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• Javier Gonzalez Vlqz

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Sistema de ecuaciones diferenciales lineales Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una que se puede escribir en la forma

donde P y Q son funciones continuas en un determinado intervalo. Este tipo de ecuación se presenta con frecuencia en varias ciencias. Un ejemplo de una ecuación lineal es

porque, para

, se puede escribir de la forma

Observe que esta ecuación diferencial no es separable porque es imposible factorizar la expresión para

como una función de

por una función de

. Pero aún se puede resolver la ecuación si

se nota, por la regla del producto, que

y, por lo tanto, la ecuación se puede reescribir como

Si ahora se integran ambos lados de esta ecuación, se obtiene

o

Si se ubiera tenido la ecuación diferencial de la forma paso preliminar de multiplicar cada lado de la ecuación por

, se habría tenido que tomar el . Resulta que toda ecuación

diferencial lineal de primer orden se puede resolver de un modo similar al multiplicar ambos lados de la ecuación

por una función adecuada

integración. Se intenta hallar ecuación producto

llamada factor de

de modo que el lado izquierdo de la , cuando se multiplique por

, se convierta en la derivada del

.

Si se puede hallar tal función I, en tal caso la ecuación

se convierte en

Al integrar ambos lados, se debe tener

de modo que la solución sería:

Para hallar tal I, se desarrolla la ecuación

y se cancelan términos

Esta es una ecuación diferencial separable para I, que se resuelve como sigue:

Donde toma

. Se busca un factor de integración particular, no el más general, así que se y se usa

Ejemplo 1

entonces tenemos que S=3 S=2 B=1 A=-1

por lo tanto

Ejemplo 2 con condiciones iniciales

Ejemplo 3:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones para x(t) & y(t):

I) II) y con Valores iniciales:

y

Aplicando Laplace a las 2 ecuaciones obtenemos I) II) Utilizando el metodo de suma y resta, mediante => I - 2*II, obtenemos

por fracciones parciales obtenemos

Aplicando Laplace inversa para encontrar y(t) nos da como resultado    Ya obtuvimos y(t). Para obtener x(t), Sustituimos Y(s) en la ecuacion II

y finalmente aplicando Laplace inversa para encontrar x(t), nos da como resultado   

Aplicaciones Resortes Acoplados Ejemplo 1 Resolver:

sujetas a:

Solucion La transformada de LaPlace para cada ecuacion:

El sistema anterior equivale a:

Despejamos

:

Por lo tanto

es:

Sustituimos la expresion

para encontrar

Por lo tanton la solucion para el sistema dado es:

Redes Electricas

En una red que contiene un inductor, un resistor y un capacitor están definidas por el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:

Ejemplo 1 Resuelva el sistema de ecuciones para una red electrica con las condiciones

y las corrientes

iguales a cero en el momento inicial.

Solucion Sistema de ecuaciones:

sujetas a:

Se aplica la transformación de Laplace a cada ecuación del sistema y se simplifica:

Despejamos para

:

Se saca la transformada inversa de Laplace:

Ejemplo 2 Encuentre la solución para la ecuación diferencial obtenida de un sistema LC sabiendo que

y

.

Por los cursos de física tenemos que la ecuación para el sistema sería la siguiente

Debemos tomar el cuenta lo siguiente

Aplicamos la transformada de LaPlace

Despejamos para Q

Aplicamos la transformada inversa de LaPlace y vemos claramente que tenemos un coseno