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• Yngrid Mercedes Caldas Palma

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PRIMER BOLETÍN -

CICLO ANUAL

2014

1.

ASPA SIMPLE

Todo

Forma General: 2

ax + bxy + cy

4.

teorema del factor

FACTORIZACIÓN II

polinomio

será

divisible entre cada uno de 2

utiliza

para

factorizar

polinomios de grado impar y

entonces

que

que

un

cierto

tienen

forma:

factores

de

la

a

un

convierte

en

ax + b

factores. Ejemplo: 3.

ASPA

DOBLE

ESPECIAL Forma General: 2.

Generalmente se

sus factores. Podemos decir polinomio es múltiplo de sus

Ejemplo:

MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS

ASPA DOBLE Forma General:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Ejemplo:

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f

Consideraciones:

Demostrar que (x - 3) es



factor x3 – 13 x + 12 Solución: Por

el

del

factor

tenemos que demostrar que la división:

aspas simples. Ejemplo:

(lo

anula

polinomio. 2. Si en un polinomio P(x), x = b valor

es exacta (R = 0)

 R = 33 – 13(3) + 12 = 0

polinomio

que

anula a dicho polinomio; este

Por el teorema: Consiste en la formación de 2

valor

cero) lo llamaremos cero del

teorema

x3  13x  12 x3

1. El

será

un

cero

del

polinomio y (x - b) será un factor de dicho polinomio. 3. Esto significa que si (x - b) es un factor del polinomio, por el teorema del factor la división de P(x): (x – b), será exacta.

un procedimiento para  (x – 3)  factor de Existe calcular los posibles ceros en el x3 – 13x + 12 AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

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PRIMER BOLETÍN -

CICLO ANUAL

2014

x3 + 7x2 + 7x – 5: (x - 1)

linomio.

sibles Ceros 

2.

 Divisores del Último Coeficient e

Ejemplo:

Divisores del Pr imer Coeficient e

Factorizar:

Ejemplo:

64x4 + y8

a) 1

Factorizar: E = x3 + 7x2 + 7x – 15 Posibles Ceros  

Posibles Ceros  



PROBLEMAS PROUESTOS

Divisores del 1

1

=

8

posibles

ceros Probando con cada uno de ellos en orden. Primero con x = 1 (Si fuera cero del polinomio (x - 1) sería un factor) Luego se divide por Ruffini el

b) 2 e) 6

c) 8 d) 4

Factorizar e indicar un factor primo: F(x, y) = 15x2 – xy – 6y2 + 34x + 28y - 16 a) 5x + 3y + 2

d) x + y - 2

b) 5x + 3y – 2 -3

e) 3x + 5y

Observación: El número máximo de ceros

c) 5x – 3y - 9



(1, 3, 5, 15)

polinomio.

3.

Divisores del 15

(1, 3, 5, 15)

Indicar uno de los coeficientes de “y” en uno de los factores primos de: P(x, y) = 6x2 – xy – 12y2 + x – 10y - 2

4. Luego de factorizar: P(a, b) = 18a2 + 13b + 9ab – 2b2 – 20 – 18a;

está determinado por el grado de polinomio. 5.

MÉTODO DE ARTIFICIOS

LOS

En

caso

mediante

este

sumas

y

restas

trataremos de formar trinomio cuadrado

perfecto

para

1. Factorizar e indicar un término de un factor primo: P(x, y) = 15x2 + 14xy + 3y2 + 41x + 23y + 14

exponentes impares. También se pueden hacer cambios de variables.

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a) 5x b) 2 c) 3y e) Todas son correctas

d)

y

indicar la suma factores primos.

de

a) 9a + b b) 9a + b - 1 c) 6a – 3b + 1 d) 6a + 3b – 2 e) 9a + b + 1 5. Factorizar: F(x, y) = 6x2 + xy – 2y2 + 18y + 5y + 12; indique un factor primo:

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PRIMER BOLETÍN -

a) 2x + y – 4d) 2x + y - 1 b) 3x + 2y + 3 e) 2x – 3y +1 c) 3x + 2y + 4 6. Factorize: P(x, y) = 5x2 + 9x - 6y2 + 8y – 7xy – 2; señale un factor primo: a) 5x + 3y – 2 -1 b) 5x – 3y + 1 1 c) x – 2y + 3

d) 5x + 3y e) x – 2y -

7. Factorize: R(x, y) = 4x2 + 8xy – 5x + 6y – 6; indique la suma de coeficientes de un factor primo. a) 3 d) 6

b) 4 c) 5 e) 7

8. Factorizar: P(x) = x4 + x3 – x2 + x – 2; dar el factor primo de mayor suma de coeficientes.

CICLO ANUAL

a) x + 2 +4 d) x – 1

2014

b) x2 + 1 c) x2 e) x2 - 3

9. Factorizar: P(x) = 3x4 – x3 – 23x2 + 9x – 36; dar el factor primo de mayor grado. a) 3x2 – x + 9 +3 b) 3x2 – x – 3 -3 c) 3x2 – x + 4

d) x e) x

10. Factorizar: P(x) = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1; indique un factor primo. 2

a) x + 3x – 3 + 3x - 1 b) x2 + 2x – 1 -2x + 1 c) x2 + x + 2

d) x

2

e) x

2

11. Factorize y señale factor primo de: F(x) = x4 + 6x2 + 25

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un

a) x2 + 2x + 5 b) x2 + x + 1 c) x2 – x + 3 d) x2 + 4x + 1 e) x2 – x + 7

P(x) = x3 – 13x + 12; y reconoce un factor.

12. Factorizar: P(x) = x4 + 4x2 + 16; dar la suma de factores primos.

d) x + 3

a) 2(x2 + 2) b) 2(x2 + 3) c) 2(x2 + 4) d) x2 + 5 e) x2 - 5 13. Factorize: P(x) = x4 + 4; dar la suma primos.

d) x + 6

b) x – 2 c) x + 4 e) x - 4

AUTOEVALUACION 1.

Factorizar:

P(x, y) = 5x2 + 16xy + 3y2 + 11x + 5y + 2; señalar un factor primo. a) x + 3y + 1

d) x – y + 1

b) x + 3y + 2

de

factores

a) x2 + 2x b) x(x + 3) 2 c) 2(x + 2) 2 d) 2(x + 4) e) x(x - 3) 14. Factorizar: P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6; indique un factor primo. a) x + 1

a) x + 1

b) x – 1 c) x + 2 e) x - 3

e) 5x + y + 6

c) 2x + y + 5 2.

Factorizar:

F(x, y) = 6x2 – 7xy + 2y2 – 13x + 7y + 5; indicar un factor primo: a) 3x – 2y – 5

b) 3x – y c) 2x + y

d) 3x + 5y 3.

e) 4x – 5y - 1

Factorizar:

M(x, y) = 6x2 + 9xy + 5x – 6y – 6; dar el factor primo de menor suma de coeficientes.

15. Factorizar: AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

PRIMER BOLETÍN a) 2x + 3y – 3

b) 2x – 3y – 3

c) 3x

CICLO ANUAL

2014

señalar un factor primo:

-2 d) 3x + 2 4.

e) 2x + 4y – 3

Factorizar:

a) x + 3y – 2

d) x + 3y - 1

b) x – 11y + 3

e) x – 3y + 4

1. Factorizar: P(x) = x4 + x2 + 1; señalar el número factores primos:

c) x + 3y - 4

N(x, y) = 8x2 + 2xy + 28x + 13y + 24; y señalar el factor primo trinomio:

8.

Factorize:

Q(x) = x8 + 15x4 + 18x2 + 6x6 + 9; a) 2x + 3y + 3

d) 4x + y + 8

b) 2x + 3y + 1

e) 2x – 3y + 2

c) 4x + y + 4 5.

Factorizar:

a) 1 d) 4

indique un factor primo: a) x4 + 3x2 + 3

d) x4 – 2x2 - 3

b) x4 + x2 + 3

e) x4 + 2x2 + 3

c) x4 – x2 + 3 9.

d) 2x + y - 4

b) 3x – 2y – 3

e) 3x + 2y - 4

Factorize:

2

b) x + x – 1 6.

Factorizar:

a) x

indique un factor primo: a) x2 + x + 1

c) 3x – 2y + 4

d) 2x2 + x + 3 2

e) x + x + 3

Factorize:

indique la menor suma de coeficientes a) 3x + 4y + 2

d) 3x – 4y + 2

b) 2x + 5y + 1

e) 3x – 2y + 4

c) 2x – 5y - 2

de un factor primo: a) 5 d) 4

7.

Factorize:

H(x, y) = x2 + 5x + 4 + 9y – 9y2;

b) 2

c) 0 e) -1

RREFUERZA LO APRENDIDO

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a) 0

b) 1 d) -4

c) 7x e) 9

señalar el número factores primos:

P(x, y) = x4 + x3y – 7x2y2 – xy3 + 6y4;

de coeficientes:

señalar la suma de coeficientes de un factor primo:

3. Factorizar: P(x) = x4 + x2 + 25;

c) 2x2 – x - 2 10.

b) 8x d) x2

G(x, y) = 6x2 + 20y2 + x + 23xy + 6y – 2; señale el factor primo de mayor suma

e) 5

indique un término de un factor primo.

P(x) = 2x4 + 5x3 + 3x2 + 5x – 3; a) 2x + y – 2

5. Factorizar: P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6;

c) 3

2. Factorizar: P(x) = x4 + 2x2 + 9;

F(x, y) = 6x2 – xy2 – 2y2 + 17x – 2y + 12; indique un factor primo:

b) 2

de

a) x + 5 b) x + 10 c) x + 9 d) x +4 e) x + 7

a) 1

b) 2 d) 4

de

c) 3 e) 5

4. Factorizar: M(x) = x3 + 5x2 – 2x – 24; indicar un factor primo. AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

c) 2 e) -3

PRIMER BOLETÍN -

CICLO ANUAL

2014

Las cantidades a y b serán positivas siempre que n sea un número par.

5

signo radical 3

; 2 b

4

3

; 2 b

;

b

;

3

n

a b

raíz enésima

a

son homogéneos,

HOMOGENIZACIÓN DE RADICALES

Ejemplo:

Llamaremos radical simple a la expresión cumpliéndose que: n

a b



bn  a

n

a

,

3

x 

60

x20

4

z3 

60

z 45

5

w2 

60

w24

w2

;

(60  3  20)

SIMPLIFICACIÓN

DE

RADICALES Simplificar un radical es transformarlo en otro equivalente utilizando los teoremas ya mencionados.

exponentes y radicales, asimismo se recomienda

tener

en

cuenta

las

siguientes reglas.

común.

 5 5x

son semejantes.

RADICALES HOMOGÉNEOS Estos se caracterizan por tener el mismo índice.

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5

Para tal fin se aplican los teoremas de

RADICACIÓN ;

;

trataremos que todos los índices de

índice, en radicales con igual índice.

los radicales, que será el índice

; 3 5x

z3

el MCM de 3; 4 y 5 es 60. Luego

1. Se halla el MCM de los índices de

2 5x

4

En primer lugar se debe reconocer que

transformar radicales con diferente

Estos tienen la misma expresión sub-radical y el mismo índice.



;

expresarlos como homogéneos:

Es la operación que consiste en

RADICALES SEMEJANTES

x

radical tengan el mismo valor 60:

de índice 3.

Sub-radical

3

Dados:

son homogéneos, de índice 2.



Elementos índice

Ejemplo:

2. Se divide el MCM encontrado



3

16a 7

= =

3

23 . 2a 6 . a

3

3 23 . a 6 . 2a

entre el índice original de cada radical

y

multiplica

cada por

cociente el

se

exponente

2 = 2a

3

2a

también original de la cantidad subradical. Ejemplo:

INTRODUCCIÓN EXPRESIONES

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DE

PRIMER BOLETÍN -

CICLO ANUAL

2014

BAJO EL SIGNO RADICAL 5 3  2 3  7 3  (5  2  7) 3  10 3

Se eleva la expresión que esta afuera

del

potencia

radical,

igual

al

a

3 2  4 2  5 2  (3  4  5) 2  2 2

una

índice

MULTIPLICACIÓN

del

yz

=

(2x)2 yz

4 x2 yz



y x2 3 x2 3

3 (x2 )3 .

=

y x2

=

x4y



REDUCCIÓN



m

a . a b

m

m

b

m

radicales reducen términos

LA

A B

radicales

de

la

forma

x y

forma . Así toda la transformación consiste en hallar x e y en función de A y B, para lo cual se plantean las siguientes ecuaciones:

ab

a b

TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES RADICALES SIMPLES

Ejemplo: AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

A

A B  x 

y

A B  x 

y

A2  B  4 x 

 2A  2 x 

donde A y B son números racionales positivos, se pueden transformar a la

Ejemplo:

SEMEJANTES Los semejantes, se como si fueran semejantes.

m

DE

RADICALES

m

DE

A B

Para efectuar estas operaciones los radicales deben ser homogéneos o en caso contrario, reducirlos a homogéneos.

=

FORMA: Los

DE RADICALES

Ejemplo: 2x

Y

DIVISIÓN

radical.



RADICALES

A

A2  B 2

Procediendo de una manera análoga, al restar (1) y (2) y elevar al cuadrado después, se obtiene: A B  A B  2 y

 2 A  2 A2  B  4 y  y

A

………. (1)

RADICALES

………. (2)

FORMA:

Sumando miembro por miembro (1) y (2) y elevando al cuadrado después, podemos encontrar que: A B  A B  2 x

A2  B 2

DE

LA

A2 B

Cuando un radical doble es de la forma A  2 B , se pueden determinar dos números x e y que cumplan con las siguientes relaciones: x+y=A

;

x.y=B

Así se verificará que: AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

PRIMER BOLETÍN ( x  y)  2 xy  x  y

CICLO ANUAL

2014

1. 1. Reducir: K  98  2  50  48  32

ó

a) 2

Reducir:

b) 2 2

( x  y)  2 xy  x  y

c) 3 d) 2  3

E  n2  2mn  m2  m2  2mn  n2

a) 2n

b) -2n

2m

e) 4 2

d) -2m



N  6  2 5  11  2 30  1

Para: 11  2 30 , tenemos:

De acuerdo con el criterio expuesto se debe buscar dos números que multiplicados sean igual a 30 y sumandos reproduzcan 11. Veamos:

Es: a)

6

5

b)

d)  5

e) m + n

c)

 6

d)

x2  1

x2  1

x 1

e)

x

8.Hallar: B – 8A en:

N  3  8  11  72

a) 1/2

b) -2

d) 1

e) 14

c) 2

a) 84

b) 4

c) 94

d) 49

e) 47

9.Mostrar el equivalente de:

6. Efectuar:

e) 1

c)

b)

12  2 35  8  2 15  A  B

5. Efectuar:

2. El equivalente de:

Ejemplo:

c)

a)

x1 2

P  1   2  2 12  108

A  22 42 3

3. Mostrar el equivalente de: 3

11  2 30  (6  5)  2 6 • 5

6

m m  m3  n6 .

3

m m  m3  n 6

Sabiendo que: 2 001 < m < n < 2 002

5

Finalmente la expresión transformada queda así: 11  2 30  6  5

PROBLEMAS PROUESTOS

3

n

a) n -m

b)

d) n2

e) –n2

a) 2

b) 3 c) 3  1

d) 3  2

e) 1

7.Si: x > 1, reducir:

c) Q

x  x2  1  2

x  x2  1 2

a)

2

b)

3  2

e)

5 1 2

3 2

d)

3 2

10.Un radical simple de: 1  2  x2 x

4. Si: 1 999 < m < n < 2 001

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1 2

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c)

PRIMER BOLETÍN -

CICLO ANUAL

Considerando: x2 < 2, es: a) 2

d)

b)

2 x

e)

x

2x  2 6x  9  2x  1  2 4 x  6 x 2

c)

c) d) 12.

b) 2 2x  3

3  2

1 2

14.

en

3 2  2 2 a)

a)  3

a)

7

d)

8 6  3 2

13.

3 2 2

e)

a)

Mostrar el equivalente de:

c)

a) 1

b) 2

2

d) 6

e) “a” o “d”



el

doble:

x  y  (    ) xy

simples:

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en

3 1

si

3.

Si:

3 1

Efectuar:



ℕ

/

n



2

c)

001,

e)

n

3 2 .

2n

52 6

7.

b) 2 2 2

a) 2

b) 1

e) -1 2

Sabiendo que: x = x + 1; x > 0

puede radicales

Reducir:

x x 

c) 3 d) 4

34

4  12  7  48

d) 1

proporcionar el equivalente de:

3 1

3 2

e) 8

n

mostrada:

b)

a) 0

Proporcionar el valor de: radical

d)

6.

c) 4

descomponerse 5 x3 Si: 2 el equivalente de:

5

. 15.

2 3  3 2 e)

b)

expresión

Equivale a:

d) 5 2 2.

La

e) 2b – 2a

3 3  42 3

c) 2 3

a  2  2b

3

c)

6 6  5 c) 2

3

b)

E  7  2 12  7  2 12

7  48

b)

d) 2a + 2b 5.

Si:

b) b

c) a

L  75  27  12  48  3

a  b  2 a  6b

simples: 4

003

Reducir:

3 2

a3  3ab2  3ab2b  b3

Sabiendo que: 2 001 < a < b < 2

radical simple de:

radicales

3

a) 0 1.

a4 b2 

2 3  3 2 e)

Descomponer

e) 1/6

d)

{a; b}  ℕ / a > b. Mostrar un

2 1

a2  2ab  b2 

AUTOEVALUACION

2 3

2 1

6 2  2 2 d)

e)

3 2

c)

Mostrar el equivalente de:

c) 1/4

a) 2 2x  3  3  2

T  2 3

4.

b) 1/2

d) 1/3

x2 2

b)

a) 1

Es:

11. Descomponer a radicales simples:

3 2  2 a) 2

2014

e) 8

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x 1 2

PRIMER BOLETÍN a)

2

b)

d) 1

2x

2 x c) 2

d) ( 2  1)x 8.

CICLO ANUAL

2014

e) 2

4

14. 17  12 2 ; es equivalente a:

11. Hallar: B – A en: 15  2 54  8  2 12  A  B

e) 1

Hallar: a y b en la siguiente igualdad: 3  8  12  8 2  3( a  b ) a) a = 2; b = 1

d) a =

1; b = 5 b) a = 3; b = 6

e) a =

a) 18

a) 2  3

b) 37

c) 83 d) 61

c) 3  2

e) 17

d) 2 2  1

12. Hallar el valor de:

9.

E  2  2 2  .....  2 2  2 2  2 4  2 3 5 x  2  2 6 x 2  7 x  3  ax  b  cx  a a)

3 1

E  9  5 3  3( 3  2)  4  2 3

d)

3 1

b)

Calcular: “a + b + c”

3 2

e)

a) 4

2 2

3

c) d)

1 3

b)

2 3

e) 8

x  1  x2  2x  3 cuadráticas.

e) 1

Calcular

el

valor

numérico de uno de ellos para x = 7.

2x  1  2 x2  2x  1

Si: x > 1 2

c) 6

Se obtienen 2 radicales simples

10. Simplificar:

a)

b) 5 d) 7

13. Al extraer la raíz cuadrada de: a) 2  3

De modo que: {a; b; c}  ℕ

3 2

c)

Reducir:

e) 2  1

15.Si se cumple:

0; b = 1 c) a = 1; b = 2

3 2

b)

a) 5

b)

3

2

b)

3 c)

e)

4

“a”

d) o

“c”

c) 4 AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

PRIMER BOLETÍN -

CICLO ANUAL

2014

Es la expresión irracional, que multiplicada por el denominador irracional, lo convierte en una expresión racional.

DENOMINADORES

Cuando una fracción presenta un denominador binomio, el factor racionalizante es en general un polinomio cuya forma dependerá del binomio original.

MONOMIOS Si el denominador es de la

m

forma

bn

,

el m

RACIONALIZACIÓN

Es la operación mediante la cual, se transforma una expresión cuyo denominador es irracional, en otra equivalente, pero con denominador racional.

factor m n

b racionalizante es . En estos casos el factor racionalizante es conocido también como el conjugado del denominador. Veamos el siguiente ejemplo:

DENOMINADOR BINOMIO FORMA :

DE a b

Denominador a b



a b

m

a bn



m

a bn

.

m

bm  n bm  n



a

m

bm  n

: F.R.:

a b

Denominador m

LA



: F.R.:

a b

b

FACTOR

RACIONALIZACIÓN

RACIONALIZANTE

DE

Basta multiplicar los dos términos por la cantidad conjugada del denominador.

DENOMINADORES

Ejemplo:

(F.R)

BINOMIOS AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

RACIONALIZACIÓN

PRIMER BOLETÍN a b c a b c





a b c a b c

b c

.

b c b c

.

b c

a( b  c ) bc



a( b  c ) bc



CICLO ANUAL 2

3

3

4

2( 16  3

DENOMINADOR BINOMIO DE LA FORMA:

3

a 

3



F.R.:

3

a

2



F.R.:

( 4

20 

4 

3

5

3 3

3

25 )

5)

3

3

3

3

( 16 

.

( 16  3



2( 16 

3

20  20 

20  9

3

3 3

25 )

: 3

a2 

3

Denominador

25 )

n

:

n

x

y

7

n

xn 1 

n

xn  2 • y  ...... 

n

y n 1

3 2 k

k de la forma: proporcionar el valor de “k”.

 F.R.:

25 )

3

a 

ab 

3

3

b

b

a

n

;n

b

En general, para denominadores cuyos radicales son de orden mayor que 3, se utilizarán criterios de cocientes notables. Denominador x

n

 n

2

n

3

a 

ab 

3

3

1 5

a

5

b



a

4



5

3

a b

5

2 2

a b  ab

5

3

ab 

5

PROBLEMAS PROUESTOS

b

a) 2 c) 5

b) 4

d) 6

e) 7

4

3. Racionalizar e indicar el denominador: E

3 3 1.Al racionalizar se obtiene una expresión de la

F.R.:

xn  1 

n

xn  2 • y  ...... 

n

y n 1

;n

 x n 1 

forma:

a b

. Calcular: “a + b”.

a) 1

7

4 648

b) 3

c) 2

d) 6

e) 10

4. Racionalizar:

Denominador

n

5

y

b

b2

Ejemplo:

:

impar

Denominador 

3

3

3

LA FORMA:

n

:

3

2

DENOMINADOR BINOMIO DE b

Cuando los denominadores son binomios cuyas raíces resultan ser de índice tres, los factores racionalizantes se obtienen así:

Denominador

5

3





2014

:

n

x n y

F.R.: n

xn  2 • y  ...... 

n

y n 1

;  n

a) 2 c) 3

b) 6

d) 4

e) 5

4 3 2

a) 4( 3  2 )

d) 1

b) 4( 3  2 )

e)

par Ejemplo:

7

3

6 2. Al racionalizar obtenemos una expresión AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

3 2

AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

PRIMER BOLETÍN a) 11

c) 2( 3  2 )

a) 3

7 2 2 1

e) 6

e) 15

5  6  10  15

a) 6

b) 1

6. Reducir: 1

M

5 3

1



3 1



b) 5

a) 0

3

c) a) 2

3

d)

3 2

e)

16  8 

3

4

Dar su denominador:

2 5

10  3 



10  1 

10  1 



Es equivalente a:

b) 3

c) 4

d) 6

 2

/

    N

e) 5

15. Proporcionar denominador de: 3

3

2001 . 3

84 3

a) 1



3 7  2 10

b) 5



11. Racionalizar: M 3

b) 6

d) 12

e) 16

8. Indicar el denominador racional de: 2 3 5

2003 

9

3

1x 1x  1x

1  x2 2x



e) 3

1. Simplificar: 3

6

b) 3 d) 5

c) 4 e) 7

AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

72

2x

d) 1

e) 0

a)

12

18

14. Indicar el denominador racional de: A

2001

1

5

8

5

4

b)

6

9

12 2

3

c) a) 2

2

b) c) 4  x

12 2

d)

2003 )

4004

AUTOEVALUACION

1x 2x

4

3

3

c)

d) 200

13. Simplificar:

a) 1 + x

Dar su denominador:

e) 3

12

3

4

c) 2

d) 0

3

1 11  2 30

el racional

2003 ( 2001 

2001 

7. Efectuar: 4

243 d) 244

a) 1 b) 2002 2003

a) 8 c) 20

R

b) c) 245 e) 246



Calcular el valor de “ . ”

e) 9 M

5 1

10  3 

 

10. Racionalizar:

2



c) 2

d) 3

a) 240

12. Si la expresión: 10 

6

c) 9

d) 12

c) 5

9. Indicar el denominador racional de:

2 2 2

b) 6

2014

b) 23

d) 3

5. Reducir: N

CICLO ANUAL

9

2. Efectuar:

AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

6 2

e)

3

PRIMER BOLETÍN -

CICLO ANUAL

2014

5. Efectuar: a) xy

d) 0

b) x2y2

e) 1

c)

8

xy 

7

xy

11 3 2 7

a) 2 2



c) 3  1 2 3

e)

3 3

e)

a b

6. Dar el denominador racionalizado de: 1

c)  3 2

5 2 

4

a) 1 c) 4

b) 2

d) 6

e) 8

10.Racionalizar: 8. Racionalizar simplificar: 2 3 5

a) 2 3  3 2  30 b) 3 2  2 3  30

5

M

y

3

12

2 2 7

5 2

3 1

b)

b) ab

d) a + b

1

b)

d) 2

ab

d) a) a c) a - b

3. Efectuar: E

a b  E  a  2 ab  b  b a  

a) 3



9

3

6

3

4

Dar su denominador:

a) 2 c) 4

b) 3

d) 5

e) N.A.

c) 2 3  3 2  30

e) 0

4. Dividir 1 entre: 27  18  32  12

a) 2 c) 1

b) 4

d) 7

e) 3

d) 2 2  30  3 e)

11.Racionalizar: M

3 3  2 2  30

3

9

3

5

Dar su denominador: a) c)

3 2

b)

7. Simplificar:

5



 



2 1 3 2

d) posible

9. Racionalizar: 1



e)

No

es

4  E 3  



3

3 1 1



AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

1  3 3 







F

8 7  15  21  35

Indicar el denominador:

a) 2 c) 4

b) 3

d) 5

e) N.A.

AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

PRIMER BOLETÍN -

CICLO ANUAL

12.Indicar el denominador racionalizado de:

E

2014

x2 x2 x 

4

x

x 3  62

a) 25 c) 29

b) 27

d) 7

e) 14

Para x = 2

a) 0

FACTORIAL El factorial de un número sólo está definido en el conjunto de los número naturales y es igual el producto del número dado, por todos los número naturales menores que él, sin incluir el cero.

b) 1

c) 2 2

13.Si después racionalizar simplificar:

d) 2

4

2

e)

8

2

x2 y  xy2

15.Efectuar: E

4  15  2  3 13  120  5  24

a) 1/2 b) 1 3/2 b) 1

d) 1/2

e) -2

d) 2

c) e) 5/2

  

14.Calcular el verdadero valor de:

AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

n! = n(n – 1) (n – 2) … (n – k + 1) (n – k)! “k” multiplicaciones indicadas Donde: n – k  0

6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 = 720 4! = 1 . 2 . 3 . 4 = 24 n! = 1 . 2 . 3 ……… (n – 2) (n – 1)n

Ejemplo: 7! = 7 . 6 . 5!

1! = 1 0! = 1

7! = 7 . 6 . 5 . 4! 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3! PROBLEMAS PROUESTOS

PROPIEDADES: Si a! = b!  a = b ,  a, b  Z+ Ejemplo: 

6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 6! = 6 . 5! (n + 2)! = (n + 2) (n + 1)! (n – 3)! = (n – 3) (n – 4)!

4

Ejemplo:

1

Si a! = 1 a = 1  a = 0

n! = n (n – 1)! ,  n  Z+  n 1 Ejemplo:

Se lee: “factorial de n” Por definición: n  1  2  3  4...n

Por definición: Por convención:

(2x – 1)! = 6  (2x – 1)! = 3!  2x – 1 = 3 2x = 4  x = 2

3

n!  n

Reemplazo “x” por “y” se obtiene:

a) -1 c) 2

2

NOTACIÓN Para indicar el factorial de un número empleamos cualesquiera de los siguiente símbolos ! ó L.

de y

x x y y y x x y



FACTORIAL DE UN NÚMERO

1

Para cada caso, encontrar el valor equivalente de: a

5! N 2!

x! = 24  x! = 4!  x = 4 AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

PRIMER BOLETÍN -

b c d e f 2

M

b

13 ! 9 ! P 14 ! 8 !

5

21 !  20 ! C 19 !

P

(n  36) ! (n  35) !

G

n(n  1) ! (n  2 ) !

6

5!

A) 3

B) 2 D) 4

4

n!!

D) 6

Determinar en:

8. REDUCIR:

C) 5

K

C) 14

5. 11.

D p

5. Hallar “a” si: 720 = (a – 8)!

7. REDUCIR 8. REDUCIR

J

a! b! 8 3!

1!  2 !  3 ! 2!

N

23 !  24 !  25 ! 23 !

P

6! 7! 8! 6!

9. RESUCIR 10. HALLAR m:

n ra s s

8  5 !12  n  5! 4 3!

A

13 !  0 ! 13 !  2 !  14 ! 12 !

P

6 ! 7 ! 8 ! 5!

1. 2.

12! 13! 14! 12! 13! 12!x7 14 B) 3

4. Calcular n: n! x 4 x 5 x 6 x 7 = 7!

E) 7

AUTOEVALUACION

Reducir:

A) 28

 6!

B) 4

C) 3 E) 5

n!!

a(a  1) ! a!

6. Hallar a + b, si

E) 9

  719!

7. REDUCIR:

A) 1

C) 8

Halle el valor de “n” en:

 720!119!

6.



B) -3 D) - 8

c Halle la suma de valores de “n” que satisfagan la igualdad  n! 3  n! 2   3 n! 6

E 



A) 3

(r  5) ! (r  4) !

3. Simplificar:

Calcule la suma de valores de “n”  n  3 !  n2  3n  2 n2  3n

5 ! 1! 0!

M

2014

7 E) 3



15 !  13 ! K 13 !

Q

3

28 D) 3

8! 6! 6!

Simplificar: a

CICLO ANUAL

1. Simplificar: 2. Simplificar: (p  q) ! I  (p  8 ) !

AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

N 

18 ! 16 !

3. 4.

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PRIMER BOLETÍN -

CICLO ANUAL

2014

T  2 3

AV. GUARDIA CIVIL MZ-B1 LT.08 LA CAMPIÑA CHORRILLOS TELF.2518889 CEL.991741676

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