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• Cristian Salazar Saenz

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA

SEPARATA :

ROSA N. LLANOS VARGAS

NUEVO CHIMBOTE- PERÚ 2012

1

INDICE Contenido

Pág.

Matriz y tipos de matrices

4

Operaciones con matrices

8

Ejercicios 1

12

Determinantes y sus propiedades

13

Métodos de cálculo del determinante

14

Cálculo de la matriz inversa por método del adjunto

19

Operaciones elementales

20

Matrices equivalentes

22

Cálculo de la matriz inversa por transformaciones elementales

26

Rango de una matriz

28

Sistemas de ecuaciones lineales

29

Método de eliminación de Gauss

32

Práctica 2

34

Bibliografía

40

2

INTRODUCCIÓN El tema de Matrices y determinantes tiene importantes importantes aplicaciones en ingeniería, por lo que su tratamiento está contemplado en el currículo de la Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil, el mismo que se desarrolla en la primera unidad de aprendizaje.

La presente separata ha sido elaborada como un instrumento de apoyo para lograr el aprendizaje de los estudiantes.

En este material se proponen un conjunto de actividades que comprende el desarrollo de cada uno de los contenidos, la aplicación a través de ejemplos resueltos y la transferencia mediante un conjunto de ejercicios y problemas para que el estudiante desarrolle en grupos antes de participar en las plenarias de discusión .

Secuencialmente se

presentan la matriz, tipos de matrices, operaciones, el

determinante de una matriz , métodos de cálculo del determinante de una matriz, la matriz inversa, cálculo de la matriz inversa por

el método del adjunto, las

transformaciones elementales, la matriz inversa por medio de las operaciones elementales. Rango y resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de eliminación de Gauss.

Expreso mi agradecimiento al señor Luis Hurtado Burga por su apoyo en la preparación de este material, a mis hijos César y Arturo por su contribución en el planteamiento de los problemas; a los estudiantes de la promoción 2010 y 2011 por colaborar en la validación y a cada una de las personas que de una u otra manera nos brindaron su apoyo para lograr esta separata.

Estaré muy reconocida con las personas que remitan sus recomendaciones u observaciones que permitan mejorar futuras ediciones lo cual redundará en beneficio de los estudiantes.

ROSA N. LLANOS VARGAS 3

Prof. Rosa N. llanos Vargas 1.1 MATRICES Definición.- Una matriz de orden mxn es un arreglo rectangular de nùmeros ( reales o complejos) aij , llamados elementos dispuestos en m lineas horizontales , llamadas filas y en n lineas verticales llamadas columnas ; de la forma :  a11 a12 .... a1n     a 21 a 22 .... a 2 n   a 31 a 32 .... a 3n  A    .........................   .........................     a m1 a m2 .... a mn    mxn

Las matrices se nombran con letras mayúsculas A , B , C , … . En forma abreviada la matriz anterior puede escribirse en la forma A = ( aij ) mxn con i = 1, 2 , 3, …,m ; j = 1,2,3, ,… n , o Amxn . Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz , el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ) . Por ejemplo el elemento a 25 se ubica en la segunda fila y quinta columna de la matriz . La dimensión de una matriz es el número mxn de elementos que tiene la matriz . MATRICES IGUALES.-Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensiòn y cuando los elementos que ocupan los mismos lugares son iguales. Si A = ( a ij ) mxn y B = ( b ij ) mxn , entonces A = B si y solo si a ij = b ij para cada valor de i , j Las siguientes matrices no son iguales

1 2  3  A   0 5 6  Orden 2x3 Dimensiòn 6

1 0    B  2 5   3 6    Orden 3x2 Dimensiòn 6

ALGUNOS TIPOS DE MATRICES : 1.MATRIZ CUADRADA.- es aquella que tiene el mismo nùmero de filas que de columnas , es decir m = n , y se dice que la matriz cuadrada es de orden n . La Diagonal Principal de una matriz cuadrada es el conjunto formado por los elementos a 11 , a 22 , a 33 , a 44 ,…… a n n , la Diagonal secundaria es el conjunto 4

formado por los números a 1 n , a 2 n-1 , a 3 n-2 ,…, a n1 y la traza de la matriz cuadrada es el nùmero dado por la suma de los elementos de la diagonal principal , es decir : Traza ( A ) = a

11

+a

22

+a

33

+ a 44 +……+ a

nn

Ejemplo 1. En la matriz

La diagonal principal es el conjunto { 4,1, 9} , la diagonal secundaria es el conjunto formado por 5 , 1 , -1 y la traza es 14 2. MATRIZ RECTANGULAR .- es toda matriz en la que m  n 3.MATRIZ FILA - es una matriz de orden 1 x n :

A   a11

a12 a13 ... a1n



4. MATRIZ COLUMNA .- es una matriz de orden m x 1 :  a11     a 21  A   a 31       a   m1  5. MATRIZ NULA- es la matriz que tiene todos sus elementos nulos

0  0 0 = 0  0

0 0 0 0

0  0 0  0

6. MATRIZ DIAGONAL es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son nulos

 a11 0 0 0     0 a 22 0 0   0 0 a 33  0  B=    ...........................   ............................     0 0 0  a nn 

5

Ejemplo 2 .

5 0 0   B =  0 2 0  0 0 7   7. MATRIZ ESCALAR.- es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a una constante

 k 0 0 0     0 k 0 0  0 0 k  0  B=    ...........................   ............................    0 0 0  k 

Ejemplo 3.

8. MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD.- es la matriz escalar en la que k = 1  1 0 0 0     0 1 0 0  B=  0 0 1  0  = In    ............................  0 0 0  1    n xn

9.

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR .- es la matriz cuadrada que tiene todos sus elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal nulos, es decir a ij = 0 , para todo i > j .

A=

 a11 a12 a13 a14    0 a a a 22 23 24   0 0 a 33 a 34    0 0 0 a  44 

6

10. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR.- es la matriz cuadrada que tiene todos sus elementos que se encuentran por encima de la diagonal principal nulos, es decir a ij = 0 , para todo i > j .

 a11   a 21 A = a 31   a 41

0

0

a 22

0

a 32

a 33

a 42

a 43

0   0  0   a 44 

11. MATRIZ TRASPUESTA .Es la matriz que se obtiene de la matriz t A = ( a ij )mxn intercambiando las filas por columnas se denota A = (a ji )nxm

 a11   a 21 A=  a 31   a 41

a12

a13

a 22

a 23

a 32

a 33

a 42

a 43

Ejemplo 4. Si

      4 x3

 a11   At =  a12 a  13

a 21

a 31

a 22

a 32

a 23

a 33

a 41   a 42  a 43 3 x4

5 1 1 3  2    t A   entonces A   3  6  5  6 7  2 7    t

12. MATRIZ SIMETRICA .- es toda matriz tal que A = A Ejemplo 4.

1 0 1  A =  0 2 4  1 4 3   

,

1 0 1    A  0 2 4 1 4 3    t

t

13. MATRIZ ANTISIMETRICA .- es toda matriz tal que A = - A Ejemplo 5.

7

Luego At = - A , o A = - At

1.2 OPERACIONES CON MATRICES TRANSPOSICIÓN Dada una matriz de orden mxn, A = [ aij ], se llama matriz traspuesta de A y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir:

Propiedades de la transposición: 1. Toda matriz , tiene transpuesta 2. SUMA DE MATRICES Si A = ( a ij )mxn y B = ( bij )mxn son dos matrices del mismo orden , entonces se define la suma A + B como la matriz de orden mxn , C = ( cij )mxn tal que

cij = a ij + bij . Ejemplo 6 Dadas las matrices A y B tales que :

, entonces

PROPIEDADES DE LA ADICION Si A , B y C son matrices de orden mxn , se cumple : 1. A + B = B + A

Conmutativa 8

2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

Asociativa

3. A + 0 = 0 + A

Elemento neutro

4. Existe la matriz opuesta de la matriz A , denotada por – A , que se obtiene cambiando los signos de todos los elementos de A , tal que A + ( - A ) = 0

DIFERENCIA DE MATRICES La diferencia de las matrices A y B , de orden mxn, se define como la matriz

D = A + ( - B ) . es decir D = ( d ij )

mxn

tal que d ij = a

ij

- b ij

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ . Dado el nùmero real k y la matriz A mxn , el producto k.A es otra matriz del mismo orden , que resulta de multiplicar cada elemento de A por k .  a11 a12 .... a1n     a 21 a 22 .... a 2 n   a 31 a 32 .... a 3n  k. A K.    .........................   .........................     a m1 a m2 .... a mn    mxn

 ka11 ka12 .... ka1n     ka 21 ka 22 .... ka 2 n   ka 31 ka 32 .... ka 3n     .........................   .........................     ka m1 ka m2 .... ka mn    mxn

PROPIEDADES: y toda matriz A mxn , B mxn , se cumple : 1. 2. 3. 4.

(  . ) A =  (  A)  . A  A.  .( A B)   . A  .B A.(   )  A.  A.

PRODUCTO DE MATRICES .- Dadas dos matrices A m x n y Bn x p ellas son compatibles para la multiplicación de A por B, si el número de columnas de A es igual al número de filas de B . EL producto A. B es la matriz C de orden m x p , tal que los elementos cij de C es

cij =

a

b

ik kj

para cada i , j

k

9

Ejemplo 7

Dadas las matrices A y B, hallar AB

6 4  6 3  1   A   1 3   B     5  10  7  5  2   Solucion El número de columnas de A , n = 2 , es igual número de filas de B entonces existe AB, además: 6 x6  4 x(10) 6 x3  4 x(7)  6 x1  4 x5 AB=   (1) x1  3 x5 (1) x6  3 x(10) 5 x3  (2) x(7) 8   26  4  AB   14  36 29 3 x3

  26  4   14  36

8 29

   3 x3

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN 1. A. ( B . C ) = ( A. B ) . C

Asociativa

2. A . ( B + C ) = A . B + A . C

Distributiva

3. El producto de matrices no siempre es conmutativo A. B  B.A 4. Si A . B = 0 no implica que A = 0 ò B = 0 5. Si A.B = A . C no implica necesariamente que B = C 6.  At    . At ;   R .   Bt . At 7.  AB 8. Si A es una matriz cuadrada de orden n , entonces A. In = In . A = A t

9. En general 10.

, pues AB ≠ BA

PROPIEDADES SIMPLIFICATIVAS Dadas las matrices A , B y C del mismo orden , entonces 1. A + C = B + C → A = B

2. K A = K B → A = B , siendo K un número real no nulo 3. K A = h B → K = h ; si A ≠ 0

10

Ejemplo 8. Una compañía tiene 4 fábricas, cada una emplea administradores ( A ) , supervisores ( S )y trabajadores calificados ( T ) en la siguiente forma

Si el pago semanal de los administradores es 350 nuevos soles (P A ), de los supervisores es 275 nuevos soles (PS ) y de los trabajadores es 200 nuevos soles ( P T ); ¿ Cuál es la nómina de cada fábrica?. Solución Lo que se pide es el monto pagado por cada fábrica el cual es igual al número de cada empleado por su respectivo ingreso salarial. En general, será : Ii = PA Ai + PS Si + PTTi , donde Ii es el monto de la fabrica i. Por ejemplo, el monto de la fábrica 1 será: I1 = PA A1 + PS S1 + PT T1 = 350*1 + 4*275 + 80*200 = 17450. Con este sencillo cálculo puede obtenerse fácilmente los 3 montos restantes. Sin embargo, si hubiera más tipos de empleados o un mayor número de fábricas el cálculo se complicaría. Existe otra forma para calcular directamente los montos de todas las fábricas. El cuadro anterior equivale a cantidades de especialistas de cada fábrica. Entonces, si estas cantidades son multiplicadas por su salario respectivo debería entonces obtenerse la nómina de cada fábrica. Llevando esto a matrices:

Si se multiplica ambas matrices (en ese orden) debería obtenerse lo solicitado. Sin embargo, esta multiplicación matricial no esta definida. Note que la primera matriz es de orden 3x4 mientras la segunda es 3x1. La solución es transponer la primera matriz a fin de obtener una matriz de orden 4x3 y así, poderla multiplicar por la segunda (3x1), con lo cual es posible multiplicar ambas matrices y la matriz resultante sería del orden 4x1, la cual brindaría los 4 montos solicitados.

11

Las nóminas de las fábricas 1 , 2 , 3 y 4 serán 17450, 21550, 14575 y 16450, respectivamente.

PRACTICA 1 1. Los contratistas A, B y C hacen licitaciones para las obras p, q y r como se indica en la matriz de costos (en unidades de 100 000 dólares) ¿Qué asignación minimiza el costo total si a) Sin ninguna condición b) A cada contratista solo se le puede asignar una sola obra.

A B C  26 18 7  A=    32 12 14   41 12 10    2. Si un obrero W puede realizar el trabajo Aj en a ij horas, según se indica en la matriz A, dada en 1., y si cada obrero solo deberá realizar un solo trabajo ¿Qué asignación minimizará el tiempo total del trabajo? 3. Suponiendo que el estado del uso del suelo de una ciudad de 50 millas cuadradas de superficie, no baldia, en 1993 fue: I.Uso residencial 30% , II. Uso comercial 20%, III. Uso industrial 50%. Encontrar los estados en los años 1998, 2003 y 2008, suponiendo que las probabilidades de transición para intervalos de 5 años están dadas por la siguiente matriz: AI AII AII

 0,8 0,1 0,1     0,1 0, 7 0, 2   0, 0 0,1 0,9    NOTA.- Una matriz cuadrada con elementos no negativos, si la suma de los elementos de cada una de sus filas es igual a 1, se llama matriz estocástica 4. Sean las matrices

12

1   2 3 7 1  2 A   B 1  5 0 6 9  0

4 0 3 6

5 2 3   4   C   5 2  5  2 1     7

Encontrar aquellas matrices que se encuentren definidas a) AB

c) BtAt

b) CA

e) CtB

d) BC

5. Dadas las matrices :

5 2 a)A=   0 3

 Cos b)B=    Sen

 5 1 8   d)D=  15 3 6  10 4 2   

2 8  9 4 f)F=  0 0  0 0

 4  8 h)H=   8   16

 6  2 g)G=   1   7

0 0  0 0 7 1  6 2  2  9 i)I=  0  0 0 

3 9 9  3 5 4  0 2 8   6 14 5 

 1 3 1   c)C=  2 4 5   2 0 3  

Sen   Cos 

0 1 0 4 0 7 2 1 0 1

3 0 1 3 1

4 7 7 4

5 2 2 5

6  1 4  7

4  0 0  0 1 

Hallar a) A+B , b) B²- A² , c) 2C-3D , d) Ft – 2Gt , e) 3G – G² f) H- H t

1.3.DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Definición: A toda matriz cuadrada An le asociamos un número real llamado determinante, y denotado por det( A ) o A , el cual es simbolizado de la forma:

a11 a Det( A ) = A  21 ... a n1

a12 a 22 ... an2

... a1n ... a 2 n ... ... ... a nn 13

Dicho número es un resultado que se puede obtener de diferentes maneras. Según el orden y tipos de determinantes estudiaremos ciertos métodos para hallar el determinante. Propiedades: a)

Si los elementos de una fila o columna son nulos el valor del determinante es 0.

b)

Un determinante con dos filas o columnas paralelas iguales es nulo.

c)

Si un determinante tiene dos dilas o columnas proporcionales su valor es nulo.

d)

Si cambiamos dos filas o columnas el determinante cambia de signo.

e)

Para multiplicar un número por un determinante se multiplica el número por los elementos de una fila o columna cualquiera. (En un determinante se puede sacar el factor común, siempre que exista un número que multiplique a todos los elementos de una fila o columna)

f) g) h)

At  A

, | A.B| = | A | | B |

CÁLCULO DE UN DETERMINANTE: I)

Método de Sarrus

Cuando el determinante es de orden dos o tres se usa la regla de Sarrus, que consiste en sumar todos los productos que se obtienen al multiplicar dos o tres elementos de la matriz de todas las formas posibles, con la condición de que en cada producto exista un elemento de cada fila y uno de cada columna, con sus signos correspondientes y para ello se utiliza el esquema que sigue:

Para un determinante de orden 2:

14

Para un determinante de orden 3: Dada la matriz A :

El determinante de A es igual a la diferencia del producto de las diagonales de la matriz/determinante, que resulta de repetir en la parte inferior las dos primeras filas de matriz A, de la siguiente manera:

det(A) = (a11 a22 a33+a21 a22 a32+a31 a12 a23) - (a31a22 a13 +a11a32a23+ a21a12a33)

Ejemplo 1 Calcular el determinante de la matriz

Solución Primero se grafica la matriz/determinante , repitiendo las dos primeras filas al final de la matriz B

Luego se calcula la suma de los tres productos positivos (diagonales del medio hacia abajo) , en este caso: [ (-3)(-2)(2) + (2)(6)(4) + (-z)(1)(0) ] = 60 Enseguida se calcula la suma de los tres productos negativos 15

[ (4)(-2)(-z) + (0)(6)(-3) + (2)(1)(2) ] = 8z + 4 Luego, Det ( A ) = 60 – ( 8z + 4 ) = 56 – 8z

II.

Cálculo del determinante de orden n, por el método de los adjuntos:

Cuando el orden de los determinantes es superior a 3 la regla de Sarrus no es fácilmente aplicable y entonces utilizamos el método de los adjuntos, que reduce el orden en una unidad cada vez que se le utiliza. Para ello vamos a definir dos nuevos conceptos: Menor complementario: Dada una matriz An se llama menor complementario de un elemento a ij al determinante de la matriz, que resulta de suprimir la fila i y la columna j en la matriz An ; se denota por mij . Cofactor de un elemento: Al producto de  1

i j

por el menor complementario mij de

a ij se llama cofactor de un elemento a ij y se escribe Aij .

Aij   1

i j

 mij

A partir de estas definiciones obtenemos otra forma de calcular un determinante: el valor de un determinante de orden n es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna por sus respectivos cofactores.

A

n

a

i o j 1

ij

x Aij  a i1  Ai1  a i 2  Ai 2  a i 3  Ai 3    a in  Ain  a1 j  A1 j  a 2 j  A2 j  a 3 j  A3 j    a nj  Anj

Ejemplo 2.

1 0 2 0 1 2 0 1 Calcular el valor del determinante 1 1 4 1 3 1 3 2 Elegimos la primera fila ya que tiene dos elementos nulos y eso va a simplificar el cálculo:

16

1 0 2 0 1 2 0 1  1  A11  0  A12  2  A13  0  A14  1 1 4 1 3 1 3 2

2  1  1

11

1

0

1

4

1  0  m12 2   1

1 3

1 3 2

1

2

1

 1

1

1  0  m14 

3

1  2

Cuando llegamos a un determinante de orden tres, podemos aplicar Sarrus:

1   16    3   4   6    2   2   1   6   3  1  4  51 III.

Método del pivote o de Chio

Si a los elementos de una fila o columna se suman los correspondientes de otras paralelas multiplicados por un número , el valor del determinante no varía. (Suma de una combinación lineal de otras filas o columnas) Basándose en esta propiedad, podemos obtener un determinante igual, pero con una fila o columna todos nulos salvo uno, que al aplicar el método anterior, su cálculo se reduce a un solo determinante de orden menor.

1 0 Ejemplo 3.Calcular por el método del pivote el determinante 1 0 1 1 2 1 2 1

1

0 1 0 1

0 0 1 1 1 0 1 1 2 1  0 0 1 1 2 1 2 2 1 1

0 1 0 2

1 0 1 2

1 0 1 1

1 0  3a fila  1a fila  2 1

2

1

2

2 0 1 0 2

1 1 0 1 2

2 1 0 1 1

1 1 0 2 1

1

1 2 1 2 1 0 0 1 1 1  F5  F1  0 1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 2 2 1 1 17

Desarrollamos el último determinante por la 1a columna:

0 1 1 1 0 1 1 1 1 1  1  2  1 11 1 1 2 1  A11  1   1    0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 0 0 1 1 0 Repetimos el proceso desarrollando el determinante por la 2 a fila:

 1  A21   1   1

2 1

1

1

1

1

1

1

1

1

2 1

1

2 2

1 1 0

IV.

1 1 0

Método triangularizante Cuando calculamos el determinante de matrices triangulares o diagonales observamos que verifica que el resultado coincide con el producto de los elementos de la diagonal principal. Con las propiedades anteriores podemos llegar a obtener un determinante que sea triangular y aplicar seguidamente el contenido expresado arriba:

Ejemplo 4.Calcular el determinante

1 0 1 0 1

2 0 1 0 2

1 1 0 1 2

2 1 0 1 1

1 1 0  F3  F1  2 1

1 0 1 0 1

2 0 1 0 2

1 1 0 1 2

2 1 0 1 1

1 1 0 1 1

1 2 1 2 1 0 0 1 1 1 0 1 1 2 1  F5  F1  0 0 1 1 2 1 2 2 1 1

1 2 1 2 1 0 0 1 1 1 0 1 1 2 1  0 0 1 1 2 0 0 1 1 0

cambiamos las filas 2a y 3a ( cambia el signo) 1

2

1

2

1

0 1 1 2 1

1

2

1

2

1

0 1 1 2  1

 0

0

1

1

1  F4  F3   0

0

1

1

1 

0

0

1

1

2

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

18

1 2 1 2 1 0 1 1 2 1  F5  F4   0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 cambiamos 4a y 5a fila para dejarle triangular (el determinante cambia de signo):

1 2 1 2 1 0 1 1 2 1  F4 F5         0 0 1 1 1  1  1 1 2  1  2 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 Matriz de cofactores Dada una matriz cuadrada An se llama matriz de cofactores a la matriz que resulta de sustituir cada uno de los elementos de la matriz An por sus cofactores respectivos. Matriz adjunta, Dada una matriz An , se llama matriz adjunta, y se denota por Adj  An  a la matriz transpuesta de la matriz de cofactores

1 2 1   Ejemplo 5. Hallar la matriz adjunta de A   1 2 3   3 1 1   Solución La matriz de cofactores es C , tal que;

C

Entonces la matriz adjunta es la transpuesta de C , es decir:

19

1.4.MATRIZ INVERSA Si A es una matriz de orden n cuyo determinante es no nulo, la matriz inversa de A es la matriz de orden n denotada por A-1 tal que A. A-1 = I , donde I es la matriz identidad de orden n. Cálculo de la matriz inversa por el método del adjunto:

Una matriz tiene inversa si solo si A  0

Ejemplo 2.Calcular la matriz inversa de Solución |A | = -5 , la matriz de cofactores es

1.5.TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Definición 1: Sobre una matriz Anxm decimos que efectuamos una operación o transformación elemental sobre la fila o columna, cuando realizamos cualquiera de estas transformaciones: i)

Cambiar entre sí dos filas o columnas: Cij

ii)

Multiplicar una fila o columna por un número real k  0 : Fi  k  ó C j (k ) 20

iii)

Sumar a la fila o columna i la fila o columna j multiplicada por un número real k  0 : Fij  k  ó Cij (k )

Definición 2: Se llama matriz elemental a una matriz cuadrada, que resulta de efectuar una operación elemental sobre una fila o columna en la matriz identidad. Ejemplo 3.

1 0 0 1    F1.2     C12 0 1 1 0

Cambiar dos filas

1 0 0 1 0 0      0 1 0   C2  3   0 3 0   F2 (3) 0 0 1 0 0 1    

Multiplicar la 2a columna por  3

1 0 0 1 0 0     Sumar a la 3a fila el doble de la 2a  0 1 0   F3.2  2    0 1 0  0 0 1 0 2 1     1 0  1 5     C2.1  5     0 1 0 1 

Sumar a la 2a columna la 1a por -5

Según el orden de la matriz unidad obtenemos una matriz elemental del mismo orden. Teorema .- Si en una matriz A efectuamos una operación elemental por filas, la matriz que obtenemos es F  A , donde F es la matriz elemental resultante de efectuar la misma operación elemental. Si en una matriz A efectuamos una operación elemental por columnas la matriz que obtenemos es C.A, donde C es la matriz elemental resultante de efectuar la misma operación elemental. Ejemplo 4

 2 1 0 1    Sea A   1 2 1 2   3 1 0 1    Por filas:

 2 1 0 1   2 1 0 1      1 2 1 2   F2,1  2    3 4 1 0  =AF  3 1 0 1   3 1 0 1      Matriz elemental obtenida al hacer la misma operación:

21

1 0 0  1 0 0      0 1 0   F2,1  2    2 1 0   F 0 0 1  0 0 1     Producto de F.A:  1 0 0   2 1 0 1   2 1 0 1       F  A   2 1 0    1 2 1 2     3  4 1 0   A  0 0 1   3 1 0 1   3 1 0 1        Por columnas:  2 1 0 1   2 3 0 1       1 2 1 2   C2,1  2    1 4 1 2  = AC  3 1 0 1   3 7 0 1      Matriz elemental obtenida al hacer la misma operación: 1 0 0 0  1 2 0 0       0 1 0 0   C  2    0 1 0 0   C 2,1 0 0 1 0 0 0 1 0     0 0 0 1 0 0 0 1 Producto de A.C  1 2 0 0   2 1 0 1     2 3 0 1    0 1 0 0    1 2 1 2    0 0 1 0    1 4 1 2  = AC  3 1 0 1       0 0 0 1   3 7 0 1   

A partir de ahora, sólo consideraremos las matrices elementales resultado de efectuar operaciones elementales sobre las filas Operaciones elementales inversas. Se llama operación elemental inversa aquella operación que nos anula la acción de cada operación elemental. Ejemplo 5. Sean las matrices elementales obtenidas como resultado de las siguientes operaciones elementales:

1 0 0 0 0 1     I 3   0 1 0   F13   0 1 0   E1 0 0 1 1 0 0     1 0 0 1 0 1     I 3   0 1 0   F2  2    0 2 0   E2 0 0 1 0 0 1     22

1 0 0 1 0 0      I 3   0 1 0   F2,3  3   0 1 3   E3 0 0 1 0 0 1      Existen otras operaciones sobre estas matrices elementales que nos anulan las operaciones anteriores y volvemos al punto de partida o sea a I 3 . 0 0 1 1 0 0     E1   0 1 0   F3,1   0 1 0   I 3 1 0 0 0 0 1     1 0 0 1 0 0 1     E2   0 2 0   F2     0 1 0   I 3 2  0 0 1    0 0 1 1 0 0  1 0 0     E3   0 1 3   F2,3  3   0 1 0   I 3 0 0 1  0 0 1     Estas operaciones se llaman operaciones inversas de las hechas en primer termino. Resumiendo: OPERACIÇON ELEMENTAL

Cambiar la fila i por la j Multiplicar una fila por k  0 Sumar a la fila i, la j por k  0

OPERACIÓN INVERSA

Cambiar la fila j por la i Multiplicar una fila por

1 0 k

Sumar a la fila i, la j por  k  0

Matrices elementales inversas Cuando en la matriz I n efectuamos una operación elemental obtenemos una matriz elemental E. Cuando en la matriz I n efectuamos la operación elemental inversa obtenemos la matriz elemental inversa de la matriz elemental E , E 1 . Luego toda matriz elemental tiene inversa y es una matriz elemental. En efecto, cuando hacemos una operación elemental, obtenemos E y si efectuamos la operación elemental inversa sobre E al punto de partida I n , luego se verifica: I n  Operación elemental  E   Operación inversa  E0   I n

E0  E  I n  E0  E  I m E  E0  I n  E  E0  I m 23

Luego E0 es la inversa de E . Ejemplo 6 Dadas las matrices elementales que se obtienen de realizar las operaciones elementales: i) ii) iii)

Cambiar las filas 1 y 3 Multiplicar la 2a fila por 2 Sumar a la 2a fila la 3a por -3

Hallar sus matrices inversas. i) Matriz elemental que resulta de hacer la operación elemental F13

1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1         I 3   0 1 0   F13   0 1 0   E1  I 3   0 1 0   F3,1   0 1 0   E11 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0         ii)

Matriz elemental que resulta de hacer la operación elemental F2  2 

1 1 0 0 1 0 0 1 0 0  1        I 3   0 1 0   F2  2    0 2 0   E2  I 3   0 1 0   F2    0 2  0 0 1 0 0 1 0 0 1 0       

iii)

Matriz elemental que resulta de hacer la operación elemental F2,3  3

1 0 0 0 0 1 1      I 3   0 1 0   F13   0 1 0   E1  I 3   0 0 0 1 1 0 0 0      1 2 2 0 0  1    F1  2    0 1 3   E4 F1     0 2  0 0 1  0     iv)

0  1 0   E21  2 0 0  0

0 0 0 0 1    1 0   F3,1   0 1 0   E11 1 0 0 0 1     0 0  1 3   E41 0 1  

E2  E1  A  I 2  E2  E1  A A1  I 2  A1  E2  E1  I 2  A1  E2  E1  A1

1  1  1 1   2 A1       0 1  0 1    2  Matrices equivalentes por filas Si partiendo de una matriz A podemos llegar a otra B efectuando un número finito de operaciones elementales sobre las filas y, de la misma manera, podemos volver a A 24

desde B, realizando las operaciones inversas y en orden inverso, se dice que A y B son equivalentes por filas. Ek  Ek 1   E2  E1  A  B  A  E11  E21    Ek11  Ek1  B

En efecto: Si podemos llegar desde A a B por medio de operaciones elementales Ek  Ek 1   E2  E1  A  B Multiplicando por las matrices inversas obtenemos E11  E21   Ek11  Ek1  Ek  Ek 1  E2  E1  A  A  E11  E21   Ek11  Ek1  B

Si podemos llegar desde B a A por medio de operaciones elementales: E11  E21   Ek11  Ek1  B  A

Multiplicando por las matrices elementales inversas obtenemos Ek  Ek 1  E2  E1  E11  E21    Ek11  Ek1  B  B  Ek  Ek 1  E2  E1  A Ejemplo 7 Demostrar que las matrices A y B son equivalentes por filas.

 2 0 1   A  1 2 3   5 2 1   

1 2 3    y B   2 0 1   4 4 2   

 2 0 1 1 2 3  1 2 3        A   1 2 3   F1,2   2 0 1  F3,1  1   2 0 1   B  5 2 1   5 2 1   4 4 2        1 0 0 0 1 0     I 3   0 1 0   F1,2   1 0 0   E1 0 0 1 0 0 1     1 0 0  1 0 0     I 3   0 1 0   F3,1  1   0 1 0   E2 0 0 1  1 0 1       1 0 0   0 1 0   2 0 1  1 2 3          E2  E1  A   0 1 0    1 0 0    1 2 3    2 0 1   B  1 0 1   0 0 1   5 2 1   4 4 2          25

1.6.CÁLCULO DE ELEMENTALES

LA

MATRIZ

INVERSA

POR

OPERACIONES

Si A es equivalente a la matriz In entonces A tiene inversa En efecto: si A es equivalente por filas a In: Ek  Ek 1   E2  E1  A  I n

1

Multiplicando por A1 por la derecha los dos miembros obtenemos: Ek  Ek 1   E2  E1  A A1  Ek  Ek 1  E2  E1  I n  A1  A1

 2

Luego A1 viene como producto de matrices elementales. El método para el cálculo de A1 sale de observar 1 y  2

Ek  Ek 1   E2  E1  A  I n Ek  Ek 1   E2  E1  I n  A Las operaciones elementales que nos sirven para convertir A en la matriz unidad, efectuadas sobre la matriz unidad nos da la matriz inversa de A .

 1 1 1    Ejemplo 8 Hallar la matriz inversa de A   0 1 0   1 0 1   Solución  1 1 1  0 1 0 1 0 1 

 1 1 1 1 0 0   0 1 0   F1  1   0 1 0 1 0 1 0 0 1  

  1 1 0   F3,2  1   0 1 0  0 0 1   1  2  luego A1   0  1   2

1 2 1 1  2

1 2 0 1 2



1 2 1 1 2



 1 1 1 1 0 0    0 1 0   F3,1  1   0 1 0 0 1 2 0 0 1  

1   1 0 0 2   0   F1,2 1   0 1 0  1  0 0 1 2 

1 2 0 1 2



1 2 1 1  2

1 2  0 1  2

1 2  0 1  2

26

1 0 0   0 1 0 1 0 1 

1.7.

FORMAS ESCALONADA Y REDUCIDA DE UNA MATRIZ

Formas escalonada Se llama forma escalonada por filas de una Amxn a aquella matriz que se obtiene a partir de A mediante operaciones elementales y que verifica: i)

Si tiene filas cuyos elementos son todo nulos, están en filas inferiores.

ii)

El primer elemento distinto de cero de una fila (empezando por la izquierda), se llama elemento pivote y a su columna, columna pivotal. Dadas dos filas sucesivas, el elemento pivote de la 2a fila está más a la derecha que el elemento pivote de la 1a fila.

iii)

Ejemplo 9. Formas escalonadas:

1 0 4 5 2 5 6 1 2    2 3 5 0     ; 0 3 1 2 ;   ; 0 1 4 0 3 0 0 0 0  0 0 0 1  0 0 3     Formas no escalonadas:

1  2 5 6 0 0 0 0    ; 0 0 0  ;  0 0 2 1   0 0 7    0 0 

4 2 0 0 0

5  1 3  0 1 ;   0 2  0 0 

0 2 0 0

6 4 1 5

7  8 3  2

Forma reducida Se llama forma reducida por filas de una matriz Amxn a toda matriz escalonada con los pivotes unidad y los demás elementos de la columna del pivote, nulos. Ejemplo 10.

1 0 3 1 3 0 0     1 2 0 3 0 1 2 ; 0 0 1 0 ; 0 0 1 4  0 0 0 0 0 0 1     

27

Obtención de una forma escalonada El algoritmo para obtención de una forma escalonada se llama eliminación de Gauss o gaussiana y consta de los siguientes pasos: 1°

Partiendo de la izquierda, buscamos en la 1a columna un elemento distinto de cero que llevaremos a la 1a fila, si no le hay en la 1a fila, (mediante operaciones elementales) y será el 1er pivote. Seguidamente con las operaciones elementales haremos ceros debajo del pivote.

2°

Siguiendo a la derecha, buscamos en la 2a columna un elemento distinto de cero en la 2a fila o siguientes filas. Se opera para tener un 2a pivote en la 2a fila, si está en las siguientes filas. Seguidamente con las operaciones elementales haremos ceros debajo del 2a pivote. Seguimos sucesivamente moviéndonos hacia la derecha hasta no encontrar más pivotes.

3°

Evidentemente, dependiendo de la manera de operar y el orden de actuación, obtendremos diferentes formas escalonadas (hay infinitas), mientras que la forma reducida solo hay una. Ejemplo 11.

1  1 Hallar la forma escalonada de la matriz A   2  1 1  1 2  1

2 2 4 3

1  0 0  0

0 1   0 3 3 3 3  0  F4,2   0 0 3 3 3 2    1 0 0 5 0 0

1  0 0  0

2 1 0 0

1 2 4 1 5 1 1 2

2 1

2

1 2 0 0 3 3 0 0

1 0 1   F2,1  1  4 3 0   F3,1  2    0 5 2     F4,1    6 0 0 1

2 0 0 1

2 2 4 3

1 2 4 1 5 1 1 2

1 2 3 3 3 3 0 0

1 0  4 3 5 2   6 0

1 0  3 3 3 2   5 0

0  1 0 0 5 0  F4,3  1  0 3 3 3 2   0 3 3 3 3  2 1

2

1

1 0  5 0 3 2   0 5

28

1.8.RANGO DE UNA MATRIZ Llamaremos rango de una matriz el número de filas con algún elemento distinto de cero que hay en cualquier forma escalonada por filas o también el número de columnas pivotales que tiene. Número de vectores filas linealmente independientes = número de columnas  Rango  A  Rang  At 

Ejemplo 12.

1  1 2 1 1   1 1   0 rg    2; rg  0 1 4 3   2 ; rg  0 0 3  0 0 0 0     0

0  5 2 0  0

1.9.SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1 a x  a x    a x  b 2n n 2  21 1 22 2 1    a m1 x1  a m2 x2    a mn xn  bn Donde A   a ij  1) 2) 3) 4)

mxn

y  A h    a ij  b j 

El sistema tiene solución si y solo si Rang  A  Rang  A h  y se llama compatible. Si Rang  A  r  n , entonces el sistema tiene una única solución, el sistema es determinado. Si r  n , entonces existen infinitas soluciones, el sistema es indeterminado no existe solución si r  n y algún bj  0 Si existen soluciones todas se obtienen por el método de eliminación de Gauss.

Sistema Homogéneo: Ax  0 , tiene solución x  0 y su Rang  x  n entonces existen soluciones no triviales linealmente dependientes. Ejemplo 1. Resolver el sistema x + 2y + 3z + 4w = 5 2x + y + 2z + 3w = 1 3x + 2y + z + 2w = 1 4x + 3y + 2z + w = -5 29

Solución

1  2 A  3  4

2 1 2 3

3 2 1 2

1  2 3  4

3 2 1 2

4 3 2 1

2 1 2 3

4 3 2 1

5   1  1    5

   

   

x 5      y 1  , X , H   z  1       w  5 

5   1   F21 (2), F31 (3), F41 (4) 1    5

3 4 1 2  5  0 3 4  0 4 8 10   0 5 10 15

4 5  1 2 3 1    0 1 2 3 5  0 F4 ( 1 ), F42 =   F32 (4), F42 (3) =  5  0 4 8 10 14  0     0 3 4 5 9  0 1  0  F4 (1/ 2), F3 (1/ 2), F34   0  0 De donde w=3 z+2w = 3 y + 2z + 3w = 5 x + 2y + 3z + 4w = 5

2 1 0 0

3 2 1 0

4 3 2 1

   

2 1 0 0

3 2 0 2

   

5   9    14    25 

4 3 2 4

   

5  5  6  6

5  5 3  3

En consecuencia el conjunto solución es CS = { ( -2 , 2 , -3 , 3 ) } Ejemplo 2. Resolver 3x + 2 y + z= 3 2x + y + z = 0 6x + 2y + 4z = 6 Solución

30

3 2 1  3  3 2 1  3    1 1    2    2   A H    2 1 1  0   F31 (2), F21 ( 3 )  0  3 3  6 2 4  6 0  2 2  0      3 2 1  3    1 1  F32 (6)   0    2  3 3  0 0 0  12   

De donde 0z = 12 , es decir 0 = 12 ( Contradicción)  el sistema es incompatible.

Ejemplo 3. Resolver x - 2 y + 3z= 5 2x + y -4 z = 0 3x + 4y -11z = -5 Solución

1  2 3  5  1  2 3  5      A H    2 1  4  0   F31 (3), F21 (2)   0 5  10   10    3 4  11   5   0 10  20   20      1  2 3  5     F32 (2)   0 5  10   10  0 0 0  0   Luego 5y – 10 z = - 10 x – 2y + 3z = 5 Despejando y de la primera ecuación se tiene y = 2z – 2 Se obtienen infinitas soluciones asignando valores a z Además x  2 y  3z  5 x  2  2 z  2   3z  5 x  z 1

31

En general si entonces z  t entonces y  2t  2  x  t  1 Luego CS  1  t , 2t  2, t  , t  R

DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA Considerando el sistema

2 x  4 y  6 z  18  4 x  5 y  6 z  24 3 x  y  2 z  4 



1

El sistema (1) puede ser escrito en forma matricial como se observa en la columna de la derecha omitiendo las variables.

2 x  4 y  6 z  18  4 x  5 y  6 z  24 3 x  y  2 z  4 



1

 2 4 6  18     4 5 6  24      3 1 2  4 

 2

La matriz (2) se denomina matriz ampliada del sistema (1). Ahora, las operaciones que realizaríamos sobre las ecuaciones del sistema (1) se realizarán con las filas de la matriz (2). Cada fila (ecuación) de la matriz se denotará por fi donde i  1, 2 ò 3 . El objetivo es obtener, a través de la suma de filas o la multiplicación de una fila por un número distinto de cero, nuevas filas pero que correspondan a un sistema equivalente al dado inicialmente. La matriz (2) deberá convertirse, si fuera posible, en una matriz de la forma:

1 ? ? ?   0 1 ? ?  0 0 1 ?   Para conseguirlo, sigamos el siguiente procedimiento: 1°

Para conseguir un 1 en la primera posición, se multiplica la primera ecuación por 1 : 2 1 2 3 9  1   f1  f1 :  4 5 6 24  2  3 1 2 4   

2°

Luego, para obtener 0 en la primera columna de las filas 2 y 3, restamos a la segunda ecuación la primera ecuación multiplicada por 4; un proceso similar se realizará con la tercera fila o ecuación: 32

9  1 2 3   f2  f2  4 f1 :  0 3 6 12   3 1 2 4    3 9  1 2   f3  f3  3 f1 :  0 3 6 12   0 5 11 23   

Los pasos realizados equivalen a eliminar la variable x en la segunda u tercera ecuación. 3°

1 Ahora multiplicaremos la segunda ecuación por  : 3

3 9  1 2 1   f2   f2 :  0 1 2 4  3  0 5 11 23    4°

Para obtener 0 en la segunda columna de la tercera fila (ecuación), se debe multiplicar por 5 la segunda fila y sumar la tercera fila con la nueva segunda fila.

1 2 3 9    f3  f3  5 f2 :  0 1 2 4   0 0 1 3    5°

Finalmente, para obtener 1 en la tercera columna de la tercera fila:

1 2 3 9   f3   1 f3 :  0 1 2 4  0 0 1 3   6°

Si expresamos la matriz anterior en términos de las ecuaciones, obtendríamos: x  2 y  3z  9 y  2z  4 z3 Entonces , si la tercera fila se obtiene: z  3 y sustituyendo este valor en la segunda ecuación se obtiene: y  2 ; luego x  4 . Por lo tanto, este sistema de ecuaciones tiene sólo una solución:  4; 2;3 .

33

PRACTICA 2 1.

Hallar la inversa de la matriz

2.

1 0 2 0 1 3 2  1 1 3     1 2 0 1 2 4 0    a) A   1 2 1  b) A  c) A    1 1 4 1   1 5 2  1 3 1        3 1 3 2   2 1 2 Dadas las matrices

2   1  2   1 

1 2 3   2 0 1  1 2 3       A   2 0 1  , B   1 2 3  , C    6 0 3   5 2 1   5 2 1   5 2 1        Hallar las matrices elementales E1 , E2 , E3 tales que a) E1 A  B b) E2 A  C c) E2 E1 A  C 3.

Demostrar que las matrices A y B son equivalentes por filas

 2 0 1   A  1 2 3   5 2 1    4.

1 2 3    y B   2 0 1 7 2 7   

Hallar la forma escalonada de cada matriz y determinar el rango de dicha matriz:

1  3 2 3   1 1 2   1     A   4 3 1  , B   2 0 4  , C   2  1 5 1   3 5 3       1 5.

2 2 4 3

1 2 4 1 5 1 1 2

1 0  4 3 5 2   6 0

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: a)

2 x  3 y  8z  1

b)

z  2 y  3z  4 5 z  3 y  z  13

c)

x1  2 x2  x3  3 x4

3

2 x1  4 x2  4 x3  3 x4  0 3 x1  6 x2  x3  8 x4  10

d)

x1  2 x2  x3  x4  2 3 x1  2 x3  2 x4  8 4 x2  x3  x4

1

5 x1  3 x3  x4

 3

2 x1  2 x2  x3  x4  x5 x1  2 x2  x3  x4  2 x5

1 1

4 x1  10 x2  5 x3  5 x4  7 x5

1

2 x1  14 x2  7 x3  7 x4  11x5

 1

34

2 x1  x2  5 x3  x4  5  x  x  3 x  4 x  1  1 2 3 4 e)  3 x1  6 x2  2 x3  x4  5 2 x1  2 x2  2 x3  3 x4  5  x  y  2 z  w  4 2 x  y  3 z  3w  2  g)  3 x  3 y  2 z  3w  3  x  2 y  z  w  5 6.

2 x1  y  5 z  w  5  x  y  3z  4w  1  f)  3 x  6 y  2 z  w  8 2 x  2 y  2 z  3w  2 27 x1  9 x2  3 x3  x4  112   x1  x2  x3  x4  2 h)  4  x1  x2  x3  x4 8 x1  4 x2  2 x3  x4  13

¿Para qué valores de k  R el sistema

 x  y   k  1 z  k   k  1 x  y  z  2  k kx  ky  k  4  (a) (b) (c) 7.

tiene solución única tiene infinitas soluciones es incompatible

Dado el sistema de ecuaciones  x 2yt  b  3 x  ay  5 z  2t  3  x  5 z  at  b  Señale el valor de a  b que corresponde al caso en que el sistema es compatible indeterminado y tiene el mayor número posible de parámetros.

8.

Resolver el sistema

 x1  x2  3x3  1  2 x  x  2 x  1  1 2 3 a)  x  x  x  1 2 3 3  x1  2 x2  3 x3  5 9.

Resolver el sistema

0  x1  2 x2  x3  x4  x5 2 x  x  x  x  x 0  1 2 3 4 5   x1  7 x2  5 x3  5 x4  5 x5  0 3 x1  x2  2 x3  x4  x5  0 35

(a) (b) (c) 10.

Tiene solución única Tiene infinitas soluciones. Expresar dichas soluciones en términos de parámetros. Es incompatible.

Dado el sistema de ecuaciones

1  a  x  y  z  1  2 x  ay  2 z  2  x  y  1  a z  2    ¿Para qué valores de a ( a ) El sistema tiene solución única ( b ) El sistema tiene infinitas soluciones. Halle tales soluciones. ( c ) El sistema es incompatible 11.

Usando el método de Gauss, resolver según los valores de a  R el siguiente sistema de ecuaciones

 x  y  2w 3 x  y  z  w   5 x  3 y  2 z  4w 2 x  y  z  w 12.

3 1 a 2

La Texas Electronics Inc. (TEI) produce tres nuevos modelos de computadoras: 1, 2 y 3. Como parte del proceso de elaboración, estos productos pasan por la planta técnica y por la planta de ensamblaje. Los tiempo empleados por unidad en cada una de estas plantas se muestran en la siguiente tabla: Modelo

Planta Técnica Planta de ensamblaje

1

30 minutos

0,5 hora

2

12 minutos

2 horas

3

36 minutos

2 horas

Tiempo total empleado en un mes en cada planta

116 horas

370 horas

Cuantas unidades de cada modelo produjo la empresa si obtuvo una utilidad mensual de 37 500 dólares, sabiendo que las ganancias obtenidas por la venta de los modelos 1, 2 y 3 fueron de 200, 50 y 100 dólares por unidad, respectivamente? Asumir que se vendió toda la producción.

13.

Micaela desea cubrir sus requerimientos vitamínicos semanales de exactamente 13 unidades de vitamina A, 22 de vitamina B y 31 de vitamina C.

36

Existen disponibles tres marcas de cápsulas vitamínicas en el mercado. La marca I contiene 1 unidad de cada una de las vitaminas A, B y C por cápsula; la marca II contiene 1 unidad de vitaminas A, 2 de B y 3 de C, y la marca III contiene 4 unidades de A, 7 de B y 10 de C. Si las cápsulas de la marca I cuestan 50 céntimos cada una, las de la marca II cuestan 70 céntimos cada una y las de la marca III, 2 soles cada una, a) ¿qué combinación de cápsulas de las marcas I, II y III producirá exactamente las unidades de vitaminas deseadas? b) ¿Cuál de esas combinaciones le ocasionará menor gasto semanal a Micaela? 14.

La siguiente tabla muestra los porcentajes de albúmina, carbohidrato y lípido en cada uno de los alimentos A, B y C.

A

B

C

Albúmina

30%

50%

20%

Carbohidrato

30%

30%

70%

Lípido

40%

20%

10%

a) ¿Es posible obtener 1kg de comida que contenga solo esos tres alimentos en un porcentaje de 47% de albúmina, 35% de carbohidrato y 18% de lípido? Si la respuesta es afirmativa, explicar qué cantidades en gramos se requeriría de cada uno de ellos y si es negativa, justificar por qué no se podría. b) Y si pidiera combinar los tres alimentos para obtener una comida con 40% de albúmina, 40% de carbohidrato y 20% de lípido, ¿cambiaría la respuesta anterior? Justificar. 15

Una fábrica de muebles posee tres aserraderos: A, B y C, en los cuales se corta madera a razón de 60m3, 45m3 y 30m3, por día, respectivamente. La madera se distribuye a 2 fábricas de muebles M y N que necesitan 65m 3 y 70m3 por día, respectivamente. Los costos de transporte en dólares por metro cúbico desde los aserraderos hasta las fábricas se muestran en la siguiente tabla: Desde el aserradero

Hasta la fábrica M

Hasta la fábrica N

A

1,5

3,0

B

3,5

2,0

C

2,9

1,9

Considere que:  Toda la madera cortada por día en los aserraderos se debe emplear para satisfacer la demanda diaria de las fábricas.  Los costos de transporte de la madera recibida por la fábrica M desde el aserradero A son iguales a los costos de transporte de la madera recibida por la fábrica N desde el aserradero B, por día.  Los costos totales de transporte de la madera desde los aserraderos a las fábricas ascienden a 242 dólares por día. 37

Hallar las cantidades de madera transportadas desde los aserraderos A, B y C a las fábricas M y N. 16.

La compañía Realistic Picture Frame puede fabricar cuatro tipos diferentes de marcos para pinturas: rústico, modernistas, francés y romano. Cada marco requiere de las siguientes cantidades de recursos en madera, mano de obra y tiempo de maquina, como se indica en el siguiente cuadro de tecnología de producción: Recursos utilizados por unidad producida Recursos

Rústico

Modernista

Francés

Romano

Madera (en pies)

1,0

1,5

2,0

2,0

Mano de obra (en horas)

1,0

0,9

0,6

0,6

Maquinas (en horas)

0,3

0,3

0,1

0,1

Por el momento se dispone de 1000 pies de madera, 460 horas de mano de obra y 120 horas de tiempo de máquina y se emplearán todos los recursos disponibles. a) Con la información dada ¿se puede determinar el número de marcos rústicos, modernistas, franceses y romanos que se deben producir? Emplear el método de Gauss. b) Si además se sabe que las ganancias obtenidas por unidad de cada tipo de marco son: Rústico  $ 1,50 Modernista  $ 1,25 Francés  $ 0,95 Romano  $ 0,60 Determinar el número de marcos de cada tipo que se deben producir para obtener la mayor ganancia posible.

17.

Un ciclista se desplaza por tres tipos de terreno: cuesta arriba, llano cuesta abajo. En cada uno de ellos emplea una velocidad constante. Como desea determinar dichas velocidades, elabora la siguiente tabla de datos acerca de sus tres últimos recorridos:

Tiempo empleado (en horas)

Distancia total (en km)

Recorrido

Cuesta arriba

Terreno llano

Cuesta abajo

I

0,25

1

0,25

22

II

0,75

0,6

0,05

16

III

1

0,2

0,4

19

a) Especificar las variables que se deben determinar, indicando qué representan y en qué unidades se miden. 38

b) Hallar las velocidades del ciclista en cada tipo de terreno. Emplear el método de eliminación gaussiana. c) Empleando la solución encontrada en b), determinar qué tiempo emplearía el ciclista en una ruta de 4km. Cuesta arriba, 15 km. En terreno llano y 10 km. Cuesta abajo.

18.

Suponga que una industria de hidrocarburos puede mezclar cuatro tipos de petróleo para abastecer sus pedidos. En la siguiente tabla se muestran las características de cada tipo de petróleo: Tipo de petróleo

Total de galones por barril

Promedio de galones de compuestos ligeros (que se evaporan con el calentamiento) por barril

Ligero

75

3

Mediano

60

2,5

Pesado

60

3

Extrapesado

45

2

Dicha industria debe abastecer un pedido de 20 barriles de petróleo que contenga en total 1 350 galones de petróleo y un promedio de 56 galones de compuestos ligeros. Usando el método de eliminación gaussiana, contestar las siguientes preguntas: a) b) c)

Con información dada ¿se puede determinar un único número de barriles de petróleo de cada tipo que deben mezclarse para abastecer tal pedido? Suponga que la compañía no tiene ningún galón de petróleo del tipo Extrapesado. ¿Cuántos barriles de petróleo de cada tipo se requerirá? Modificar uno de los coeficientes del sistema planteado en la parte b) para que el problema no tenga solución. Muestre el nuevo sistema, justificando su respuesta.

39

BIBLIOGRAFÍA 1. Ayres, F. (1998)

Matrices. Mc. Graw Hill. México.

2. Kreyszig. W. (2004) Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Edit. Limusa Wiley. México. 3. Leithold, L. (2007)

Precálculo. Editorial Harla México.

4. Larson, R. y Hostetler, R. (2004) Precálculo. Editorial Reverté. México. 5. Taylor, H.(1989)

Matemática Básica. Edit. Reverté. México.

40