• Author / Uploaded
• Renzo Chahua Calderón

Citation preview

SEPARATA DEL CURSO DE GEOESTADÍSTICA APLICADA AREQUIPA 2011 Profesor: Reynaldo Canahua Loza 1. INTRODUCCIÓN

La Geoestadística aporta una herramienta denominada Variograma, el cual tiene aplicaciones en las ciencias geológicas y múltiples aplicaciones en otras disciplinas. La Geoestadística fue desarrollada y presentada por George Matheron en la década de los 60 del siglo XX. En efecto la Geoestadística considera que las variables regionalizadas están modeladas en un espacio de variables aleatorias reales L2

sobre un espacio de probabilidades

Representación de la variable regionalizada en el espacio. En la que se define la función Variograma:

o 1

Y una extensión del Variograma denominado Variograma Cruzado que relaciona dos variables:

En esta pequeña divulgación el objetivo es presentar el Variograma y su extensión Variograma Cruzado mediante algoritmos aritméticos simples, a través de ejemplos, haciendo ver su aporte como herramienta de trabajo en la geología de minas, de petróleo, etc. Aporte que consiste en dar cuenta del aspecto estructural del fenómeno estudiado, aspecto estructural no contemplado por la estadística descriptiva.

2. APLICACIÓN EN LA DIFERENCIACIÓN DE DOS FENÓMENOS 2.1 En una línea de muestreo de la zona A, tenemos los siguientes valores de la variable regionalizada de plomo en ppm.

Realizamos un análisis estadístico básico. x=

a) Media aritmética:

b) La varianza:

σ2 =

5 +1 + 6 + 2 + 4 = 3 .6 5

( 5 − 3.6) 2 + (1 − 3.6) 2 + ( 6 − 3.6) 2 + ( 2 − 3.6) 2 + ( 4 − 3.6) 2 5

σ 2 = 3.44

c) El coeficiente de variación:

cv =

Desviación _ típica σ 3.44 1.85 = = = = 0.52 Media x 3.6 3 .6

2

d) Histograma

2.2 En otra línea de muestreo en la zona B, tenemos los mismos valores de la variable regionalizada de plomo en ppm, pero dispuesto de la siguiente forma; es decir, un fenómeno estructuralmente muy diferente, a pesar de tener los mismos valores de leyes.

Obtenemos la media aritmética, la varianza, el coeficiente de variación y el histograma, y vemos que da los mismos resultados que los obtenidos en la Zona A. Es decir que con esta estadística descriptiva no logramos diferenciar dos fenómenos totalmente diferentes.

2.3 Ahora procedemos a construir los Variogramas de la Zona A y B 3

γ (1) =

( 5 −1) 2 + (1 − 6) 2 + ( 6 − 2) 2 + ( 2 − 4) 2

4 x2 2 ( 5 − 6) + (1 − 2) 2 + ( 6 − 4) 2 = 1.000 γ (2) = 3x 2 2 ( 5 − 2) + (1 − 4) 2 = 4.500 γ (3) = 2 x2 ( 5 − 4) 2 = 0.500 γ (4) = 1x 2

= 7.625

Graficando el variograma para la zona A.

γ(h)

h

γ (1) =

( 6 − 5) 2 + ( 5 − 4) 2 + ( 4 − 2) 2 + ( 2 − 1) 2

4x2 2 ( 6 − 4) + ( 5 − 2) 2 + ( 4 − 1) 2 = 3.667 γ (2) = 3x2 2 ( 6 − 2) + ( 5 − 1) 2 = 8.000 γ (3) = 2 x2 2 ( 6 − 1) = 12.500 γ (4) = 1x 2

= 0.875

Graficando el variograma para la zona B. 4

γ (h)

h

Como se puede observar el semi-Variograma, que más comúnmente se le denomina variograma, da cuenta de las zonas estructuralmente diferentes. 3.

MODELOS DE VARIOGRAMAS MÁS COMUNES a) Efecto de Pepita Puro γ (h)

h

b) Modelo Esférico o de Matherón

5

c) Modelo de Formery o Exponencial

d) Modelo con efecto “HOLE”

e) Modelo Gaussiano

Es de notar que estos modelos y sus combinaciones no son necesariamente los únicos. 6

4. APLICACIÓN DEL VARIOGRAMA CRUZADO EN EL ESTUDIO DE CORRELACIONES 4.1 Para visualizar esta función, consideremos un ejemplo de una zona de terreno explorado del cual hemos obtenidos valores geoquímicos del Oro y Plata y deseamos estudiar la relación entre los dos valores. Para este efecto aplicaremos el variograma cruzado.

Siendo la formula:

γ AB (h) = E [ Z A ( x) − Z B ( x + h)][ Z B − Z B ( x + h)]∀xR 3 Aplicando:

γ AuAg (1) = γ AuAg

( 5 −1)( 7 − 2) + (1 − 6)( 2 − 8) + ( 6 − 2)( 8 − 3) + ( 2 − 4)( 3 − 5) = 9.25 4 x2

( 5 − 6)( 7 − 8) + (1 − 2)( 2 − 3) + ( 6 − 4)( 8 − 5) = 1.33 ( 2) =

3x2 ( 5 − 2)( 7 − 3) + (1 − 4)( 2 − 5) = 5.25 γ AuAg (3) = 2 x2 ( 5 − 4)( 7 − 5) = 1.00 γ AuAg (4) = 1x 2

Cuya gráfica es la siguiente: γ AuAg (h)

h

7

Observamos que cuando hay una correlación positiva alta entre las variables, el variograma cruzado tiende a tomar valores positivos altos. 4.2 Ahora veamos que pasa en otra zona, donde los valores geoquímicos de la Plata toman otros valores:

Aplicando la fórmula: γ AuAg (1) =

( 5 − 1)(1 − 6) + (1 − 6)( 6 − 2) + ( 6 − 2)( 2 − 5) + ( 2 − 4)( 5 − 1)

4 x2 ( 5 − 6 )(1 − 2 ) + (1 − 2 )( 6 − 5) + ( 6 − 4 )( 2 − 1) γ AuAg (2) = = 0.33 3x 2 ( 5 − 2)(1 − 5) + (1 − 4)( 6 − 1) = −6.75 γ AuAg (3) = 2 x2 ( 5 − 4)(1 − 1) = 0.00 γ AuAg (4) = 1x 2

= −7.63

Con su gráfica: γ AuAg (h)

h

Observamos que cuando hay una correlación negativa alta entre las variables el variograma cruzado tiende a tomar valores negativos altos. Al realizar el análisis estadístico descriptivo de las líneas de muestreo de la Zona A y la Zona B, correspondientes a la variable regionalizada plomo; obtenemos el mismo resultado estadístico; es decir, que este análisis estadístico descriptivo no nos ayuda a 8

dar cuenta del aspecto estructural de estos fenómenos totalmente diferentes. En tanto, al aplicar la función Variograma vemos que sí da cuenta del aspecto estructural de estos fenómenos totalmente diferentes. Por lo que constituye una herramienta de gran utilidad en el tratamiento de variables regionalizadas. Observamos que cuando hay una correlación positiva alta entre las variables regionalizadas, el variograma cruzado tiende a tomar valores positivos altos; mientras que, cuando hay una correlación negativa alta entre las variables, el variograma cruzado tiende a tomar valores negativos altos. Por lo que el variograma cruzado se suma a las herramientas que permiten estudiar la correlación entre variables. 5.

TÉCNICA DEL KRIGING DE MATHERON

Considerando las variables Z(xi) que están cerca de un soporte geométrico a estimar y dentro de su aureola de influencia. Aureola definida por medio de los alcances estimados a partir de un estudio de variogramas. Visualizaremos el procedimiento a partir de la siguiente disposición de las muestras con respecto a un soporte geométrico V.

λ2 z ( x2 )

λ1 z ( x1 )

V

λn z ( xn )

Disposición de muestras con respecto a un soporte geométrico V. 9

Y deseamos estimar la variable Z(x) del soporte geométrico V a partir de las muestras Z(xi). Entonces necesitamos encontrar los pesos para estimar la variable Zv(x0), a partir de: Z V* ( x 0 ) = λ1 Z ( x1 ) + λ2 Z ( x 2 ) + ... + λn Z ( x n )

En el ejemplo que presentaremos a continuación consideremos que estamos en condiciones de aplicar un Krigeage ordinario bajo la hipótesis estacionaria de orden 2, por lo que usaremos el siguiente sistema de ecuaciones.

λβ γ ( vα , v β ) + u = γ ( vα , V ) ∑ β n

∀α = 1 a n

=1

n

λβ = 1 ∑ β =1

Este sistema resultan de minimizar la varianza de estimación sujeta a la condición de universalidad ∑λβ = 1 , que hace que nuestro estimador sea insesgado. β =1

El error cometido en este procedimiento de estimación viene dado por la varianza de Kriging de Matheron siguiente: σk2 = ∑λj γ (v j , V ) + u −γ (V1V )

Ejemplo: A partir de los valores de la potencia de un manto de Hematita en los puntos A y B, se desea estimar la potencia en el punto C. Considerando que la potencia del manto tiene el siguiente modelo de variograma.

γ ( h) =

 3h 1h 3  C − 3   2a 2a 

∀h ∈ [ 0, a ]

C ∀h > a

a = 6m y

C =1

10

Es decir un modelo de Matheron o también denominado esférico. A continuación se muestra la ubicación de las potencias y su orden de magnitud.

Variable regionalizada Potencia en los puntos A y B de un manto de Hematita

Entonces tendremos a partir del sistema de ecuaciones anterior, el siguiente sistema particular:

Reemplazando:

ó

I. II. 11

III.

Restando (I) – (II) :

Ahora tenemos el siguiente sistema: I'. II'.

Sumando (I’) + (II’) :

Reemplazando en (II’) :

En la primera ecuación inicial:

Despejamos:

12

Parámetro auxiliar que será usado posteriormente en la fórmula de la varianza de Kriging de Matheron. Siendo la potencia estimada del manto igual a:

Reemplazamos:

Ahora veamos cuál es el error que se comete en esta estimación, para lo cual particularizamos la fórmula de la varianza de Kriging de Matheron dada anteriormente.

Reemplazando:

Este valor es el error cometido en el proceso de estimación realizado.

13

REFERENCIAS

- Matheron G. (1962, 1963) - Traité de Géostatistique Appliquée. Ed. Technip, Paris VOL. 1; VOL. 2. - Guibal D. (1972) - Simulation de Schémas Intrinsèques. N-291 E.N.S.M.P. - Journel A. (1977) - Géostatistique Miniere, tomo 1 y 2. E.N.S.M.P - Maréchal A., Deraisme J., Journel A., Matheron G. (1978) - Cours de Géostatistique non Linéaire. C-74 E.N.S.M.P. - Marín Suárez A. (1978) - Méthodologie de L'estimation et Simulation Multivariable des Grands Gisements Tridimensionnels. Thèse présentée à I'école Nationale Supérieure des Mines de Paris Para obtener el grado de: Docteur Ingénieur en Sciences et Techniques Minières - Option Géostatistique - Marín Suárez A. (1986) - Modelo Geoestadístico de Filones de Almadén. Ed. Minas de Almadén S.A., Almadén (España). - Remy N., Boucher A., Wu J., Journel A. (2009) - Applied Geostatistics with GSLIB and SGEMS. Ed. Cambridge University Press.

14