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EL PORCENTAJE

1

VEAMOS COMO CALCULAR

EL 30% DE 7,200

ES MUY SENCILLO

RECUERDA

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EL PORCENTAJE EN NUESTRA VIDA DIARIA

En nuestro quehacer de todos los días el porcentaje, el tanto por ciento, el tanto por uno, deberían ser para nosotros herramientas que nos permitan comprender las diversas situaciones de naturaleza comercial, como por ejemplo, cuando uno se dirige a un gran almacén por departamentos, encontramos avisos como “10% más 10%, adicionalmente 5% si paga con su tarjeta “, el IGV (impuesto general a las ventas) 18%, el ITF (impuesto a las transacciones financieras) 0.005%, en los aportes a una AFP (Administradoras de fondos de pensiones) se considera el 12.56% como aporte para el fondo de jubilación, la tasa de interés por un préstamo será el 78% anual, la hora extra a un trabajador se pagará el 25% del valor de la hora por las dos primeras y a partir de la tercera hora 35%, en fin podríamos enumerar un sinfín de casos en los cuales está presente el cálculo porcentual, en los siguientes párrafos trataremos de aclarar algunos misterios de esta parte fascinante de la aritmética. Cuando efectuamos una compra por ejemplo de S/ 1,780 y solicitamos una factura, el encargado de la tienda nos dirá “está incluido el IGV”, a la hora de girar la factura, realiza Los siguientes pasos: 1,780

= S/ 1,508.47 + S/ 271.53 = S/ 1,780; el factor 1.18 se debe a que el precio al tener el IGV 1.18 incluido representa el 118% que es equivalente a 1.18, es decir, permite detraer el impuesto S/ 271.53 y así obtenemos el total facturado. Cuando un empleado gana más de 5 UIT hasta 20UIT al año, debe pagar el impuesto de 5ta. Categoría, para el 2019 la UIT se ha fijado en 4,200, si un trabajador gana màs de 7 UIT por ejemplo al año, entonces se tiene 7 X 4,200 = 29,400, si las 12 remuneraciones y las dos gratificaciones en un año sobrepasa esta cantidad, deberá pagar el 14% sobre el exceso a 29,400, veamos un caso: Juan Andrés gana S/ 3,800 al mes, entonces calcularemos lo que debe pagar como impuesto de 5ta. categoría: 3,500 X 14 = 49,000 (son 12 remuneraciones en un año y se incluye dos gratificaciones) Ahora restamos el total de remuneraciones con 31,500 (7 UIT al año) 49,000 – 29,400 = 19,600 Al resultado anterior le aplicamos el 14% por impuesto de quinta categoría. 3

19,600 X 14% = 2,744 La cantidad resultante se divide entre 12 meses que tiene el año, para que se descuente al trabajador cada mes: 2,744 / 12 = 228.67 PRECIOS: Para determinar el precio de un bien producido debe contener el costo, la ganancia o margen de utilidad y el impuesto de ley, VV = C + MU P = VV + IGV VV : C: P: MU: IGV:

Valor de venta Costo Precio de Venta Margen de utilidad o ganancia porcentual. 18% sobre el valor venta

Ejemplo: Un producto tiene un costo de S/. 35, el margen de utilidad será el 12%; determinar la factura de 300 unidades. Determinamos el valor venta: VV = C + MU = 35 + 12% X 35 = 35 + 4.2 = 39.20, ahora calculamos el precio: P= VV + 18%VV = 39.20 + 18%X39.20 = 39.20 + 7.06 = 43.26 este es el precio incluido el IGV En fin, podríamos llenar muchas páginas con los diversos casos que nos rodean día a día, el porcentaje está inmerso en casi la totalidad de situaciones comerciales, pago de impuestos, multas de tránsito, porcentaje de una UIT, tasas judiciales, tasas para la importación o exportación, etc.

CONSIDERACIONES TEÓRICAS SOBRE PORCENTAJE

1. POR CIENTO: Es la cantidad que se toma de cada 100 unidades. Ejemplo: El 4 por ciento será: 4% 

4

 0.04 100 Si el 12% de jóvenes prefieren la gaseosa “A”, significa que de cada 100 preferencia por la gaseosa “A”.

jóvenes, 12 tienen 4

2. OBSERVACIONES: Una totalidad en porcentaje representa el 100%; la mitad el 50%, la cuarta parte el 25%, etc. El resultado de hallar el por ciento de un número se denomina porcentaje: Ejemplo: 5% de 280 =

5 100

= 0.05 X 280 = 14

Si una cantidad disminuye o aumenta en “a%”, entonces tenemos: (100 - a)% ó (100 +a)% Ejemplo: Si una cantidad aumenta en 18% será 118% = 1.18 Si una cantidad disminuye en 7% será 93% = 0.93 3. DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS: El primer descuento (o aumento) se aplica a la cantidad inicial y a partir del segundo descuento (o aumento), se aplica a la cantidad que ha quedado del descuento (o aumento) anterior. Podemos hacer uso de las siguientes fórmulas: ab   DU   a  b % 100  

DU  1- D1 * D 2 * D3 ... (100)

ab   Au   a  b  % 100  

A U  A1 * A 2 * A 3 ...  1(100)

4. VARIACIÓN PORCENTUAL La noción de variación porcentual resulta muy importante en cuanto a la resolución de problemas relacionados a aumentos y disminuciones porcentuales. Con la variación porcentual se trata de interpretar y calcular el cambio de una cantidad respecto a otra, generalmente considerando el tiempo. Dadas dos cantidades Vi y Vf, si se pide determinar la variación porcentual, es decir cuánto varió Vf respecto a Vi, se debe realizar la siguiente operación:

 Vf - Vi   * 100%  Vi 

Variación porcentual= 

La variación porcentual no tiene unidades, se expresa en porcentaje. Ejemplos: 1) Determinar el aumento y descuento único del 5% más el 3%, para este caso presentamos las siguientes alternativas para hallar tanto el aumento como el descuento sucesivo:

5

 

Du   a  b 

ab  5*3  %   5  3  %  7.85% 100  100  

Du  1- 0.95 * 0.97  * 100  7.85%

 

Au   a  b 

ab  5*3  %   5  3  %  8.15% 100  100  

Au  1.05 * 1.03 - 1 * 100  8.15% A continuación, algunos ejemplos: 2) En una bolsa hay 6 caramelos de fresa y 9 caramelos de limón. ¿Cuál es porcentaje de caramelos de fresa? Solución: Para este caso debemos considerar la totalidad de caramelos en la bolsa, 15 en total, entonces para determinar el porcentaje de caramelos de fresa tenemos: %

6

6  9

* 100 

6 15

* 100  40%

Respuesta: El 40% de los caramelos son de fresa y el 60% de limón. 3) Cuarenta estudiantes realizan un examen. El resultado muestra que 8 estudiantes desaprueban. ¿Cuál es el porcentaje de desaprobados? Solución: % 

8 40

* 100  20%

Respuesta: el 20% de los estudiantes desaprueba y el resto, el 80% aprueba el examen. 4) Determine el 25% de S/ 500 Solución: 500 X 25% = 125 ó directamente:

S/ 500 x 0,25 = S/ 125

5) Un colaborador de una tienda de ropa para caballeros gana S/ 1,500 al mes. Su empresa le incrementa el sueldo en un 5%. ¿Cuál será su nuevo sueldo? Solución: En primer lugar, calculamos el 5% de 1,500 soles: 1,500 X 5%=75 El aumento es de S/ 75, luego ganará S/ 1,500 + S/ 75 = S/ 1,575 soles. * Otra solución: S/ 1,500 soles x 1.05 = S/ 1,575 6) Una cajera de una empresa dedicada a los insumos electrónicos S/ 1,800 al mes. La empresa para la cual trabaja le descontará el 13% para el fondo de jubilación. ¿Cuál será su sueldo? Solución: 1,800 X 13% = 234 6

El sueldo a cobrar será: S/ 1,800 - 234 = S/ 1,566 * Otra solución: S/ 1,800 x (1 – 0.13) = S/ 1,800 x 0.87 = S/ 1,566 7) Se pide un préstamo en el Banco Armagedón de S/ 6,000 a pagar en cinco años. Al cabo de ese período se han pagado un total de S/ 7,200, ¿Cuál fue el porcentaje pagado sobre el capital inicial? Solución: Primero se halla el incremento, que resulta de S/ 7,200 – S/ 6,000 = S/ 1,200

1,200  Vf - Vi  * 100  20%  * 100% = %  6,000  Vi 

A continuación: 

8) Un instrumento musical que vale US$ 1,100 tiene un descuento del 20%, ¿Cuánto debemos pagar? Solución: Hallando el 20%:

1,100 X 20%=220

Debemos pagar:

1,100 - 220 = 880 dólares.

*Otra solución:

1,100 x (1 - 0,2) = 1,100 x 0.8 = 880 dólares.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1) Buscando el mejor descuento Pedro y Silvia decidieron comprar un libro de matemática, y fueron a librerías diferentes. El precio del libro era de 52 soles en la librería Alfa y 62 soles en la librería Beta, pero en cada una hacían descuentos para estudiantes. Luego del descuento respectivo, Pedro pagó 40 soles en la librería Alfa y Silvia pagó 49 soles en la librería Beta. a) ¿Cuánto es el descuento, en soles, que obtuvo Pedro? b) Si se quiere saber el porcentaje de descuento que obtuvo Pedro en la librería Alfa. ¿Qué porcentaje es el precio del libro en la librería Alfa, antes del descuento? c) ¿Qué porcentaje de descuento obtuvo Pedro? d) ¿Cuánto es el descuento, en soles, que obtuvo Silvia? e) Si se quiere saber el porcentaje de descuento que obtuvo Silvia en la librería Beta. ¿Cuál es el 100%? f) ¿Qué porcentaje de descuento obtuvo Silvia? g) ¿Cuál de los dos obtuvo un mejor descuento?

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2)

Pagando el consumo en un restaurant

Anita decide invitar a almorzar a toda su familia al restaurant “GORRION”. Al momento de hacer el pedido se percata que la carta señala que los precios no incluyen IGV (que es el 18% del consumo realizado) ni el pago por el servicio de atención a la mesa (que es el 10% del consumo). a) Si la familia de Anita consumiera por S/. 300, según los precios de la carta. ¿Cuáles serían los montos que figuren en la boleta de venta? Restaurant “GORRION” Carnes y Parrillas Cliente: Descripción Por consumo IGV (18%) Derecho de atención (10%) Total

Monto

b) Si Anita solo tenía 300 soles. ¿Cuál es el monto máximo de consumo en el restaurante, según los precios de la carta, para que pueda pagar la cuenta, considerando los porcentajes adicionales? c) Si el mozo presentó a Anita una boleta por un monto total de S/. 280, halla los siguientes montos Valor del consumo en soles: ______________ IGV : _______________ Derecho de atención : _______________ d) ¿Qué porcentaje del valor del consumo se paga finalmente, según la boleta?

3)

Porcentajes de ventas

El siguiente cuadro representa la venta en miles de dólares de dos empresas:

EMPRESA M&T EMPRESA J&T

2015

2016

2017

58

63

64

101

54

94

a) ¿En qué porcentaje varió las ventas de la empresa M&T entre los años 2015 y 2017? ¿Qué significado tiene este resultado? b) ¿En qué porcentaje varió las ventas de la empresa J&T entre los años 2015 y 2017? ¿Qué significado tiene este resultado? 8

c) Si la empresa J&T, proyectó un incremento del 15% en sus ventas para el año 2018, respecto a sus ventas del 2017. ¿Cuál se esperaba que sea el monto de las ventas para el año 2018? d) Si la empresa A, a consecuencia de ciertos problemas financieros, estima que el año 2018 sus ventas tendrán un decrecimiento del 5%, respecto al 2017. ¿Cuál fue el valor del monto estimado para las ventas del 2018? 4)

Buscando la mejor oferta Un estudiante de CERTUS decide comprar una colección de textos relacionados a un trabajo de investigación. Al decidir comprar la colección, observa que el precio por cada texto era de S/.56. Pero la librería ofrece varias ofertas al momento de comprar los textos de la colección. Oferta A: Oferta B:

Por dos textos, 20% de descuento De 3 a 6 textos, 30% de descuento. (Si se compra más de 6 libros, el descuento es solo por 6)

a) Explique cuánto pagaría el estudiante si en total llevara dos textos. b) ¿Qué quiere decir que se hizo un 20% de descuento? c) Si decide comprar 8 textos, ¿cuál sería la mejor manera de aprovechar las ofertas? ¿Por qué? 5) El monto recaudado de las entradas al Certus Fest 2019 ha sido de S/ 80,000. Si de esta cantidad se debe descontar el pago a los proveedores, que representa el 20% del total de los ingresos y 15% a algunos artistas invitados ¿Qué porcentaje queda después de realizar estos descuentos? ¿Qué cantidad se canceló a los proveedores? 6) Según la tabla presentada por el INEI, el subempleo en la ciudad de Lima creció según la tabla siguiente:

Completa la columna Variación (absoluta y porcentual), de la tabla. 7) María Victoria se encuentra en una tienda de vestidos y quiere comprarse uno que tiene un descuento de 20% si lo paga con cualquier medio de pago y 10% adicional si lo paga con la tarjeta propia de tienda. El precio de etiqueta del vestido es de S/ 380.00. Calcule: 9

a. ¿Cuánto pagará por el vestido si usa cualquier medio de pago? b. ¿Cuánto pagará por el vestido si usa la tarjeta de la tienda? c.

Al usar la tarjeta, ¿Cuánto es el total de descuento que le hacen?

d. ¿Cuál es el porcentaje de descuento único aplicado al usar la tarjeta de la tienda? 8) Día de la Leche: Perú busca elevar consumo per cápita de 87 a 96 litros hacia el 2021 (https://gestion.pe/economia/dia-leche-peru-busca-elevar-consumo-percapita-87-96-litros-2021-268859?href=tepuedeinteresar) En el marco del “Día Mundial de la Leche”, la ministra de Agricultura y Riego, Fabiola Muñoz, expresó hoy que la meta del sector al año 2021 (Bicentenario) es incrementar el consumo per cápita hasta los 96 litros por persona al año. En el Perú el consumo per cápita de leche es 87 litros por persona al año. No obstante, la FAO recomienda un consumo mínimo de 120 litros por persona al año. Según la información, a. ¿En qué porcentaje se debe aumentar el consumo per cápita de leche para el 2021? b. ¿En qué porcentaje se debe aumentar el consumo per cápita de leche para cumplir la recomendación de la FAO?

PROBLEMAS PROPUESTOS DE PORCENTAJE

1. Si a un artículo cuyo precio es de S/ 250, se le hace una rebaja del 25%, ¿cuánto se pagará por dicho artículo? 2. Después de aplicar un 30% de descuento, el precio de un artefacto es de S/ 490. Calcular el precio inicial. 3. Ahorramos S/ 7.05 al aplicarle un 15% de descuento a unos gorros. Calcular el precio inicial de los gorros. 4. Leemos en el cartel de una tienda que sus precios están rebajados hasta un 60%, pero el artículo que hemos comprado nos ha costado S/ 52 y su precio anterior era S/ 65. Calcular el porcentaje de la rebaja aplicada. 5. Una piscina olímpica de 2.5 millones de litros de agua está llena al 95% de su capacidad. Se calcula que se evaporará una cantidad de agua correspondiente al 5% de su capacidad total. Calcular cuántos litros se van a evaporar. 6. Tenemos S/ 5,000 en una cuenta. A final de cada mes, se ingresa un 5% del dinero que hay en la cuenta en dicho momento. Calcular el dinero que habrá en la cuenta después de un trimestre (3 meses). ¿En qué porcentaje ha subido la cantidad inicial?

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7. En una empresa automovilística, las ganancias del año pasado fueron 123 millones. Según las estadísticas, en el año actual, las ganancias van a reducirse en un 115% con respecto al año anterior. Calcular las ganancias o pérdidas que habrá este año. 8. Se vende 2 USB en 60 soles cada uno. En uno se ganó el 20% y en el otro se perdió el 20%. ¿Se ganó o se perdió en total y cuánto? 9. Una persona gasta el 20% de lo que tenía en comprarse ropa. Dé lo que le quedaba, la mitad la gastó en remodelar su casa, un tercio en un viaje y el resto lo pone en un banco ganando el 10%. Si recibió en total S/ 176, ¿cuánto gastó en ropa? 10. Si al precio de una videograbadora que cuesta 300 dólares se le hace dos descuentos sucesivos del 20% y 10%, ¿Cuál será su nuevo precio? 11. Se tienen 3 descuentos sucesivos de 20%, 50% y 10%. ¿Cuál es el Descuento Único? 12. Una Tablet cuesta 100 dólares pero por los gastos de transporte se le hacen los aumentos sucesivos de 40% y luego de 20% ¿Cuál será su nuevo precio? 13. Unas zapatillas que tienen un 30 % de rebaja me han costado S/ 420, ¿cuánto costaban antes de la rebaja? 14. En un teatro con 540 localidades se han vendido el 65 %. Si cada entrada cuesta S/ 25, ¿Cuál ha sido la recaudación? 15. Una familia compra un Smart TV que cuesta S/ 3,500 pagando una cuota inicial del 30 %. ¿Cuál es el saldo pendiente? 16. He comprado directamente a la fábrica placas solares para calentar el agua. Su precio está marcado en S/ 3,850. Como compro directamente en la fábrica me rebajan el 40 %, y cuando ya tengo el precio rebajado al hacerme la factura tengo que pagar el 18 % de IGV. ¿Cuánto me cuestan al final las placas solares? 17. María recibe el 12% del dinero de las ventas que realiza. ¿Cuánto tendrá que vender para ganar S/ 4,800? 18. De los 240 viajeros que ocupan un avión, el 30% son asiáticos, el 15% africanos, el 25% americanos y el resto europeos. ¿Cuántos europeos viajan en el avión? 19. He pagado $16.28 por una camisa que estaba rebajada un 12%. ¿Cuánto costaba la camisa sin rebaja? 20. El precio de un teléfono celular era de S/ 420. Me han rebajado el 18%, pero después me han cargado el 18% de IGV. ¿Cuánto pagué finalmente por el teléfono?

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