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Prof. Marilyn Delgado Bernuí

Sesión 8

UCV

MATEMÁTICA II SESIÓN 8:

ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE UNA FUNCIÓN USANDO DERIVADAS.

    

Crecimiento y decrecimiento de una función Máximos y mínimos de una función Criterio de la primera derivada Aplicación al trazado de gráficas de funciones Optimización

CAPACIDAD DE LA SESIÓN 8  

Grafica funciones usando intervalos de crecimiento y concavidad. Resuelve problemas de optimización

INGENIERÍA INDUSTRIAL 23 de octubre del 2018 Docente: Ms. Marilyn Delgado Bernuí

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En nuestra vida diaria, se nos presenta situaciones en la que nos exigen cada vez hacer las cosas mejor. Por ejemplo gastar menos y producir más. Usar la cantidad suficiente de reactivos químicos para producir más vino. El ingeniero desea usar la menor dosis de insecticidas para curar cierta enfermedad de las plantas.

8.1 Crecimiento y decrecimiento de una función Definición 1 (Función Creciente y Función Decreciente) Sea la función 𝑓: 𝐼 ℝ  ℝ definida en el intervalo 𝐼 de ℝ. La función 𝑓 es creciente en I si dados 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼, 𝑥1 < 𝑥2 , entonces 𝑓 (𝑥1 ) < 𝑓 (𝑥2 ). La función 𝑓 es decreciente en 𝐼 si dados 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼, 𝑥1 < 𝑥2, entonces ( ) ( ) 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2 .

f(x2) f(x1)

f(x1)

f(x2) x1

x2

x2

x1

Fig. 2 Función decreciente

Fig. 1 Función creciente

Teorema 1 Sea 𝑓: 𝐼 ℝ  ℝ una función derivable en el intervalo abierto 𝐼 de ℝ. a. Si 𝑓 ′ (𝑥 ) > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼, entonces la función es creciente en 𝐼. b. Si 𝑓 ′ (𝑥 ) < 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼, entonces la función es decreciente en 𝐼.

Ejemplo 1: Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la 𝑥

función 𝑓 (𝑥 ) = 1+𝑥 2.

Solución Derivando: 𝑓 ′ (𝑥 ) =

(1+𝑥 2 )−𝑥(2𝑥) (1+𝑥 2 )2

1−𝑥 2

= (1+𝑥 2)2 1−𝑥 2

Resolviendo la ecuación

(1+𝑥 2 )2

=0

Obtenemos los puntos críticos: 𝑥1 = 1, 𝑥2 = −1 Ubicando los puntos críticos y el signo de la derivada en la recta:

+

-1

1 Fig.3

Entonces 𝑓 es creciente en , 𝑓 es decreciente en  .

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Ejemplo 2: Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la −𝑥 2 − 2𝑥 + 2, 𝑥≤0 función 𝑓 (𝑥 ) = {|𝑥 − 2|, 0≤𝑥≤4 3, 𝑥>4

Solución 





Derivando en 〈−∞, 0〉: 𝑓 ′ (𝑥 ) = −2𝑥 − 2 𝑓 ′ (𝑥 ) > 0 en 〈−∞, −1〉, por lo que 𝑓(𝑥) creciente en 〈−∞, −1〉. 𝑓 ′ (𝑥 ) < 0 en 〈−1,0〉, por lo que 𝑓(𝑥) decreciente en 〈−1,0〉. Derivando en 〈0,4〉: 𝑓 ′ (𝑥 ) = −1 en 〈0,2〉, por que 𝑓(𝑥) es decreciente en 〈0,2〉. 𝑓 ′ (𝑥 ) = 1 〈2,4〉, por lo que 𝑓(𝑥) es creciente en 〈2,4〉. Derivando en 〈4, ∞〉: 𝑓(𝑥 ) = 0.

es es lo en

Fig.4

Ejemplo 3: Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la 𝑥 + 5, −8 ≤ 𝑥 < 0 función 𝑓 (𝑥 ) = { 0≤𝑥≤6 √𝑥,

Solución  

Derivando en 〈−8,0〉: creciente en 〈−8,0〉. Derivando en 〈0,6〉: decreciente en 〈0,6〉.

𝑓 ′ (𝑥 ) = 1, 𝑓 ′ (𝑥 ) > 0 en 〈−8,0〉, por lo que 𝑓(𝑥) es 1

𝑓 ′ (𝑥 ) = 2 𝑥, 𝑓 ′ (𝑥 ) > 0 en 〈0,6〉, por lo que 𝑓(𝑥) es √

8.2 Máximos y mínimos de una función Definición 2 (Máximos y Mínimos Relativos) Sea 𝑓: 𝐼 ℝ  ℝ una función definida en el intervalo abierto 𝐼 de ℝ. a) Se dice que esta función tiene un máximo relativo(o máximo local) en 𝑥0 ∈ 𝐼, si existe una vecindad de 𝑥0, digamos 〈𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿 〉 para la cual 𝑓 (𝑥0 ) ≥ 𝑓 (𝑥 ) ∀𝑥 ∈ 〈𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿 〉 b) Se dice que esta función tiene un mínimo relativo(o mínimo local) en 𝑥0 ∈ 𝐼, si existe una vecindad de 𝑥0, digamos 〈𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿 〉 para la cual 𝑓 (𝑥0 ) ≤ 𝑓 (𝑥 ) ∀𝑥 ∈ 〈𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿 〉

Fig.6 𝑓(𝑥) tiene un máximo local en 𝑥 = 0 y un mínimo local en 𝑥 = 1

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Criterio de la primera derivada para hallar máximos y mínimos relativos En esta sección, para el estudio de máximos y mínimos se requiere el conocimiento de los puntos críticos. Sea 𝑓: 𝐴ℝ  ℝ una función definida en un subconjunto 𝐴 de ℝ. Se dice que 𝑥0 ∈ 𝐴 es un punto crítico de 𝑓, si 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0 o 𝑓 ′ (𝑥0 ) no existe. La siguiente figura muestra algunos puntos críticos de una función:

x2 x3 x1 Fig. 7 los puntos 𝑥1 , 𝑥2 y 𝑥3 son puntos críticos

Fig. 8 los puntos 0, 2 y 3 son puntos críticos

Se llama Criterio de la primera derivada al método utilizado en el cálculo matemático para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.

Teorema 2. Criterio de la primera derivada Sea 𝑥0 un punto crítico de 𝑦 = 𝑓(𝑥). 1) Si 𝑓 ′ (𝑥) cambia de signo + a signo – en 〈𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿 〉, entonces 𝑓(𝑥) tiene un máximo local en 𝑥0. 2) Si 𝑓 ′ (𝑥) cambia de signo - a signo + en 〈𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿 〉, entonces 𝑓(𝑥) tiene un mínimo local en 𝑥0. 3) Si 𝑓 ′ (𝑥) no cambia de signo en 〈𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿 〉, entonces 𝑓(𝑥) no tiene un extremo local en 𝑥0. f(x0)

f/(x)0

f/(x)0

f(x0) ( x0-

x0

)

x0 + 

( x0-

x0

Fig. 9 Criterio de la primera derivada para hallar extremos locales

)

x0+

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Ejemplo 5 Determine los extremos locales de 𝑓(𝑥 ) = 2𝑥 2 + 8𝑥 + 5. Solución Hallamos primero Resolver

𝑓 ′ (𝑥 ) = 4𝑥 + 8

𝑓 ′ (𝑥 ) = 0 = 4𝑥 + 8 

𝑥 = −2

Analizamos el signo de la derivada alrededor del punto crítico: 𝑥 = −2:

-

+ -2

Entonces 𝑓(𝑥) tiene un mínimo local en 𝑥 = −2

y es 𝑓 (−2) = −3. (Fig. 10)

Fig. 10

Ejemplo 6 Determine los extremos locales de 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 2𝑒 𝑥 . Solución Hallamos primero 𝑓 ′ (𝑥 ) = 𝑥 2 𝑒 𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑥 Resolver

𝑓 ′ (𝑥 ) = 𝑥 2 𝑒 𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑥 = 0 = 𝑥𝑒 𝑥 (𝑥 + 2)  𝑥 = −2, 𝑥 = 0.

Analizamos el signo de la derivada 𝑓 ′ (𝑥) alrededor de 𝑥 = −2, 𝑥 = 0:

-

+ -2

+ 0

Entonces 𝑓(𝑥) tiene un máximo local en 𝑥 = −2 y es 𝑓 (−2) = 4𝑒 −2 . 𝑓(𝑥) tiene un mínimo local en 𝑥 = 0 y es 𝑓(0) = 0 (Fig 11)

Fig. 11

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Ejemplo 7 Determine los extremos locales de 𝑓(𝑥 ) = 𝑥𝑙𝑛𝑥 − 𝑥. Solución Hallamos primero 𝑓 ′ (𝑥 ) = 𝑙𝑛𝑥 Resolver 𝑓 ′ (𝑥 ) = 0 = 𝑙𝑛𝑥  𝑥 = 1 Analizamos el signo de la derivada 𝑓 ′ (𝑥) alrededor de 𝑥 = 1:

-

+ 1

Entonces 𝑓(𝑥) tiene un mínimo local en 𝑥 = 1

y es 𝑓 (1) = −1 Fig. 12

Fig. 12

8.3 Concavidad y puntos de inflexión

Fig. 13 Una curva cóncava hacia arriba y otra curva cóncava hacia abajo

Definición 3 Sea 𝑓: 𝐼 ℝ  ℝ una función derivable en el intervalo abierto 𝐼 de ℝ. a) Se dice que la gráfica de 𝑓(𝑥) es cóncava hacia arriba si 𝑓 ′ (𝑥) es creciente en 𝐼. b) Se dice que la gráfica de 𝑓(𝑥) es cóncava hacia abajo si 𝑓 ′ (𝑥) es decreciente en 𝐼.

Teorema 3 𝑓: 𝐼 ℝ  ℝ, función dos veces derivable en el intervalo abierto 𝐼 de ℝ. a) Se dice que la gráfica de 𝑓(𝑥) es cóncava hacia arriba si 𝑓 ′′ (𝑥 ) > 0 en 𝐼. b) Se dice que la gráfica de 𝑓(𝑥) es cóncava hacia abajo si 𝑓 ′′ (𝑥 ) < 0 en 𝐼.

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Ejemplo 8. Se muestra la gráfica 14, de la segunda derivada 𝑓 ′′ de una función 𝑓. En qué intervalo la función 𝑓 es cóncava hacia arriba y en que intervalo es cóncava hacia abajo.

Fig. 14

Solución Según el teorema 1, 𝑓(𝑥) es cóncava hacia arriba en 〈0,1〉 ∪ 〈3, 4〉 y cóncava hacia abajo en 〈1,2〉 ∪ 〈2, 3〉.

Definición 4 ( Punto de Inflexión ) El punto (𝑐, 𝑓(𝑐)) es un punto de inflexión de la gráfica de la función 𝑓 si la gráfica tiene una recta tangente en ese punto, y si existe un intervalo abierto 𝐼 que contiene a 𝑐 tal que si 𝑥 está en 𝐼, entonces: i) 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 si 𝑥 < 𝑐 y 𝑓 ′′ (𝑥 ) > 0 si 𝑥 > 𝑐; o ′′ ( ) ii)𝑓 𝑥 > 0 si 𝑥 < 𝑐 y 𝑓 ′′ (𝑥 ) < 0 si 𝑥 > 𝑐.

Fig. 15 El punto (1,2) es punto de inflexión

Ejemplo 9 Determine el sentido de concavidad de la gráfica de la función 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 6 + 𝑥 4 + 5𝑥 2 + 7.

Solución Derivando sucesivamente: 𝑓 ′ (𝑥 ) = 6𝑥 5 + 4𝑥 3 + 10𝑥 𝑓 ′′ (𝑥 ) = 30𝑥 4 + 12𝑥 2 + 10 ′′ ( ) Vemos que 𝑓 𝑥 > 0 en todo ℝ, entonces diremos que la gráfica de 𝑓(𝑥) es cóncava hacia arriba en todo ℝ. Ver Fig. 16.

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Fig. 16 La gráfica de f(x) es cóncava hacia arriba en todo ℝ.

Ejemplo 10 Suponga que 𝑡 horas después de iniciar un trabajo a las 7 am. un obrero, en una línea de ensamble, ha realizado una tarea particular de 𝑓(𝑡) unidades donde 𝑓 (𝑡) = 21𝑡 + 9𝑡 2 − 𝑡 3, 0 ≤ 𝑡 ≤ 5. Determine los intervalos de concavidad y su punto de inflexión.

Solución Derivando sucesivamente: 𝑓 ′ (𝑡) = −3𝑡 2 + 18𝑡 + 21 𝑓 ′′ (𝑡) = −6𝑡 + 18 De −6𝑡 + 18 > 0, obtenemos que 𝑓 es cóncava hacia arriba en . De −6𝑡 + 18 < 0, obtenemos que 𝑓 es cóncava hacia abajo en . Resolviendo la ecuación −6𝑡 + 18 = 0, 𝑡 = 3 y su punto de inflexión es (3,117).

Fig. 17

8.4 Optimización En esta sección resolveremos problemas como los de maximizar áreas, volúmenes y utilidad, y minimizar tiempos, costos, etc. Antes de presentar los problemas de optimización, daremos algunos pasos a tener en cuenta para resolverlos.

Pasos para la resolución de problemas de optimización 1. Comprenda el problema: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son las cantidades dadas? ¿Cuáles son las condiciones dadas? 2. Dibuje un diagrama: identificando las cantidades dadas y requeridas. 3. Introduzca notación: Simbolice todas las variables. 4. Expresar una ecuación que involucre la variable a optimizar y las demás variables dependientes. 5. Aplicar los métodos dados anteriormente: Criterio de la primera derivada o el criterio de la segunda derivada, para hallar los valores máximos o mínimos.

Ejemplo 11. Un granjero tiene 3600 metros de cerca y desea cercar un campo rectangular que limita con un río recto. No necesita cercar a lo largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones del campo que tiene el área más grande?

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Solución Algunas posibilidades particulares, vistas gráficamente:

400

2400 1600 3000

1600

600

600 300

300

Area=300×3000=900000

Area=600×2400=1440000

Area=1500×600=640000

En la siguiente figura, se ilustra el caso general, y A

x

x

Para aplicar el 2do criterio, hallamos la segunda derivada: 𝐴,, = 4 Por lo tanto en 𝑥 = 900,𝑦 = 1800, hay un área máxima.

Obtenemos las ecuaciones: 𝐴 = 𝑥𝑦 2𝑥 + 𝑦 = 3600 Entonces 𝐴 = 𝑥(3600 − 2𝑥 ) 𝐴′ = −4𝑥 + 3600 𝑥 = 900 (punto crítico)

Area= xy

Ejemplo 12. Se va a fabricar una lata de forma cilíndrica de capacidad de 2 litros de aceite. ¿Cuáles son las dimensiones de la lata que minimizan los costos del metal?

Solución Dibujando la lata cilíndrica, tenemos:

h

r

Donde 𝑟 es el radio y ℎ la altura (ambos en cm). Para minimizar el costo del metal, se debe minimizar el área de la superficie total del tarro. 𝐴 = 2𝜋𝑟 2 + 2𝜋𝑟ℎ (1) Como la capacidad del tarro es 2000cm3, tenemos: 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ = 2000 De (2) en (1), 4000 𝑉 = 2𝜋𝑟 2 + 𝑟

r

2000

Area=2(𝜋𝑟 2 )

Area=(2𝜋𝑟)ℎ

10

(2)

𝑉´ = 4𝜋𝑟 − 𝑟 2 = 0, 𝑟 = 3 (punto crítico) √𝜋 do Para aplicar el 2 criterio, hallamos la segunda derivada: 4000 𝑉´´ = 4𝜋 + 3 > 0 𝑟 10 Por lo tanto en 𝑟 = 3 , hay un mínimo. √𝜋

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Ejemplo 13. Encuentre el punto sobre la parábola 𝑦 2 = 4𝑥 más cercano al punto (1,3)

Solución (1,3)

La distancia entre el punto (1,3) y el punto (𝑥, 𝑦) es

𝑦 2 = 4𝑥 (x,y)

𝑑 = √(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2

(1)

Como (𝑥, 𝑦) está en la parábola, entonces 𝑦 2 = 4𝑥

(2)

Reemplazando (2) en (1), obtenemos: 2

𝑑 = √( Minimizar 𝑑 2 = 𝑓 (𝑦) = (

𝑦2 4

𝑦2 − 1) + (𝑦 − 3)2 4

2

− 1) + (𝑦 − 3)2 𝑓´(𝑦) =

𝑦3 4

+ 𝑦 − 6 = 0,

𝑦 = 2.42 3

criterio, hallamos la segunda derivada: 𝑓´´(𝑦) = 4 𝑦 2 + 1 > 0 Entonces en 𝑦 = 2.42 hay un mínimo, y el punto buscado es (1.472, 2.42). Para aplicar el

2do

Ejemplo 14. Una tienda ha vendido 40 TV Plasma a la semana, a S/1100 cada una. Un analista indica que por cada S/10 de descuento que se ofrezca a los compradores, el número de aparatos vendidos se incrementa en 6 por semana. Encuentre las funciones de demanda y de ingreso. ¿Qué tan grande debe ser la rebaja para maximizar el ingreso?

Solución Formamos la función de manda: 𝑝(𝑥 ) = 1100 − La función de ingreso es

10 3500 5 (𝑥 − 40) = − 𝑥 6 3 3

𝑅(𝑥 ) = 𝑥𝑝(𝑥 ) = 𝑅´(𝑥 ) =

3500 3

−

10 3

𝑥 = 0, entonces

3500𝑥 5 2 − 𝑥 3 3

𝑥 = 350. −10

Para aplicar el segundo criterio, hallamos 𝑅´´ = 3 < 0. Por lo tanto 𝑥 = 350, se tiene un máximo ingreso. Y el precio correspondiente es 3500 5 𝑝(350) = − (350) = 583.3 3 3

cuando

y el descuento es 1100-583.3=516.5. Por lo tanto para maximizar el ingreso se debe hacer un descuento de S/516.5.

Ejemplo 5. La cantidad (en mg de carbón/m3/h) en que se lleva a cabo la fotosíntesis de una especie de fitoplancton se diseña mediante la función 100𝐼 𝑃= 2 𝐼 +𝐼+4 Donde 𝐼 es la intensidad de luz (que se mide en millares de bujía-pie). ¿Para qué intensidad de luz P es máxima?

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Solución Derivando P respecto a I, obtenemos: 𝑑𝑃 400 − 100𝐼2 = = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐼 = 2 𝑑𝐼 (𝐼 2 + 𝐼 + 4)2 𝑑𝑃

Aplicando el primer criterio, como 𝑑𝐼 > 0, para I2, entonces

8.5 LISTA DE EJERCICIOS Del 1-7, determine los puntos críticos y los intervalos de crecimiento o de decrecimiento de la función dada. 1. 𝑓(𝑥 = 3𝑥 3 + 9𝑥 + 4 2. 𝑓(𝑥 ) = 2 + 3(𝑥 − 1)2/3 3. 𝑓(𝑥 ) = 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 − 1 1 4. 𝑓(𝑥 ) = 4 𝑒 4𝑥 + 3𝑒 2𝑥 + 9𝑥 + 1 𝑥2

5.

𝑓(𝑥 ) = (𝑥−5)2

6.

𝑓 (𝑥 ) =

7.

𝑓(𝑥 ) = √𝑥 2 − √𝑥 5

𝑥6 6

+

𝑥4

5

2

− 𝑥2 + 3 3

Del 8-12, usando el Primer Criterio de la primera derivada hallar extremos locales en cada una de las funciones: 8. 𝑓(𝑥 ) = (𝑥 − 2)3 𝑥 9. 𝑓𝑥) = 𝑥 2+3𝑥+4 10. 𝑓(𝑥 ) = 3(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)3 𝑥 11. 𝑓(𝑥 ) = − 2 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥, 𝑥 ≠ 3, 5, 7, 9 5, 𝑥=3 𝑥=5 12. 𝑓(𝑥 ) = −3, 9, 𝑥=7 { 7, 𝑥=9 Del 13-21, determine el sentido de concavidad de la gráfica de la función en el intervalo indicado. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

𝑓 (𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛𝑥, 〈0, 𝜋〉 𝑓(𝑥 ) = 𝑒 2𝑥 , ℝ 𝑥+1 𝑓(𝑥 ) = −𝑥+1 , 〈1, ∞〉 −𝑥−1

𝑓(𝑥 ) = 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥, 〈1, ∞〉 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 2 (2𝑥 4 + 5𝑥 2 + 60), ℝ 1 𝑓(𝑥 ) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 + 2 𝑥𝑙𝑛(1 + 𝑥 2 ) − 𝑥, 1

𝑓(𝑥 ) = 𝑥 2+1 ,

〈

〈0, 𝜋〉

−1 1 2

, 2〉

1

𝑓 (𝑥 ) = (2𝑥 − 4)𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 − (2𝑥 + 1)𝑙𝑛(1 + 𝑥 2 ) + 2 𝑥 2 + 4𝑥, 〈1, 3〉. Si 𝑓 es positiva y cóncava hacia arriba en 𝐼, demuestre que la función 𝑔(𝑥 ) = [𝑓(𝑥)]2 es cóncava hacia arriba en 𝐼. Encuentre dos números cuya diferencia sea 100 y cuyo producto sea mínimo. Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un área de 1000 m2 cuyo perímetro sea lo más pequeño posible. Un modelo aplicado para el rendimiento Y de un cultivo agrícola como una función del nivel de nitrógeno N en el suelo (que se mide en 𝑘𝑁 unidades apropiadas) es 𝑌 = 1+𝑁2

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25.

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Donde k es una constante positiva. ¿Qué nivel de nitrógeno proporciona el mejor rendimiento? Un granjero dispone de 750 metros de cerca y desea un área rectangular y luego dividirlo en cuatro corrales con un cercado paralelo a un lado del rectángulo. ¿Cuál es el área total más grande posible de los cuatro corrales? Determine el punto en la recta 𝑦 = 4𝑥 + 7 que está más cerca del origen. Halle los puntos sobre la elipse 4𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 que se encuentra más lejos del punto (1,0). Los márgenes superior e inferior de un poster mide 6 cm y los márgenes laterales miden 4 cm. Si el área impresa del poster se fija en 384 cm2, determine las dimensiones del poster cuya área sea la mínima. Para un pez que nada con una rapidez v con relación al agua, el consumo de energía por unidad de tiempo es proporcional a 𝑣 3 . Se cree que el pez migratorio trata de minimizar la energía total requerida para nadar una distancia fija. Si nada contra una corriente 𝑢 (𝑢 < 𝑣), el tiempo 𝐿 requerido para nadar una distancia 𝐿 es 𝑣−𝑢 y la energía total 𝐸 𝐿

necesaria para nadar la distancia se expresa por medio de 𝐸 (𝑣) = 𝑎𝑣 3 . 𝑣−𝑢, donde 𝑎 es la constante de proporcionalidad. a) Determine el valor de 𝑣 que minimice 𝐸. b) Grafique 𝐸.