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Señales y Sistemas I

2012

 

PRUEBA DE EVALUACIÓN CONTINUA (PEC 1)   (Corresponde al módulo 2)  Ejercicio 1:  Determine y dibuje la convolución   

 de las señales  1 2

 

  3

4 

  a) Gráficamente.  Para  ello  averigüe  previamente  a  la  realización  de  la  convolución  los  instantes iniciales y finales de la señal resultado  , y obtenga uno a uno el valor de  cada muestra entre esos instantes. Dibuje cuatro situaciones. Y la señal   obtenida  Solución:  La secuencia  , empieza en la muestra  0 y se extiende hacia infinito.  La respuesta impulsional  , empieza en la muestra  3 y termina en la muestra  3.  Por tanto la señal obtenida a la salida del sistema empezará en  0 3 3 y se  extenderá hasta infinito.  Para  proceder  a  la  resolución  de  la  convolución  gráficamente  vamos  a  dibujar  en  primer lugar   y  .    1

x[k]=(1/2)k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

k

    h[n-k]

n-3

Representamos  el  avance  de  dibujamos el caso particular 

n+3

3

  sobre  1 

k

  para  valores  de  n  menores  de  0, 

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  Dibujado para n+3=-1

n-3

n+3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

  Observamos no hay solape, por tanto la señal aún no ha llegado al sistema.  Por tanto:  Primera zona:  Para  3 1,  4,  la salida es cero  0  Segunda zona:  A partir de  3 0,  3, ya hay producto entre   y  , producto que  empieza  en  0  y  llegará  hasta  3,  veámoslo  gráficamente,  dibujemos  el  caso para  3 2, por tanto para evaluar la muestra  1,  1 .    Dibujado para n+3=2->n=-1

-8

-7

-6

n-3

-4

-3

-2

-1

0

n+3

2

3

4

5

6

7

8

9

k

  Por tanto, en esta zona se cumple  1

1 2

1 2

1 1

1 2

1 2

2 1

1 2

 

  Pero este sumatorio es válido, mientras el producto comience en  0, fijaros que si  la señal de color rojo sigue avanzando,   aumenta, y llega a que  3 1,  4,  el producto ya no empieza en cero, por tanto:    1 3 3  2 1 2   Tercera zona  Dibujemos el caso  3 7,   4    En  este  caso  se  observa  hay  producto  común  sólo  entre  3  y 3,  por  tanto la expresión para evaluar la convolución vendrá dada por:   

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  1

1 2

1 2

1

1 2 1 2

1 2

2

1 2

5

6

1 2

 

  Dibujado para n+3=7->n=4

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

n-3

2

3

4

n+3

8

9

  Y cómo   se extiende hasta infinito y tal como se observa gráficamente los límites  del sumatorio ya no varían a pesar del avance de   sobre      En definitiva:    0 4 1 2 1 3 3 2   2

1 2

1 2

4

  b) Determine la salida del sistema para la entrada  1 1 . A partir  del resultado obtenido en a).  Debido  a  que  los  sistemas  con  respuesta  impulsional,  son  sistemas  lineales  e  invariantes se cumplirá que,    1 1    Por tanto:  0 1 4 1 3 1 3 2 1 2 1 1 1 2 1 4 2 2

2 1 2

1 2

0 1 2

5 4 1 2

2   3

Señales y Sistemas I  

0 1 2

2 1 1

2 1 2

0 1 2

2

1 2

2 1

0 1 2

1 2 1 2

1 2 2

4

2 1

1 2

1 2

3

2 1 2

2

3

1 2

1 2

2 1 2

5

2 1

  Con lo que simplificando   

 

4

4  

1 2

1 2 2

2

3

5

2 1

2

1 1

1 2

1 2

4

3

Con lo que:   

 

3 1 2

1 2

2

1

2012

 

4 5

0 1 2

5 4 1 2 2 1 1 2

3

2 1 2

2

3

4 5

 

Señales y Sistemas I   Ejercicio 2:  Un sistema LTI  de tiempo continuo tiene la entrada  mostrados en la figura. Sea  ∗    

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 y la respuesta impulsional 

 

x(t)

2

1

0

1

2

3

4

t

  h(t) 3

2

1

0

1

2

3

4

t

  Sin resolver la convolución determine   a) Punto inicial de la señal de salida del sistema a la entrada  .  Sumamos los instantes iniciales:   , se inicia en  .  b) Punto final de la señal de salida del sistema a la entrada  .  Sumamos los instantes finales:  , finalizará en  .  c) Duración de la señal de salida del sistema a la entrada    Para  el  caso  de  tiempo  continuo,  sabemos  que  la  duración  de  la  convolución  es  igual a la suma de la duración de las señales que intervienen.    ó 3 ó 2 ó 3 2 5  Podemos ver que coincide con el valor obtenido al restar el valor obtenido en b)  menos el valor obtenido en a)    d) Valor máximo de amplitud de la señal de salida del sistema a la entrada  .  El  valor  máximo  corresponde  a  la  zona  donde  el  área  del  producto  de  las  dos  señales es máximo, por tanto se producirá en este caso cuando el solapamiento es  el  máximo.  Este  se  produce  cuando  )  está  entre  0  y  3.  Por  tanto  cojamos  entre  0  y  2  (el  ancho  de    es  2),  en  ese  caso  el  área  del  producto es 6.  Por tanto el valor máximo es 6.    Obtenga la señal de salida del sistema a la entrada  , usando la integral de convolución. 

Señales y Sistemas I   Si representamos  irá de  4   Zona 1:  Para  2 0→

, tenemos que al desplazar  2 

 irá de 2

 a 4

2012  y al invertir 

2  0 

Zona 2:  Para  2 0→ De esta forma  

2  3 2 2

Pero  el  límite  superior  varía  cuando  3  En consecuencia 

6

1→

6

2   3.  Con  lo  que  sólo  es  válido  para 

2 2

3 

Zona 3:  En  esta  zona  4  aún  es  menor  que  0,  4 0→ 4,  y  2 1, → 3  y  además  2  deberá  ser  menor  o  igual  que  2,  2 2, 4.  Lo  que  implica  al  comparar todas las desigualdades y quedándonos con el caso pero, que la zona 3, abarca    3 4    3 2

6 

Zona 4:  Implica  que  4 0→ 4  y  además  debe  ser  menor  que  1,  4 1→ 5  Por  otro  lado  2 2→ 4,  pero  2 3→ 5.  Volvemos  a  obtener  unos  intervalos que nos indican que 4 5    Y en este caso    3 2

3 2

6 1

4

6

2

2

6 

Zona 5:  Implica  4 1→ 5  pero  4 2, → 6.  Por  otro  lado  ello  ya  se  observa  2 es superior a 3, y por tanto ya empieza a salirse. Ya no debemos tenerla en cuenta  En este caso    3 2 Zona 6  4 2→  

6  y además 

4 3 2

3→ 6 3

6 

7  4

6 7

 

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  Y ya hemos terminado, pues hemos llegado al punto final de la señal convolución, tal como  habíamos obtenido en el apartado b).    Con lo que:    6 2 2 3 6 3 6   6 7 6 7 0   Ejercicio 3:  Considere el sistema LTI de la figura.  a) Exprese la respuesta impulsional del sistema en función de la respuesta impulsional de  los subsistemas.  Tenemos, siguiendo el camino desde la entrada a la salida.    ∗   ∗ ∗ ∗   ∗ ∗ ∗   ∗   ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗   (Hemos aplicado la propiedad distributiva de la operación convolución).    Por último   

∗ ∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗ ∗

 

  Con  lo  que  la  respuesta  impulsional  equivalente  del  conjunto  en  función  de  los  subsistemas es:    ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 4   1 1 5   b) Para   5

,

  Encuentre la respuesta impulsional total del sistema.          +      

2

 

+ 

Señales y Sistemas I   A partir del resultado obtenido en a). Tenemos:    ∗ ∗5 ∗2 Que nos quedará  ∗

10

∗2

∗

2

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∗

∗ 12 ∗   Por tanto hemos de realizar dos convoluciones  En primer lugar  ∗ . Resuelvo matemáticamente  Hemos de resolver 

 

  Sabemos 

1 0

0   0

  Por tanto:     

1 0

Por otro lado 

0→ 0→

 

  Es  decir,  que  vale  cero  para  valores  de    menores  que,  por  tanto  la  integral  sólo  llegará  hasta  , quedando    Además como  0 y  , (para que los dos escalones valgan uno), implica que  0.  Por tanto la convolución es:      . Resolviendo matemáticamente  La segunda convolución a resolver es  ∗     Teniendo en cuenta que: 

1 0



0   0

Tendremos:    Y sabiendo que:    Entonces, para   

1 0

0→ 0→

 

0 se verifica que:  1

 

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  Por tanto la respuesta impulsional del conjunto vendrá dad por:    12 1 12     Ejercicio 4:    Un sistema LTI de tiempo continuo con respuesta impulsional.    1   a) Determine si es causal  La  repuesta  es  no  causal,  ya  que  existe  para    negativos  debido  a  la  función  , que se extiende desde – ∞ .  b) Determine si es estable.  Para determinar si es estable, y teniendo en cuenta estamos en tiempo continuo,  hemos de verificar si la integral del módulo de la respuesta impulsional converge.    1 1 | | 1 0   Por tanto converge y es ESTABLE.    Un sistema LTI de tiempo discreto con respuesta impulsional.    1  a) Determine si es causal  No  es  causal,  ya  que  la  respuesta  impulsional  toma  valores  para  muestras  negativas.  En  este  caso  a  partir  de  la  muestra    debido  al  término  .  b) Determine si es estable.  Para determinar si es estable, y teniendo en cuenta estamos en tiempo discreto,  hemos de verificar si la suma del módulo de la respuesta impulsional converge.    |   Por tanto no converge y es NO ESTABLE.   

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