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• roberto jaramillo umbo

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INTRODUCCION Las matemáticas financieras como su nombre lo indica es la aplicación de la matemática a las finanzas centrándose en el estudio del valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. El dinero y el tiempo son dos factores que se encuentran muy estrechamente ligados con la vida de las personas y los negocios. Cuando se generan excedentes de efectivo, se ahorran durante un periodo determinado a fin de ganar un interés que aumente el capital original disponible; en otras ocasiones, en cambio, se tiene la necesidad de recursos financieros durante un tiempo y se debe pagar un interés por su uso. En periodos cortos por lo general se utiliza el interés simple. En periodos largos, sin embargo, se utilizará casi exclusivamente el interés compuesto.

OBEJETIVOS: 1. Conocer los elementos y construir el modelo matemático para los distintos casos de Interés Simple e Interés Compuesto. 2. Utilizar la fórmula de Interés simple e Interés Compuesto para resolver problemas. 3. Conocer los diferentes tipos de capitalización en Interés Compuesto, así como obtener la tasa de interés y los períodos para cada caso 4. Determinar los cálculos del valor anual y relacionar alternativas mediantes el método del valor anual 5. Identificar y manejar los diferentes factores que interviene en las anualidades.

INTERES SIMPLE El interés simple se refiere a los intereses que produce un capital inicial en un período de tiempo, el cual no se acumula al capital para producir los intereses del siguiente período; concluyéndose que el interés simple generado o pagado por el capital invertido o prestado será igual en todos los períodos de la inversión o préstamo mientras la tasa de interés y el plazo no cambien. CARACTERISTICAS:  En el interés simple el capital inicial se mantiene igual durante toda la operación  El interés siempre será el mismo para cada uno de los períodos de la operación.  Se calcula sobre el capital inicial. MONTO SIMPLE: Es el valor final resultado de adicionar el interés generado de la operación al capital primario. ELEMENTOS Y ECUACION DEL INTERES SIMPLE y MONTO SIMPLE: Son 4 los elementos que nos ayudaran a entender y saber la forma correcta de utilizar en cierta medida del interés imple, esto son los siguientes:  c: esta letra simboliza el capital o el monto principal.  t: representa la cantidad de tiempo el cual implica la cantidad o el periodo de tiempo durante el cual el dinero se nos va a prestar  i: esta letra se refiere a la tasa de interés.  M: la letra M representa el monto.

I  c i t

M cI EJEMPLOS: 1. Un industrial obtiene un préstamo de $ 15.000, al 23% anual por el lapso de 5 años. Calcular el monto a la finalización de este tiempo.

c=$1.500

i=23%anual=0.23 anual

t=5 años

M =?

I = 1500 ´ 0.23 ´ 5 I = 1725

M = c+ I M = 1500 + 1725 M = $3225

2. Se hizo un préstamo de $ 4.500, por el lapso de 5 meses y 10 días al 31% anual, se pide calcular el monto y el Interés Simple.

c=$4500

i=0.31anual

t=5 meses y 10 dias = 160dias

I = 4500 ´ 160 ´

0.31 360

I = 620

I= ?

M =?

M = c+ I M = 4500 + 620 M = $5120

3. Se hizo un préstamo de $ 6.300, al 12 ½% de interés semestral al cabo de cierto tiempo se transformó en $ 8.750, calcular el tiempo que duró la operación.

c=$6300 t=?

i=0.125 semestral

M =$8750

M- c c´ i 8750 - 6300 t= 0.125 6300 ´ 180 t = 560 dias = 1 año,6 meses y 2 dias

t=

4. ¿Cuánto tiempo tardarán $ 8.048, en convertirse en $ 20.000, al 25% anual?

c=$8048 i=0.25anual t=? M =$20000

20000 - 8048 8048 ´ 0.25 t = 5.94 = 5 años 338 dias

t=

VALOR ACTUALEN INTERES SIMPLE El valor presente de un importe con vencimiento en una fecha futura, es aquel principal que a una tasa dada alcanzara en el periodo de tiempo contando hasta la fecha de vencimiento, un importe igual a su valor futuro.

VA =

M 1+ i ´ t

ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTE A INTERÉS SIMPLE Dos o más importes de dinero ubicados en diferentes momentos de tiempo son equivalentes cuando sus valores presentes calculados con una misma tasa de interés, son iguales. Si dichos importes coinciden cronológicamente y están expresados en la misma unidad monetaria, entonces, en ese punto del tiempo podrán sumarse o restarse. En el interés simple, si dos importes son equivalentes en el presente, no necesariamente son equivalentes en otro momento, tal como sí ocurre con el interés compuesto.

EJEMPLOS 1. Encontrar el capital que impuesto a una tasa de interés simple mensual del 3% durante 87 días, ha producido un monto de S/. 500.

VA = ? i = 0.03 t = 87dias = 2.9 meses M = 500

500 1+ 0.03 ´ 2.9 VA = $459.98

VA =

2. Determinar si los importes de S/. 540 y 570 al final de los meses 4 y 7 respectivamente son equivalentes en el presente. Utilice una tasa de interés simple anual del 24%.

540 1+ 0.02 ´ 4 VA = $500

VA =

570 1+ 0.02 ´ 7 VA = $500 VA =

S, y S2 son equivalentes en el momento 0 porque sus valores futuros descontados a la tasa de interés simple del 24% anual originan un mismo valor presente de S/. 500.

Para el cálculo de equivalencias de capitales a interés simple es necesario fijar una fecha focal (fecha de evaluación) y plantear una ecuación de equivalencia donde se pongan en igualdad las condiciones originales y las nuevas condiciones, y luego despejar la incógnita planteada. EJEMPLOS: 1. El señor Silva tomó en préstamo S/. 5 000 para devolverlos dentro de 180 días pagando una tasa de interés simple mensual del 2,5%. Si durante dicho período paga S/. 2 000 el día 35 y 1 000 el día 98, ¿cuánto deberá pagar el día 180 para cancelar su deuda: a) Procesando los abonos el mismo día. b) tomando como fecha focal el día 180? Solución:

a) Procesando los abonos el mismo día.

Con esta metodología se capitaliza el interés simple hasta el día del primer abono anticipado; sin embargo, este procedimiento no es correcto porque la capitalización simple (adición del interés al principal), debe efectuarse únicamente al final del plazo pactado; cualquier capitalización anticipada produce un incremento de la tasa simple anunciada. b) Ecuación de valor equivalente tomando como fecha focal el día 180

5000[1+ 0.025 ´

180 145 82 ] = 2000 ´ [1+ 0.025 ´ ] + 1000[1+ 0.025 ´ ]+ X 30 30 30 5750 = 3310 + X

X = $2440 Total de pagos efectuados: 2000 + 1000 + 2440 = 5440

INTERES COMPUESTO El interés compuesto es el proceso mediante el cual el interés generado por un capital en una unidad de tiempo, se capitaliza, es decir se adiciona al capital anterior, formando un nuevo capital, el mismo que genera un nuevo interés en la siguiente unidad de tiempo y así sucesivamente durante el plazo pactado, experimentando al final de cada unidad de tiempo un crecimiento geométrico. Para el cálculo del interés compuesto es necesario tener en consideración: a) b) c) d)

La tasa nominal (j). La tasa efectiva (i). El número de días del periodo capitalizable (F). El número de períodos de capitalización en el año (m), el cual se halla dividiendo el número de días del año bancario por (F) e) El horizonte de tiempo (H): número de días de la operación f) Número de periodos de capitalización en el horizonte temporal (I), el cual está dado por el cociente (H/F)

MONTO Si tenemos un capital “c” que gana una tasa “i” por periodos de tiempo durante “t” periodos capitalizables, tendríamos al final del horizonte temporal el monto siguiente:

M = c(1+ i)t EJEMPLOS 1. Calcule el monto de un capital inicial dé S/. 1 000 colocado durante 4 años a una tasa efectiva anual del 18%.

M= ? c = 1000 t= 4 i = 0.18

M = c(1+ i)t M = 1000(1+ 0.18)4 M = $1938.78

2. Calcule el monto de un depósito inicial de S/. 2 000 colocado durante 5 meses en un banco que paga una tasa efectiva mensual del 4%.

M= ? c = 2000 t= 5 i = 0.04

M = c(1+ i)t M = 2000(1+ 0.04)5 M = $2433.31

ANUALIDADES Una anualidad es un conjunto de dos o más flujos, en el que a partir del segundo, los períodos de tiempo comprendido entre un flujo y el anterior son uniformes. Este período uniforme de tiempo: período de renta, no es necesariamente un año, sino un intervalo de tiempo fijo, por ejemplo día, quincena, mes, trimestre, etc. Ejemplos:       

los sueldos dividendos depreciaciones amortizaciones pensiones de enseñanza pensiones de jubilación primas de seguros

ANUALIDAD VENCIDA Es aquella en la cual los pagos se hacen al final de cada periodo, por ejemplo el pago de salarios a los empleados, ya que primero se realiza el trabajo y luego se realiza el pago.

MONTO: M =

R[(1+ i)t - 1] i

VALOR ACTUAL: VA =

R[1- (1+ i)- t ] i

EJEMPLOS: 1. ¿Qué monto se acumulará en una cuenta de ahorros, si a fin de mes y durante 4 meses consecutivos se depositó S/. 100 por los cuales se percibe una TNA del 24% capitalizable mensualmente?

S = R ´ FCS0.02;4 (1+ 0.02)4 - 1 S = 100[ ] = 442.16 0.02 2. Actualmente, la empresa Sara S.A. decide cancelar las 4 últimas cuotas fijas insolutas de un préstamo contraído con una entidad financiera, ascendente cada una a S/. 500; las mismas que vencerán dentro de 30, 60, 90 y 120, días respectivamente.' ¿Qué importe deberá cancelar hoy si la TEM es del 5%?

S = R ´ FAS0.05;4 S = 500[

(1+ 0.05)4 - 1 ] = 1772.98 0.05(1+ 0.05)4

ANUALIDADES ANTICIPADAS Una anualidad anticipada es una sucesión de rentas que empiezan en el momento 0, a inicios del período de renta, como sucede en el pago de alquileres, en las compras a plazos cuando debe darse una cuota inicial, en las pólizas de seguros, en las pensiones de enseñanza, etc. La diferencia entre una anualidad simple vencida y una anualidad simple anticipada, dado un número igual de rentas, radica en que en la anualidad vencida la última renta no percibe interés porque coincide con el término del plazo de la anualidad, mientras que en la anualidad anticipada la última renta no coincide con el final del plazo de la anualidad, ubicándose al inicio del último período de renta y percibiendo el interés o beneficio hasta el final del período, fecha en que concluye el plazo de la anualidad.

Conociendo una renta vencida R, la renta anticipada o imposición Ra puede calcularse descontando a aquélla un período de renta con la tasa efectiva de ese período.

VALOR ACTUAL : VA = Ra(1+ i)FASi ,t RENTA ANTICIPADA : log[ TIEMPO :

t=

Ra(1+ i) = M [

i ] (1+ i)t - 1

M´ i + 1] Ra(1+ i) log(1+ i)

EJEMPLOS 1. Calcule el importe de la imposición mensual que al cabo de 4 meses permitirán acumular S/. 5 000 ganando una TEM del 3%

Ra(1+ i ) = M ´ FDFA0.03,4 Ra(1.03) = 5000[0.2390] Ra = 1160.33 2. ¿Qué monto se acumulará al término del cuarto mes, si hoy y durante 3 meses consecutivos se depositan S/. 100 en una cuenta de ahorros percibiendo una TNA del 2% con capitalización mensual?

M = Ra(1+ i)FCS0.02,4 M = 100(1.02)[4.1216] M = 420.40

BIBLIOGRAFIA 1. Álvarez, A. (2005). Matemáticas financieras. (3a. ed.). Bogotá: Editorial McGrawHill Interamericana. 2. Blank, P. y Tarquin A. (2006). Ingeniería Económica. (6a. ed.). México: McGrawHill Interamericana. 3. Meza, J. (2004). Matemáticas financieras aplicadas: uso de las calculadoras financieras y Excel. (2a. ed.). Bogotá: ECOE Ediciones. 4. Pastor, G. (2004). Matemáticas financieras. México: Editorial Limusa.