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• Fredy Bal

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Sistema de tres ecuaciones con tres variables La ecuación lineal general con tres incógnitas es de la forma:

Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas está dado por la forma:

El siguiente sistema es un ejemplo de sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Existen varios métodos para resolver sistema de tres ecuaciones. Veamos Método por sustitución: Se despaja una variable de una de las ecuaciones, si es posible una que tenga coeficiente unidad para evitar denominadores. Despejamos la x de la primera ecuación.

Sustituimos la expresión anterior en las otras ecuaciones del sistema, agrupamos términos y obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Resolvemos el sistema de ecuaciones por cualquier método. El de igualación por ejemplo.. Despejamos la z de ambas ecuaciones y las igualamos:

Calculamos el valor de z, sustituyendo el valor de “y”, en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores.

Sustituimos los dos valores obtenidos, en cualquiera de las tres ecuaciones originales. Como habíamos despejamos x, es mejor sustituir esos valores en esta ecuación.

La solución del sistema es x=2 y = -1 z=3 2. Método por reducción Este método consiste en aplicar el mismo procedimiento que el sistema de dos ecuaciones, aplicando algunas operaciones para formar nuevas ecuaciones con una incógnita menos. Veamos el proceso. Resolver el sistema de ecuaciones

Para cuando se tenga coeficientes igual a 1 o -1 en la primera variable, es mejor dejarlo como primera ecuación, ya que resulta más fácil trabajar con esos coeficientes. Así:

Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, multiplicamos por -3 la primera ecuación, luego, sumamos o restamos para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación. Multiplicamos por -5 la primera ecuación para eliminar el término en x.

Tomamos las ecuaciones dos nuevas ecuaciones formando un sistema con dos incógnitas. Aplicamos el método por reducción para eliminar el término en y.

Obtenemos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones y hallamos el valor de y. -2y + 9z = -3 -2y +9(1)= - 3 -2y = -3 -9 -2y = -12 y = -12/-2 y=6 Sustituimos estos dos valores, en cualquiera de las tres ecuaciones iniciales para hallar el valor de x, es mejor utilizar el más cómodo. En este caso la ecuación con coeficientes 1. x+y–z=1 x + 6 −1 = 1 x+5=1 x=1-5 x = −4 La solución del sistema es x = -4, y = 6, z = 1 Comprobamos las respuestas en las ecuaciones originales

3x  2 y  z  1 3(4)  2(6)  (1)  1 12  12  1  11

5x  3 y  4 z  2

x  y  z 1

5(4)  3(6)  4(1)  2

(4)  (6)  (1)  1

20  18  4  2

4  6  1  1

22

11

Otro ejemplo Resolver el sistema

Hacemos reducción en la primera y segunda ecuación. Multiplicamos por -2 la primera ecuación, luego sumamos o restamos para eliminar la variable y.

2 y  4 x  6 z  18 2 y  4 x  5 z  7  z  11 z  11 Hacemos lo mismo con la primera y segunda ecuación. En este caso multiplicamos por 5 la primera ecuación para eliminar la variable y.

5 y  10 x  15 z  45 5 y  6 x  z   1 4 x  14 z  46 Sustituimos el valor de z en la nueva ecuación con dos variables, hallamos el valor de x.

4 x  14 z  46 4 x  14(11)  46 4 x  154  46 4 x  46  154 4 x  200 200 x 4 x  50 Sustituimos estos valores en cualquiera de las tres ecuaciones inciales y hallamos el valor de “y”.

y  2 x  3 z  9 y  2(50)  3(11)  9 y  100  33  9 y  9  133 y  124

Sustituimos los valores en las ecuaciones para comprobar si la igualdad permanece.

y  2 x  3z  9

2 y  4 x  5 z  7

124  2(50)  3(11)  9

2(124)  4(50)  5(11)  7

124  100  33  9

248  200  55  7

9  9

7  7