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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA-ENERGIA ESCUELA ACADÉMICA DE INGENIERÍA MECANICA

SEPARATA 3 MECANICA DE MATERIALES I SEMESTRE 2016- B CONTENIDO:

     

Ensayo de tracción Ensayo de compresión Esfuerzos admisibles Estructuras isostáticas e hiperestáticas Esfuerzos por temperatura Esfuerzos por error de fabricación

PROFESOR DEL CURSO: ING. MARTIN SIHUAY FERNANDEZ

Departamento Academico de Ingenieria Mecanica

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ENSAYO DE TRACCION Es un ensayo destructivo que nos permite determinar las propiedades mecánicas de un determinado material. El ensayo consiste en someter a una probeta(dimensiones normalizadas) a un esfuerzo de tracción continua hasta que el material se fracture.

Esfuerzo de ingeniería ( ) Es la fuerza dividida entre el área inicial transversal de la probeta , esta área permanece constante , lo que varia son las cargas .

=

𝑪𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒅𝒂 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍

= F/A0

Esfuerzo verdadero ( r ) Es la fuerza dividida entre el área instantánea que posee el material

r =

𝑪𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒅𝒂 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒂𝒏𝒆𝒂

= F/A

Deformación unitaria (  )

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

 L0

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

L f  L0 L0 2

Curva esfuerzo deformación convencional de un A36

Zona Elástica Las deformaciones producidas en esta zona son elásticas. Durante el primer tramo, esta zona exhibe un comportamiento lineal hasta el límite de proporcionalidad (σp), a partir del cual cambia su tendencia. Se cumple entonces hasta el valor de esfuerzo mencionado anteriormente la ley de Hooke: p = E , donde E es el modulo de Young y mide la rigidez de un material. Zona de Fluencia Está caracterizada por dos valores de esfuerzo: el punto superior de fluencia y el punto inferior de fluencia. En esta zona y en las siguientes, las deformaciones serán permanentes, al igual que todos los cambios en sus propiedades mecánicas sufridos debido a dicha deformación. Zona de Endurecimiento por Deformación Durante esta etapa, ocurre una disminución uniforme de la sección transversal de la probeta a lo largo de su longitud L. Para continuar deformando la probeta, se debe aumentar notablemente el valor de la carga aplicada, por ello se dice que el material en esta zona se endurece. El esfuerzo último (σu) marca el final de esta etapa. Zona de formación de cuello ó Estricción En esta fase final ocurre la estricción, que consiste en una reducción del área de la sección transversal en una zona específica. Debido a esta reducción, la carga que debe ejercer la máquina de ensayo para deformar la probeta se hace cada vez menor, aunque en realidad el esfuerzo en la probeta va en aumento hasta que ocurre la ruptura.

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La Tenacidad (T0) Es la capacidad del material de absorber energía de deformación plástica antes de romperse, y retener esa energía aún después que ha cesado la carga que le ha producido la deformación plástica.

T0 

  MAX

  d   0

La Resiliencia (Uo) Es la capacidad del material para absorber energía cuando es deformado elásticamente, y luego devolver esa energía al ser descargado.

1 U 0   P   P 2

ENSAYO DE COMPRESION Estudia el comportamiento de un material sometido a un esfuerzo de compresión progresivamente creciente hasta llegar a la rotura o aplastamiento

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según sea la clase del material , se efectúa sobre probetas cilíndricas en los metales y cúbicas en lo no metálicos. El ensayo de compresión se realiza en la mayor parte a materiales frágiles, dada su reducida capacidad de resistir a la tracción. En los materiales dúctiles las características mecánicas a la compresión son similares a las de tracción con excepción en la fase de rotura que se produce por aplastamiento o escurrimiento del material el cual dependerá de su ductibilidad , puede a veces no llegar a una ruptura propiamente dicha. Se realiza bajo la norma ASTM E-9 ( Materiales metálicos) Para materiales metálicos, la longitud de la probeta puede ser 0,9d(para determinar la resistencia estática a la compresión) , 3d (para uso general) y 8 a 10d (para determinar el modulo de elasticidad ) , ASTM-C109 (Morteros de 2pulg de diámetro),ASTM-C31(Concreto con agregado de tamaño máximo no mayor de 2pulg , el tamaño normal del cilindro es de 6x12pulg o 4x8pulg ) , ASTM D-143( Madera paralela a la fibra , son prismáticas rectangulares de 2x2x8pulg . En el caso de compresión perpendicular ala fibra se hace con probetas rectangulares de 2x2x6pulg )

Diagrama - para el acero estructural

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Diagrama - del concreto a 28 días

Esfuerzos admisibles ( ad , ad ) Materiales ductiles

ad

=

𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑖𝑑𝑎𝑑

𝑦

ad = 𝐹𝑆

=

𝑌 𝐹𝑆

Materiales fragiles

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ad

𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜

= 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑖𝑑𝑎𝑑 =

𝑈

ad = 𝐹𝑆

𝑈 𝐹𝑆

La elección de un adecuado Factor de seguridad dependerá de las aplicaciones de la estructura a diseñarse , ya que un FS bajo la posibilidad de falla se tornara grande , en cambio un FS elevado resulta un diseño no muy económico. Para la mayor parte de las aplicaciones estructurales y de maquinas los factores de seguridad de establecen por especificaciones de diseño y códigos de construcción escritos por comités de ingenieros que trabajan en sociedades profesionales como ejemplo: a) American Institute of Steel construction b) Specifications for the design and erection of Structure steel for Buildings c) American Concrete Institute d) Building Code Requeriment for Reinforced Concrete e) National Forest Products Association National Desing Specification for Stress f) American Association of State Highway Officials g) Standard Specifications for Highway Bridges Ejercicios 1.-La varilla A esta hecha de latón rojo recocido ( y = 15Ksi , ut = 40Ksi ) de área transversal 0.18pulg2 , la varilla B esta hecha de bronce recocido ( y= 20Ksi , ut = 50Ksi) de área transversal de 0.1pulg2 . Determine: a) El factor de seguridad de cada varilla con respecto ala falla por fluencia b) El factor de seguridad con respecto a la falla por fractura Realizando el análisis en el nudo donde concuerdan las varillas A y B

FX = 0 , FB Sen30 = FASen45 …..(1) Departamento Academico de Ingenieria Mecanica

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FY = 0 , FBSen30 + FASen45 = 2000 ….(2) Resolviendo 1 y 2 FA = 1793.2Lb

, FB = 1464.1Lb

A = FA / AA = 1793.2/0.18 = 9962 Lb/pulg2 B = FB / AB = 1464.1/0.1 = 14641 Lb/pulg2 Considerando las varillas A y B en el limite elástico FSA = yA /A = 15000Psi / 9962Psi = 1.506 FSB = YB / B = 20000Psi/ 14641Psi = 1.366 Considerando las varillas A y B en la zona de fractura FSA = UA /A = 40000Psi / 9962Psi = 4.02 FSB = UB / B = 50000Psi/ 14641Psi = 3.42 2.-Se aplica dos fuerzas a la pieza BCD a) Sabiendo que la barra AB se hará de acero (U = 600MPa ) halle el diámetro de la barra utilizando un FS= 3.3 b) El pasador en C será de acero (U = 350MPa ) halle el diámetro del pasador C si el FS = 3.3 c) Determine el espesor del soporte de la pieza en C sabiendo que el esfuerzo de aplastamiento admisible del acero utilizado es 300MPa Realizamos DCL de ABCD

MC= 0 , P(0.6) =50(0.3) + 15(0.6) , P = 40KN Departamento Academico de Ingenieria Mecanica

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FX = 0 , CX = P=40KN FY = 0 , CY = 50+15 = 65KN C= √(𝐶𝑋 2 + 𝐶𝑌 2 ) = 76.3KN

a) Analizando la barra AB AD =

𝑈 𝐹𝑆

= 600/3.3 = 181.8MPa = P / AAB

AAB = 40KN/181.8MPa = 220x10-6 m2 =

𝑑2 4

,

dAB = 16.74mm

b) Analizando el pasador en C DCL del pasador en C

AD = =

𝑈 𝐹𝑆

= 350/3.3 = 106.1MPa = V/A

Como el pasador en C esta en cortante doble V = C/2 A = (C/2)/ AD =

360mm2

=

𝑑 2 4

, dC = 21.4mm

c) Analizando el soporte de la pieza

AD = 300MPa = (C/2)/A = (76.3/2)/A , A = 127.2mm 2 A = 21.4(t ) , t = 5.94mm

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SISTEMAS ISOSTATICOS E HIPERESTATICOS SOMETIDOS A FUERZAS AXIALES O NORMALES Grado de hiperestaticidad ( GH )

GH = Incógnitas(R) - Nºecuaciones de la estática (E) Si el GH = 0 , el sistema es isostático Si el GH> 0 , el sistema es hiperestático Si el GH < 0 , el sistema es inestable

Sistema inestable

Sistema hiperestático de grado 1

R= 3 E=3

Sistema hiperestático de grado

GH= 0 Sistema isostático

Deformaciones en un sistema isostáticos de barras sometidos a cargas axiales 1.- Un tirante y un puntal de tubo se usan para sostener una carga de 50KN . Las áreas son de 650mm2 para el tirante AB y de 925mm 2 para el puntal tubular BC. Ambos miembros están hechos de acero estructural ( E= 200GPa) , determine el alargamiento o acortamiento de AB y BC ,los desplazamientos horizontal y vertical del punto B.

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Realizamos el análisis en el nudo B FX = 0 FBC Cos42.61 = FAB …… (1) FY = 0 FBC Sen42.61 = 50 ….(2) Resolviendo 1 y 2 FAB = 54.36KN (tracción) FBC = 76.58KN( compresión ) AB = AB =

𝐹𝐴𝐵 𝐿𝐴𝐵

BC = BC =

𝐹𝐵𝐶 𝐿𝐵𝐶

𝐸𝐴𝐴𝐵

𝐸𝐴𝐵𝐶

=

=

54.36𝑥103 𝑥1.25 200𝑥109 𝑥650𝑥10−6

76.58𝑥103 𝑥1.699 200𝑥109 𝑥925𝑥10−6

= 0.523mm

= 0.678mm

Realizando el diagrama de desplazamientos

Del grafico se observa que el desplazamiento horizontal de B es AB H = AB = 0.523mm De la grafica se observa:

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a = ABCos 42.61 = 0.3847mm b= BC = 0.678mm Sen 42.61 =

(𝑎+𝑏)

𝑉

, reemplazando se obtiene : V = 1.570mm

Estructuras estáticamente indeterminada o hiperestática 1.-Una estructura conectada con seguros esta sometida a cargas y sostenida como se muestra en la figura . El miembro CD es rígido esta horizontal antes de aplicar la carga P. El miembro A es una barra de aleación de aluminio (E= 75GPa , A= 1000mm2 ). El miembro B es una barra de acero estructural ( E= 200GPa , A= 500mm2 ) Determine la deflexión en D.

Realizamos el DCL de la barra rígida CD

GH = 4 – 3 = 1º , sistema hiperestático de 1º grado , necesitamos una ecuación adicional para levantar la indeterminación de la estructura. MC = 0 , FB(1.5) + FA(4) = 150(5) …….(1) Realizamos el Diagrama de desplazamiento

Del diagrama de desplazamiento se observa:

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A = A = B = B = 𝐴 4

=

𝐵 1.5

𝐹𝐴 𝐿𝐴 𝐸𝐴 𝐴𝐴 𝐹𝐵 𝐿𝐵 𝐸𝐵 𝐴𝐵

= =

𝐹𝐴 (2) 𝐸𝐴 (1000) 𝐹𝐵 (1.5) 𝐸𝐵 (500)

, reemplazando se tiene : FA = 1.5FB …….(2)

Resolviendo la ecuación 1 y 2 tenemos: FA = 150KN , FB = 100KN 𝐴 4

=

𝐷 5

, resolviendo D = 5mm ( hacia abajo )

ESFUERZOS TERMICOS Q

T = L(T) Donde :  : Coeficiente de dilatación térmica longitudinal ( 1/ºC , 1/ºF ) T = Variación de temperatura = TF – T0 TF = Temperatura final T0 = Temperatura inicial

1.- Después de aplicar una carga P= 150KN , la estructura conectada con seguros , la temperatura aumenta 100ºC , la varilla de aluminio en A (  = 22x10-6/ºC , E = 75GPa , A= 1000mm2 ) y la varilla B de acero ( = 12x10-6/ºC

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, E= 200GPa , A = 500mm2) . Si el miembro CD es rígido determine , la deflexión del seguro D y los esfuerzos normales en las barras A y B.

Realizamos DCL del elemento rígido CD

GH = 4 – 3 = 1º , sistema hiperestático de grado 1 MC = 0 , FB ( 1.5 ) + FA ( 4 ) = 150(5) …….(1)

Se observa en el diagrama de desplazamiento lo siguiente: A 4

A = AT + AP = 22x10-6 ( 2 )(100) +

=

B 1.5

FA (2) 9 75x10 x1000x10−6

b = BT + BP = 22x10-6 ( 1.5 )(100) +

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FB (1.5) 200x109 x500x10−6

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Reemplazando se tiene : FA = 1.5FB + 15x103 ……….(2) Resolviendo 1 y 2 FA = 153KN FB = 92KN A = B =

𝐹𝐴 𝐴𝐴 𝐹𝐵 𝐴𝐵

= =

153𝑥1000 1000𝑥10−6 92𝑥1000 500𝑥10−6

= 153MPa = 184MPa

Para el cálculo del desplazamiento en D , del diagrama de desplazamiento se tiene : A 4

=

D 5

D = 5/4 ( A ) =

5 4

(AT + AP = 22x10-6 ( 2 )(100) +

FA (2) 75x109 x1000x10−6

)=10.6mm

ESFUERZOS DE MONTAJE O ERROR DE FABRICACION 1.- Determinar los esfuerzos que surgen en las barras de acero, después de haber realizado el montaje del sistema estructural , si la barra 2 fue fabricada en  = 0.4mm menor de lo proyectado , considerar E acero = 2x106 Kgf/cm2 Considerar el elemento horizontal rígido

Realizamos el DCL del elemento rígido

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MB = 0 , P2( 2L ) = P1 ( L ) + P3(3L ) ……….(1) , GH: 5 – 3 = 2º

Realizamos el diagrama de desplazamiento

1 =

𝑃1 (2 ) 𝐸𝐴

Del diagrama se observa lo siguiente : 1 L

=

 2L

,  = 21

 = 2 +  = 2 + 21 , 0.04 =

1 L

=

3 3L

, 3 = 31

,

𝑃3 (2 ) 𝐸𝐴

𝑃2 (2 ) 𝐸𝐴

=3

+2

𝑃1 (2 ) 𝐸𝐴

𝑃1 (2 ) 𝐸𝐴

, 2P1 + P2 = 4000 ……(2)

, P3 = 3P1 ……(3)

Resolviendo 1 , 2 y 3 se obtiene : P1 = 571,43Kgf P2 = 2857,14Kgf P3 = 1714,29Kgf 1 =

𝑃1

2 =

𝑃2

𝐴

𝐴

= 57.143Kgf/cm2 ( compresion ) = 285.714Kgf/cm2 ( traccion )

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3 =

𝑃3 𝐴

= 171.43Kgf/cm2 ( compresion )

Ejercicios propuestos 1.-En la estructura de acero mostrada , un pasador de 6mm de diámetro se utiliza en C y pasadores de 10mm tanto en B como en D . El cortante último es de 150MPa en todas las conexiones y el esfuerzo último normal en el conector BD es de 400MPa . Si se desea un FS de 3 , halle la mayor fuerza P que se puede aplicar en A.

2.-Una caja que pesa 4000Lbf esta unida por cables ligeros inextensibles. Todos los miembros de la armadura están hechos de acero estructural ( Y=36 Ksi ) y tienen áreas transversales de 0.25pulg2. Determine el FS con respecto a la falla por fluencia para cada miembro de la estructura.

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3.- El tirante AB , tiene un área transversal de 950mm2 . El área transversal del seguro C es de 1850mm2 , tanto el tirante como el seguro están hechos de acero para el cual las resistencias elásticas son de 250MPa a tensión y 150MPa a cortante . Las resistencias últimas son de 450MPa a tensión y 270MPa a cortante . Determine: a) b) c) d)

El esfuerzo normal en la varilla AB El esfuerzo cortante en el seguro en C El FS con respecto a la falla por fluencia para la varilla AB El FS con respecto a la falla por fractura para el seguro C

4.- Una barra rígida CD esta sometida a carga . La barra A esta hecha de acero ( E= 30000Ksi ) y tiene un área transversal de 2pulg2 . La barra B esta hecha de latón ( E= 15000Ksi) y tiene un área transversal de 1.5pulg2 . Después de aplicar la carga P , se encuentra que la deformación unitaria en la barra B es de 1500x10-6. Determine los esfuerzos en las barras A y B , el desplazamiento vertical de C y la carga P. 5.- Una columna tubular de acero ( E= 30000Ksi ) con un diámetro exterior de 3pulg y un diámetro interior de 2.5pulg esta ligada a apoyos fijos en la parte superior e inferior , se usa una abrazadera rígida C para aplicar una carga P= 50KLb , determine los esfuerzos normales en las

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partes superior e inferior del tubo , y la deflexión de la abrazadera C.

6.- La barra BF esta hecha de acero (E= 210GPa , A= 1200mm2) y la barra CE esta hecha de aleación de aluminio ( E= 73GPa, A= 900mm2) , si se aplica una carga P= 50KN , determine el esfuerzo normal en la barra CE y el desplazamiento del seguro D

7.-Una barra rígida CD esta sometida a cargas y sostenida como se muestra en la figura . Las barras A y B están libres de esfuerzos a 70ºF antes de aplicar la carga P . La barra A esta hecha de acero ( E= 30000Ksi , A= 2pulg2 ,  = 6.6x10-6/ºF) y la barra B esta hecha de latón ( E= 15000Ksi , A= 1.5pulg2 ,  = 9.8x10-6/ºF , después de aplicar la carga P , la temperatura de ambas barras aumentan en 100ºF , determine los esfuerzos en las barras A y B , el desplazamiento vertical dl seguro C

8.- Una barra consta de dos porciones cilíndricas AB y BC y están restringidas en ambos extremos . La parte AB es de acero ( E= 200GPa , = 11.7x10-6/ºC ) y la barra BC es de latón ( E= 105GPa , = 20.9x10-6/ºC ) .Si la barra no esta esforzada inicialmente halle los esfuerzos normales inducidos en AB y BC por un aumento de temperatura de 50ºC y la deflexión correspondiente del punto B.

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9.- La estructura conectada con seguros consta de una barra rígida ABCD , una barra BF de acero ( E= 210GPa ,  = 11.9x10-6/ºC , A= 1200mm2 ) y una barra CE de aleación de aluminio ( E= 73GPa,  = 22.5x10-6/ ºC , A= 900mm2 ) . Las barras están libres de esfuerzos cuando la estructura se ensambla a 40ºC , determine los esfuerzos normales en las barras A y B y el desplazamiento vertical del seguro E.

10.- Determinar los esfuerzos que surgen en las barras de acero(E acero = 2x106 Kgf/cm2 , Lbarra= 4m,A=10cm2 ) después de haber realizado el montaje del sistema estructural , si la barra 2 fue fabricada en  = 0.4mm menor de lo proyectado. Considerar el elemento horizontal rígido , L = 2m 11.- Determine los esfuerzos que se generan en la barra I y II sabiendo que a= 400mm ,  = 0.6mm , E= 2x106 Kgf/cm2 y que ambas barras tienen la misma sección transversal igual a A. Considere el elemento curvo rígido.

12.-Una viga rígida ABC , es sostenida por dos cables de acero ( E= 2x105MPa ) , cuyas secciones tienen unas áreas de ABE = 2cm2 , ACD = 4cm2 , el error de la barra CD es  = 3mm , calcular los esfuerzos en las barras CD y BE después de realizar el montaje , considere : a=b=c=d = 1m

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13.- Durante el montaje de un nudo de tres barras resulto que la barra media era mas larga en 5x10-4L . Calcular los esfuerzos en las barras después de realizar el montaje del nudo A. Considerar E= 2x105MPa

14.- La barra III de la estructura de acero ( E= 2x106 Kgf/cm2 , = 12.54x10-6 1/C) sufre un cambio de temperatura de T = 20C , si todas las barras tienen la misma sección transversal , determinar los esfuerzos producidos en cada una de ellas por el efecto de la temperatura en la barra III.

15.- Determinar los esfuerzos térmicos, si todas las barras sufren un incremento de temperatura de T = 50C , las áreas de todas las barras son iguales y del mismo material (A36 , E= 2x106 Kgf/cm2 ,  = 12.5x10-6 1/C )

16.- Una barra de acero ABC ( E= 200GPa), la barra esta soportada en el extremo A y esta sometido a una carga P= 40KN en el extremo C. Un collarín circular de acero BD soporta la barra en B. Determine el desplazamiento en C, suponiendo que el collarín queda ajustado suavemente en B , cuando no hay carga presente ( Suponga : L1= 2L3 = 250mm , L2= 225mm , A1 = 2A3 = 960mm2 , A2 = 300mm2)

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17.- Calcular los esfuerzos en los cables I y II del sistema mostrado en la figura , considere : AI =2cm2 , A2 = 4cm2 , E1 = 0.7 E2 = 0.7E Considere al elemento ABCD rígido

18.- Determinar las tensiones en los cables I y II . si A1 = 2cm2 , A2 = 5cm2 , considerar el cable I y II del mismo material y el elemento CBD rígido.

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