación si se

nota, por la regla del producto, que

y, por lo tanto, la ecuación se puede reescribir como

Si ahora se integran ambos lados de esta ecuación, se obtiene

o

Si se ubiera tenido la ecuación diferencial de la forma paso preliminar de multiplicar cada lado de la ecuación por

, se habría tenido que tomar el . Resulta que toda ecuación

diferencial lineal de primer orden se puede resolver de un modo similar al multiplicar ambos lados de la ecuación Se intenta hallar multiplique por

por una función adecuada

llamadafactor de integración.

de modo que el lado izquierdo de la ecuación , se convierta en la derivada del producto

Si se puede hallar tal función I, en tal caso la ecuación

, cuando se .

se convierte en

Al integrar ambos lados, se debe tener

de modo que la solución sería:

Para hallar tal I, se desarrolla la ecuación

y se cancelan términos

Esta es una ecuación diferencial separable para I, que se resuelve como sigue:

Donde

. Se busca un factor de integración particular, no el más general, así que se toma y se usa

--KenRi22:38 30 sep 2009 (CST)

Ejemplo 1

entonces tenemos que S=3 S=2 B=1 A=-1

por lo tanto

Ejemplo 2 con condiciones iniciales

Ejemplo 3:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones para x(t) & y(t):

I) II) y con Valores iniciales:

y

Aplicando Laplace a las 2 ecuaciones obtenemos I) II) Utilizando el metodo de suma y resta, mediante => I - 2*II, obtenemos

por fracciones parciales obtenemos

Aplicando Laplace inversa para encontrar y(t) nos da como resultado    Ya obtuvimos y(t). Para obtener x(t), Sustituimos Y(s) en la ecuacion II

y finalmente aplicando Laplace inversa para encontrar x(t), nos da como resultado  



Aplicaciones Resortes Acoplados Ejemplo 1 Resolver:

sujetas a:

Solucion La transformada de LaPlace para cada ecuacion:

El sistema anterior equivale a:

Despejamos

:

Por lo tanto

es:

Sustituimos la expresion

para encontrar

Por lo tanton la solucion para el sistema dado es:

Redes Electricas En una red que contiene un inductor, un resistor y un capacitor están definidas por el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:

Ejemplo 1 Resuelva el sistema de ecuciones para una red electrica con las condiciones

y las corrientes

iguales a cero en el momento inicial.

Solucion Sistema de ecuaciones:

sujetas a:

Se aplica la transformación de Laplace a cada ecuación del sistema y se simplifica:

Despejamos para

:

Se saca la transformada inversa de Laplace:

Ejemplo 2 Encuentre la solución para la ecuación diferencial obtenida de un sistema LC sabiendo que y

.

Por los cursos de física tenemos que la ecuación para el sistema sería la siguiente

Debemos tomar el cuenta lo siguiente

Aplicamos la transformada de LaPlace

Despejamos para Q

Aplicamos la transformada inversa de LaPlace y vemos claramente que tenemos un coseno

Lee mas en :Sistema de ecuaciones diferenciales lineales, por WikiMatematica.org wikimatematica.org Follow us:@wikimatematica on Twitter|wikimatematica on Facebook

Transformada de Laplace: Solución de ED Una de las principales aplicaciones de la transformada de Laplace es la de resolver ED lineales con condiciones iniciales. El método es esencialmente simple y puede ser descrito en los siguientes pasos. 1. Aplicar la transformada en ambos miembros de la ED 2. Utilizar las propiedades de la transformada para que solo quede en términos de L{y(t)} y despejarla. Lo que se obtiene recibe el nombre de ecuación algebraica o subsidiaria. 3. Aplicar la transformada inversa para despejar y(t) Veamos algunos ejemplos de la aplicación de esta metodología. Índice de Ejemplos 1. Un problema tradicional 2. Un problema donde las condiciones no son en t=0 3. Un problema con coeficientes variables 4. Una ecuacion integral 1. Resuelva el problema: que satisface: Solución Aplicando la transformada en ambos miembros tenemos: por la propiedad de linealidad aplicada en el primer miembro Ec 1 por el teorema de la transformada de la derivada sabemos que:

y que: sustituyendo lo anterior en la ecuación 1 tenemos: Agrupando y solo dejando en el primer miembro los terminos que contienen L{y(t)}: Asi la ecuación subsidiaria o algebraica queda: Ec 2 Si aplicamos el método rápido de fracciones parciales en el segundo miembro:

para A; su denominador se hace cero para s=0 asi:

para B; su denominador se hace cero para s=3 asi:

para C; su denominador se hace cero para s=-1 asi:

Asi la Ec 2 queda:

aplicando la transformada inversa:

Por tanto:

índice

2. Resuelva el problema: que satisface: Solución Puesto que las condiciones no son en t=0, lo que hacemos es un corrimiento de la forma t = T + a donde T es una nueva variable independiente; lo que requerimos es que cuandoT=0 coincida con t=1, para ello cambiamos: Con este cambio el problema inicial se cambia por: que satisface: Y ahora si continuamos con la metodologia del ejemplo anterior: Aplicando la transformada en ambos miembros tenemos: por la propiedad de linealidad aplicada en el primer miembro Ec 3 por el teorema de la transformada de la derivada sabemos que: sustituyendo lo anterior en la Ec 3 tenemos: Agrupando y solo dejando en el primer miembro los terminos que contienen L{y(t)}:

Asi la ecuación subsidiaria o algebraica queda:

Ec 4 Usando fracciones parciales:

De donde igualando los coeficientes en los numeradores:

De donde resolviendo este sistema tenemos A = -1, B = -2 y C=4. Sustituyendo estos valores en el desarrollo en fracciones parciales tenemos:

al sustituir en la Ec 4 aplicando la transformada inversa:

Por tanto consiguiente: si recordamos que t=T+1, es decir que T=t-1 tenemos: