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INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI MATEMÁTICA PARA INGENIEROS

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES    DEFINICIÓN:   Una 

ecuación 

que 

puede 

escribirse 

en 

la 

dy + P ( x ) y = Q ( x )                                 dx

forma 

Donde P(x) y Q(x) son funciones dadas de x,  se llama una ecuación diferencial de primer  orden lineal.  Es  fácil  verificar  que  la  ecuación  tiene  como  factor  integrante  a  μ ( x) = e que  al  multiplicar  ambos  lados  de  la  ecuación 

dy + P ( x ) y = Q ( x ) por  este  factor  se  dx

.c om

∫ P ( x ) dx dy + P( x) ye ∫ P ( x ) dx = Q( x)e∫ P ( x ) dx (1)     se aplica la regla del cálculo para la  dx

d ⎛ ∫ Pdx ⎞ ∫ Pdx dy   Lo  cual  la  ecuación  (1)  es  ⎜ ye P ⎟ + e dx ⎝ dx ⎠

ic

diferenciación  de  un  producto

a1

obtiene e

∫ P( x ) dx   puesto 

at

d ⎛ ∫ P ( x ) dx ⎞ ∫ P ( x ) dx                                                                                      ⎜ ye ⎟ = Q ( x )e dx ⎝ ⎠

at em

equivalente a   

MÉTODO PARA LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER ORDEN  

M

 

de

ww w.

a)  Para  resolver  una  ecuación  lineal  de  primer  orden,  primero  se  convienen  a  la  forma  dy dy + P ( x ) y = Q ( x )   esto es, se hace que el coeficiente de   sea la unidad.  dx dx

b) Se identifica a  P ( x )  y definir el factor integrante,  μ ( x ) = e ∫

p ( x ) dx

 

c) La ecuación obtenida en el paso a) se multiplica por el factor integrante:  e∫

p ( x ) dx

p ( x ) dx p ( x ) dx dy + P ( x ) e∫ y = e∫ Q ( x ).   dx

d) El lado izquierdo de la ecuación obtenida en el paso c) es la derivada del producto del  factor integrante por la variable dependiente, Y; esto es, 

p ( x ) dx d ⎡ ∫ p( x )dx ⎤ e y ⎥ = e∫ Q ( x)   ⎢ dx ⎣ ⎦

e) Se integran ambos lados de la ecuación obtenida en el paso d). 

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dy + 5 y = 50   dx dy Solución: Esto está en la forma  + P ( x ) y = Q ( x ) con P= 5, Q = 50.   dx

EJEMPLO 1 Resolver    

El factor integrante es  μ ( x ) = e ∫

5 dx

= e5 x  

Multiplicando por  e5 x podemos escribir la ecuación 

dy + 5 y = 50 como  dx

EJEMPLO 2: Resolver  x

dy − 4 y = x 6 e x .    dx

dx

−4 ; Q( x) = x5e x  entonces el factor integrante es   x  

ic

Así escrita reconocemos que  p ( x ) =

dy 4 − y = x5e x .   dx x

a1

Solución:    Al dividir entre X llegamos a la forma normal 

.c om

d ye5 x ) = 50e5 x ⇒ ∫ d ( ye5 x ) = ∫ 50e5 x dx ⇒ ye5 x = ∫ 50e5 x dx ( dx   5x 5x −5 x ye = 10e + c ⇒ y = 10 + ce Se podría haber usado también el método de separación de variables.   

at

−4 μ ( x) = e ∫ x = e−4ln x = eln x ⇒ μ ( x) = x −4 dy 4 − y = x 5 e x .  por ese término  Ahora se multiplica la ecuación dx x dy d ⎡⎣ x −4 y ⎤⎦ = xe x ⇒ integrando x −4 − 4 x −5 y = xe x ⇒ dx dx −4 x −4 x    ∫ d ⎡⎣ x y ⎤⎦ = ∫ xe dx ⇒ x y = ∫ xe dx( p. p)

x −4 y = xe x − e x + c    

ww

w.

M

at e

m

−4

 EJEMPLO 3.  Resolver 

0 sea

y = x 5e x − x 4 e x + cx 4

dy + y = e3x   dx

p ( x ) = 1; Q( x) = e3 x , entonces el factor integrante es  μ ( x) = e ∫ = e x Multiplicando la  dx

dy + y = e3x por el factor integrante:  dx dy d − y e x = e 4 x ⇒ ( y e x ) = e 4 x ⇒ d ( y e x ) = e 4 x dx ex dx dx e4 x e3 x 4x 4x x x x ( ) = ⇒ = ⇒ = + ⇒ = + ce − x d y e e dx y e e dx y e c y ∫ ∫ ∫ 4 4

ecuación 

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EJEMPLO 4.  Resuelva 

dy 10 y + = 10    dx 2 x + 5

Solución: La ecuación tiene la forma

10 dy ; Q( x) = 10   + P ( x ) y = Q ( x )   donde: p ( x ) = 2x + 5 dx

10

El factor integrante es   μ ( x ) = e Multiplicando 

∫ ( 2 x + 5) dx

= e5ln ( 2 x + 5) = e ln ( 2 x + 5) ⇒ μ ( x ) = ( 2 x + 5 ) .   5

5

dy 10 y 5 + = 10 por  ( 2t + 5 )  , encontramos  dx 2 x + 5

d ⎡ 5 5 5 5 2 x + 5) y ⎤ = 10 ( 2 x + 5) ⇒ d ⎡( 2 x + 5) y ⎤ = 10 ( 2 x + 5) dx ( ⎦ ⎣ ⎦ dx ⎣ 5 2t + 5) ⎡( 2 x + 5) y ⎤ = 10 ( 2 x + 5) dx ⇒ ( 2 x + 5) y = ( + c      d ∫ ⎣ ∫ ⎦ 6 5 ( 2t + 5) −5 + c ( 2 x + 5) y= 6 6

5

5

a1

.c om

5

ic

Nota: A veces, una ecuación diferencial de primer orden no es lineal en una variable, pero 

at

p ( y ) dy p ( y ) dy p ( y ) dy dx + p ( y ) x = Q( y ) ⇒ F .I . = e ∫ solución = xe ∫ = ∫ Q( y )e ∫ dy + c   dy

m

si en la otra. 

dy 1 =   dx x + y 2

at e

EJEMPLO 5.  Resuelva 

dx dx = x + y 2 o bien − x = y2   dy dy

ww

X

w.

M

Se  observa  que  NO  es  lineal  en  la  variable  Y;  entonces  la  forma  recíproca,  si  lo  es  en 

El factor integrante sea  μ ( y ) = e ∫

e− y ese factor:

( −1) dy

= e − y  y se multiplica la ecuación 

dx − x = y 2  por  dy

dx d − xe− y = y 2e− y ⇒ ( xe− y ) = y 2e− y dy dy

  d ( xe− y ) = y 2e− y dy ⇒ xe− y = y 2e− y dy( I .P.P.) ⇒ x = − y 2 − 2 y − 2 + ce y ∫ ∫ ∫

 

Solución  General    Si  se  supone  que  p ( x ) y Q ( x )   son  continuas  en  un  intervalo  dado  y  que  xo  es cualquier punto del intervalo, entonces, existe sólo una solución del problema  de valor inicial.     dy + P ( x ) y = Q ( x ) ; y ( x0 ) = y0    dx

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Nota: Debe tomar en cuenta la continuidad de las funciones P ( x ) , Q ( x )     EJEMPLO 6.  Determinar la solución general de  ( x 2 + 9 ) xy

dy = 0.   dx dy x Solución: Se escribe la ecuación  en la forma adecuada  + 2 y = 0.   dx x + 9 x La función  p ( x ) = 2 ; Q = 0  es continua en  ( −∞, ∞ )    ( x + 9)

Entonces, el factor integrante para la ecuación es:  

dy + dx

x2 + 9 y

(x

2

=e x

x2 + 9

+ 9) = c ⇒ y =

)

=e

=0⇒

ln

( x +9) 2

(x

d (y dx

=e

2

=

∫d ( y (x ∫ y

2

x

(x (x

ww

(

)

2

2

2

+ 1)

)

+ 1) = ∫

2

x

(

x

dx ⇒ y

( x2 + 1)

)

2

(x

2

+ 1) = ∫ du 2u

(x

2

  

ic

2

dx ⇒ x 2 + 1 = u ⇒ 2 x dx = du ⇒ ∫

+ 1) =

+ 9)) = 0

m

+ ( x +1) ⇒ multiplicando : ( x +1) dy dx

⎛ ( x +1) = 2 ⇒ d y ( x +1) = ⎜⎜ ⎜ ( x +1) ⎝

d y dx

2

at

ln x2 +1

w.

∫ x2 +1

(x

at e

x x ; Q( x) = 2 x +1 x +1

μ ( x) = e

+ 9)) = 0 ⇒ ∫ d ( y

x2 + 9

dy xy x + 2 = 2 dx x + 1 x + 1

2

x dx

+ 9)

M

p( x) =

2

2

c

  EJEMPLO 7. Resolver 

(x

=

.c om

μ ( x) = e

(

1 ln x 2 + 9 2

a1

x

∫ ( x 2 + 9 ) dx

+ 1) + C ⇒ y = 1 +

1 2

xy

( x +1) 2

=

x

( x +1) 2

⎞ ⎟ dx 2 ( x +1) ⎟⎟⎠ x

x

( x2 + 1) 1

dx

= u2 + C =

(x

2

+ 1) + C

C

(x

2

+ 1)

 

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dy + y = 2 x, y (1) = 0.   dx dy 1 Solución  Escribimos la ecuación dada en la forma:  + y = 2,   dx x Y  observamos  que  p ( x ) = 1 x   es  continua  en  cualquier  intervalo  que  no  contenga  al 

EJEMPLO 8. Resolver el problema de valor inicial  x

origen. En vista de la condición inicial, resolvemos el problema en el intervalo  ( 0,∞ )   dx

 El factor integrante es  μ ( x) = e ∫ x = eln x = x  y así 

d c [ xy ] = 2 x ⇒ xy = x 2 + c = y = x +   dx x

m

at

ic

a1

.c om

1 Pero  y (1) = 0 ⇒ c = −1 ⇒ y = x − , 0 < x < ∞    x   La grafica de la ecuación, se presenta en la figura 2.5. La solución del problema de valor  inicial se indica como la línea gruesa en la gráfica    

at e

 

EJEMPLO 9.  y′ + y cos x = senx cos x  

M

Paso 1: Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante 

ww

w.

P( x ) = cos x ⇒ Q( x ) = senx cos x ⇒ FI = e ∫

cos xdx

= e senx  

Paso 2: Aplicar la formula ye e Q x c X  ye ∫

P( x ) ∂x

= ∫ e∫

P( x ) ∂x

Q( x ) ∂x + c ⇒ ye ∫

senx

= ∫ e senx senx cos xdx + c  

Resolver  la  integral  usando  primero  el  método  de  integración  por  cambio  de  variable  y  luego el método de integración por partes 

senx = t ⇒ cos xdx = dt   CV 1. ∫ et dt + c CV 2. Método de integración por partes  u = t ⇒ du = dt et = u

 

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Por lo tanto  ∫ et dt = tet − et + c   Paso 3: Revertir los cambios de variable y despejar la variable "y"  ye senx = senxe senx − e senx + c ⇒ y = senx − 1 + ce− senx   EJEMPLO 10  y′ + e x y = e 2 x   Paso 1: Identificar P(x) y Q(x) y calcular el F.I.  P( x ) = e x ⇒ Q( x ) = e 2 x ⇒ FI = e ∫

e x dx

= ee   x

Paso 2: Aplicar la formula  ye ∫

= ∫ e∫

P( x ) dx

P( x ) dx

Q( x ) dx + c ⇒ ye e = ∫ e e e 2 x dx + c   x

x

.c om

Sugerencia: Usar método de integración por cambio de variable y método de integración  por partes.   yee = e x ee − ee + c   x

x

a1

x

Paso 3: Despejar la variable "y"        y = e x − 1 + ce− e  

at

1   cos x

m

Ejercicio 11 y′ − ytgx =

ic

x

− tgxdx 1 ln cos x ⇒ FI = e + c ∫ =e = cos x cos x P dx P dx 1 ye ∫ ( x) = ∫ e ∫ ( x) Q( x ) dx + c ⇒ y cos x = ∫ cos x dx + c cos x y cos x = x + c ⇒ y = sec x ( x + c )

ww

w.

M

at e

P( x ) = −tgx ⇒ Q( x ) =

EJEMPLO 11.  y′ + yctgx = 4 x 2 csc x   P( x ) = ctgx ⇒ Q( x ) = 4 x 2 csc x ⇒ FI = e ∫ ye ∫

P( x ) ∂x

= ∫ e∫

ysenx =

P( x ) ∂x

P( x ) dx

= ecotgxdx = e

ln senx

= senx

Q( x ) ∂x + c ⇒ ysenx = 4 ∫ senx ( x 2 cosecx ) dx + c

4 x3 4 + c ⇒ y = x 3 cos cx + c cos cx 3 3

 

 

EJEMPLO 12. xy ′ + ( 2 + 3 x ) y = xe

−3 x

2 ⎛2 ⎞ y′ + ⎜ + 3 ⎟ y = e−3 x ⇒ P( x ) = + 3 ⇒ Q( x ) = e−3 x x ⎝x ⎠   ⎛2

FI = e

⎞

∫ ⎜⎝ x +3⎟⎠∂x

= elnx

2

+3 x

= elnx e3 x = x 2 e3 x 2

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⇒ ye ∫

P( x ) ∂x

yx 2 e3 x =

= ∫ e∫

P( x ) ∂x

Q( x ) ∂x + c ⇒ yx 2 e3 x = ∫ x 2 e3 x e −3 x dx + c

x3 ⎛x c ⎞ + c ⇒ y = ⎜ + 2 ⎟ e −3 x 3 ⎝3 x ⎠

 

  EJEMPLO 13. x 2 y′ + 2 xy = senh(3 x)

dy x 2 dy 2 xy senh (3 x ) + 2 xysenh (3 x ) ⇒ 2 + 2 = dx x dx x x2 dy 2 y senh (3 x ) dy + = ⇒ + P ( x) y = Q ( x) 2 dx x x dx 2 senh (3 x ) P ( x) = ; Q ( x) = x x2 x2

P ( x ) dx

2

dx 2 = e∫ x = e ∫

dx x

2 2 ln( x ) =e ∫ = e ln( x ) = x 2

Se multiplica la ecuacion por factor integrante x 2

.c om

μ ( x) = e∫

1 ⎛ e 3 x + e −3 x ⎜ 3⎝ 2

⎞ ⎛ e 3 x + e −3 x 2 + c x y ⇒ = ⎟ ⎜ 6 ⎠ ⎝

M

x2 y =

at e

m

at

ic

a1

2x2 y (3 x ) dy d y 2 y senh (3 x ) 2 dy + = ⇒ x + = senh 2 x 2 ⇒ x 2 + 2 xy = senh (3 x ) 2 dx x x dx x x dx d 1 ⎡⎣ x 2 y ⎤⎦ = senh (3 x ) ⇒ ∫ d ⎡⎣ x 2 y ⎤⎦ = ∫ senh (3 x ) ⇒ x 2 y = cosh(3 x ) + c ⇒ dx 3 ⎛ e x + e− x ⎞ y se resuelve con la siguiente formula cosh= ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎞ ⎟+c ⎠

ww

w.

⎛ e 3 x + e −3 x ⎞ c e 3 x e −3 x c y=⎜ y + ⇒ = + + 2 ⎟ 2 2 2 2 6x 6x x ⎝ 6x ⎠ x ⎛ e3 x ⎞ ⎛ e −3 x ⎞ 1 3x ln( c ) ⎛ c ⎞ ln( y ) = ln ⎜ 2 ⎟ + ln ⎜ 2 ⎟ + ln ⎜ 2 ⎟ ⇒ ln( y ) = + + 2 2x 6x x2 ⎝x ⎠ ⎝ 6x ⎠ ⎝ 6x ⎠ ln( y ) =

 

1 3x ln( c ) 1 1 ln( c ) ln( c ) /3+ + ⇒ ln( y ) = + + ⇒ ln( y ) = 2 2 2 2x 6x 2x 2x x x x2 ln( c )

Para eliminar ln se aplica e ⇒ e x

ln( y )

=e

x2

⇒ y=

c ⇒ c = x2 y 2 x

  EJEMPLO 14.  y´= 2 y + x(e3 x − e 2 x ), y (0) = 2.

y´= 2 y + x (e3 x − e 2 x ) ⇒

dy − 2 y = x (e3 x − e 2 x ) dx

donde P ( x ) = −2 , Q ( x ) = x (e3 x − e 2 x ) ⇒ μ ( x ) = e ∫

P ( x ) dx

= e∫

−2 dx

= e ∫ = e −2 x −2 dx

 

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dy dy − 2 y = x(e3x − e2x ) ⇒ e−2x − 2e−2x y = xe−2x (e3x − e2x ) dx dx d −2x ⎡⎣e y] = ( xex − x) ⇒ ∫ d ⎡⎣e−2x y] = ∫ ( xex − x)dx ⇒ e−2x y = ∫ xex dx − ∫ xdx dx

∫ xe dx (por partes) u = x ⇒ du = dx , ∫ dv = ∫ e dx ⇒ v = e x

x

x

x2 x2 ⇒ e−2x y = xex − ex − + c ⇒   2 2 x2 c− x 2 x e (x −1) e−2x y = ex (x −1) + (c − ) ⇒ y = −2x + ( −2x2 ) e e 2 2 x y = e3x ( x −1) + e2x (c − ) , como y(0) = 2 , sustituimos y encontramos el valor de la cons tan te c 2 02 x2 3x 2x 3(0) 2(0) 2 = e (0 −1) + e (c − ) ⇒ c = 3, la solución particular es : y = e ( x −1) + e (3 − ) 2 2   EJEMPLO 15.  xy´+ y = e x , y (1) = 2     dy dy 1 ex + y= x + y = ex ⇒ dx dx x x 1 dx P( x)dx 1 ex ∫ ∫ ⇒ μ(x) = e = e x = eln x = x donde P(x) = , Q(x) = x x dy 1 ex dy 1 ex dy d + y = ⇒ x + xy = x ⇒ x + y = ex ⇒ ⎡⎣x y] = ex ⇒ ∫ d ⎡⎣x y] = ∫ exdx,   dx x x dx x x dx dx ex c ex + c x xy = e + c, al despejar y se resulta : y = , solución general es : y = + , pero y(1) = 2 x x x x 1 e c e 2−e 2 = + ⇒ c = 2 − e , la solución particular es : y = + 1 1 x x     EJERCICIOS RESUELTOS. 

∫ xdx =

ww

w.

M

at e

m

at

ic

a1

.c om

x x x x x ∫ xe dx = xe − ∫ e dx ⇒ xe − e ;

1) 

dy = x 2 e −4 x − 4 y   dx

4 dx dy dy + 4 y = x 2 e −4 x ⇒ μ ( x) == e ∫ = e 4 x ⇒ e 4 x + 4 e4 x y = x 2 dx dx   d x3 −4 x −4 x 4x 2 4x 2 4x 2 ( y e ) = x ⇒ d ( y e ) = x dx ⇒ ∫ d ( y e ) = ∫ x dx ⇒ y = 3 e + C e dx

 

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dy + 2 y = x −3 dx 2 dx dy 2 y dy + = x −4 ⇒ μ ( x) = e ∫ x = x 2 ⇒ x 2 + 2 xy = x −2 dx x dx dx dx d ( x 2 y ) = 2 ⇒ ∫ d ( x 2 y ) = ∫ 2 ⇒ y = − x −3 + C x −2 x x dr 3) + r tg θ = sec θ dθ 2) x

sen θ

du 1 1 ∫ = sec θ du = − sen θ dθ ⇒ e u = e − ln u = = u cos θ

dθ tg θ dθ = e ∫ cosθ ⇒ u = cos θ ; μ (θ ) == e ∫

−

dr + r sec θ tg θ = sec 2 θ ⇒ d ( r sec θ ) = sec2 θ dθ ⇒ ∫ d ( r sec θ ) = ∫ sec 2 θ dθ dθ C tg θ + = sen θ + C cos θ ⇒ r = sen θ + C cos θ . r sec θ = tg θ + C ⇒ r = sec θ sec θ

.c om

sec θ

dy dy ⇒ − y = t +1 dt dt

ic

(t + y + 1)dt = dy ⇒ t + y + 1 =

a1

4) (t + y + 1)dt − dy = 0

dt

at

− dt dy −t − e y = e −t ( t + 1) ⇒ d ( y e− t ) = e− t (t + 1) dt μ (t ) == e ∫ = e− t ⇒ e− t

∫ d ( y e ) = ∫ e (t + 1) dt ⇒ ∫ d ( y e ) = ∫ te dt + ∫ e dt ∫ d ( y e ) = −te + ∫ e dt + ∫ e dt ⇒ ∫ d ( y e ) = −e ( t + 2 ) + C ⇒ y = − ( t + 2 ) + C e dx + 2 x = 5 y3 dy 2

μ ( y) = e

∫ d ( xy

2

∫ y dy

at e

−t

−t

−t

−t

−t

t

M

5) y

−t

−t

w.

−t

−t

m

−t

ww

−t

= e 2ln y = y 2 ⇒ y 2

dx d + 2 xy = 5 y 4 ⇒ ( xy 2 ) = 5 y 4 dy dy

) = ∫ 5 y 4 dy ⇒ x = y 3 + C y −2

dy + 3 y + 2 x 2 = x3 + 4 x dx 3 dx 3 dy y + 3 = x 2 − 2 x + 4 ⇒ μ ( x) = e ∫ x = eln x = x3 dx x dy d + 3x 2 y = x5 − 2 x 4 + 4 x3 ⇒ ( x3 y ) = x5 − 2 x 4 + 4 x3 x3 dx dx

6) x

d ( x3 y ) = ( x 5 − 2 x 4 + 4 x 3 ) dx ⇒ ∫ d ( x 3 y ) = ∫ ( x 5 − 2 x 4 + 4 x3 ) dx x 6 2 x5 x3 2 x 2 4 ( x y ) = 6 − 5 + x + C ⇒ y = 6 − 5 + x + xC3 3

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7) ( x 2 + 1)

dy = x 2 + 2 x − 1 − 4 xy   dx 4x 2 2ln x 2 +1 dy 4 xy x2 + 2x −1 ∫ x2 +1dx 2 μ + 2 = ⇒ ( x ) = e = e = x + 1 ( ) dx x + 1 x2 + 1 2 + 4 xy ( x 2 + 1) = ( x 2 + 2 x − 1)( x 2 + 1) ( x2 + 1) dy dx 2 2 d y ( x 2 + 1) = x 4 + 2 x 3 − x/ 2 + x/ 2 + 2 x − 1 ⇒ d y ( x 2 + 1) = ( x 4 + 2 x3 + 2 x − 1) dx; dx 2 2 x5 x 4 2 4 3 2 d y x x x x dx y x 1 2 2 1 1 + = + + − ⇒ + = ) ( ) 5 + 2 + x2 − x + C ) ∫( ∫ ( 2 1 5 1 4 5 x + 2 x + x − x+C y= 2 ( x2 + 1)

) )

( (

.c om

dy 1 = 4y   dx e + 2 x

a1

8)

)

(

e2 y e4 y +C ⇒ x = + e2 yC 2 2

at e

2y −2 y −2 y ∫ d ( xe ) = ∫ e dy ⇒ xe =

m

at

ic

−2 dy dx dx = e4 y + 2 x ⇒ − 2 x = 44 y ⇒ μ ( y ) = e ∫ = e −2 y dy dy dx d − 2 xe −2 y = e 2 y ⇒ ( xe −2 y ) = e 2 y ⇒ d ( xe−2 y ) = e 2 y dy; e −2 y dy dy

ww

w.

M

9) y′ + 2 xy = x 3 2 xdx dy + 2 xy = x 3 ⇒ μ ( x) = e ∫ = x2 dx 2 dy 2 2 2 2 2 d x2 + e x 2 xy = x 3e x ⇒ ex e y = x3e x ⇒ ∫ d e x y = ∫ x3e x dx dx dx

( )

( )

2 ( x 2 − 1) ex y 2 ( x − 1) + c ⇒ y = + ce − x e y = ∫ x e dx ⇒ e y = 2 2   10) ( x + 4 y 2 )dy + 2 ydx = 0 2

x2

3 x2

x2

dy

dx dx x ∫ =0⇒ + = −2 y ⇒ μ ( y ) = e 2 y = y dy dy 2 y dx x d y x y = −2 y 3 ⇒ ∫ d x y = ∫ −2 y 3 dy   + y = −2 y y ⇒ 2y dy dy −1 4 5 4 x y =− y + c ⇒ x = − y 2 + cy 2 5 5

(x + 4 y2 ) + 2 y

(

)

(

)

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11) xdy = ( xsenx − y )dx dx dy y ∫ + = senx ⇒ μ ( x ) = e x = x xdy = ( xsenx − y )dx ⇒ dx x dy d x + y = xsenx ⇒ ( xy ) = xsenx ⇒ xy = senx − x cos x + c   dx dx −1 y = x senx − cos x + cx −1   dy 12) + yctgx = 2 cos x dx ctgxdx dy + yctgx = 2 cos x ⇒ μ ( x) = e ∫ = senx dx dy d senx + ysenxctgx = 2 cos xsenx ⇒ ( ysenx) = 2 cos xsenx dx dx

 

∫ d ( ysenx) = ∫ 2 cos xsenxdx ⇒ ysenx = sen x + c ⇒ y = senx + c csc x

a1

  13) cos 2 ( x) senxdy + ( y cos3 ( x) − 1)dx = 0

.c om

2

xdx ⇒ ysenx = tan x + c ⇒ y = sec x + C csc x

M

2

w.

∫ d ( ysenx) = ∫ sec

at e

m

at

ic

dy cos3 ( x) 1 dy cos( x) 1 + − =0⇒ + = 2 2 2 cos ( x) senx dx cos ( x) senx cos ( x) senx dx senx ( ctgx ) dx dy + (ctgx) y = csc x sec 2 x ⇒ μ ( x) = e ∫ = senx dx   dy d senx + senx(ctgx) y = senx csc x sec2 x ⇒ ( ysenx) = sec 2 x dx dx

ww

14) ydx − 4( x + y 6 )dy = 0

4

dx dx 4 4 ∫ − dy y − 4x − 4 y6 = 0 ⇒ − x = 4 y 5 ⇒ p ( y ) = − ⇒ μ ( y ) = e y = y −4 dy dy y y dx d − 4 y −3 x = 4 y ⇒ ( y −4 x) = 4 y ⇒ ∫ d ( y −4 x) = ∫ 4 ydy y −4 dy dy y −4 x = 2 y 2 + c ⇒ x = 2 y 6 + cy 4 dy 1 − e −2 x 15) + y = x −x dx e +e dx e x − e− x d x e x − e− x x x dy x ∫ μ ( x) = e = e ⇒ e + e y = x − x ⇒ (e y ) = x − x ⇒ dx e +e dx e +e   −x x e −e x x x −x −x x −x −x ∫ d (e y) = ∫ e x + e− x dx ⇒ e y = ln(e + e ) + c ⇒ y = e ln(e + e ) + Ce

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16)

dy = (10 − y ) cosh x dx

cosh xdx dy + y cosh x = 10 cosh x ⇒ μ ( x) = e ∫ = e senhx dx dy senhx d +e e senhx y cosh x = 10 cosh x(e senhx ) ⇒ (e senhx y ) = 10 cosh x(e senhx )   dx dx

∫ d (e

senhx

y ) = 10 ∫ cosh x(e senhx )dx ⇒ e senhx y = 10(e senhx ) + c ⇒ y = 10 + ce − senhx

dy + (tan x) y = cos 2 x; donde y (0) = −1 dx tan xdx dy + (tan x ) y = cos 2 x ⇒ μ ( x) = e ∫ = sec x dx dy d sec x + sec x(tan x) y = sec x cos 2 x ⇒ ( y sec x) = cos x dx dx

17)

.c om

 

∫ d ( y sec x) = ∫ cos xdx ⇒ y sec x = senx + c ⇒ y = senx cos x + C cos x dy + y = ln x, y (1) = 10 dx dx

at

18) ( x + 1)

ic

a1

como y (0) = −1 ⇒ −1 = sen(0) cos(0) + C cos(0) ⇒ C = −1 ⇒ y = senx cos x − cos x

ww

w.

M

at e

m

dy 1 ln x ∫ + ⇒ μ ( x) = e ( x +1) = ( x + 1) y= dx ( x + 1) ( x + 1) dy 1 ln x d y= ( x + 1) + ( x + 1) ( x + 1) ⇒ (( x + 1) y ) = ln x dx dx ( x + 1) ( x + 1)   x ln x − x + c ∫ d (( x + 1) y = ∫ ln xdx ⇒ ( x + 1) y = x ln x + c ⇒ y = ( x + 1) x ln x − x + 21 ln(1) − 1 + c ⇒ c = 21 ⇒ y = 10 = (1 + 1) ( x + 1)     19) y´+(tan x) y = cos 2 x , y (0) = −1   P ( x ) dx tan xdx ln sec x Con P( x) = tan x , Q( x) = cos 2 x ⇒ μ ( x) = e ∫ ⇒ e∫ = e∫ = sec x dy d sec x + (tan x) sec x y = cos 2 x sec x , se puede escribir como ( y sec x) = cos x dx dx senx + c ∫ d ( y sec x) = ∫ cos xdx ⇒ y sec x = senx + c ⇒ y = sec x ⇒ y = cos x(senx + c)   Con las condiciones iniciales y (0) = -1 , con x = 0, y = -1 , sustituyendo tenemos

−1 = cos 0( sen0 + c) ⇒ c = −1, sustituyendo c, resulta y = cos x( senx − 1)  

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En los problemas 1 a 37, determine la solución general de la ecuación diferencial dada.  Especifique un intervalo en el cual este definida la solución general.    dy dy dy 1) = 5 y 2) + 2 y = 0 3) + 12 y = 4 dx dx dx dy dy dy 4) x + 2 y = 3 5) + y = e3 x 6) = y + e x dx dx dx   2 2 2 2 7) y '+ 3x y = x 8)y ' = 2 y + x + 5 9) ( x + 4 y ) dy + 2 y dx = 0

10) ( x 2 − 1)

dy 2 + 2 y = ( x + 1) dx

12) x dy = ( xsenx − y ) dx

11)dx = ( 3e y − 2 x ) dy

13) (1 + x 2 ) dy + ( xy + x3 + x ) dx = 0

dx dy dy = x+ y 15) (1 + e x ) + e x y = 0 16) (1 − x3 ) = 3x 2 y dy dx dx dy dy 17) cos x + ysenx = 1 18) + y cot x = 2cos x dx dx dy 19) x + 4 y = x3 − x 20) (1 + x ) y '− xy = x + x 2 dx 2 21) x y '+ x ( x + 2 ) y = e x

m

22) xy '+ (1 + x ) y = e− x sen2 x

at

ic

a1

.c om

14)

at e

23) cos 2 x sen x dy + ( y cos3 x − 1) dx = 0

24) (1 − cos x ) dy + ( 2 ysenx − tan x ) dx = 0

w.

M

25) y dx + ( xy + 2 x − ye y ) dy = 0

ww

26) ( x 2 + x ) dy = ( x ''+ 3xy + 3 y ) dx 28) ( x + 1)

dy + ( x + 2 ) y = 2 xe− x dx

30) xy '+ 2 y = e x + ln x 32)

 

dy + ( 3x + 1) y = e3 x dx

29) y dx 4 ( x + y '') dy = 0 31)

dy 1 − e−2 x + y = x −x dx e +e

33) y dx + ( x + 2 xy 2 − 2 y ) dy = 0

dy − y = senhx dx

34) y dx = ( ye y − 2 x ) dy 36)

27) x

dp + 2tp = p + 4t − 2 dt

dr + r secθ = cos θ dθ 2 dy 37) ( x + 2 ) = 5 − 8 y − 4 xy dx

35)

 

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ww

w.

M at

em

at

ic a

1.c

om

En  los  problemas  41  a  50  resuelva  la  ecuación  respectiva  sujeta  a  la  condición  inicial  indicada.    dy 41) + 5 y = 20, y ( 0 ) = 2 42) y ' = 2 y + x ( e3 x − e2 x ) , y ( 0 ) = 2 dx di 43) L + Ri = E; L, R y E son constantes, i ( 0 ) = i0 dt dx 44) y − x = 2 y 2 , y (1) = 5 45) y '+ ( tan x ) y = cos 2 x, y ( 0 ) = −1 dy   dQ dT 46) = 5 x 4Q, Q ( 0 ) = −7 47) = k (T − 50 ) ;, T ( 0 ) = 200 dx dt

48) x dx + ( xy + 2 y − 2e − x ) dx = 0, y (1) = 0

49) ( x + 1)

50) xy '+ y = e x , y (1) = 2

x

dx

+ y = ln x, dy y (1) = 10

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