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ANALISIS DE SISTEMAS DINÁMICOS & DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO CONTINUO POR TÉCNICAS DE CONTROL CLÁSICAS Y MODERNAS. JOSUE FERNANDO RONCANCIO BERNAL 2012

ANÁLISIS DE SISTEMAS DINAMICOS Ingeniero: JOSUE FERNANDO RONCANCIO BERNAL.

[1]

OBJETIVO: Analizar por teoría clásica y moderna los sistemas dinámicos. CAPITULO 1. GENERALIDADES 1. 2. 3. 4. 5.

Introducción. Clasificación de los sistemas. Características de los sistemas dinámicos Señales de entrada típicas para los análisis de los sistemas dinámicos. Matriz de comportamiento o respuesta de los sistemas dinámicos

CAPITULO 2. MODELAMIENTO O MODELAJE DE SISTEMAS DINAMICOS

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Introducción Tipos de modelos matemáticos. Modelamiento de sistemas mecánicos. Modelamiento de sistemas electro-mecánicos. Analogías electro-mecánicas. Analogías electro-hidráulicas. Analogías electro-Neumáticos. Algebra de diagramas de bloque. Técnica del Circuito equivalente.

CAPITULO 3. COMPORTAMIENTO DE LOS SISTEMAS DINAMICOS. 1. Introducción 2. Técnicas de análisis de estabilidad. 4.1. Dominio del tiempo. 4.2. Dominio de la frecuencia. 3. Técnicas de análisis de exactitud. 4. Análisis de respuesta Transitoria Dinámica. 4.1. Sistemas de primer orden. 4.2. Sistemas de segundo orden. CAPITULO 4. ANALISIS DE LOS SISTEMAS DINAMICOS EN EL ESPACIO –ESTADO. 1. 2. 3. 4.

Introducción Definición de las variables de estado. Técnicas obtención de la representación de estado. Análisis de: [2]

i. Estabilidad. ii. Controlabilidad. iii. Observabilidad. 5. Solución de la ecuación de estado. 6. Ejemplos. ANEXO-INTRODUCCION AL SIMULINK. BIBLIOGRAFIA

[3]

CAPITULO 1. GENERALIDADES

1.1. Introducción. A continuación algunas definiciones fundamentales para dar explicación al tema. Sistema: Se define como conjunto o interconexión de elementos o componentes que interactúan para cumplir una función establecida. Existen sistemas abstractos como los presentes en la economía, por ende la definición de sistema no se limita exclusivamente al sentido físico. En este libro únicamente se hará referencia a los sistemas físicos, los cuales se caracterizan por ser objetos “tangibles”. Proceso: Secuencia de pasos, operaciones o actividades realizadas o ejecutadas para cumplir un objetivo previamente determinado, se caracteriza por ser “no tangible”. Control: Medir el valor de una variable, la cual llamaremos como variable controlada; la cual en la mayoría de los casos es la variable de salida al mismo tiempo que se corrige la variable manipulada limitando la diferencia entre el valor deseado y el valor medido. Mediante las técnicas de control se garantiza el buen funcionamiento del sistema. 1.2. Clasificación de los sistemas. 1.2.1 De acuerdo al modelo matemático: 1.2.1.1. Sistema Lineal: La salida es proporcional a la entrada, de la misma forma cumple con las propiedades de homogeneidad y superposición. Los sistemas lineales se clasifican en:

L.I.T

(Lineal invariante en el tiempo)

L.V.T (Lineal variante en el tiempo) 1.2.1.2. Sistema No lineal: 1.2.2. De acuerdo a la señal de entrada. 1. 2.2.1. Análogos o Contínuos. 1. 2.2.2. Discretos o Digitales. 1.2.3. De acuerdo al número de entradas y salidas. 1. 2.3.1. Monovariables o SISO: Única entrada y única salida. 1.2.3.2. Multivariables o MIMO: Múltiples entradas y múltiples salidas.

[4]

1.2.4. De acuerdo a su operación. 1.2.4.1. Sistemas de Lazo Abierto. Son sistemas en los que la energía fluye en una o varias trayectorias sin retorno a ningún punto anterior en el sistema. Es decir que carecen de retroalimentación. También se puede definir como un sistema en el cual la salida no se mide ni se compara con la entrada. 1.2.4.2. Sistemas de Lazo Cerrado. Para estos sistemas se define una señal de error actuante, la cual consiste en la diferencia entre la señal de entrada y una derivación de la señal de salida con el objetivo de reducir este error y llevar la salida del sistema a un valor deseado. 1.2.5. De acuerdo al Tipo de memoria 1.2.5.1. Con memoria. 1.2.5.2. Sin memoria. 1.2.6 De acuerdo a los parámetros: 1.2.6.1. Determinístico: Se conocen o se pueden determinar todas las variables. Por ende se puede predecir su comportamiento con exactitud. 1.2.6.2. No Determinístico. También conocido como estocástico, en el cual las variables tienen un comportamiento aleatorio, y por ende se rigen por los principios de la probabilidad de tal manera que no se puede predecir con certeza su comportamiento. 1.2.7. De acuerdo al tipo de operación. 1.2.7.1. Sistema Manual: El operario interviene como mínimo en una de las acciones o actividades. 1.2.7.2. Sistema Automático: El operador NO interviene en ninguna de las acciones o actividades. 1.2.8. De acuerdo a la variable de referencia. 1. 2.8.1. Sistema de Regulación: Cuando la variable es constante en el tiempo. 1. 2.8.2. Sistema de Seguimiento: Cuando la variable cambia en forma continua con el tiempo. 1.3. CARACTERSITICAS DE LOS SISTEMAS: 1.3.1. Estabilidad: La capacidad o característica que tiene un sistema para retornar a su estado de equilibrio, estado estable, estado estacionario o régimen permanente después de que ha ocurrido un cambio en la respuesta del sistema. Generalmente ocurre debido a una perturbación producida en la entrada o la salida del sistema. Para entradas acotadas, la salida es acotada. 1.3.2. Exactitud, Precisión o Error: El error en un sistema está determinado por la tolerancia permitida o el porcentaje de error en la respuesta del sistema. Este depende de cada sistema y no de la variable a analizar.

[5]

1.3.3. Respuesta del Sistema: La respuesta del sistema siempre se analiza en el dominio del tiempo. Para analizar la respuesta es necesario:  Que el sistema cumpla con la propiedad de linealidad, invariante en el tiempo.  Condiciones iníciales iguales a ‗0‘.  Que la entrada sea un escalón o posición unitaria. La respuesta se puede analizar en el dominio del tiempo, de la frecuencia o del espacio de estado y se divide en: -Respuesta estacionaria o estable -Respuesta dinámica o transitoria.

Tiempo de Respuesta: Tiempo que tarda la respuesta Dinámica en llegar a su estado estable. Este corresponde a un factor de mérito y es indicador del tiempo que tarda el sistema en estabilizarse o alcanzar su régimen permanente y su valor depende del porcentaje de error permitido a la respuesta del sistema.

Tr

Canal de Exactitud. Depende del error del sistema, por lo general es de 1%, 2%, 5%. [6]

1.4. TIPOS DE ENTRADA PARA EL ANALISIS DE SISTEMAS DINAMICOS.

En la figura se aprecia un tipo de representación de sistemas, el cual corresponde a un diagrama de bloque, el cual consiste en una caja negra con una entrada y una salida. Es una representación externa del sistema que sirve en primer lugar para ilustrar la dirección en la que la energía fluye. El diagrama de bloque está definido por su función de transferencia F(s) que es la relación entre la salida y la entrada. ( ) ( )

( ) El flujo de energía es unidireccional. 1.4.1. Entrada Impulsiva Unitaria.

La aplicamos cuando el sistema está sometido a cambios bruscos pero NO constantes.

El impulso es la derivada de la entrada posición.

1.4.2. Entrada posición, Escalón Unitario u Orden Cero.

[7]

El escalón es la derivada de la entrada velocidad.

1.4.3. Entrada Velocidad, Rampa unitaria u Orden Uno

La entrada velocidad es la derivada de la entrada aceleración. 1.4.4. Entrada Cuadrática, Aceleración u Orden Dos

Diagrama de Polos (P) y Ceros (Z) 1.5. COMPORTAMIENTO DE LOS SISTEMAS DINÁMICOS.

Un sistema con función de transferencia F(s), donde: ( ) ( )

( )

El diagrama de polos y ceros de la Función de Transferencia de un sistema es una representación gráfica en el plano complejo s donde los ceros se destacan con un símbolo ―o‖ y los polos con un símbolo ―x‖. La importancia de este diagrama radica en que este permite predecir el comportamiento del sistema. [8]

CEROS: z es un cero de un sistema si F(z)  0 Los ceros se determinan hallando las raíces del numerador A(s)=0 , es decir, igualándolo a 0. Sirven para hallar la respuesta dinámica. Determinan la velocidad del sistema; entre más ceros tenga el sistema, más lenta es su respuesta. POLOS: p es un polo de un sistema si F(p)   Las raíces del denominador B(s)=0 son los polos del sistema. Determinan la estabilidad, exactitud y forma de respuesta del sistema. Ejemplo:

Ceros: S= -2 Polos: S1= -4

;

S2= -1

Existe una representación alternativa, la cual se conoce como Representación de Estado o Representación Moderna la cual comenzó su estudio en 1960, esta es una representación de tipo vectorial- matricial y su importancia radica en que es una representación interna de los sistemas. Son válidas para cualquier tipo de sistemas permitiendo incluir condiciones iniciales no nulas.

[9]

CAPITULO 2. MODELAMIENTO O MODELAJE DE SISTEMAS DINAMICOS 2.1. Modelación de los sistemas dinámicos. Para analizar cualquier sistema es necesario un modelo matemático. Se define como Modelo Matemático la representación matemática que describe el comportamiento de un sistema dinámico o estático. La representación matemática se obtiene a partir de las siguientes suposiciones: 

Sistema Lineal e Invariante en el Tiempo (LIT).



No almacenamiento de Energía (Condiciones Iniciales Nulas).



F(t)= u(t) (Entrada posición u orden cero)

La representación matemática se obtiene a partir de las leyes que rigen el comportamiento del sistema. 2.1. Tipos de Modelo: 2.1.1. Conjunto de Ecuaciones Diferenciales 2.1.2. Funciones de Transferencia. 2.1.3.

Representación de Estado

2.1.1. Conjunto de Ecuaciones Diferenciales: En ingeniería se presentan infinidad de casos de sistemas en los que se hace necesario establecer modelos matemáticos mediante el uso de ecuaciones diferenciales, las que generalmente involucran las derivadas e integrales de las variables dependientes con respecto a la variable independiente. Encontramos un ejemplo muy claro en el circuito RLC (Resistencia, Inductancia y Capacitancia) en serie cuya ecuación diferencial es: ( )

( )

∫ ( )

( )

No sobra recordar que esta ecuación corresponde a una ecuación diferencial de segundo orden y por ende nos referimos a este como un Sistema de Segundo Orden donde R es la resistencia, L la inductancia y C la capacidad. i(t) y e(t) corresponden por su parte a la corriente de malla y al voltaje aplicado respectivamente y corresponde a su vez a la señal forzante o variable independiente. Por su parte la corriente es la señal dependiente cuyos valores son desconocidos y para su determinación es necesario resolver la ecuación diferencial. [10]

Por lo general, la ecuación diferencial de un sistema de orden n se escribe como: ( )

( )

( )

( )

( )

2.1.2. Funciones de Transferencia. La función de transferencia es una forma muy clásica de hacer modelado de sistemas lineales y es una representación de la relación entrada vs salida entre variables. La función de transferencia se puede definir de muchas maneras, sin embargo la más importante se da cuando el sistema es alimentado con una señal de tipo impulsiva o entrada de posición y a la respuesta del sistema se le conoce como respuesta al impulso. La función de transferencia se determina como la relación entre las transformadas de Laplace de la variable de salida y de entrada del sistema tomando todas las condiciones iniciales como iguales a cero. Por tratarse de una representación externa del sistema por lo tanto no contiene ninguna información conexa con la estructura interna del sistema y a su comportamiento. Es una expresión racional que se obtiene por medio de la transformada de Laplace:

F S  

y t  y t  N t    r t  CI 0 Rt  Bt 

Características de la función de Transferencia: 

No dice como están interconectados los elementos del sistema.



Es una representación externa del sistema.



Para que el sistema sea físicamente realizable, el orden del denominador debe ser mayor que el numerador.

La función de transferencia para un sistema cuya función de entrada u(t) y salida y(t) está definida por: ( )

( ) ( )

En este punto es importante destacar que el orden del denominador n debe ser mayor o igual al orden del numerador m para que el sistema sea físicamente realizable. En todo polinomio se puede obtener ‗n‘ raíces, que se conocen como los ceros del sistema, estos afectan al sistema a través de la velocidad y en ningún momento interfiere con la exactitud ni con la respuesta del sistema como será analizado más adelante. [11]

B(S) o Denominador de función de transferencia del sistema, se conoce como polinomio característico. Este nos ayuda a determinar la estabilidad, exactitud y respuesta. Permite analizar problemas en el dominio del tiempo y la frecuencia.

2.1.3. Representación en Variables de Estado: Es una representación interna de los sistemas por tanto es más fácil controlarlo, la representación de estado es válida para cualquier tipo de sistema, se basa en una representación estado vectorial-matricial en el dominio del tiempo, entrega ecuaciones diferenciales de primer orden, permite condiciones iníciales diferentes de 0 y se ha dado su popularidad porque permite el uso de herramientas computacionales. 2.2. Modelamiento de sistemas electromecánicos. Para modelar un sistema se requiere la siguiente secuencia de pasos: 1. Identificar el tipo de sistema corresponde. 2. Identificar las Leyes que rigen el comportamiento de cada sistema. 3. Identificar los elementos activos y los elementos pasivos : Elementos Activos: Suministran energía al sistema (Fuerza, Torque, desplazamiento). Elementos Pasivos: Convierten, disipan o almacenan energía. (Entre los pasivos tenemos masa, fricción, elasticidad). Un sistema mecánico puede presentar dos tipos de movimiento translacional o rotacional.

Elemento Pasivo Masa Fricción Elasticidad

Translacional [m] [C] [K]

[12]

Rotacional [J] [B] [G]

OBTENCION DEL DIAGRAMA ESQUEMATICO DEL SISTEMA A MODELAR. Ejemplo: Se tiene la figura 2.1ª y 2.1b. Aunque su posición es distinta la forma de modelarlas es igual.

Figura 2.1a

Figura 2.1b

Procedimiento para Modelar un Sistema: 2.2.1. Obtención Diagrama de fuerzas.

A partir del diagrama físico real del sistema a analizar se obtiene un diagrama mecánico que lo representa y finalmente un diagrama de fuerzas: Esta es una metodología diferente a la clásica en la cual se definen las fuerzas según su orientación respecto al eje de referencia. En este caso se eligen las fuerzas en el sentido análogo a las corrientes en circuitos eléctricos, en el sentido de que la fuerza fluye del punto de mayor potencial al de menor potencial como ocurre con las corrientes eléctricas. En primer lugar se debe elegir si las fuerzas que actúan sobre la masa son positivas entrando a la masa o saliendo de la misma.

En el ejemplo de la figura de arriba, se toman las fuerzas que entran a la masa como positivas. Las ecuaciones así planteadas son: ̈ [13]

( )

Tierra corresponde al nodo cero, por lo tanto: ( ) (

)

(

)

( )

( ̇

̇)

( )

̈

̇

̈ ̈

La fuerza de entrada también se toma como entrando desde el nodo cero por eso el término (0-1) que la acompaña. En las demás fuerzas el 1 va en el subíndice.

Figura 2.1.c) Diagrama de Fuerzas para el esquema vertical.

Figura 2.1.d) Diagrama de Fuerzas para el esquema Horizontal. 2.2.2. Obtención función de Transferencia. Se definen los grados de libertad y las respectivas ecuaciones (el número de ecuaciones es igual a la cantidad de grados de libertad).

ms

2



 cs  k y s  F s

1 1 y s m m   2 cs k F s ms cs k s2     m m m m m

2.2.3. Por último se representa nuestra ecuación que representa el sistema en un Diagrama de Bloque. Tal como lo muestra la Figura 2.1.e [14]

DIAGRAMA DE BLOQUE: Es una representación gráfica de una función de transferencia, siendo una función de transferencia una representación matemática del sistema consistente en una función racional de dos polinomios. La función de transferencia relaciona únicamente las transformadas de Laplace de la salida con las de la entrada con condiciones iniciales iguales a cero. 1. Permite obtener la función de transferencia global a través de manipulaciones gráficas, sin necesidad de manipulaciones matemáticas. 2. Permite simular el sistema con software (Uno de estos software es Simulink; una aplicación de Matlab.)

Elementos de un Diagrama de Bloque:

Ramas

Bloque

(Representa la variables)

Representa la función de Transferencia.

Bifurcación: Existe cuando una entrada y una salida van conectada a diferente bloque.

[15]

Punto Suma: es la suma algebraica de varias entradas y única salida.

2.3. ELEMENTOS DE TRANSFORMACIÓN DE ENERGÍA: 2.3.1. Palanca Transforma el sentido de la fuerza.

Consideraciones para el análisis de la palanca: 

No tiene masa; es decir que se considera como un elemento ideal.



Funciona como un amplificador mecánico de posición y velocidad.

[16]

2.3.2. Tren De Engranajes: Transforma el sentido del torque, velocidad y posición.

Consideraciones para el análisis del Tren de engranajes:



Elemento lineal.



N= Relación de engranajes.



La velocidad tangencial en el punto de contacto es la misma para los dos engranes.



[17]

2.3.3. TRANSFORMADOR

2.3.4. Motor De Corriente Continua El motor de corriente continua es una máquina que convierte la energía eléctrica en mecánica, principalmente mediante el movimiento rotatorio. La principal característica del motor de corriente continua es la posibilidad de regular la velocidad desde vacío a plena carga.

[18]

Para modelar los motores de corriente continua existen 2 métodos: 

Motor controlado por Armadura.



Motor Controlado por Campo.

2.3.5. Modelo Circuito De Armadura:

(1); Donde

= fem (Fuerza electro motriz)

[19]

(2); Donde

‗Se denomina constante de velocidad‘.

2.3.6. Modelo Circuito De Campo:

; Genera el movimiento en el flujo en los 2 devanados.

2.3.7. Modelo Del Motor De Corriente Continua Controlado Por Armadura ;

1. 2.

No interviene la ecuación (3).

; donde eb se denomina Fuerza Contra electro-Motriz.

3. Dominio de ‗S‘ 1. 2. 3.

; Donde

‗Se denomina constante de Torque‘.

[20]

2.3.8. Modelo Del Motor De Corriente Continua Controlado Por Campo

El modelamiento de un Servomotor se desarrolla de la misma manera que para un motor D.C. 2.3.9. Motor De Movimiento Lineal ( Solenoide). Permite obtnener un solo movimiento (como su nombre lo inidca en este caso lineal), presenta un solo devanado que al aplicarle una exitacion genera un campo y un movimiento lineal. Presenta un momento de inercia , una resistencia y entrega una velocidad lineal.

[21]

Transformacion del Circuito.

De la ecuacion (2), tenemos:

, por tanto las funciones de transferencia son:

Y su Diagrama de bloque queda por tanto:

[22]

2.3.10.Generador o Dinamo:

Este disposiotivo se utliza como sensor de velocidad y es un Motor de Corriente continua donde el devanado de campo se reemplaza por un iman permanentre, con resistencia e inductancia de armadura despreciable. Se utiliza como: 

Tensor de velocidad angilar.



Convertidor de Energia mecanica en energia electrica.

2.3.11. DISPOSITIVOS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS:

Amplificador Diferencial:

Caracteristicas del Amplificador Diferencial:

1.) 2 entradas y unica salida, la salida es igual a la Σ algebraica de las entradas, tiene una entrada poitiva y una negativa y una salida afectada por una ganancia. Funciona como un comparador , en control se utiliza comno detector de error, las ganacias son unitarias y la salida es la diferencia del error.

[23]

2.) Como Inversor

Donde K se considera la Ganancia.

3.) Como sumador

4.) Como Integrador: La salida es la integral de entrada.

5.) Como Derivativo.

[24]

2.3.12.Potenciometro: Se utilia como sensor o detector de alguna variable. Existen potenciometros: 

Lineales



Angulares

COMO SENSOR DE POSICION

[25]

2.4. MODELAMIENTO DE SISTEMAS ELE TROMECÁNICOS, HIDRAULICOS Y NEUMÁTICOS

1)Circuito Electrico solenoide.

SISTEMA MECANICO:

RELACION DE VELOCIDADES:

[26]

En la Valvula entra un desplazamiento; pero sale una fuerza

F s Salida  P2 Entrada X O s

 Fuerzas : M Palanca :

VS 2

 CValvula S  G 3 ( S )

X o ( S ) 1 FP1 1   Y S ( S ) d FP 2 d

Diagrama de Bloque Para Todo el Sistema.

2.5.ANALOGIAS ELECTRO-MECANICAS. Las analogias nos permiten analizar y diseñar sistemas sin necesidad de implementar circuitos reales y nos permite obtener el modelo matematico de sistemas a partir de modelos de circuitos analogos electronicos. Se demuestra que 2 sistemas son analogos porque los modelos matematicos son identicos(mismo orden, mismo número de términos, etc.) Para los sistemas electricos y mecánicos hay dos tipos de analogias: -Analogia Directa. (Torque / corriente) -Analogia Dual. (Torque / velocidad)

ANALOGÍA DIRECTA Ejemplo: Demostrar que los sistemas son equivalentes:

[27]

Para m2

Para m1

Para Elemento 2 tenemos:

Para Elemento 1 se tenemos:

Circuito Electrico:

[28]

Para Nodo 1 tenemos:

Para Nodo 2 tenemos:

Ordenando y remplazando:

Para 2 tenemos:

Comparando 1 con 3 y 2 con 4 tenemos en resumen la tabla de analogia directa.

1/R1 1/R2

1/L1 De manera general se puede obtener la siguiente tabla que relaciona las diferentes analogias electo-mecanicas.

ANALOGÍA DUAL

[29]

F (T)

ε

V (w)

I

Del circuito 1: Nodo 1

Nodo 2:

Realizando la transformación:

(1)

Y

(2) [30]

Del circuito 2: Malla 1:

(3)

Malla 2:

(4)

Comparando (1) con (3) y (2) con (4) y teniendo en cuenta el analisis de analogía directa se obtiene la siguiente tabla:

2.6. ANALOGIAS ELÉCTRO-HIDRAULICAS: Los sistemas hidraulicos incluyen fluidos en un sistema cerrado o abierto y se pueden parametrizar con Inductancia, resistencia y capacitancias. Resistencia: Oposicion a un flujo y se defuine como la dieferencia de potencial.

[31]

Capacitancia: Todo elelemento en capacidad de almancear energia y se define como la cantidad de energia alamacenada con respecto a la variacion de potencial.

Inertancia: Se define como la oposicion al cambio de flujo y no se presenta hasta que no haya contacto entre los elementos

[32]

Parametrizacion del Sistema:

=

[33]

Ejemplo:

1)

Tabla de Equivalencia Electro-Hidrauilica. Sistema Hidraulico Caudal Q Nivel H Resistencia Rh Capacidad Ch

Sistema Electrico Corriente I Voltaje E Resistencia R Capacitancia C

[34]

2.7.ANALOGIAS ELECTRO-NEUMÁTICAS Los sistemas neumaticos involucran un flujo de aire o gas en un recipiente cerrado.

Haciendo la transformacion del Circuito a Impedancias.

Ecuaciones: Nodo [35]

Nodo

Su diagrama de bloque queda

Tabla de equivalencia entre Circuito Hidraulico y Neumatico. H Q Rh Ch Lh

P Q Rp CP Lp

2.8.TECNICA DEL CIRCUITO EQUIVALENTE: Nos permite obtener el circuito analogo directo de un sistema mecánico. Pasos: 1. Obtener un diagrama mecanico esquematico equivalente. DME 2. Definir las masas como nodos. 3. Obtener el circuito mecanico equivalente (por definicion las masas van al nodo de refrencia y ubicar los elementos o bordes entre nodos. DMG 4. Obtener el circuito analogo eléctrico directo. (Dibujar la misma topologia del diagrama mecanico equivalente y reemplazar: a. Fuentes de corriente Torque . b. Fuerzas de voltaje fuentes de velocidad lineal o angular. c. Masas o momentos de Inercia Condensadores o capacidades. d. Elementos de elasticidad Inductancias. e. Elementos de ficcion o amortiguadores Resistencias.

[36]

5. Obtencion del modelo del circuito electrico y utilizando las tablas se pasa al modelo mecanico equivalente.

Ejemplo:

Notese que hemos facilitado el diargrama haciendo uso de las Impedancias Z(s).

Las funciones de Transferencia para los respectivos nodos quedan:

[37]

2.9.ALGEBRA DE DIAGRAMAS DE BLOQUE El algebra de diagrama de bloques nos permite obtener funciones de transferncia sin manipulaicones matematicas Si no a partir de funciones graficas. Las manipulaciones o transformaciones se realizan de acuerdo a la simplicidad: 1. Descomposicion, Intercambio o Fusion de Punto Suma.

Una transformacion es valida si la expresion de la salida no cambia. El cambio realizado en la gráfica es la descomposicion del punto suma, el proceso inverso se llama fusión del punto suma.

2.Reduccion de Bloques en serie o Cascada.

3.Reduccion o Simplificacion de Bloques en Paralelo.

[38]

4. Adelanto o desplazamiento a la derecha de un Punto suma.

5.Retreaso o desplazamiento hacia la Izquierda de un Punto Suma

6.Adelanto o desplazamiento a la derecha de una Bifurcación.

[39]

7.Atraso o Desplzamiento a la izquierda de una Bifurcación.

8.Reduccion de bloques realimentados.

Ejemplo: Mediante Diagrama de bloques reducir el siguiente diagrama. [40]

1° Reduccion de bloques en Casacda.

2° Adelantamiento de Bifurcacion.

y ( s)  B1 ( s)G 3 ( s) 3° Adelantamiento de Punto Suma.

[41]

4° Reduccion de Bloques Retroalimentados.

NOTA: No es posible intercambiar una bifurcación con un punto suma.

2.10.DIAGRAMAS DE FLUJO O REOGRAMAS: Los diagramas de flujo o reogramas nos permiuet obetneer funciones de Transferencia mediante la aplicación de una foprmula conocida como Formula de Mason. No hay ni manipulaciones ni operaciones algebracias. Elementos de los diagramas de Flujo: 2.10.1.Rama: Una rama nos representa la Transmitancia o funcion de Transferencia y se representa por

2.10.2.NODO: Representa la convergencia de varias ramas y tiene como caractersitica uan sola salida. La salida es igual a la suma de las entradas (En un diagrama de bloque es equivalente a un punto suma).

[42]

2.10.3.TRAYECTORIA: Es un camino abierto entre una entrada y una salida y NO toca un nodo mas de una vez.

La Transmitancia o funcion de Transferencia es igual al producto de las transmitancias de las ramas individuales que forman la trayectoria. m= N° de Trayectorias entre una entrada y uan salida. Ciclo: Un ciclo es una Trayectoria cerrada que No toca un nodo mas de una vez, su transmitacna es igual al producto de las transmitacioasn que lo conforman. L(S)= Ganancia o Transmitancia de cada ciclo. n= N° de ciclos. 2.10.4.FORMULA DE MASON:

Donde Pasos para Obtener la Funcion de Transferencia. 1. Obtener el N° de ciclos y la transmitancia de cada ciclo. 2. Obtener el determinante o polinomio caracterisitico

[43]

, de la siguiente manera:

Cofactor, cada trayectoria tiene un cofactor y se obtiene eliminando el determinante de la ganacia de los ciclos que tocan la Trayectoria.

Las Trayectorias de Color, en este caso indican los ciclos del diagrama.

H1 G1

1 Lf s

Rf Lf

El diagrama de Flujo para el ejemplo anterior queda:

Trayectorias: Para el anterior diagrama de flujo las trayectorias quedan:

[44]

Ciclos:

Formula de Mason:

Coefactores:

[45]

CAPITULO III. COMPORTAMIENTO DE LOS SISTEMAS DINAMICOS. Haciendo un recuento de los términos vistos en la introducción, el estudio del comportamiento de los sistemas dinámicos se refiere a los estudios de la estabilidad, exactitud precisión o error y la respuesta del sistema. En primer lugar la estabilidad se definió como la capacidad propia de un sistema para alcanzar el estado de equilibrio o también llamado estado estable o régimen permanente una vez que ha ocurrido un cambio en el sistema. Generalmente ocurre cuando ha habido una perturbación en el sistema. En este capítulo también se hace un estudio de la exactitud, precisión o error, donde el error en un sistema está determinado por la tolerancia que se permite en la respuesta del sistema y cuya característica es la discrepancia entre la señal de entrada y la respuesta del sistema en estado estacionario. Finalmente se hace el análisis de la respuesta del sistema en el dominio del tiempo. 3.1. TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE ESTABILIDAD. Estabilidad es la capacidad que tienen los sistemas para retornar a su estado de equilibrio después de haber ocurrido un cambio. Existen varios métodos para realizar el análisis: 1. Calculando raíces del polinomio o ecuación característica. Raíces o polos del sistema. 2. Aplicando el método numérico de Routh Hurwitz (RH) 3. En el dominio de la fercuencia. 3.2.1. Metodo de las Raices: Teniendo la función de transferencia

Se analiza el polinomio característico (B(s)) que es el que proporciona le información de estabilidad del sistema. Para hallar las raíces del sistema se iguala el polinomio característico a 0.

[46]

ANALISIS DE ESTABILIDAD A PARTIR DE LA UBICACIÓN DE POLOS Observando la siguiente gráfica:

Es posible afirmar que si hay polos en el semiplano izquierdo, el sistema es globalmente estable. Si hay polos en el eje imaginario, el sistema es marginalmente estable. Si hay polos en el semiplano derecho, el sistema es inestable.

Ejemplo:

3.2.2. METODO NUMERICO: Existe software que lo realiza y se basa en el criterio de Routh-Hotwiz ó ‗RH‘ de los sistemas. Nos permite analizar la estabilidad sin la necesidad de obtener los polos, sin o aplicando el criterio de las condiciones necesarias y suficientes. El procedimiento es el siguiente:

Tomamos el polinomio característico y lo igualamos a cero(Es importante igualar a 0; como si fuéramos hallar sus raíces.)

BS   a n s n  a n 1 s n 1  a n  2 s n  2  a n  3 s n  3  ......  a1 s  a 0  0 3.2.2.

CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ

Este criterio consiste en un método algebraico que provee información de la estabilidad absoluta de un sistema lineal e invariante en el tiempo cuya ecuación característica tiene todos sus coeficientes de valor constante. Este criterio sirve como prueba para establecer si cualquiera de las raíces de la ecuación característica se encuentra o no en el semiplano derecho del diagrama de polos y ceros. El número de raíces que están en el eje jω y en el semiplano derecho también se indican. La secuencia de pasos a seguir es: 1) Verificar que las condiciones necesarias se cumplan: 1. Que existan todas las potencias de ‗S‘ 2. Que todos los signos del polinomio o ecuación característica sean iguales. [47]

2) Verificar que las condiciones suficientes se cumplan: 1. Que no existan cambios de signo en el primero columna en el arreglo de Routh-Hotwiz ; si por algún motivo hay cambio de signo el sistema se considera inestable. 2. El N° de cambios de signo es igual al N° de raíces o polos del sistema. ARREGLO DE DE ROUTH-HOTWIZ:

El arreglo de Routh-Hurwitz: 

Es un arreglo triangular.



Las filas se identifican en orden decreciente, a partir de las potencias de ‗S‘.



Cada dos filas se reduce en un elemento.



Toda una fila se puede multiplicar por una constante con fin de simplificar las operaciones.



El cálculo de los elementos del arreglo se basa en el cálculo de determinantes 2° orden.



Si el polinomio es par, la primera fila tiene un elemento más que la Segunda.



Si el polinomio es impar, la primera fila y la segunda fila tiene igual N° de elementos.

 bs 

a n a1 a n 1 a 0

b1 s 

a n 1

 b2 s 



an a5 a n 1 a 4

a n 1

 bm s 

a n 1

[48]

an a3 a n 1 a 2

a n a n2 a n 1 a n  3 a n 1

EJEMPLOS: 1. Considere la siguiente función de transferencia de segundo orden: ( ) Determine si este sistema es estable o no. Desarrollo: 1) Condiciones Necesarias  Existan todas las potencias de ‗S‘  Todos los signos del polinomio o ecuación característica sean iguales, recordemos que el polinomio característico es el denominador de la función, En este caso Bs  S 3  6 S 2  11S  6

3.2.3. CASOS ESPECIALES 1. Cuando existe un”0” en la primera columna, en una fila; el cero se reemplaza por un N° Є. Seguimos calculando los demás coeficientes; en función de Є, evaluamos los coeficientes con (0+ y0-); si hay cambio de signo el sistema nos indica que es ‗Inestable‘ y el N° de cambios de signo, es igual al N° de polos en el SPI. Ejemplo: S  1.5 S  2 S  25S 2  4 S  3 1) Condiciones Necesarias F s 

4

3

 Existan todas las potencias de ‗S‘.  Todos los signos del polinomio o ecuación característica son iguales. Arreglo: S4

1

2

S3

1

2

3 Hemos dividido por 2

[49]

S2

3

S1 S0

3

En este caso debemos evaluar (2) valores; cuando de signo y así determinar la estabilidad del sistema.

y cuando

; para determinar el N° de cambios

Evaluando para S4

1

2

S3

1

2

S2

+

S1

-

S0

3

3 Hemos dividido por 2

3

Tenemos: 2 cambios de signo, por tanto hay 2 raíces en el SPD y como el sistema era de orden 4(S4; tal como se muestra en el polinomio característico, podemos decir que hay 2 polos en el SPD).

Evaluando para S4

1

2

S3

1

2

S2

+

S1

-

S0

3

3 Hemos dividido por 2

3

Tenemos: 2 cambios de signo.

2°Caso. Cuando toda una fila tiene elementos nulos, el sistema NO es estable. Procedimiento: Formar un polinomio auxiliar; con la potencias de la fila que precede a la fila nula. Ejemplo: Si tomamos la de S2; derivamos el polinomio auxiliar con respecto a este. [50]

Luego reemplazamos la fila nula con los coeficientes de la derivada del polinomio y seguimos calculando los coeficientes. Nota: El polinomio auxiliar debe dividir exactamente al polinomio original.

F s 

S 2  6s S 3  5S 2  2 S  10

S3

1

2

S2

1

2

S1

0; Como podemos ver el sistema NO tiene cambio de signo, pero No podemos

3 Hemos dividido por 5

S0 2 garantizar que el sistema sea estable; por tanto es marginalmente Estable. Entonces tomamos la fila que precede a la fila nula; en este caso S2 auxiliar ; lo derivamos y tenemos: Obtenemos los polos del sistema, que en este caso serán:

1

2 y formamos un nuevo polinomio

. Nuestra nueva fila para S1 es S1

2.

3.3. SISTEMAS AJUSTABLES: Son sistemas ajustables porque su comportamiento se puede ajustar con parámetros conocidos como ganancia.

[51]

Debemos analizar todos los posibles valores de K.

5K S  3 S  7S   S  3  5S 2

Obtención del Polinomio Característico:

Bs  S  3S 2  7 S

  15K  0

S 3  10 S 2  21S  15K  0 El arreglo queda: S3

1

21

S2

2

3K

Hemos dividido por 5

S1 S0

De esta condición se tiene: 3K

De esta condición se tiene:

1) Condiciones Necesarias  Existan todas las potencias de ‗S‘.  Todos los signos del polinomio o ecuación característica son iguales. Siempre cuando y

; de aquí se deduce que el rango es

Para seguir con el procedimiento se debe realizar un análisis detallado.



Para

tenemos en el arreglo que se realizo anteriormente:

S3

1

21

S2

2

3K

Se ha dividido por 5 [52]

S1 S0

+

Conclusión: 2 cambios de signo, entonces polos en el SPD. 

Para

tenemos en el arreglo que realizamos al principio:

S3

1

21

S2

2

3K

hemos dividido por 5

S1 S0

3K

Conclusión: Sistema Marginalmente Estable.



Para

tenemos en el arreglo:

S3

1

21

S2

2

0

hemos dividido por 5

S1 S0

0 

Conclusión: Sistema Marginalmente Estable.

3.4. ANALSIS DE EXACITUD, PRECISION, EEROR EN ESTADO PERMANENTE ESTACIONARIO. Esta característica se determina a partir de : essp error de posición u orden cero. essv error de velocidad u orden uno. essa error de aceleración u orden dos.

t n  t  

n s n 1

METODOS PARA EL ANALISIS DE EXACTITUD. 3.4.1. Definición de error. [53]

U

3.4.2. Por formula de error. 3.4.3. Por Tipo de Sistema.

3.4.1. Definición de error.

Con Para aplicar este procedimiento debemos repasar el Teorema del valor inicial y Teorema valor final. Teorema valor final: Se puede conocer cualquier valor final de cualquier variable en 2 dominios.

Teorema valor inicial:

El error dependerá de la señal de entrada.

3.4.2. Por formula de error.

[54]

Ejemplo: Analizar el comportamiento en función de K

1_ Reducimos el Bloque Retroalimentado.

3.4.3. Por Tipo de Sistema: Se realiza a partir de la ganancia de lazo directo y el tipo de sistema se determina a partir de los factores de ‗S‘ en el denominador de la ganancia de lazo directo, es decir los polos en el origen de dicha ganancia.

[55]

ERROR DE POSICIÓN U ORDEN “0”

Sistema Tipo 0



m=0

ESSP

essp

SISTEMA TIPO I m=1

essp =0 ‗Nulo‘ [56]



SISTEMA TIPO II m=2



SISTEMA TIPO III m=3

essp =0 ‗Nulo‘

essp =0 ‗Nulo‘

Sistema Tipo

ERROR DE VELOCIDAD U ORDEN “1”



Sistema Tipo 0

m=0



Sistema Tipo I

m=1

Donde

ESSV

essV= Infinito

essV= finito

, ‗Constante Estática de Velocidad‘ [57]



Sistema Tipo

2 m=2

essV = Nulo

ERROR DE ACELERACIÓN U ORDEN “2”

ESSA



Sistema Tipo 0



Sistema Tipo I

m=1

essa= Infinito



Sistema Tipo II

m=2

essa= finito

m=0

Donde



essa= Infinito

, ‗Constante Estática de Aceleración‘.

Sistema Tipo III

m=3

essa= Nulo

El tipo de error y el tipo de sistema se puede resumir en la siguiente Tabla.

[58]

3.5. ANALISIS DE RESPUESTA Respuesta para Sistema de primer Orden: 1.) Teorema del valor Inicial. 2.) Aplicando desarrolló de facciones parciales para la entrada dada y hallamos el valor de la Transformada. 3.) Hallamos la respuesta temporal, graficamos la pendiente inicial, pendiente final. 3.5.1. RESPUESTA IMPULSIVA UNITARIA Nos da la respuesta natural del Sistema.

Si el sistema es “estable” es decreciente en el tiempo.

Teorema de valor Inicial y Valor final para la entrada dada. Teorema del Valor final

Teorema del Valor inicial

[59]

Verificación:

Grafico:

3.5.2. RESPUESTA PARA ENTRADA POSICION, ESCALON u ORDEN CERO.

[60]

Respuesta Temporal:

[61]

3.4.3. ANALISIS DE RESPUESTA A ENTRADA VELOCIDAD, RAMPA u ORDEN UNO.

Respuesta Temporal:

[62]

3.5.4. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS INVARIABLES EN EL TIEMPO L I T 1. Conociendo la respuesta de una entrada escalón se puede determinar la respuesta a cualquier entrada o analizando la relación de la respuesta a la entrada pedida con la entrada escalón; es decir se puede determinar la derivada y/o integral de la entrada, derivando y/o integrando a la entrada dada.

[63]

3.5.5. ANALISIS DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN.

Donde respuesta.

. Este Nos determina el Tipo de

) Respuesta Senoidal. El sistema No tiene ningún tipo de amortiguamiento.

;

Plano S

Forma de la Respuesta. [64]

SISTEMA SUBAMORTIGUADO

=0

Graficando su Respuesta: 1. Hallamos su valor inicial con NO necesitamos hallar su transformada Inversa.

; La ventaja en el Dominio de ‗S‘; es que

Parámetros a factores De Merito y Solo son para Sistemas Subamortiguado.

[65]

Factores de Merito Para la respuesta Dinámica o Transitoria. Tiempo de Crecimiento valor final.

= Es el tiempo que tarda la respuesta del Sistema en alanzar por primera vez su

Tiempo Pico : Tiempo que tarda la repuesta del sistema en alcanzar su máximo sobre impulsó, es decir que tanto puede aumentar en caso de los resortes antes de que el sistema se destruya.

Máximo Sobre impulsó

: Es la máxima magnitud del sistema.

SISTEMA CRITICAMENTE AMORTIGUADO

[66]

SISTEMA SOBREAMORTIGUADO

:

[67]

Ahora hallamos valor Inicial y valor Final. Con

Transformada Inversa:

Para

,

.

.

CRITERIO DE LOS POLOS DOMINANTES. Si la magnitud de los polos más cercanos al eje imaginario es mínimo 6 veces menor a la longitud de los polos más lejanos; decimos que los primeros son polos dominantes. Si esta condición NO se cumple No existen polos dominantes.

[68]

En caso de existir polos dominantes la respuesta del sistema se puede aproximar al comportamiento determinado por los polos dominantes. Ejemplo:

N(s)=S+2=0; Sz=-2 (Ceros del Sistema).

Ejemplo: Analizar el comportamiento del sistema de lazo cerrado en función de ‗K‘.

[69]

1) Condiciones Necesarias  Existan todas las potencias de ‗S‘.  Todos los signos del polinomio o ecuación característica son iguales. Siempre cuando y

S3

1

30

S2

11

60K

S1 S0

; de aquí se deduce que el rango es

De esta condición se tiene: 60K

De esta condición se tiene:

.

Rango Valido Análisis de Exactitud.

[70]

Análisis de Respuesta:

Hallamos la Respuesta Tomando los Polos: Para K=0.1 (recordemos que podemos tomar cualquier valor siempre cuando se encunetre en el rango ) tenemos el polinomio característico:

Comportamiento Equivalente a Sistema 1er orden.

Este último es polo Dominante ya que 6*0.22=1.32; que es menor de 4.21 y 6.57. Función aproximada:

Para K=2.5

[71]

Comportamiento Equivalente a Sistema 2°orden

Calculando factores de Merito, debido a que es sistema Subamortiguado.

[72]

Subamortiguado

CAPITULO 4. ANALISIS DE LOS SISTEMAS DINAMICOS EN EL ESPACIO ESTADO. 4.1 INTRODUCCION En el primer capítulo se hizo una mención de las variables de estado, esta es una técnica moderna de análisis, la cual permite analizar cualquier tipo de sistema, sin importar si es lineal o no o si es análogo o digital, si es monovariante o multivariante al igual que si sus condiciones iniciales son diferentes de cero. Adquirió relevancia con el desarrollo de los computadores, ya que es un método que se facilita con la aplicación del ordenador y métodos matriciales. También podemos afirmar que esta es una representación interna de los sistemas que permite conocer el sistema detalladamente y por ende permite hacer un mejor control asi como un diseño optimo del sistema de control.

4.2. DEFINICIONES: VARIABLES DE ESTADO: Se define como variable de estado el mínimo conjunto de variables necesarias para describir el comportamiento de un sistema y se denota por la letra n que determina el número de variables de estado.

Donde el número de variables de estado es igual al orden del sistema; es decir el orden del Polinomio característico. 4.3 ECUACIÓN DE ESTADO: La representación de estado se basa en una representación vectorial matricial cuya ventaja más relevante es el aprovechamiento de que todas las ecuaciones diferenciales que originan esta representación son de primer orden y tienen dos tipo de respuesta, que son la normal o estándar y la compacta o forma vectorial matricial. La forma compacta o vectorial matricial es la que se emplea en este capítulo. Debemos partir de las siguientes premisas: El número de ecuaciones de estado es igual al número de variables de estado. La ecuación de estado tiene 2 formas de representación: A continuación veremos los dos tipos de representación.

4.3.1 FORMA COMPACTA DE LA ECUACION DE ESTADO

[73]

( )

̇( )

( )

( )

X corresponde a un vector columna de n elementos y se le conoce como el vector de estado. A Es una matriz cuadrada de nxn elementos y se conoce como la matriz del sistema y contiene los parámetros del sistema. U Corresponde a un vector columna de r elementos y se le conoce como el vector de entrada. B Es una matriz de nxr elementos y se le conoce como la matriz de entrada. En esta representación r es el número de entradas del sistema.

ECUACION DE SALIDA

( )

( )

( )

Y corresponde a un vector columna de m elementos y se le conoce como el vector de salida. C Es una matriz de mxn elementos y se conoce como la matriz de salida. D Es una matriz de mxr elementos y se le conoce como la matriz de acople.

4.3.2 FORMA NORMAL O ESTANDAR DE LA ECUACION DE ESTADO ̇ ( ) ̇ ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

̇ ( )

( )

( )

( )

( )

[

]

[

]

[74]

( )

( ) ( ) ( )

[

]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

[

]

[

]

[ ] se dice que el sistema se encuentra desacoplado entre la entrada y la salida o lo que es NOTA: Cuando equivalente que el sistema es singular.

4.4 TECNICAS PARA OBTENER LA REPRESENTACION EN VARIABLES DE ESTADO Las dos técnicas principales para este fin son las que emplean el circuito eléctrico, y las que parten de la función de transferencia global del sistema. En este texto utilizaremos la técnica que toma como punto de partida la función de transferencia del sistema, ya que esta es la forma más sencilla. Los pasos para llegar a la representación son los siguientes: 1. Expresar la función de transferencia en potencias Negativas. ( ) ( ) ( ) En esta función de transferencia la condición de realizabilidad es m>n; es decir que el grado del denominador es mayor que el grado den numerador. Y se dese llevar esta función de transferencia a la forma (

)

( (

) )

Para lograrlo se debe factorizar la mayor potencia de S y dividir por la mayor potencia negativa de S. [75]

2. El coeficiente del término independiente en el denominador debe ser unitario. Es decir que la función de transferencia debe ser expresada de la siguiente manera: (

)

( (

) )

3. Se aplica Mason a la inversa donde n corresponde al número de ramas y m corresponde al número de ciclos de . El numerador está compuesto por las trayectorias y se pueden obtener 2 diagramas de simulación a saber que son el directo y el dual.

4. Definir las variables de estado. nEn este paso a la salida de cada rama integradora; aquellas que tienen una transconductancia de valor ; se define una variable de estado ,m esto quiere decir que el número de variables de estado es igual a m y no importa el orden en que se tomen. Luego no existe unicidad en las variables de estado, por conveniencia se definirán de la salida hacia la entrada. 5. Obtención de la forma canónica. En la entrada de cada rama se obtiene una ecuación de estado y para cada salida se obtiene una ecuación de salida.

4.2.2. ESPACIO ESTADO: Es un espacio N dimensionado, es decir, está representado por n ejes, cada uno identificado por una variable de estado y el estado del sistema se visualiza por una Trayectoria.

[76]

Obtención de la Representación de Estado:

Hay 4 formas de la obtención de representación de Estado. 1. A partir del sistema o Circuito. 2. A partir de la ecuación o conjunto de ecuaciones diferenciales. 3. A partir de las funciones de Transferencia. 4. A partir del diagrama de bloque.

1. A partir del sistema o Circuito. : Existen 2 formas –Circuito análogo-directo --Circuito real. Se definen como variables de estado las magnitudes almacenadas en forma de energía por los diferentes elementos o componentes del sistema. 2. Ecuaciones diferenciales: El N° de variables de estado es igual al orden de la ecuación diferencial. Definición Variable Estado: Se define la respuesta y sus derivadas hasta la derivada n -e sima, como una variable de estado.

4.2.3. OBTENCIÓN DE LAS ECUACIONES DE ESTADO: De la definición de sus variables de estado, se obtiene n-1, variables de estado. La n-e sima ecuación de estado; se obtiene a partir de la ecuación original, despejando la derivada de orden más alto con coeficiente unitario y reemplazando las respectivas variables de estado.

[77]

4.2.4. OBTENCION DE LA REPRESENTACION DE ESTADO A PARTIR DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA. 1. Llevar a expresar la función de transferencia en potencias negativas. 2. Obtener un diagrama de flujo a partir de función de transferencia. 3. Definición de las variables de estado variable de estado.

en la salida de cada rama con Transmitancia

, define una

Obtención de las Ecuaciones de Estado: En el nodo de entrada de cada rama con función de Transferencia En la salida de cada rama con Transmitancia

, se obtiene una ecuación de estado.

, se define una variable de estado.

4.4. ANALISIS ESPACIO DEL ESTADO: Características: 

Estabilidad.



Controlabilidad.



Observabilidad.

4.4.1. ESTABILIDAD: La estabilidad en el análisis de estado. Se analiza con el determinante 1. Se hallan los polos. 2. Analizar que los polos estén en el SPI

4.4.2. CONTROLABILIDAD: La controlabilidad es la característica del espacio de estado que nos permite conociendo la entrada y el estado de un sistema en un tiempo t=0, determinar o predecir el estado del sistema en un tiempo

5.4.3. OBSERVABILIDAD: Es la característica que nos permite conociendo el estado establecer el estado del sistema en

.

Análisis de Controlabilidad: Mediante la controlabilidad se puede analizar: [78]

y la entrada del sistema en un tiempo

1. A partir de la matriz de controlabilidad.

Se dice que un Sistema es controlable, si la matriz de controlabilidad es de rango igual=n, donde n representa el N° de variables de estado. ; Para qué sistema sea controlable.

OBSERVABILIDAD: Se dice que el sistema es observable si la matriz de observabilidad filas linealmente independientes.

es mínimo rango de n , es decir si existe n

2. A partir de la función de la matriz de diferencia, decimos que el sistema es completamente observable.

Ejemplo:

Obsérvese que la última fila de la Matriz corresponde a los coeficientes del denominador cambiando los signos.

Analisis de estabilidad: [79]

. Mismo polinomio de la funcion de Transferencia; Aplicando Criterio de Routh—Hotwiz, se tiene que el ‗Sistema Inestable‘.

Análisis de Controlabilidad.

; A que La Matriz de Contrabilidad es de rango iguala ‗n‘.

ANALISIS DE OBSERVABILIDAD:

[80]

ANEXO-INTRODUCCION AL SIMULINK. Introducción a SIMULINK. Para conocer las posibilidades básicas de Simulink se muestra Siguiente tutorial pasando por todos los puntos. 1. Simulink es un programa de simulación tanto continua como discreta que se encuentra en el entorno MATLAB. Por tanto para acceder a él basta con invocarlo desde la ventana de comandos de MATLAB, por supuesto asegurándose antes de encontrarse en el directorio de trabajo.

2. Una vez hecho esto aparece la ventana de SIMULINK que tiene el siguiente aspecto:

[81]

3. Lo primero que se debe hacer es abrirse una ventana de trabajo que puede ser nueva o existir previamente. Para el caso de que se desee crear un nuevo trabajo se procede como se indica en la figura.

4. Con lo que obtendremos una ventana vacía como la siguiente:

5. Lo primero que podemos necesitar es una fuente de señal, luego seleccionamos las fuentes (Sources) en la ventana de SIMULINK. 6. Con esto aparecerán otra ventana con todas las fuentes de señal disponibles .En este ejemplo se selecciona con el ratón el generador de señales genérico y se arrastra hasta situarlo sobre la ventana de trabajo. [82]

7. Para poder ver la señal recurriremos a un sumidero de señal (Sinks) que seleccionaremos en la ventana de SIMULINK. 8. Igual que antes aparecerá una ventana con todos los sumideros disponibles, de la que seleccionaremos el visor (Scope) y lo arrastraremos con el ratón hasta la ventana de trabajo.

[83]

9. Ya únicamente falta unir la fuente con el sumidero, lo que se hace pulsando con el ratón sobre la pequeña flecha de salida del bloque inicial y arrastrando hasta la fecha de llegada del bloque destino.

10. Para realizar la simulación es necesario definir unos parámetros mínimos como son el intervalo de tiempo y el error admisible.

[84]

11. Además existen otros parámetros como el método de integración a utilizar y los pasos de integración. Parámetros que se pueden definir cómodamente en la ventana correspondiente.

12. Para ejecutar la simulación desplegar Simulation y Start. Ver el resultado de la simulación en el scope.

[85]

BIBLIOGRAFIA: 1. Dinámica de Sistemas. Katsuhiko Ogata. Pretince hall. 2. Ingeniería de Control Moderna. Katsuhiko Ogata. Pretince hall. 3. Dinámica y sistemas de control.

[86]