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• DANTE HUAMAN DIAZ

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INSTITUTO DE EDUCACION SUPERIOR TECNÓLOGICO PRIVADO “CIRO Creado Por R.M Nº 0648 – 94 - ED.

ALEGRIA”

Revalidado con Resolución Directoral Nº 0275-2006-ED/de 31 Marzo 2006.

MODULO TRANSVERSAL: MATEMATICA FUNCIONES

SEGUNDA UNIDAD: FUNCIONES EN R A viajar… La Empresa “SOL PERUANO” cobra 16 soles por kg de encomienda que transporta desde Juanjuí a Lima, más 15 soles por entrega a domicilio. En la tabla se indican el precio que se paga de acuerdo a la cantidad de kilogramos que se envían. Peso de la encomienda (kg) 1 1/2 2 3 4 6 10 15 20

Importe que se paga (S/.) 31

FUNCIONES ESPECIALES 1. FUNCION LINEAL:

Gráficamente:

Ejemplo: Alfredo regenta una empresa de transporte escolar. Cobra un precio fijo de 30 soles y por cada persona 5 soles. ¿Cuánto costará el transporte de una excursión a la que asisten 125 alumnos? Solución:

-

una nueva venta, a partir de la octava, deberá cederla a otro vendedor. ¿Qué sueldo recibirá si vende 6 automóviles? ¿Y si vende 3 automóviles? ¿Si no realiza ninguna venta? ¿y si vende x automóviles?

Está determinada por la regla de correspondencia: y = mx+b , donde “m” y “b” son constantes, siendo además: m≠0, donde: Dom (F) = R y Ran(F) = R

1. Teniendo en cuenta la relación entre el peso de la encomienda y la tarifa que se cobra, ¿Cuánto dinero hay que pagar si se envían x kilogramos? 2. Aplique la fórmula que ha hallado para calcular lo que hay que pagar por una encomienda de 23 kilogramos.

-

UNIDAD DIDACTICA: LOGICA Y

Hacemos una tabla de valores para diferente número de pasajeros N.º DE PASAJEROS

1

COSTE

35

Observación: Al coeficiente “m” se le llama pendiente de la recta y es tal que: m=tg  Ejemplos: 1. Graficar: y = 2x + 2 2. Graficar: y = - 3x + 1 2. FUNCION VALOR ABSOLUTO: Está determinada por la correspondencia: y = F(x) = I x I Es y

10

20

30

40

50

230

Determinamos la ecuación de la recta. La función es: ………………………………….

 F( x ) 

donde: Dom (F) = R y

x  0  

; ; x

;

regla

de decir: ,

x  0 x  0 x  0

Ran(F) = [ 0 ;  >

Gráficamente:

Calculamos el precio de una excursión de 125 alumnos. Ejemplo: Ud. es seleccionado para trabajar como vendedor en una concesionaria de automóviles. En la entrevista se acuerdan las condiciones del trabajo, beneficios que se le otorgan y la forma en que se compone el sueldo. Cada vendedor recibe un sueldo fijo de S/. 700 y S/. 200 adicionales por cada automóvil vendido. El número máximo de unidades a vender por cada vendedor es de 8 y si se presenta la oportunidad de -

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Revalidado con Resolución Directoral Nº 0275-2006-ED/de 31 Marzo 2006.

MODULO TRANSVERSAL: MATEMATICA FUNCIONES Ejemplos:

UNIDAD DIDACTICA: LOGICA Y 2. Graficar: y =

1. Graficar: y = ￨ x – 3 ￨ 2. Graficar: y = ￨ x ￨ - x 3. FUNCION CUADRATICA: Está determinada por la regla de correspondencia: y = F(x) = ax2 + bx + c, donde: a, b y c son constantes, tal que: a≠0, además: Dom (F) = R     b  ; ; a  0  y  F    2a  Ran (F )    b   y   ; F  ] ; a  0   2a  

La concavidad será hacia arriba o hacia abajo dependiendo del signo de “a”

x  2

EJERCICIOS 1. Graficar las siguientes funciones: a) y = x + 2 b) y – x2 = 2 c) y = 2x d) y = I x+4 I e) y = - 2x + 4 f) y =

x3

g) y = 2x – 5

Gráficamente:

h) y = x2 + 1 i) y =

x 4

j) y = x2-4 k) y =

x  3

l) y = - 3x – 1 m) y = x2 – 6x + 5 n) y = x2 – 4x + 3 o) y = x2 – 2x – 3 p) y = x2 – 5x + 6 q) y = - x2 + x + 3

Ejemplos: 1. Graficar: y = - x2 + 4x - 3 2. Graficar: y = 2x2

r) y = x2 – 4 s) y = / 3x – 6 / t) y = / - 2x /

4. FUNCION RAIZ CUADRADA: Está determinada por la regla de correspondencia: y = F(x) = x , donde: Dom (F) = x ∈ [ 0 ;  > y Ran (F) = y ∈ [ 0 ;  > Gráficamente:

COMPOSICION DE FUNCIONES. Dadas dos funciones reales F y G, denotada por FoG y que se lee: “G compuesta con F”, es la función cuyo dominio consiste en los elementos: x ∈ Dom (G) tales que G(x) ∈ Dom (F), cuya regla de correspondencia es: [FoG](x) = F[G(x)] OBSERVACION: La composición de funciones no es conmutativa , es decir: FoG ≠ GoF EJEMPLOS: 1. Sea F(x)=x2 +2 y G(x)= Hallar: FoG(2) y GoF(-3) 2. Sea: F(x) = 3x2 – 2 y G(x) =

x.

x 1 x

Hallar: FoG(2) y GoF(3)

Ejemplo: 1. Graficar: y =

EJERCICIOS 2x  6

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MODULO TRANSVERSAL: MATEMATICA FUNCIONES 1. Sean las funciones:

L(x) = - 2x – 1 ¿Cuál es el valor de? a) FoG(-2) b) GoH(1) c) FoH(-1) d) GoF(0) e) HoF(3) f) HoG(-3) g) JoK(-2) h) KoJ(-1) i) LoF(4) j) LoG(-4) k) LoH(5) l) LoJ(-2) m) FoL(1) n) GoL(-1) o) HoL(2) p) JoL(3)

FUNCIÓN INVERSA. Sea F una función real definida por: F={(x;y)/x∈Dom(F)}; si F es una función inyectiva, se define su función Inversa denotada por: F-1 de la siguiente manera: F-1={(y;x)/x∈Dom(F)} -1 Donde: Dom(F )=Ran(F) ⋀ Ran(F-1) = Dom(F) EJEMPLOS: 1. Dada la función: F: y=2x–3 ; encontrar la función inversa y graficarla. 2. Hallar la función inversa de F(x) = 3x-1 3. Dada la función: G: y = x3 , hallar G-1

EJERCICIOS 1. Determinarla función inversa de:

x 1 3x  4

b) F: y = 10 – 4x c) F: y = d) F: y =

2 x 1

F: y = 4 – x3

g) F: y = 2x + 1

x2 K(x) = 2 x 1

a) F: y =

e) F: y = f)

F(x) = x – 3 G(x) = x2 + 4 H(x) = 2x + 2 J(x) = x2 + 1

UNIDAD DIDACTICA: LOGICA Y

2x  3

4x 5x

h) F: y = 3x – 1 i)

F: y = (x – 1) / 3.

j)

F: y = (3x – 2) / 5

TRABAJO INDIVIDUAL 1. Graficar las siguientes funciones: a) y = 3x - 8 b) y = – x2 - 6 c) y = / - x + 7 / d) y = I x - 5 I x6

e) y =

f) y = -1/3 x + 1 2. Sean las funciones: F(x) = x + 5 G(x) = x2 - 4x H(x) = 2x - 3 J(x) = x2 - x K(x) =

x3 x3  1

¿Cuál es el valor de? a) b) c) d) e) f) g)

FoG(-2) GoH(1) FoH(-1) GoF(0) HoF(3) HoG(-3) JoK(-2)

3. Determinarla función inversa de: a) F: y =

 2x  1  3x  2

b) F: y = -12 - 5x

 2x  1  3x d) F: y =  5  2x 5 e) F: y =  x 2 c) F: y =

f)

F: y = -4 – x4

g) F: y = - 2x – 3 3