• Author / Uploaded
• Gustavo Fernández

Citation preview

PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS APLICADOS DE OPTIMIZACIÓN A. Leer el problema. Lea el problema hasta que lo entienda. ¿Qué datos se dan? ¿Cuál es la cantidad desconocida que hay que optimizar? B. Hacer un dibujo: identifique con una etiqueta cualquier parte que pueda ser importante para el problema. C. Introducir variables: haga una lista de las relaciones que encuentre en el dibujo y en el problema como una ecuación o una expresión algebraica, e identifique la variable desconocida. D. Escribir una ecuación para la cantidad desconocida: de ser posible, exprese la incógnita como función de una sola variable o en dos ecuaciones con dos incógnitas. Para ello puede ser necesaria una manipulación considerable. E. Examinar los puntos críticos y los extremos del dominio de la incógnita: use la información con que cuenta acerca de la forma de la gráfica de la función. Emplee la primera y segunda derivadas para identificar y clasificar los puntos críticos de la función. APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS A PROBLEMAS PRÁCTICOS La aplicación de la derivada puede ser por ejemplo a problemas que implique analítica (puentes), geometría (área, Volumen), Físicos (velocidad, inducción), Econo9mía (eficiencia, costos) etc. 1. Maximización de la utilidad. Supongamos que r (x) = 9 y c(x) = x3 - 6x2 + 15x donde x representa miles de unidades. ¿Hay un nivel de producción que maximice la utilidad? De ser así, ¿cuál es? 2. La mejor cerca Una parcela rectangular en una granja tendrá límites, por un lado, por un río, y por los otros tres mediante una cerca electrificada con un solo alambre. Si se cuenta sólo con 800 m de alambre, ¿cuál es la mayor área que puede ocupar la parcela y cuáles son sus dimensiones? 3. Se le ha pedido que diseñe una lata con capacidad para 1 litro, con forma de un cilindro circular recto. ¿De qué dimensiones debe ser la lata para usar la menor cantidad posible de material?

4. La cerca más corta Un sembradío rectangular de chícharos mide 216 m 2; se quiere encerrar con una cerca, y dividirlo en dos partes iguales mediante otra cerca paralela a uno de los lados. ¿Qué dimensiones del rectángulo exterior requieren la menor longitud total de la cerca? ¿Cuánta cerca se requerirá?

5. Dada la función de costo: c = 5(x2 + 4xy) + 10xy, a) ¿qué valores de x y y lo minimizarán? b) Dé un escenario posible para la función de costo del inciso (a). 6. Un rectángulo se inscribe en un semicírculo de radio 2. ¿Cuál es el área máxima que puede tener el rectángulo y cuáles son sus dimensiones?

7. Minimización de costos. Un fabricante de armarios usa madera de caoba para producir 5 muebles al día. La entrega de un contenedor de madera cuesta $5000, mientras que el almacenaje del material cuesta $10 diarios por unidad almacenada, donde una unidad es la cantidad de material que se necesita para producir un mueble. ¿Cuánto material tiene que ordenar el fabricante cada vez, y con qué frecuencia se debe entregar el material para minimizar su costo promedio diario en el ciclo de producción entre entregas? 8. Diseño de un tanque La fundidora en donde usted trabaja ha sido contratada para diseñar y construir un tanque rectangular de acero, de base cuadrada, abierto por arriba y con una capacidad de 500 pies3. El tanque se tiene que hacer soldando placas delgadas de acero a lo largo de sus bordes. Como ingeniero de producción, su trabajo consiste en determinar las dimensiones de la base y la altura que harán que el tanque pese lo menos posible. a) ¿Qué dimensiones le dirá al taller que use? b) Describa brevemente cómo tomó en cuenta el peso en su cálculo. 9. Diseño de una lata ¿Cuáles son las dimensiones de una lata abierta cilíndrica circular recta que puede contener un volumen de 1000 cm3? 10. El comedero de la figura se debe hacer con las dimensiones que se muestran. Solamente se puede variar el ángulo. ¿Qué valor de maximizará el volumen del comedero?

11. Recolección de agua de lluvia Se quiere construir un tanque rectangular abierto por arriba de 1125 pies3 con base cuadrada de x pies de lado y y pies de profundidad, con su parte superior al nivel del piso, para recoger agua de lluvia. El costo asociado con el tanque involucra no sólo el material que se usará para construirlo, sino también el costo de excavación proporcional al producto xy. 12. Imaginemos que el número de bacterias de un cultivo varía con el tiempo, expresado en minutos, según la ecuación N = 500 + 50 t - t2 para t[0,35] ¿Cuál es la velocidad de crecimiento de la población en el instante t = 7 min? 13. Construcción de cilindros Compare las respuestas de los dos problemas de construcción siguientes. a) Una hoja rectangular de perímetro 36 cm y dimensiones x por y cm se enrolla a manera de cilindro, como muestra la parte (a) de la figura. ¿Qué valores de x y y dan el mayor volumen? b) La misma hoja se gira alrededor de uno de los lados de longitud y para generar el cilindro que se muestra en la parte (b) de la figura. ¿Qué valores de x y y dan el mayor volumen?

14. Fabricar y distribuir mochilas cuesta c dólares cada una. Si cada mochila se vende en x dólares, el número vendido está dado por n=

𝒂

𝒙− 𝒄

+ b (100 – x),

Donde a y b son constantes positivas. ¿Qué precio de venta dará la máxima utilidad? 15. Usted está a cargo de un servicio de recorridos turísticos que ofrece las siguientes tarifas: a) $200 por persona si van 50 personas al recorrido (el número mínimo para contratar sus servicios). b) Por cada persona adicional, hasta un máximo de 80 personas en total, la tarifa por persona se reduce $2. c) El costo del recorrido es de $6000 (un costo fijo) más $32 por persona. ¿Cuántas personas deben contratarlo para maximizar su utilidad? 16. Halla la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) = x2 + x + 1 en el punto de abscisa x = 2. Escribe la ecuación de dicha recta.

17. La fórmula Wilson para determinar el tamaño del lote Una de las fórmulas para el manejo de inventarios dice que el costo promedio semanal de solicitar, pagar y manejar mercancía es: A(q) =

𝒌𝒎 𝒒

+ cm +

ℎ𝑞 2

,

donde q es la cantidad que se ordena cuando el inventario (de zapatos, radios, escobas, o el artículo que sea) se está agotando, k es el costo de pedir una orden (constante, no importa con cuánta frecuencia se ordene), c es el costo de un artículo (una constante), m es el número de productos vendidos cada semana (una constante) y h es el costo de manejo semanal por artículo (una constante que toma en cuenta factores como espacio, equipo, seguro y seguridad). a) Usted trabaja como gerente de inventario en una tienda, así que debe encontrar la cantidad que minimizará A(q). ¿Cuál es? (La fórmula que determine en su respuesta se llama fórmula Wilson para el tamaño del lote.) b) Los costos de envío algunas veces dependen del tamaño de la orden. Cuando esto es así, resulta más realista reemplazar k por k + bq, la suma de k y un múltiplo constante de q. ¿Cuál es ahora la cantidad más económica para ordenar? 18. Demuestre que si I (d)  6x y C(x)  x3 - 6x2 + 15x son sus funciones de ingreso y costo, lo mejor que puede hacer es alcanzar el punto de equilibrio (es decir, lograr que el ingreso sea igual al costo). 19. Nivel de producción Suponga que C(x) = x3 – 20x2 + 20,000x es el costo de fabricar x artículos. Encuentre el nivel de producción que minimizará el costo promedio de hacer x artículos. 20. Un prado rectangular de un jardín ha de tener 72 m 2 de área. Debe rodearse de un paseo de un metro de ancho en los lados y 2 m de ancho en las extremidades. Si el área total del prado y del paseo es mínima, ¿cuáles son las dimensiones del prado? 21. Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un vecino, y ha de tener un área de 10,800 metros cuadrados. Si el vecino paga la mitad de la cerca medianera, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la huerta para que el costo de cercarla sea para el dueño de la huerta el mínimo? 22. Hallar el diámetro de un bote cilíndrico de hojalata de un litro de capacidad, para que en su construcción entre la menor cantidad de hoja lata. a) si el bote es abierto por arriba; b) si el bote está tapado. 23. Se desea construir un depósito rectangular de base cuadrada, abierto por arriba. Debe tener 125 m3 de capacidad. Si el costo de las caras laterales es de Q20 por m 2, y el del fondo es de Q40 por m2, ¿cuáles deben ser las dimensiones para que el costo se a mínimo?

24. Se desea cercar un terreno rectangular de área dada, uno de cuyos lados coincide con la orilla de un río. Si no se necesita cerca del lado del rio, demuéstrese que se necesitará la mínima cantidad de materiales cuando el largo del terreno sea dos veces el ancho. 25. El costo total de producción de x unidades mensuales de un producto es de C(x) = x3 – 75x2 + 1800 x – 12525. ¿Calcule para cuántas unidades de producción se minimizan los costos? 26. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t) = 40 + 15t - 9t2 + t3, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t = 0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece. 27. Un objeto tiene una ecuación de posición dada por x(t) = 12t3 + 6t2 – 5t + 6. Encuentra la ecuación que da cuenta de su velocidad y la ecuación para su aceleración. 28. Una empresa tiene costos fijos mensuales de 2000 dólares y el costo variable por unidad de su producto es de 25 dólares. a) Determine la función costo. b) El ingreso I obtenido por vender x unidades está dado por I(x) = 60x – 0.01x2. Determine el número de unidades que deben venderse de modo que maximicen el ingreso. ¿Cuál es este ingreso máximo? c) ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse al mes con el propósito de obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es esta utilidad máxima? 29. Un cochecito teledirigido se lanza por una cuesta. La distancia recorrida en metros al cabo de t segundos viene dada por d = 0.2t2 + 0.03t3 a) ¿Qué velocidad lleva al cabo de 2 seg, 5 seg, y 6 seg? b) Cuando el cochecito alcanza una velocidad de 46.8 km/h, los frenos son insuficientes ¿Cuánto tiempo puede permanecer bajando sin que el conductor se preocupe por sus frenos? 30. Un cohete se desplaza según la función y = 100t + 2000t2, en la que y es la distancia recorrida en km y t el tiempo en horas. a) Calcula la función velocidad b) Calcula la función aceleración (así como la función velocidad se obtiene derivando la función distancia, la función aceleración se obtiene derivando la función velocidad) c) ¿Cuánto vale la velocidad inicial (t = 0)? ¿Y la aceleración inicial? 31. Cuando una cantidad fija de gas se encierra en un depósito cuyo volumen puede agrandarse o achicarse, la ley de Boyle nos dice que (a temperatura constante) la presión P que ejerce el gas encerrado sobre la pared interna del depósito (medida en kilogramos por centímetro cuadrado, por ejemplo) es inversamente proporcional al volumen V del depósito. Esto es P =

𝒄

𝑽

32. La cantidad de agua recogida en 2002 (en millones de litros), en cierto pantano, como función del instante de tiempo t (en meses), viene dada a través de la expresión f(t) =

10

0 t  12

(𝑡 − 6)2 + 1

Se pide: a) ¿En qué periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida? b) ¿En qué instante se obtuvo la cantidad máxima de agua? c) ¿Cuál fue esa cantidad máxima? 33. Una taza de café se calienta en un horno de microondas y alcanza una temperatura de 80 ° C. La taza de café se extrae del horno y se expone al medio ambiente que se encuentra a una temperatura de 20 ° C. El tiempo t (medido en minutos) se empieza a registrar a partir de este momento. Para todo fin práctico podemos considerar que la ecuación que nos calcula la temperatura en cualquier instante t, dentro de los primeros 5 minutos, está dada por: T( t ) = 80 – 3t + 0.16 t2 Obtén la razón de cambio de la temperatura con respecto al tiempo (la derivada). 34. Si un cultivador valenciano planta 200 naranjos por hectárea, el rendimiento promedio es de 300 naranjas por árbol. Por cada árbol adicional que siembre por hectárea, el cultivador obtendrá 15 naranjas menos por árbol. ¿Cuántos árboles por hectárea darán la mejor cosecha? 35. La producción de cierta hortaliza en un invernadero ( Q(x) en kg) depende de la temperatura (x en °C) según la expresión: Q(x) = (x + 1)2 (32 - x) a) Calcula razonadamente cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero. b) ¿Qué producción de hortaliza se obtendría? 36. Supongamos que en t = 0 el volumen del depósito es 50 cms3 y la presión que ejerce el gas encerrado es de 10 kgs/cm2. 𝒄

a) ¿Cuánto vale la constante c de la ecuación P = ? 𝑽

Supongamos además que el volumen empieza a aumentar a partir de t = 0 y que en el instante t = 10 segundos, el volumen es V = 100 cms3 y está aumentando a razón de 5 cms3/seg. b) ¿Cuál es la presión P que ejerce el gas encerrado en el instante t = 10 segundos? c) ¿A qué razón está cambiando la presión P con respecto al tiempo en t = 10 segundos? Sugerencia para c): Calcula

𝒅𝑷 𝒅𝒕

a partir de la fórmula P =

cociente. Utiliza el valor de c calculado en el inciso a).

𝒄 𝑽

usando la fórmula para derivar un

37. Una huerta tiene actualmente 24 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que, por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima? ¿Cuál será esa producción? 38. Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo que tiene 64 pies2 de área y un perímetro mínimo.

39. Un agricultor dispone de 3000 € para cercar un terreno rectangular, usando el río adyacente como lado con el fin de que el recinto sólo necesite 3 cercas. El coste de la cerca paralela al río es de 5 € por metro instalado, y el de la cerca para cada uno de los lados restantes es de 3 € por metro instalado. Calcula las dimensiones del terreno de área máxima que puede cercar con el presupuesto que tiene. 40. Se desea construir un depósito con forma de prisma rectangular de base cuadrada y con una capacidad de 360 m3. Los costes por m2 son los siguientes: 40 € para el fondo, 30 € para las paredes laterales y 60 € para el techo del depósito. Calcula las dimensiones del depósito para que su coste sea el menor posible. 41. Una empresa vinícola tiene plantadas 1200 cepas de vid en una finca, produciendo cada cepa una media de 16 kg de uva. Existe un estudio previo que garantiza que por cada cepa que se añade a la finca, las cepas producen de media 0,01 kg menos de uva cada una. Determínese el número de cepas que se deben añadir a las existentes para que la producción de uvas de la finca sea máxima. 42. Si los manzanos se plantan con una densidad de 30 por acre, el valor de la cosecha producida por árbol es de $180. Por cada árbol adicional que se planta en un acre, el valor de la cosecha disminuye en $3. ¿Cuál es el número de árboles que deben plantarse por acre o con objeto de obtener el valor máximo de la cosecha? 43. Un jardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una zona rectangular y dividirla en tres partes. Las alambradas de las divisiones deben quedar paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener la zona cercada para que su área sea la mayor posible?

44. Un ganadero tiene 200 pies de cercado con los cuales delimita dos corrales rectangulares adyacentes (ver la figura). Que dimensiones deben utilizarse de manera que el área delimitada será un máximo.

45. Supongamos que el solar del problema anterior tiene 200 m2 y un lado a lo largo del río requiere una valla más costosa de 5 euros el metro lineal. ¿Qué dimensiones darán el costo más bajo?

46. Se desea construir un depósito metálico para almacenamiento de agua, de forma cilíndrica vertical, con dos tapas y se dispone de una lámina rectangular de superficie dada A. Sin tener en cuenta los sobrantes de material, determinar el radio y la altura del cilindro que permitan obtener un tanque de capacidad máxima. 47. En un jardín con forma semicírculo de radio 10 m se va a instalar un parterre rectangular, uno de cuyos lados está sobre el diámetro y el opuesto a él tiene sus extremos en la parte curva. Calcula las dimensiones del parterre para que su área sea máxima.

48. De todos los rectángulos de área 100 dm 2, halla las dimensiones del que tenga la diagonal mínima.

49. Una empresa vende 0.7 toneladas de zumo y 0.3 toneladas de sobrante por cada tonelada de materia prima. El coste de la materia prima es de 0.8€/kg, los precios de venta del zumo y del sobrante son 2.5€/kg y 0.05€/kg, respectivamente, y el coste de producción viene dado por la función: Coste(x) = 0.05x3 donde x representa las toneladas de zumo producido. Obtener: a. Una expresión para calcular las ganancias netas en función de las toneladas de materia prima. b. La cantidad de zumo que se debe fabricar para que las ganancias netas sean máximas. 50. Se desea construir una caja de base cuadrada y abierta por la parte superior, utilizando para ello una lámina metálica cuadrada de 120 cm. De lado, recortando un cuadrado pequeño en cada esquina y doblando los bordes hacia arriba. Determinar la longitud de los lados para obtener una caja de volumen máximo.

51. Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón de 20x10cm. Para ello, se corta un cuadrado de lado L en cada esquina y se dobla la hoja levantando los cuatro laterales de la caja.

Determinar las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo si el lado L debe medir entre 2 y 3 cm (2 ≤ L ≤ 3). 52. Un fabricante quiere diseñar una caja abierta que tenga una base cuadrada y un área superficial de 108 pulg2. ¿Qué Dimensiones producirán una caja con un volumen máximo? 53. Una empresa de fabricación de puertas de madera utiliza un tablón rectangular para la hoja y tres listones de 10cm de ancho para el marco (lados laterales y lado superior). El precio del tablón es de $128 por metro cuadrado y el de los listones es de $87 por metro lineal.

Calcular: a) Las dimensiones de una puerta de 2m2 de superficie de hoja para que el coste sea mínimo. ¿Cuál será su precio? b) Si la puerta es de 2.5 metros de ancho y 0.8 metros de alto, ¿cuál es su precio? 54. Un granjero quiere bordear un área de 1500.000 pies2 en un campo rectangular y entonces dividirlo a la mitad con un bordo paralelo a un lado del rectángulo. ¿Cómo puede hacerlo para minimizar el costo de la borda? 55. Una empresa está trazando parcelas iguales y rectangulares sobre el plano de un terreno para construir chalets de 200m2 de superficie. Según la legislación de la zona, entre el chalet y la valla de la parcela debe haber un margen de 3 metros en los lados verticales y uno de 10 metros en los lados horizontales. Calcular las dimensiones que deben tener las parcelas para que su área sea mínima. ¿Cuál será el área de una parcela?

56. Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo que tiene el perímetro  100 metros y un área máxima.

57. Un fabricante quiere diseñar una caja abierta que tenga una base cuadrada y un área superficial de 108 pulg2 como se muestra en la figura. ¿Qué Dimensiones producirán una caja con un volumen máximo? 58. Se desea construir una caja de base cuadrada y abierta por la parte superior, utilizando para ello una lámina metálica cuadrada de 120 cm. De lado, recortando un cuadrado pequeño en cada esquina y doblando los bordes hacia arriba. Determinar la longitud de los lados para obtener una caja de volumen máximo.

59. Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo que tiene 64 pies2 de área y un perímetro mínimo. 60. Para fabricar un depósito cilíndrico de agua se necesitan materiales distintos para las bases y el lateral. El precio por metro cuadrado del material de las bases es de $2 y el del lateral es de $15. Calcular la altura h y el diámetro d = 2r para que el coste de un depósito de 10 mil litros de capacidad sea mínimo. ¿Cuál es el precio del depósito?

61. Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo que tiene 64 pies2 de área y un perímetro mínimo.

62. Se desea construir un tanque metálico para almacenamiento de agua, de forma cilíndrica vertical, abierto por su parte superior y de un volumen dado. Calcular las dimensiones del radio y de la altura para emplear en su construcción la menor cantidad de material posible.

63. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 32000 cm 3 encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado.

64. Un granjero quiere bordear un área de 1500.000 pies2 en un campo rectangular y entonces dividirlo a la mitad con un bordo paralelo a un lado del rectángulo. ¿Cómo puede hacerlo para minimizar el costo de la borda?

65. Un ganadero tiene 200 pies de cercado con los cuales delimita dos corrales rectangulares adyacentes (ver la figura). Que dimensiones deben utilizarse de manera que el área delimitada será un máximo.

66. Un paquete rectangular que se va a enviar por un servicio postal puede tener una longitud y un perímetro que tiene máximo de 108 pulg. Ver la figura. Determinar las dimensiones del paquete de volumen máximo que puede enviarse. (Suponer que la sección transversal es cuadrada).

67. Se desea construir una mesa con la forma de la figura abajo, siendo L la longitud del ancho del rectángulo y R el radio del extremo semicircular. El precio del cristal a medida con forma rectangular es de $90 por metro cuadrado. Sin embargo, el precio del cristal con corte circular viene dado por la función C(R) = 150⋅R2. Calcular las medidas de la mesa de 6m2 para que el coste sea mínimo bajo la condición 1 ≤ R ≤ 2 y comentar el resultado obtenido.

68. Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo que tiene el perímetro = 100 metros y un área máxima.

69. Se necesita construir un depósito de acero de 500 m3, de forma rectangular con base cuadrada y sin tapa. Tu trabajo, como ingeniero de producción, es hallar las dimensiones del depósito para que su costo de producción sea mínimo. 70. Un ayuntamiento está realizando un estudio sobre el nivel de contaminación acústica en la ciudad. Un primer plan de choque afectará a aquellos lugares donde se lleguen a superar los 65 decibelios en horario diurno. En un barrio de la ciudad se han realizado mediciones de ruido en la franja horaria más conflictiva, modelándose el nivel de ruido mediante la siguiente función: R(x) = 2943 - 780x + 69x2 - 2x3 9 ≤ x ≤ 14 (R indica el ruido en decibelios y x el tiempo entre las 9 y las 14 horas de un día laborable). Indica cuándo crece el nivel de ruido y cuándo decrece. 71. De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10 cm, hallar las dimensiones de aquel cuya área es máxima.

72. Entre todos los rectángulos de perímetro 12 m, ¿cuál es el que tiene la diagonal menor? 73. La suma de dos números no negativos es 36. Halla dichos números para que: a) La suma de sus cuadrados sea lo más pequeña posible b) La suma de sus raíces cuadradas sea lo más grande posible 74. Una cooperativa tiene 800 m de cerca, con lo que se desea cercar una parcela rectangular. ¿Cuáles deben de ser las dimensiones de modo que se encierre la máxima área posible, sabiendo que para uno de los lados de la parcela servirá de cerca un canal de riego? 75. En un rancho se van a construir dos corrales contiguos, de iguales dimensiones. Para ello se adquirieron 500 m de cerca. Calcular las dimensiones que maximicen el área.

76. Los jefes de lote de un campo de tomates observa que está próxima la cosecha y por lo tanto, también el problema de la recolecta del fruto. Dad la extensión del campo los jefes plantean la necesidad de ahorrar tiempo y además, por la cantidad de tomates a recolectar se necesitan recipientes adecuados. Se disponen de 600 pies de madera para fabricar 100 cajas rectangulares abiertas de base cuadrada. ¿Cuáles han de ser las dimensiones para que la capacidad sea la máxima? 77. En una fábrica de contenedores se necesitan botes cilíndricos de un litro de capacidad. Calcular sus dimensiones de tal manera que en su construcción se emplee la menor cantidad de material posible si: a) El bote no tiene tapa. b) El bote tiene tapa. 78. Con una cartulina rectangular de 2 m X 3 m, se quiere construir una caja sin tapa. Para ello, se recortará un cuadrado de cada uno de los vértices. Calcula el lado del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea un máximo.

79. Se quiere construir una pista de entrenamiento que consta de un rectángulo y de dos semicírculos adosados a dos lados opuestos del rectángulo. Si se desea que el perímetro de la pista sea de 200 m, halla las dimensiones que hacen máxima el área de la región rectangular.

Nota: en ejercicios donde se presenten figuras geométricas, recuerde las diferentes fórmulas de superficie y perímetro. 80. Un agricultor estima que si planta 120 árboles de aguacates en un terreno, la producción esperada al cabo de unos años por árbol será 475 Kg. y esta disminuirá en 5 Kg. por árbol, por cada árbol adicional plantado en el terreno. ¿Cuántos árboles debería plantar el cultivador para maximizar la producción total? 81. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)= 40 + 15t - 9t2+ t3, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t = 0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece. 82. Una fábrica que elabora un producto tiene una capacidad de producción de 3.000 unidades al mes. La función de utilidad por producir y vender q unidades mensuales está dada por: U(q) =  100,000 + 60,000q + 985q2  Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad mensual.

𝟏 𝟑

q3

83. Se va a cortar un alambre de 35 m en dos trozos. Con uno de estos fragmentos se construirá una circunferencia u con el otro un cuadrado. ¿Cuáles deben de ser las dimensiones delos dos trozos de alambre para que la suma de la áreas de las dos figuras sea máxima?

84. El porcentaje de sobrevivencia de un cierto tipo de larvas a una temperatura constante t ° C (grados Celsius) al cabo de una semana es modelado por la fórmula P(t) = -1.42t2 + 68t - 746 para 20  t  30. Halle las temperaturas a las cuales sobrevive el mayor y el menor porcentaje de larvas. 85. Una fábrica que elabora un producto tiene una capacidad de producción de 120 unidades diarias. La función de costo promedio está dada por C(q) = 100 + 30q +

𝟕𝟓,𝟎𝟎𝟎 𝒒

Encuentre el nivel de producción que minimiza el costo promedio.

86. El número de socios de una ONG viene dado por la función: n(x) = 2x3 – 15x2 + 24x 26, donde x indica el número de años desde su fundación. Calcular los años en que el número de socios fue el máximo y el mínimo, y el número de socios correspondientes a esos años. 87. En una finca se han plantado 16 olivos. Si se mantiene esta cantidad, de cada olivo se pueden producir 40 litros de aceite al año. Está estudiado que, por cada olivo que se añade al campo, los olivos producen 2 litros anuales menos cada uno. Determine el número de olivos que se deben añadir para maximizar la producción de aceite de dicho campo. 88. Se ha encontrado que el número de litros de agua que necesita semanalmente un determinado cultivo, desde el momento en que se planta (t = 0) hasta el momento en que se seca (t = 4), viene dado por la expresión f(t) = √− 𝟐𝐭 𝟐 + 𝟖𝐭; (t = años). Determine: a) En qué momento el cultico requiere √6 litros de agua semanales. b) En qué momento las necesidades de agua del cultivo serán máximas y cuál será su valor. 89. El número de personas, en miles, afectadas por una enfermedad infecciosa, viene dado por la función: f(t) 

𝟑𝟎𝒕

𝒕𝟐

, donde t es el tiempo transcurrido en días desde que inicio el contagio.

− 𝟐𝒕 + 𝟒

a) ¿Cuál es la tasa de cambio del número de personas afectadas correspondiente al cuarto día? b) ¿En qué día se establece el número máximo de enfermos? ¿Cuántos son éstos? c) ¿Sería correcto afirmar que la enfermedad se irá extinguiendo con el transcurso del tiempo? Justifíquelo razonadamente. 90. Se desea comprar 18 ordenadores y en el mercado hay de dos tipos. Se sabe que el beneficio que se puede obtener de su uso viene dado por el producto del número de ordenadores de un tipo que se compra por el cuadrado del número de ordenadores del otro tipo que se adquiere. Determinar el número de ordenadores de cada tipo que se debe comprar para que el beneficio sea el máximo. 91. Los economistas de una empresa han determinado que, para un periodo de tiempo fijo, la función de coste de almacenamiento de un cierto material, depende de las toneladas del mismo. Así: C(x) = 50 (50 + 6x +

𝟏𝟎𝟐 𝒙

), representa el costo en euro, siendo x las toneladas de material.

¿Qué cantidad de materiales hace que el costo sea el mínimo? 92. En una ciudad se declara una enfermedad contagiosa. El número de enfermos a lo largo del pasado mes de marzo ha venido dado por la función y(t) = 100 + 200 e 0.2 t, donde t representa el número de días transcurridos a partir del 1 de marzo. a) ¿Cuántos enfermos había el citado 1 de enero? b) Calcule la expresión algebraica de la función que representa la velocidad de evolución del número de enfermos al cabo de t días. c) Determine la fecha en la cual la velocidad de evolución del número de enfermos ha sido igual a 295.56 enfermos/día.

93. Se tiene una lámina circular que tiene de radio 70 cm. De la que se desea cortar un rectángulo de la mayor área posible. ¿Qué medidas debe tener el rectángulo? ¿Cuál debe ser el área máxima? Algunas formas de cortar el rectángulo en círculo. 94. De una lámina de 120 cm. X 75 cm. Se desea construir una caja sin tapa, del mayor volumen posible recortando cuadrados iguales de las esquinas de la lámina y doblando hacia arriba las salientes para tomar las caras laterales. ¿Cuáles deben de ser las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo? ¿Cuál es el volumen máximo que puede contener? La figura muestra los cortes que se hacen a la lámina y la figura de la caja resultante.

95. Se quiere construir una caja abierta con base cuadrada, empleando 108 pulgadas cuadradas de material. ¿Qué dimensiones producirán una caja de volumen máximo? 96. Hallar los números positivos que minimizan la suma del doble del primero más el segundo, si el producto de dichos números es 288. 97. Una bodega de 5 m de largo, 4 m de ancho y 3 m de alto, tiene un contacto en una esquina a 80 cm de alto. Si se requiere colocar un foco en el techo justo en la esquina opuesta, ¿cuál es la trayectoria rectilínea sobre las paredes de la bodega que se debe seguir para ahorrar cable eléctrico? 98. Un terreno se encuentra a un lado de una calle y se desea cercar una parte rectangular de 260 metros cuadrados, de modo que la cerca construida mida 1.5 metros de alto. El lado del terreno cercado que colinda con la calle debe ser de ladrillos y los otros tres lados de malla. Si el metro cuadrado construido de ladrillos cuesta $500 y el de malla $200, ¿cuáles son las dimensiones del terreno que minimizan el costo de su cerca y cuál es el costo mínimo? 99. Un tronco de un árbol de 30 m de largo tiene forma de un cono circular truncado. El diámetro de la base es de 1.6 m y el diámetro de la punta es de 0.8 m. Se desea cortar una viga de sección transversal cuadrada cuyo eje coincida con el eje del tronco y cuyo volumen sea el mayor posible. ¿Qué dimensiones debe tener la viga?

100. En una explotación agrícola se ha observado que cuando se utilizan Q kg de fertilizante por Ha se obtienen P kg de trigo (es decir: P(Q)). El precio de venta del trigo es p (€/kg) y el del fertilizante q(€/kg). ¿Cuantos kg de fertilizante por Ha hemos de utilizar para maximizar el beneficio? Aplíquese al caso particular en el que: P HQL = -140 + 9.8 Q - 0.5 𝐐

𝟑⁄ 𝟐•

101. Una caja con base y tapa cuadradas debe tener un volumen de 50 cm 3. Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado

102. Determine el volumen máximo posible de un cilindro circular recto si el área total de su superficie, incluyendo las dos bases circulares, es de 150  m2. 103. Se va a construir un tanque metálico de almacenamiento con volumen de 10 L en forma de un cilindro circular recto rematado por dos hemisferios (medias esferas). Tomando en cuenta que el volumen de la esfera es 4/3  r3 y que la superficie es 4r2, encontrar las dimensiones del tanque que minimicen la cantidad de metal.

104. Se quiere construir un recipiente cilíndrico de base circular con tapa y una capacidad para 600 L. Calcular las dimensiones que debe tener para que se requiera la mínima cantidad de material en su construcción. (Considerar que 1 L = 1 dm3:)

105. Halle las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en un círculo de radio r.

106. Un recipiente rectangular para almacenamiento, con la parte superior abierta, debe tener un volumen de 10 m3. El largo de su base es el doble del ancho. El material para la base cuesta Q.30 el metro cuadrado. El material para los costados cuesta Q20 el metro cuadrado. Encuentre las dimensiones para tener el más barato de esos recipientes. 107. Una ventana normanda tiene forma de un rectángulo rematado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de P m, encuentre las dimensiones de la ventana de modo que se admita la cantidad más grande posible de luz.