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CARRERA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y COMERCIAL ASIGNATURA : INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES CICLO : 2016-1

Separata de ejercicios propuestos: Primera parte del curso 1. Modelos de programación lineal de dos variables de decisión – Solución gráfica Caso 1.1 Crepier tiene como productos principales la fabricación de bolsos y mochilas para escolares, cuyos precios de venta por unidad son de $ 40 y $ 25 respectivamente. El proceso de fabricación consta de dos etapas: corte y costura. En la etapa de corte, se pueden cortar 10 bolsos/hora o 20 mochilas/hora y se dispone diariamente de 8 horas. En la etapa de costura, un bolso requiere 4 horas máquina, una mochila requiere 3 horas máquina y se dispone diariamente de 420 horas máquina. Se estima que diariamente se debe fabricar por lo menos 50 unidades en total (bolsos más mochilas). Finalmente la fabricación de bolsos al día debe ser menor o igual a la fabricación de mochilas al día, debido a que los escolares les gustan más las mochilas. a) b) c) d) e)

Defina las variables de decisión del modelo y formule el modelo de programación lineal que permita optimizar la fabricación de estos productos a Crepier. Utilizando el método gráfico, determine la región factible, la solución óptima, el valor óptimo de la función objetivo e indíquelos claramente en el gráfico. (Respuesta: Z* = 3700) Suponga que el precio de venta de una mochila es de $ 30. ¿Corresponde a algún caso especial de solución? Justifique su respuesta, señale la solución óptima y el valor óptimo. A partir de la solución gráfica obtenida en c), si el jefe de operaciones de Crepier indica que necesariamente se debe utilizar todas las horas de costura, ¿Cambiaría la región factible, la solución óptima o ambos? Justifique su respuesta. A partir de la solución gráfica obtenida en c), suponga que el jefe de operaciones de Crepier desea conocer el plan de producción que genere la menor cantidad posible de desperdicio de tela. Se sabe que por cada bolso y por cada mochila se genera 0.5 kg y 0.6 kg de desperdicio de tela, respectivamente. Indique los cambios que debe hacer y determine el plan de producción y los kilogramos de desperdicio en total.

Caso 1.2 Una fábrica textil ha recibido una orden de compra por un lote de tela que contenga al menos 45 kg de lana, 25 kg de nylon y 30 kg de algodón. El lote puede ser fabricado mediante cualquier mezcla de dos materiales textiles A y B. Cada kilogramo de material A cuesta $ 2 y cada kilogramo de material B cuesta $ 3. Se dispone de $ 600 para la compra de los materiales. La proporción de lana, nylon y algodón que dichos materiales contienen es la siguiente: Material Lana (%) Nylon (%) Algodón (%) A 60 10 30 B 30 50 20 a) b) c)

Defina las variables de decisión y formule el modelo de programación lineal correspondiente. ¿Qué cantidades de A y B (en kilogramos) deben usarse para minimizar el costo de la orden? (Respuesta: Z* = 257.67) ¿Le hubiese convenido a la fábrica textil que la orden de compra no exigiera contenido mínimo de algodón? Justifique su respuesta.

Caso 1.3 Un taller de maquinado dedicado a trabajar piezas metálicas, tiene dos máquinas igualmente útiles para el trabajo que realiza. Con el objeto de definir cómo se utilizará las máquinas cada día, se ha establecido que la máquina A no debe utilizarse más que la máquina B. Por otro lado, el costo por hora de la operación es de $ 20 para la máquina A y $ 25 para la máquina B disponiéndose de un total de $ 400 para cubrir esos costos diariamente. La máquina A es capaz de procesar una pieza en 20 minutos mientras que la máquina B lo hace en 30 minutos y se sabe que el taller debe procesar en total un mínimo de 30 piezas diariamente. Asimismo, se sabe que cada pieza que se trabaja en la máquina A produce 0.5 kg de material de desperdicio y la máquina B produce sólo 0.3 kg de dicho material por pieza que procesa. Se desearía minimizar la cantidad de ese material de desecho. El taller trabaja sólo 8 horas diariamente y no es necesario que las máquinas trabajen todo el día. a)

 

Identifique las variables de decisión del modelo y formule el modelo de programación lineal respectivo. Mediante el método gráfico, encuentre la región factible, señale la solución óptima (Respuesta: Z* = 11.8 kg) b) Utilizando su gráfico, en cada una de las situaciones siguientes, indique si la solución óptima cambia y ubique el nuevo punto óptimo sin calcular sus valores. La cantidad total de piezas que deben procesarse diariamente se reduce a 20 unidades. El jefe de taller consigue una asignación total de 450 soles para cubrir los costos de operación diarios. Caso 1.4

Susana está participando en el programa concurso “Cocinando por un sueño” de la televisión nacional. El reto de esta semana es elaborar tejas de pecanas y tejas de guindones que luego podrá vender. Las dos condiciones del jurado son las siguientes:  

La cantidad de tejas de pecanas debe ser mayor o igual a la cantidad de tejas de guindones. La cantidad de tejas de pecanas no debe ser superior a 3 veces la cantidad de tejas de guindones.

Según la receta de Don Pedrito cada teja necesita: Pecan Teja de pecana Teja de guindón

a (unidad/t 1 0

Guindon es (unidad/t 0 1

Manjarblan co (gramos/t 20 20

Azúcar (gramos/t eja) 10 10

Tiempo de elaboració n 0.5 0.5

Preci o (soles/t 2.5 2.0

La cantidad de cada insumo que tiene Susana es de 140 pecanas, 35 guindones, 4 kilos de manjarblanco y 2.5 kilos de azúcar. Formule un modelo de programación lineal que le permita a Susana determinar la cantidad de tejas que debe elaborar, teniendo en cuenta que la producción del programa de televisión debe filmar por lo menos 20 minutos de la elaboración para la presentación final. a) b) c) d) e) f)

Defina las variables de decisión. Presente el modelo de programación lineal. Resuelva el modelo utilizando el método gráfico (recomendación: considere una cuadrícula del papel equivalente a 10 unidades, como escala para su gráfico). Señale claramente la región factible y la solución óptima calculando sus valores. (Respuesta: Z* = 332.5) Señale cuál(es) de las condiciones que enfrenta Susana recomendaría modificar si quisiera mejorar el valor óptimo de los ingresos por la venta de sus productos. Susana piensa que puede donar alguna parte no utilizada de los ingredientes disponibles. Indique cuál(es) podría ser donado. Justifique su respuesta. Suponga que se propone a Susana cambiar el precio de venta de sus tejas a 2 y 3 soles por teja de pecana y guindón respectivamente. ¿Qué tipo de solución presenta el modelo bajo estas condiciones? Utilice su gráfico para demostrar y justificar su respuesta.

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Modelos de programación lineal de más de dos variables de decisión: Notación compacta. 2. Producción de un solo periodo. Caso 2.1 En la máquina cortadora de prendas de un taller de confecciones pueden procesarse un máximo de 1500 prendas por semana. Esta semana el taller de confecciones ha recibido la solicitud de 7 clientes por el servicio de corte de prendas con las siguientes características: Client e 1 2 3 4 5 6 7

Cantidad máxima de prendas 300a cortar 250 150 200 150 230 500

Dificultad del corte (valor /prenda) 8 7 6 8 5 5 3

Utilidad por prenda cortada ($/prenda) 2.0 2.5 3.0 2.5 2.0 2.5 3.0

Es posible brindarle el servicio de corte a cada cliente por una cierta cantidad de prendas, no necesariamente por el máximo de forma obligatoria. El valor de dificultad de corte para cada prenda de cada pedido que se señala en la tabla indica la cantidad de esfuerzo que deben hacer los operarios al cortar cada prenda. Un valor más alto de dificultad indica mayor esfuerzo para los operarios (valor máximo: 10, valor mínimo: 0). Con la finalidad de que el trabajo no les demande un esfuerzo muy grande se desea que el trabajo total a realizar tenga un valor de dificultad promedio por prenda no mayor a 5. a) Defina las variables de decisión para este caso y presente el modelo de programación lineal que permita al taller dar una respuesta a los clientes en la forma extendida y en la forma compacta. (Respuesta: Z* = 3741.667) Caso 2.2 La compañía ZINGERLE se dedica a la producción de módulos (bancos y mesas) especialmente destinadas para bares, restaurantes, clubes campestres, etc. El Gerente de Producción se encuentra actualmente planificando la producción de los siguientes tipos módulos: MA6, MA8, MB8 y MB10. Los mencionados tipos de módulos requieren para su producción de ángulos de acero y tablas de madera; la información mencionada, así como los requerimientos de mano de obra (horas – hombre: HH) necesarias para la producción de los diferentes tipos de módulos y la disponibilidad semanal de los recursos se presentan en la siguiente tabla: Tipo de mód MA6 MA8 MB8 MB10 Disponibilidad

Ángulos (m./módulo) 14 18 16 20 30000 m.

Requerimientos productivos Madera Mano de obra (m2/módulo) (HH/módulo) 5.4 0.70 7.2 0.80 6.2 0.75 8.0 0.90 11500 m2 1440 HH

Para asegurar la rentabilidad de la producción, se ha establecido un nivel mínimo de producción para cada tipo de módulo. Asimismo, el limitante de la producción es la capacidad de producción semanal. Esta información, junto con el precio de venta de cada tipo de módulo, se presenta en la siguiente tabla: Tipo de Mód MA6 MA8 MB8 MB10

Producción mínima (módulos) 500 320 400 200

Capacidad de producción (módulos) 750 450 550 300

Precio de venta ($ / módulo) 60 75 70 85

La demanda de módulos no es limitante para la venta; ergo todo lo que se produce se llega a vender. Defina las variables de decisión y formule el modelo de programación lineal que permita determinar cuántos módulos de cada tipo debe producir ZINGERLE semanalmente. (Respuesta: Z* = 125945)

Caso 2.3 Juanito se dedica a la elaboración de tres tipos de cebiche en bolsa para las playas de Lima, los cuales gozan de gran aceptación por parte de sus clientes. Los ingredientes principales son: pescado, conchas negras, calamar, cebolla y camote. La siguiente tabla muestra la composición de los ingredientes que se utilizan por cada bolsa: Tipo de cebiche Tradicional Especial Mixto

Conchas negras 0 0.5 0.1

Pesc ad 1 0 0.5

Cala ma 0 0 0.3

Ceb olla 3 1 3

Cam ote 3 0 3

La demanda de cebiche para este fin de semana no constituye un factor limitante; no obstante Juanito debe vender como mínimo 500, 200 y 300 bolsas de cebiche tradicional, especial y mixto respectivamente, para asegurar la rentabilidad de su negocio. El precio de venta de cada tipo de cebiche se muestra a continuación: Precio de Tipo de cebiche venta Tradicional 30 Especial 35 Mixto 28 Los costos de los ingredientes y su disponibilidad son: Ingrediente

Pescado

Costo Disponibilidad

24 S/kg 1000 kg

Conc has 30 S/kg 200 kg

Calamar

Cebolla

Camote

18 S/kg 100 kg

0.5 S/und 5000 und

0.1 S/und 5000 und

Presente las variables de decisión y formule el modelo de programación lineal correspondiente. (Respuesta: Z* = 11940) Caso 2.4 Debido a la gran aceptación del cebiche en bolsa, ahora Juanito está planificando para el próximo verano la venta de sopa en botellón. Las sopas de mayor demanda son: Especial de pollo, marítima de mariscos y tradicional de habas. Los ingredientes principales son: Pollo, mariscos, habas y alverjas. La siguiente tabla muestra el requerimiento de los ingredientes que se utilizan por cada botellón de 3 litros: Tipo de sopa Especial de Pollo Marítima de mariscos Tradicional de habas

Pollo 0.30 0 0.15

Requerimiento (kg / botellón) Mariscos 0 0.30 0.15

Habas 0.25 0.10 1

Alverjas 0.25 0.50 0.25

Juanito debe vender como mínimo 250, 100 y 300 botellones de sopa Especial de Pollo, Marítima de mariscos y tradicional de habas, respectivamente para asegurar la rentabilidad de su negocio. El precio de venta de cada tipo de sopa se muestra a continuación: Tipo de sopa Precio de venta (Soles / botellón) Especial de Pollo 30 Marítima de mariscos 35 Tradicional de habas 25 El costo y la disponibilidad de cada ingrediente con que Juanito cuenta para que él mismo prepare sus sopas son los siguientes: Ingrediente Costo (soles / kg) Disponibilidad (kg)

Pollo 20 80

Mariscos 30 40

Habas 5 200

Alverjas 10 150

Juanito, además de preparar él mismo sus sopas, puede comprar sopas en botellón ya preparadas a sus tías Julia y Bertha, con la siguiente restricción: “Para cada tipo de sopa, la cantidad de botellones que Juanito compre a sus tías en total de ese tipo, no debe ser superior a la cantidad de botellones de sopa de ese tipo que Juanito prepare”. Los costos de compra por cada tipo de sopa y por cada tía se muestran a continuación: Costo de compra (soles / botellón) Tipo de sopa Tía Julia Tía Bertha Especial de Pollo 20 25 Marítima de mariscos 20 30 Tradicional de habas 30 20 Defina las variables de decisión y plantee el modelo de programación lineal correspondiente en forma compacta. (Respuesta: Z* = 9665)

3. Modelos de transporte Caso 3.1 Un contratista puede suministrar arena a tres construcciones ubicadas en Surco, La Molina y San Borja. La arena se puede obtener de dos canteras ubicadas en Cieneguilla y Lurín. La cantidad máxima que puede comprar en Cieneguilla es 18 toneladas y en Lurín 14 toneladas. Los costos de transporte y obtención de la arena se muestran en el cuadro siguiente: Costo de transporte Construcci ón Cantera Cieneguilla Lurín

Surco

La Molina

San Borja

30 60

60 30

50 40

Costo de arena (soles/tonela 100 120

La cantidad de arena que por lo menos debe entregar a cada construcción es la siguiente: Surco 10 toneladas

La Molina 5 toneladas

San Borja 10 toneladas

Identifique las variables de decisión y presente el modelo de programación lineal correspondiente en forma matemática compacta. (Respuesta: Z* = 3570) Caso 3.21 Una compañía tiene tres plantas que fabrican coches para bebé que deben enviarse a cuatro centros de distribución. Las plantas 1, 2 y 3 producen 12, 17 y 11 cargas mensuales, respectivamente. Cada centro de distribución necesita recibir 10 cargas al mes. La distancia en millas desde cada planta a los respectivos centros de distribución es la siguiente: Hac ia DePlanta 1 2 3

Centro de distribución 1 800 1100 600

2 1300 1400 1200

3 400 600 800

4 700 1000 900

Sabiendo además que el costo del flete por embarque es $0.50/milla – producto, se pide definir las variables de decisión y formular el modelo de programación lineal correspondiente en notación compacta. (Respuesta: Z* = 16200) Caso 3.32 Sunco Oil tiene refinería en Los Ángeles y Chicago. La refinería de Los Ángeles puede procesar hasta 2 millones de barrilles de crudo por año y la refinería de Chicago refina hasta 3 millones de crudo por año. Una vez refinado, el crudo se embarca hacia dos puntos de distribución: Houston y Nueva York. Sunco estima que cada punto de distribución puede vender hasta 5 millones de barriles por año. Debido a las diferencias en los costos de embarque y refinación, la utilidad unitaria (en $/millón de barriles) depende de dónde se refinó el crudo y del punto de distribución.

Refinería Los Ángeles Refinería Chicago

Utilidad unitaria ($/millón de barriles) Houston Nueva York 8000 13000 11000 14000

Asimismo, Sunco planea ampliar la capacidad de cada refinería. Cada millón de barriles de capacidad de refinación anual que se amplíe costará $1200 en el caso de la refinería de Los Ángeles y $1500 en el caso de la refinería de Chicago, respectivamente. Defina las variables de decisión y plantee el modelo de programación lineal correspondiente, en la forma compacta, que permita a Sunco optimizar sus operaciones en un año. (Respuesta: Z* = 115500)

1 2

Hillier y Lieberman, Investigación de Operaciones, 7ma. Edición, página 392 Wayne, Winston. Investigación de Operaciones, aplicaciones y algoritmos, 4ta. Edición, página 115 (adaptación).

Caso 3.4 Un productor y distribuidor de materiales para iluminación de exteriores, opera tres plantas para fabricar estos materiales y distribuirlos en cinco centros de distribución (almacenes). El pronóstico de la demanda semanal para el año próximo es el siguiente: Centro de distribución Demanda (unidades)

1 9000

2 13000

3 11000

4 15000

5 8000

La capacidad de cada planta, en unidades por semana, depende del turno de trabajo: Planta Capacidad en turno normal (unidades) Capacidad en turno extra (unidades)

1 27000 7000

2 20000 5000

3 25000 6000

Las siguientes tablas muestran los costos variables de producción, que dependen de la planta y del turno de trabajo, y los costos de transporte desde cada planta hacia cada centro de distribución: Planta Costo de producción, turno normal ($/unidad) Costo de producción, turno extra ($/unidad) Plantas 1 2 3

1 0.50 0.40 0.56

1 2.80 3.52 Costos de transporte (En $/unidad) 2 3 4 0.44 0.49 0.46 0.52 0.50 0.56 0.53 0.51 0.54

2 2.78 3.48

3 2.72 3.42

5 0.56 0.57 0.35

Se pide definir las variables de decisión y presentar el modelo de programación lineal correspondiente, en la forma matemática compacta (Respuesta: Z* = 179730)

4. Modelos de trasbordo Caso 4.1 La empresa Ryan Electronics tiene un problema de trasbordo. La producción de sus artículos electrónicos los realiza en las plantas que están ubicadas en Denver y Atlanta, con una capacidad de 600 y 700 unidades respectivamente. La producción de cada planta es enviada a dos almacenes ubicadas en Kansas City y Louisville, que tienen una capacidad de almacén de 600 unidades cada una, de los almacenes son enviados a 4 clientes que están ubicados en las ciudades de: Detroit, Miami, Dallas y New Orleáns, que tiene una demanda de 200, 200, 400 y 300 unidades respectivamente. Los costos (en dólares por unidad) de transporte son: Almacenes Clientes Plant Almacen Kansas Louisvil Detro Mia Dall New as es City le Kansas 2 6 3 6 Denv 2 3 City Atlant 3 1 Louisville 4 4 6 5 a Defina las variables de decisión y formule el modelo de programación lineal correspondiente. (Respuesta: Z* = 5600) Caso 4.2 ProdMax se dedica a la fabricación de un producto cuya demanda es de 1000 kg para la siguiente semana. El proceso de producción comprende el procesamiento secuencial de una materia prima en dos estaciones de trabajo A y B:

La estación A dispone de 2 máquinas idénticas A1 y A2. La estación B dispone de dos máquinas idé nticas B1 y B2. En cada estación, el procesamiento de la materia prima se puede hacer en cualquiera de las máquinas disponibles. La materia prima para fabricar el producto puede ser adquirida de tres proveedores diferentes: P1, P2 y P3. Sin embargo, el desperdicio que se origina en la estación A depende de la procedencia de la materia prima y de la máquina en donde se procesa. Esta información, junto con la capacidad de procesamiento y lo máximo a adquirir se muestra a continuación: Porcentaje de desperdicio en la Máquina A1 Máquina A2 5% 6% 4% 5% 8% 5%

Cantidad máxima a adquirir (en 400 500 300

Proveedor P1 P2 P3 Capacidad 700 800 de procesamie Por ejemplo: Si la máquina A1 procesa 100 kg de materia prima del proveedor P1, genera 5 kg de desperdicio y 95 kg pasan a la estación B. En la estación B, las máquinas B1 y B2 generan 3% y 2% de desperdicio, respectivamente. La capacidad de procesamiento de las máquinas B1 y B2 es de 800 y 700 kg, respectivamente. Defina las variables de decisión y presente el modelo de programación lineal en forma compacta que permita minimizar la cantidad total de desperdicio. (Respuesta: Z* = 73.09717 kg) Caso 4.3 La ciudad C1 genera 500 t/día de desechos y la ciudad C2 genera 400 t/día de desechos. Es necesario incinerar los desechos generados, para lo cual se dispone de 2 incineradores. Cada incinerador es capaz de procesar hasta 500 t/día de desechos. El costo por incinerar desechos es de 40 $/t y 30 $/t en el incinerador 1 y 2 respectivamente. Cada tonelada de desechos se transforma mediante la incineración en 0.2 toneladas de residuos, los cuales se entierran en uno de los dos rellenos sanitarios que hay. Cada relleno sanitario puede recibir a lo más 200 t/día de residuos. El transporte por milla de una tonelada de material (desechos o residuos) cuesta 3 $/milla. Las distancias entre los lugares se muestran a continuación: Distancias (en millas) Incinerador Ciudad C1 C2

1 30 36

2 5 42

Incinerador 1 2

1 5 9

Relleno sanitario 2 8 6

Defina las variables de decisión y formule el modelo de programación lineal correspondiente que minimice el costo total diario.

5. Mezclas Caso 5.1 3 Chandler Oil Company dispone de 5000 barriles de crudo 1 y de 10000 barriles de crudo 2. La compañía produce y vende dos productos: gasolina y aceite combustible. Ambos productos se elaboran combinando el crudo 1 y el crudo 2. La calidad del crudo 1 es 10 y la calidad del crudo 2 es 5. La gasolina debe tener una calidad promedio de por lo menos 7 y el aceite una calidad promedio de por lo menos 6. La demanda de cada producto debe ser creada por la publicidad. Cada dólar gastado en anunciar a la gasolina crea una demanda de 5 barriles de gasolina; cada dólar gastado en anunciar al aceite combustible origina una demanda de 10 barriles del aceite. La gasolina se vende a 25 dólares por barril y el aceite combustible se vende a 20 dólares por barril. Formule un modelo de programación lineal para ayudar a Chandler a maximizar sus utilidades. (Respuesta: Z* = 347500) Caso 5.2 4 Eli Daisy utiliza los productos químicos 1 y 2 para elaborar dos fármacos. Por lo menos el 70% de la composición del fármaco 1 debe ser del producto químico 1, y por lo menos 60% de la composición del fármaco 2 debe ser del producto químico 2. Se pueden vender hasta 40 onzas del fármaco 1 a 6 dólares la onza; se pueden vender hasta 30 onzas del fármaco 2 a 5 dólares la onza. Es posible comprar hasta 45 onzas del producto químico 1 a 6 dólares la onza, y hasta 40 onzas del producto químico 2 a 4 dólares la onza. Formule un modelo de programación lineal que maximice las utilidades de Eli Daisy. (Respuesta: Z* = 52) Caso 5.3 5 Sunco Oil produce tres tipos de gasolina (1, 2 y 3). Cada tipo de gasolina se produce mezclando tres tipos de petróleo crudo (1, 2 y 3). En las siguientes tablas se muestran los precios de venta por barril de las gasolinas y los precios de compra, por barril, del petróleo crudo. Sunco puede comprar hasta 5000 barriles de cada tipo de petróleo crudo diariamente. Gasolina Gasolina 1 Gasolina 2

Precios de venta por barril ($) 70 60 50

Crudo Crudo 1 Crudo 2

Precio de compra por barril ($) 45 35 25

Los tres tipos de gasolina difieren en su índice de octano y en su contenido de azufre. La mezcla de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 1 tiene que tener un índice de octano promedio de por lo menos 10 y a lo más 1 % de azufre. La mezcla de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 2 tiene que tener un índice de octano promedio de por lo menos 8 y a lo más 2% de azufre. La mezcla de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 3 tiene que tener un índice de octano promedio de por lo menos 6 y a lo más 1% de azufre. El índice de octano y el contenido de azufre de los tres tipos de petróleo se dan en la siguiente tabla. La transformación de un barril de petróleo en un barril de gasolina cuesta 4 dólares, y la refinería se Sunco pude producir diariamente hasta 14000 barriles de gasolina. Crudo Crudo 1 Crudo 2 Crudo 3

Índice de octano 12 6 8

Contenido de azufre 0.5% 2.0% 3.0%

Los clientes de Sunco necesitan diariamente las siguientes cantidades de cada tipo de gasolina: gasolina 1, 3000 barriles, gasolina 2, 2000 barriles, gasolina 3, 1000 barriles. La compañía se siente comprometida a cumplir con estas demandas. Sunco tiene la posibilidad de estimular la demanda de sus productos mediante la publicidad. Cada dólar invertido diariamente en publicidad para cierto tipo de gasolina, aumenta la demanda diaria de este tipo de gasolina en 10 barriles. Por ejemplo, si Sunco decide gastar diariamente 20 dólares para promover la gasolina 2, la demanda diaria de la gasolina 2 se incrementara en 20(10)=200 barriles. Formule un modelo de Programación Lineal que permita a Sunco a maximizar sus ganancias diarias (ganancias = ingreso – costos). (Respuesta: Z* = 287750) Caso 5.4 La jefa de producción de una empresa textil desea planificar la producción semanal de dos tipos de hilo: Hilo A e Hilo B. Se ha determinado que por lo menos se debe producir 4000 y 6000 kilos de los hilos A y B respectivamente para la presente semana. Se sabe que la capacidad de producción de la empresa permite producir 12500 kilos de hilo en total en la presente semana.

3 4

Wayne, Winston. Investigación de operaciones, aplicaciones y algoritmos. 4da. edición, página 93 (adaptación) Ibíd, página 93 (adaptación)

5

Ibíd, página 86

Los mencionados tipos de hilo deben ser elaborados combinando algodón y nylon. Se ha determinado la proporción mínima de cada una de estas materias primas que deben estar presentes en cada tipo de hilo: Materia Algodón Nylon

Proporción Hilo A Hilo B 0.25 0.40 0.60 0.50

Al determinar el plan de producción debe también establecerse la cantidad de materia prima (algodón y nylon) de cada tipo que debe comprarse en total, en la presente semana. El proveedor de la empresa ha señalado la disponibilidad en kilos y el costo por kilo de cada una de estas materias primas para la presente semana: Materias primas Algodón Nylon

Disponibilid ad ( kilos) 5000 8000

Cos tos ($/k 3.2 2.6

Para la adquisición de la materia prima se dispone de $34000 en total. En la producción de ambos tipos de hilo se tiene que llevar a cabo los siguientes procesos: cardado, peinado, hilado y enconado, cada uno realizado por máquinas especializadas. El tiempo requerido en horasmáquina por cada kilo de hilo y el tiempo disponible, así como los costos del procesamiento se muestran en la tabla siguiente: Tipo de hilo Hilo A Hilo B Tiempo disponible (HorasCosto ($/Hora-máquina)

Tiempo requerido en cada proceso de producción (Horas – máquina / Cardado Peinado Hilado Enconado 0.09 0.08 0.1 0.03 0.12 0.06 0.1 0.04 1300 850 1200 480 4 3 3.5 2

La producción final debe cumplir que por cada 4 kilos de hilo A, debe producirse 6 kilos de hilo B. Los precios de venta son $6 el kilo de hilo A y a $6.2 el kilo de hilo B. a) b)

Presente las variables de decisión. Presente el modelo de programación lineal en la forma matemática compacta. Indique el significado de los símbolos que emplee en su modelo. (Respuesta: Z* = 27096)

6. Planeamiento de la producción e inventarios. Caso 6.1 6 Manufactura Acme recibió un contrato para entregar ventanas de vivienda durante los 6 meses siguientes. El contrato estipula que Acme debe entregar en cada mes: 100, 250, 190, 140, 220 y 110 ventanas, respectivamente. El costo de producción por ventana varía de un mes a otro, dependiendo de los costos de mano de obra, materiales y servicios. Acme estima que el costo de producción por ventana, durante los 6 meses siguientes, será $50, $45, $55, $48, $52 y $50, respectivamente. Para aprovechar las fluctuaciones en el costo de manufactura. Acme podría optar por producir más de lo necesario en determinado mes, y guardar las unidades excedentes para entregar en meses posteriores. Sin embargo, eso le ocasionara un costo de almacenamiento de $8 por ventana y por mes, evaluado con el inventario levantado en el fin de mes. Desarrolle un modelo de programación lineal en forma compacta para determinar el programa óptimo de producción e inventario para Acme. (Respuesta: Z* = 49980) Caso 6.2 7 James Beerd hornea pasteles de queso y pasteles de Selva Negra. Durante cualquier mes puede hornear cuando mucho 65 pasteles. Los costos por pastel y la demanda de pasteles, la cual se debe cumplir a tiempo, se proporcionan en la siguiente tabla. Cuesta 50 centavos conservar un pastel de queso y 40 centavos conservar un pastel de la selva negra en inventario por un mes. Plantee un modelo de programación lineal para minimizar el costo total por cumplir la demanda de los tres meses siguientes: Mes 1 Producto Pastel de queso Selva

Demanda 40 20

Mes 2 Cost

Demanda

o 3.00 2.50

30 30

Mes 3 Cost o 3.40 2.80

Demanda 20 10

Cost o 3.80 3.40

(Respuesta: Z* = 464.5) Caso 6.3 8 Priceler fabrica vehículos tipo sedán y camionetas. La cantidad de vehículos que como máximo se pueden vender en cada uno de los próximos tres meses se presenta a continuación: Tipo de vehículo Mes Mes 2 Mes 3 Sedán 1100 1500 1200 Camioneta 600 700 500 Cada sedán se vende en $8000 y cada camioneta se vende en $9000. Para producir un sedán se requieren $6000 y para producir una camioneta se requiere $7500. Mantener por un mes en inventario un sedán y una camioneta cuesta $150 y $200 respectivamente. Se pueden producir durante cada mes a lo más 1500 vehículos en total. Además, por lo menos dos tercios de la producción en el mes 1 deben ser sedanes. El inventario al inicio del mes 1 es de 200 sedanes y 100 camionetas. Defina las variables de decisión y formule el modelo de programación lineal correspondiente en notación compacta. (Respuesta: Z* = 0.11035 x 10 8) Caso 6.4 9 (Inventario de insumos e inventario de productos) Gandhi Co. fabrica camisas y pantalones. La demanda en los próximos 3 meses, la cual se debe cumplir a tiempo, es la siguiente:

Camisas Pantalones

Mes 1 10 15

Mes 2 12 14

Mes 3 14 13

Durante cada mes, cuesta $4 elaborar una prenda cualquiera en turno normal y cuesta $8 en turno extra. La capacidad mensual de producción en turno normal es 25 prendas y la capacidad mensual de producción en turno extra es ilimitada. Es posible almacenar prendas, a un costo de inventario mensual de $3 por prenda. Al inicio del mes 1, en el almacén hay una camisa y 2 pantalones. Cada camisa requiere 2 yardas 2 de tela y cada pantalón requiere 3 yardas 2 de tela. Lo máximo de tela que se puede comprar y el costo de compra se muestran a continuación: Mes 1 Mes 2 Mes 3 Máximo a comprar (yardas2) 90 60 80 Costo ($/yarda2) 2 1.5 1.8 Es posible almacenar tela en cada mes, con un costo de almacenamiento despreciable. Defina las variables de decisión y elabore el modelo de programación lineal correspondiente en forma compacta. (Respuesta: Z* = 647.6) 6 7

Taha, Hamdy. Investigación de Operaciones. 7ma. Edición. Ed. Pearson , México, 2004, p. 62 Wayne, Winston. Investigación de Operaciones, aplicaciones y algoritmos. 4da. Edición, página 104

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Wayne, Winston. Investigación de Operaciones, aplicaciones y algoritmos. 4da. Edición, página 122 Wayne, Winston. Investigación de Operaciones, aplicaciones y algoritmos. 4da. Edición, página 122 (adaptación)

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7. Dualidad y Análisis de Sensibilidad. Caso 7.1: ALFA S.A. (Caso de maximización) ALFA S.A. produce cuatro tipos de producto a partir de una misma materia prima; cuyos requerimientos unitarios de mano de obra y materia prima se muestran a continuación: Tipo de producto 1 2 3 4 Mano de obra (horas/unidad) 3 2 5 1. 5 Materia prima (kg/unidad) 1. 1.8 2. 1. 51 21 61 Utilidad ($/unidad) 18 6 2 6 La empresa dispone de 1400 horas de mano de obra y 1000 kg de materia prima. Se sabe que los clientes comprarán a lo más 200 unidades de producto 1 y a lo más de 120 unidades de producto 2. Asimismo, los clientes comprarán como mínimo 100 unidades del producto 3 y como mínimo 120 unidades del producto 4. Todo lo que se produzca se venderá. El modelo de programación lineal que maximiza las utilidades semanales es: Modelo en notación compacta Sets: Tipo /1..4/ : ManoObra, MPrima, Utilidad, Limite, X ; End sets Data: ManoObra = 3 2 5 1.5 ; MPrima = 1.5 1.8 2.2 1.6 ; Utilidad = 16 18 12 16 ; Limite = 200 120 100 120 ; End data Max = @sum(Tipo(i): Utilidad(i)*X(i)); [Dispo_MO] @sum(Tipo(i): ManoObra(i)*X(i))