Separata de Algebra (13-16)
PRIMER BOLETÍN - CICLO ANUAL 2014 teorema del factor FACTORIZACIÓN II 1. 4. BINOMIOS ASPA SIMPLE Todo polinomio s
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PRIMER BOLETÍN -
CICLO ANUAL 2014
teorema del factor
FACTORIZACIÓN II 1.
4.
BINOMIOS
ASPA SIMPLE
Todo polinomio será divisible
Generalmente
entre cada uno de sus factores.
Forma General: ax + bxy + cy
2
grado impar y que tienen factores de
cierto polinomio es múltiplo de sus
la forma:
factores.
Ejemplo:
se
utiliza para factorizar polinomios de
Podemos decir entonces que un 2
MÉTODO DE LOS DIVISORES
ax + b
Ejemplo: 3.
ASPA DOBLE ESPECIAL Forma General: 4
2.
2
ax + bx + cx + dx + e
ASPA DOBLE Forma General:
3
Consideraciones:
Demostrar que (x - 3) es factor x3 – 13 x + 12
1.
Solución:
polinomio (lo convierte en cero) lo llamaremos cero del polinomio.
Por el teorema del factor tenemos
2.
que demostrar que la división: x3 13x 12 x3
Si en un polinomio P(x), x =
b anula a dicho polinomio; este valor
Ejemplo:
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f
El valor que anula a un
será un cero del polinomio y (x - b)
es exacta (R = 0)
será un factor de dicho polinomio. 3.
Por el teorema:
Esto significa que si (x - b) es
un factor del polinomio, por el R = 3 – 13(3) + 12 = 0 3
teorema del factor la división de P(x):
Consiste en la formación de 2 aspas 13x + 12
Ejemplo:
AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS
(x – b), será exacta.
(x – 3) factor de x3 –
simples.
4. los
TELF.2518889 CEL.991741676
Existe un procedimiento para calcular posibles
AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS
ceros
en
el
polinomio.
TELF.2518889 CEL.991741676
PRIMER BOLETÍN -
si bles Ceros
CICLO ANUAL 2014
Di vi sores del Últi mo Coefi ci ent e
Factorizar:
Di vi sores del Pr i mer Coefi ci ent e
4
64x + y
a) 1
8
Factorizar:
E = x3 + 7x2 + 7x – 15 Posibles Ceros
Posi bles Ceros
Divi sores del 15 Divi sores del 1 (1, 3, 5, 15) 1
a) 5x + 3y + 2
d) x + y - 2
b) 5x + 3y – 2
e) 3x + 5y - 3
c) 5x – 3y - 9
4. El número máximo de ceros está
(1, 3, 5, 15 )
c) 8 d) 4
3. Factorizar e indicar un factor primo: F(x, y) = 15x2 – xy – 6y2 + 34x + 28y 16
Ejemplo:
b) 2 e) 6
determinado = 8 posibles ceros
por
el
grado
de
polinomio.
Probando con cada uno de ellos en
5.
orden.
En
este
1. caso
mediante sumas y restas trataremos Primero con x = 1 (Si fuera cero del
de
polinomio (x - 1) sería un factor)
perfecto para exponentes impares.
Luego se divide por Ruffini el
formar
trinomio
cuadrado
También se pueden hacer cambios de variables.
polinomio.
Factorizar e indicar un término de un factor primo: P(x, y) = 15x2 + 14xy + 3y2 + 41x + 23y + 14
a) 5x b) 2 c) 3y d) y Todas son correctas
Ejemplo: Observación: TELF.2518889 CEL.991741676
a) 9a + b b) 9a + b - 1 c) 6a – 3b + 1 d) 6a + 3b – 2 9a + b + 1
e)
5. Factorizar: F(x, y) = 6x2 + xy – 2y2 + 18y + 5y + 12; indique un factor primo:
e)
2. Indicar uno de los coeficientes de “y” en uno de los factores primos de: P(x, y) = 6x2 – xy – 12y2 + x – 10y - 2
x3 + 7x2 + 7x – 5: (x - 1)
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indicar la suma de factores primos.
PROBLEMAS PROUESTOS
MÉTODO DE LOS ARTIFICIOS
Luego de factorizar: P(a, b) = 18a2 + 13b + 9ab – 2b2 – 20 – 18a;
a) 2x + y – 4 b) 3x + 2y + 3 c) 3x + 2y + 4
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6.
d) 2x + y - 1 e) 2x – 3y + 1
Factorize: TELF.2518889 CEL.991741676
PRIMER BOLETÍN -
P(x, y) = 5x2 + 9x - 6y2 + 8y – 7xy – 2; señale un factor primo: a) 5x + 3y – 2 b) 5x – 3y + 1 c) x – 2y + 3
d) 5x + 3y - 1 e) x – 2y - 1
7. Factorize: R(x, y) = 4x2 + 8xy – 5x + 6y – 6; indique la suma de coeficientes de un factor primo. a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
8. Factorizar: P(x) = x4 + x3 – x2 + x – 2; dar el factor primo de mayor suma de coeficientes. a) x + 2 b) x2 + 1 c) x2 + 4 d) x – 1 e) x2 - 3 9. Factorizar: P(x) = 3x4 – x3 – 23x2 + 9x – 36; dar el factor primo de mayor grado. a) 3x2 – x + 9 b) 3x2 – x – 3 c) 3x2 – x + 4
d) x + 3 e) x - 3
CICLO ANUAL 2014
10. Factorizar: P(x) = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1; indique un factor primo. a) x2 + 3x – 3 b) x2 + 2x – 1 c) x2 + x + 2
d) x2 + 3x - 1 e) x2 -2x + 1
11. Factorize y señale un factor primo de: F(x) = x4 + 6x2 + 25 2
a) x + 2x + 5 x+3 d) x2 + 4x + 1
2
b) x + x + 1
2
d) 2(x2 + 4) e) x(x - 3) 14. Factorizar: P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6; indique un factor primo. a) x + 1 2 d) x + 6
e) x – x + 7
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M(x, y) = 6x2 + 9xy + 5x – 6y – 6; coeficientes.
e) x - 3
a) 2x + 3y – 3
15. Factorizar: P(x) = x3 – 13x + 12; y reconoce un factor.
b) 2x – 3y – 3
c) 3x
-2 d) 3x + 2
b) x – 2
c) x +
e) 2x + 4y – 3
c)
1.
Factorizar:
a) x + 3y + 1
e) 5x + y + 6
c) 2x + y + 5 2.
Factorizar:
d) 4x + y + 8
b) 2x + 3y + 1
e) 2x – 3y + 2
c) 4x + y + 4 5.
Factorizar:
indique un factor primo: a) 2x + y – 2
d) 2x + y - 4
b) 3x – 2y – 3
e) 3x + 2y - 4
c) 3x – 2y + 4
F(x, y) = 6x2 – 7xy + 2y2 – 13x + 7y + 5; indicar un factor primo:
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a) 2x + 3y + 3
F(x, y) = 6x2 – xy2 – 2y2 + 17x – 2y + 12;
d) x – y + 1
b) x + 3y + 2
Factorizar:
N(x, y) = 8x2 + 2xy + 28x + 13y + 24;
P(x, y) = 5x2 + 16xy + 3y2 + 11x + 5y + 2; señalar un factor primo.
c)
4.
y señalar el factor primo trinomio:
e) x - 4
AUTOEVALUACION
e) x2 - 5
b) x(x + 3)
Factorizar:
dar el factor primo de menor suma de
a) x + 1 4 d) x + 3
13. Factorize: P(x) = x4 + 4; dar la suma de factores primos. a) x2 + 2x 2(x2 + 2)
c) x +
e) 4x – 5y - 1
c) x –
2
b) 2(x2 + 3)
b) x – 1
b) 3x – y c) 2x + y
d) 3x + 5y 3.
12. Factorizar: P(x) = x4 + 4x2 + 16; dar la suma de factores primos. a) 2(x2 + 2) 2(x2 + 4) d) x2 + 5
a) 3x – 2y – 5
6.
Factorizar:
G(x, y) = 6x2 + 20y2 + x + 23xy + 6y – 2;
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PRIMER BOLETÍN señale el factor primo de mayor suma
10.
CICLO ANUAL 2014 Factorize:
señalar el número de factores primos:
P(x, y) = x4 + x3y – 7x2y2 – xy3 + 6y4;
de coeficientes:
indique la menor suma de coeficientes a) 3x + 4y + 2
d) 3x – 4y + 2
b) 2x + 5y + 1
e) 3x – 2y + 4
c) 2x – 5y - 2
de un factor primo: a) 5
b) 2
d) 4 7.
Factorize:
H(x, y) = x2 + 5x + 4 + 9y – 9y2;
a) 1 d) 4
c) 0 e) -1
RREFUERZA LO APRENDIDO
b) x – 11y + 3
e) x – 3y + 4
Factorize:
Q(x) = x8 + 15x4 + 18x2 + 6x6 + 9;
a) 1
d) x4 – 2x2 - 3
b) x4 + x2 + 3
e) x4 + 2x2 + 3
4
2.
2
c) x – x + 3 9.
b) 2 d) 4
indique un factor primo: a) x4 + 3x2 + 3
Factorizar: P(x) = x4 + x2 + 1; señalar el número de factores primos:
c) x + 3y - 4 8.
c) 3
Factorizar: P(x) = x4 + 2x2 + 9;
Factorize:
a) x
indique un factor primo: a) x2 + x + 1 2
b) x + x – 1
d) 2x2 + x + 3
b) 8x d) x2
3.
2
e) x + x + 3
a) x + 5 9 7 5.
b) x + 10 d) x + 4
c) x + e) x +
Factorizar: P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6;
e) 5
indique un término de un factor primo.
P(x) = 2x4 + 5x3 + 3x2 + 5x – 3;
e) 5
indicar un factor primo. 1.
d) x + 3y - 1
c) 3
4. Factorizar: M(x) = x3 + 5x2 – 2x – 24;
señalar un factor primo: a) x + 3y – 2
b) 2
señalar la suma de coeficientes de un factor primo: a) 0
b) 1 d) -4
c) 2 e) -3
c) 7x e) 9
Factorizar: P(x) = x4 + x2 + 25;
2
c) 2x – x - 2
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PRIMER BOLETÍN -
RADICACIÓN
CICLO ANUAL 2014 2 5x
; 3 5x
;
5 5x
multiplica
n
a
Estos se caracterizan por tener el mismo índice.
, cumpliéndose que:
a b
bn a
5
;
b
son
homogéneos, de índice 2. 3
índice
signo radical
3
x
;
4 3
z
;
5
w2
;
el MCM de 3; 4 y 5 es 60. Luego trataremos que todos los índices de
3
4
; 2 b
;
3
a
Se eleva la expresión que esta afuera del radical, a una potencia igual al índice del radical.
radical tengan el mismo valor 60: 3
Elementos
Dados:
En primer lugar se debe reconocer que
; 2 b
INTRODUCCIÓN DE EXPRESIONES BAJO EL SIGNO RADICAL
Ejemplo:
expresarlos como homogéneos:
Ejemplo:
Las cantidades a y b serán positivas siempre que n sea un número par.
exponente
subradical.
Llamaremos radical simple a la expresión
el
también original de la cantidad
son semejantes.
RADICALES HOMOGÉNEOS n
por
son
homogéneos, de índice 3. HOMOGENIZACIÓN DE RADICALES Es la operación que consiste en
x
60
20
x
4
z3
60
z 45
5
w2
60
w24
Ejemplo:
(60 3 20)
2x
yz
-radical
n
a b
raíz enésima
Para tal fin se aplican los teoremas de exponentes y radicales, asimismo se
RADICALES SEMEJANTES
recomienda
tener
en
cuenta
las
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
y x2 3 x2
Estos tienen la misma expresión sub-radical y el mismo índice.
1. Se halla el MCM de los índices de los radicales, que será el índice común. 2. Se divide el MCM encontrado
= 3
Simplificar un radical es transformarlo en otro equivalente utilizando los teoremas ya mencionados.
siguientes reglas.
3
16a 7
(2x)2 yz
=
4x2 yz
transformar radicales con diferente índice, en radicales con igual índice.
=
= =
3 3
2 . 2a6 . a
3 2 . a6 . 2a
3 3
3
= 2a2 2a
3 ( x2 )3 .
y x2
x4 y
REDUCCIÓN DE RADICALES SEMEJANTES Los radicales semejantes, se reducen como si fueran términos semejantes.
entre el índice original de cada
Ejemplo: AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS
radical
y
cada
cociente
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se AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS
=
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PRIMER BOLETÍN -
Ejemplo:
CICLO ANUAL 2014
RADICALES DE LA FORMA:
A B
5 3 2 3 7 3 (5 2 7) 3 10 3
Los radicales de la forma
3 2 4 2 5 2 (3 4 5) 2 2 2
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES
donde A y B son números racionales positivos, se pueden transformar a la forma
m m
a .
a b
m
m
b
m
x y
.
Así
toda
ab
a b
A B x
y ………. (1)
A B x
y ………. (2)
Sumando miembro por miembro (1) y (2) y elevando al cuadrado después, podemos encontrar que: A B A B 2 x
Ejemplo:
2 A 2 A2 B 4 y y
A
A2 B 2
RADICALES DE LA FORMA:
De acuerdo con el criterio expuesto se debe buscar dos números que multiplicados sean igual a 30 y sumandos reproduzcan 11. Veamos:
A2 B 11 2 30
A2 B
la forma
determinar dos números x e y que cumplan con las siguientes relaciones: x+y=A
;
6
, se pueden
1.
2A 2 x
DOBLES A RADICALES SIMPLES
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A
A2 B 4 x A2 B 2
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5
Finalmente la expresión transformada queda así: 11 2 30 6 5
x.y=B
(x y) 2 xy x y
TRANSFORMACIÓN DE RADICALES
(6 5) 2 6 • 5
Cuando un radical doble es de
PROBLEMAS PROUESTOS
Así se verificará que: Ejemplo:
Para: 11 2 30 , tenemos:
A B A B 2 y
la
transformación consiste en hallar x e y en función de A y B, para lo cual se plantean las siguientes ecuaciones:
Para efectuar estas operaciones los radicales deben ser homogéneos o en caso contrario, reducirlos a homogéneos. m
A B
Procediendo de una manera análoga, al restar (1) y (2) y elevar al cuadrado después, se obtiene:
1. Reducir:
ó
K 98 2 50 48 32
a) 2
b) 2 2 c) 3
(x y) 2 xy x y
d) 2 3
AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS
e) 4 2
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PRIMER BOLETÍN -
2.
El equivalente de:
N 3 8 11 72
N 6 2 5 11 2 30 1
Es: a) 6
b) 5
d) 5
e) 1
CICLO ANUAL 2014
c) 6
a) 1/2
b) -2
d) 1
e) 14
d) 49 c) 2
3
m m m3 n6 .
3
m m m3 n6
12.
2
a)
b)
3
2
c)
d)
e) 1
n
c) -m
x x2 1 2
Q
Si: 1 999 < m < n < 2 001
a)
2 b) x 1
2 d) x 1
e) x
b) -2n
c) 2m 12 2 35 8 2 15 A B
d) -2m 5.
a) 2
d)
8.Hallar: B – 8A en: a) 2n
3 2
e) m + n
2 x
e)
5 1 2
c)
13.
AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS
b) 4
en
2 3 3 2 radicales
b) x
e)
11. Descomponer simples:
c)
8 6 3 2
b)
6 6 2 5
d)
6 2 2 2
Si:
5 x 3 el equivalente de: 2
e)
2 3 3 2
Es:
x2 2
a) 2 2x 3 3 2
e)
3 2
a
radicales
b) 2 2x 3
2 3
T 2 3
c) 14.
c) 94
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7 48
2x 2 6x 9 2x 1 2 4x 6
x 2
Efectuar: a) 84
3 2 2 2
a)
Considerando: x < 2, es:
c) x 1
E n2 2mn m2 m2 2mn n2
Descomponer
1 2 x2 x
x x2 1 2
x1 2
Reducir:
e)
2 1
c)
2
e) –n
3 1 2 2
2 1
4
10.Un radical simple de:
2
d) n 4.
3
b)
3 1
7.Si: x > 1, reducir: b)
3 1 2 2
3 2 2
b)
simples:
Sabiendo que: 2 001 < m < n
b. Mostrar un
2.
CICLO ANUAL 2014
a b 2 a 6b
b)
7
c) d)
a) 1
b) 2
5
d) 6
Proporcionar el valor de: radical
n
3 2 .
/
ℕ
n
2n
4.
2
001, 7.
a 2ab b
e) 1/6
3
3
2
2
a 3ab 3ab b b
Sabiendo que: 2 001 < a < b < 2 003
8.
x 1 x x 2
2
b)
b)
3
c) 2 3 e)
3 2 2
AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS
La
expresión
Si: x > 1
2
mostrada:
3 3 4 2 3 Equivale a:
TELF.2518889 CEL.991741676
3
e) 2
15 2 54 8 2 12 A B
Hallar: a y b en la siguiente igualdad:
a) 18
a) a = 2; b = 1
d) a =
b) a = 3; b = 6
e) a =
0; b = 1
b) 37
c) 83 d) 61
e) 2b – 2a
b)
11. Hallar: B – A en:
e) 1
1; b = 5 5.
2x 1 2 x2 2x 1
d) 1
b) b
d) 2a + 2b
e) 1
c) 4
2x
c) a
L 75 27 12 48 3
2 3
a)
3 8 12 8 2 3( a b )
Reducir:
1 3
3
2
d) ( 2 1)x
3
b)
10. Simplificar:
e) -1
2 c) x 2
Mostrar el equivalente de: 2
d)
Sabiendo que: x = x + 1; x > 0
a)
e) 8
2
a) 2 3
2
b) 1
a) 0
d) 5 2
c) 3
AUTOEVALUACION
a) 3
4 12 7 48
d) 1
52 6
d) 4
c) 1/4 d) 1/3
a) 2
radicales
b) 1/2
n
Reducir:
34
b) 2 2
Reducir:
simples: a) 1
Si:
e)
proporcionar el equivalente de:
si
puede
en
Efectuar:
9.
E 9 5 3 3( 3 2) 4 2 3
3 1
c)
doble:
x y ( )xy descomponerse
.
3 2
a) 0
e) “a” o “d”
2
3 1
c)
e) 8
3
el
1.
6.
c) 4
3. 15.
d)
b)
3 1
c)
E 7 2 12 7 2 12
radical simple de:
a)
a)
Mostrar el equivalente de:
e) 17
12. Hallar el valor de:
E 2 2 2 ..... 2 2 2 2 2 4 2
c) a = 1; b = 2
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PRIMER BOLETÍN a) c) d)
b)
3 1
CICLO ANUAL 2014
3 1
3 2 e)
3 2
2 2
13. Al extraer la raíz cuadrada de: x 1 x2 2x 3
Se obtienen 2 radicales simples cuadráticas.
Calcular
el
valor
numérico de uno de ellos para x = 7. a)
b)
2
3 c)
4
d) 5
e) “a” o “c” 14.
4
17 12 2
; es equivalente a:
a) 2 3
3 2
b)
c) 3 2 d) 2 2 1
e) 2 1
15. Si se cumple:
5x 2 2 6 x 2 7 x 3 ax b cx a De modo que: {a; b; c} ℕ Calcular: “a + b + c” a) 4
b) 5 d) 7
c) 6 e) 8
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AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS
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PRIMER BOLETÍN -
RACIONALIZACIÓN m
Es la operación mediante la cual, se transforma una expresión cuyo denominador es irracional, en otra equivalente, pero con denominador racional.
a n
b
CICLO ANUAL 2014
m
m
a n
b
.
m
bm n m n
a
b
m
bm n
Basta multiplicar los dos términos por la cantidad conjugada del denominador.
b
RACIONALIZACIÓN DE
Ejemplo:
Ejemplo: 3
a
DENOMINADORES BINOMIOS
b c
a b c
b c
a( b c ) bc b c
.
Es la expresión irracional, que multiplicada por el denominador irracional, lo convierte en una expresión racional.
DENOMINADORES MONOMIOS Si el denominador es de la forma
m
bn
Cuando una fracción presenta un denominador binomio, el factor racionalizante es en general un polinomio cuya forma dependerá del binomio original.
m
b c
DENOMINADOR BINOMIO DE LA FORMA :
a b
Denominador :
a b c
b c
.
b c
a
3
a( b c ) bc
b
Cuando los denominadores son binomios cuyas raíces resultan ser de índice tres, los factores racionalizantes se obtienen así:
a b
F.R.: a b
Denominador :
F.R.:
3
a
2
RACIONALIZACIÓN
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F.R.:
3
ab
3 3
a
2
3
a
a
ab
3 3
3 3
b
3
3
( 4
20
4
3
5
3 3
3
25 )
5)
.
3
3
3
3
( 16 ( 16 3
2( 16
3
20 20
20 9
3
3 3
25 )
n
a
n
b
En general, para denominadores cuyos radicales son de orden mayor que 3, se utilizarán criterios de cocientes notables. n
Denominador :
n
3
3
2
DENOMINADOR BINOMIO DE LA
a b
Denominador :
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DENOMINADOR BINOMIO DE LA FORMA:
F.R.: a b
Denominador :
2( 16 3
5
FORMA:
3
, el factor racionalizante
es bm n . En estos casos el factor racionalizante es conocido también como el conjugado del denominador. Veamos el siguiente ejemplo:
a
4
3
3
FACTOR RACIONALIZANTE (F.R)
2
x
n
y
F.R.:
xn 1
n
xn 2 • y ......
n
yn 1
;n
impar
2
b
b
n
Denominador :
x
F.R.:
2
b
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n
y
25 ) 25 )
PRIMER BOLETÍN n
xn 1
n
xn 2 • y ......
n
yn 1
CICLO ANUAL 2014
; n
b)
par
2.
Al racionalizar
7
3
Denominador :
x
n
7
y
xn 1
5
a
5 5
b
proporcionar el valor de
5.
N
n
xn 2 • y ......
n
yn 1
;n
a) 3
a4
5
a3b
5
a2b2 ab
5
ab3
5
expresión
de
3
la
e) 7
Racionalizar e denominador: E
a b
a) 1
.
Calcular: “a + b”.
7
4.
2 2 2
9.
c) 9
e) 6
Indicar el racional de:
denominador 6
5 6 10 15
Reducir:
el
1 5 3
1 3 1
b) 5
b) 1
5 1
c) 2
M 3
e) 10
3
4
b) 3
c) 4
Efectuar: 4 84 3
Racionalizar:
16 8
Dar su denominador:
e) 3 2 a) 2
7.
e) 9
10. Racionalizar:
c)
d) 3
c) 2
d) 3
2
2 5
648
c) 5
d) 3
e) 15
a) 0
4
d) 6
7 2 2 1
b) 23
a) 6
indicar
b) 3
a) 11
b) 6
M
se obtiene una forma:
d) 6
12
d) 12
6.
PROBLEMAS PROUESTOS 3
b) 4
b4
3.
1.Al racionalizar
a) 2 c) 5
denominador
2 3 5
Reducir:
“k”.
Ejemplo: 1
k
k
F.R.: n
3 2
Indicar el racional de:
c) 2( 3 2 )
una expresión de la forma: n
8.
e)
3 2
obtenemos
6
4( 3 2 )
3 7 2 10
1
d) 6
e) 5
11 2 30
4
a) 2 c) 3 d) 4
3 2
b) 6
e) 5
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a) 1
b) 5 d) 0
a)
4( 3 2 )
c) 2 e) 3
d) 1
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11. Racionalizar: M 3
9
3
4
Dar su denominador: AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS
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PRIMER BOLETÍN -
a) 2
b) 3
14. Indicar el racional de:
c) 4
d) 5
CICLO ANUAL 2014
A
e) 7
12. Si la expresión: 10
10 3 10 1
10 3 10 1
a) 240 245 d) 244
2
/
d) 2001
5
1
8
5
4
3
N
b) 243
3
3
3
2003 ( 2001
2001
3
2003
3
3
b) 6
d) 12
e) 16
b) 2002
R
d) 0
b) x2y2
e) 1
c)
8
xy
AUTOEVALUACION
1x 2x 1x 1x
2
7
3. Efectuar: 11 3 2 7
a) 2 2 c) 3 2
6
4
1
1x 2x
b)
b) 5 2
c)
2x 4x
a)
c) d) 1
e) 0
AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS
18
b) ab
d) a + b
e)
a b
4
5
e) 0
2
72
b)
6
es
6. Dar el denominador racionalizado de: 1
27 18 32 12 12
a) a c) a - b
2 2 7
4. Dividir 1 entre: a) 1 + x
No
a b E a 2 ab b ab b a
5 2
d) 2
1. Simplificar: 3
e)
xy
e) 3
13. Simplificar: 1x
a) xy
c) 2003
d) 200
3
5. Efectuar:
E
a) 1
d) 3 2 posible
6 2
2003 )
4004
Calcular el valor de “ . ” a) 8 c) 20
e)
9
c) e) 246
2001 .
12 2
2. Efectuar:
15. Proporcionar el denominador racional de:
Es equivalente a:
denominador
a) 2 c) 1
b) 4
d) 7
e) 3
9
12 2
3
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a) 3 2 c) 2 1
b) 5
AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS
7. Simplificar:
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PRIMER BOLETÍN -
4 3 1 E 1 3 3 1 3 3
a) 3 c) 3 1
b)
d) 2 3
e) 3 3
1
CICLO ANUAL 2014
Indicar el denominador:
a) 1 c) 4
b) 2
d) 6
e) 8
d) 5
e) N.A.
14. Calcular el verdadero valor de: x2
E
12. Indicar el denominador racionalizado de: x
x2 x
4
x
Para x = 2
3 62
3 1
a) 0
10. Racionalizar: M 3
9
3
6
3
4
Dar su denominador:
a) 25 c) 29
b) 27
d) 7
e) 14
b) 1
c) 2 2 4
d) 2 2
e)
8
2
8. Racionalizar y simplificar: 12 2 3 5
a) 2 c) 4 a) 2 3 3 2 30
b) 3
x x y y y x x y
d) 5
e) N.A.
b) 3 2 2 3 30 c) 2 3 3 2 30
11. Racionalizar:
d) 2 2 30 3
3
9. Racionalizar: F
8 7 15 21 35
AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS
9
3
15. Efectuar: E
a) 1/2 d) 2
5
Dar su denominador:
a) 2 c) 4
x2 y xy2
Reemplazo “x” por “y” se obtiene: M
e) 3 3 2 2 30
13. Si después de racionalizar y simplificar:
a) -1 c) 2
b) 1
d) 1/2
e) -2
4 15 2 3 13 120 5 24
b) 1
c) 3/2 e) 5/2
b) 3
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PRIMER BOLETÍN -
x! = 24 x! = 4! x = 4 (2x – 1)! = 6 (2x – 1)! = 3! 2x – 1 = 3 2x = 4 x = 2 2. Si a! = 1 a = 1 a = 0
FACTORIAL DE UN NÚMERO FACTORIAL El factorial de un número sólo está definido en el conjunto de los número naturales y es igual el producto del número dado, por todos los número naturales menores que él, sin incluir el cero.
3. n! = n (n – 1)! , n Z+ n 1 Ejemplo:
NOTACIÓN Para indicar el factorial de un número empleamos cualesquiera de los siguiente símbolos ! ó L.
4. n! = n(n – 1) (n – 2) … (n – k + 1) (n – k)! “k” multiplicaciones indicadas
Ejemplo:
Donde: n – k 0
6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 = 720 4! = 1 . 2 . 3 . 4 = 24 n! = 1 . 2 . 3 ……… (n – 2) (n – 1)n Por definición: Por convención:
6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 6! = 6 . 5! (n + 2)! = (n + 2) (n + 1)! (n – 3)! = (n – 3) (n – 4)!
n! n Se lee: “factorial de n” Por definición: n 1 2 3 4...n
CICLO ANUAL 2014
c.
d. C
21 ! 20 ! 19 !
e. K
15 ! 13 ! 13 !
f. 2.
(n 36) ! (n 35) !
b. G
n(n 1) ! (n 2 ) !
c.
C) 8 E) 9
6. Halle el valor de “n” en: 720!119!
5!
719!
A) 3
(r 5) ! Q (r 4) !
3. Halle la suma de valores de “n” que satisfagan la igualdad n! 3 n! 2 3 n! 6 A) 1
B) -3 D) - 8
5 ! 1! 0!
a. P
A) 3
Simplificar:
B) 2
C) 3
n!!
6.
6!
n!!
B) 4 D) 6
C) 5 E) 7
Determinar en:
8 5 !12 n 5! 4 3!
7. REDUCIR: A
13 ! 0 ! 13 ! 2 ! 14 ! 12 !
8. REDUCIR: P
6 ! 7 ! 8 ! 5!
D) 4
E) 5
7! = 7 . 6 . 5 . 4! 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3!
Reducir: 12! 13! 14! K 12! 13! 12!x7
4.
PROBLEMAS PROUESTOS
1. Si a! = b! a = b , a, b Z+
M
Ejemplo: 7! = 7 . 6 . 5!
1! = 1 0! = 1
PROPIEDADES:
5. Calcule la suma de valores de “n” 2 2 n 3 ! n 3n 2 n 3n
13 ! 9 ! P 14 ! 8 !
1. Para cada caso, encontrar el valor equivalente de: a.
Ejemplo:
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b.
5! N 2! 8! 6! M 6! TELF.2518889 CEL.991741676
AUTOEVALUACION
1. Simplificar: A) 28
B)
D)
28 3
14 3
C) 14
7 3
AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS
18 ! 16 !
2. Simplificar: I
E)
N
(p q) ! (p 8 ) !
3. Simplificar: E
a(a 1) ! a!
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PRIMER BOLETÍN -
CICLO ANUAL 2014
5.
4. Calcular n: n! x 4 x 5 x 6 x 7 = 7! 5. Hallar “a” si: 720 = (a – 8)! 6. Hallar a + b, si 7. REDUCIR J
a! b! 8 3!
D e s c o m p o
1! 2 ! 3 ! 2!
8. REDUCIR N
23 ! 24 ! 25 ! 23 !
9. RESUCIR P
6! 7! 8! 6!
1 1 .
10. HALLAR m:
e s s i m p l e s :
n e r a
1. 2. 3. 4. AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS
TELF.2518889 CEL.991741676
r a d i c a l AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS
T 2 3
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