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• Luis Anderson

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ADICIÓN EN EL CONJUNTO Q “El trabajo y la perseverancia son los ojos del éxito” 

ADICIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS



ADICIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS

Observa el siguiente ejemplo:

Otra forma:

 PRÁCTICA

b)

3   7 7

c)

2 4   5 5

d)

7 4   9 9

=

1 5

=

3 5

Recuerda: F. Heterogéneas son aquellas que poseen diferentes denominadores

PASO Nº 1 M.C.M. (3, 5, 6) = 30

PASO Nº 2 x

x

x

2 7 7 20  42  35     3 5 6 30   

 AHORA PRÁCTICA TÚ





5

1 7  5

 9

8 2 3 e)    10 10 10

50

2 5

Recuerda: F. Homogéneas son aquellas que tiene el mismo denominador.

2 1 21 3    5 5 5 5

4 3   a) 5 5

=

Observa el siguiente ejemplo: 2 7 7    3 5 6

4 2 1   5 3 2

4



Solo tiene que dividir el MCM con el denominador y multiplicarlos con el Numerador.

PASO Nº 1 

M.C.M. (5, 3, 2) = 30 PASO Nº 2



9 

 10

4 2 1    5 3 2 

10



 30



Ejercicios de

Curiosidades Matemáticas

Aplicación

El origen de los signos + y – no se conoce con certeza. Hay varias opiniones. Una de ellas supone que surgieron de las marcas hechas con tiza en las cajas de mercaderes, por los comerciantes alemanes del siglo XV, para indicar las diferencias de peso en más o menos según un patrón establecido.

1. Completa: A) Aquella fracción cuyos denominadores son diferentes se llaman _________________ B) Aquella fracción cuyos denominadores son iguales se llaman __________________ 2. Relaciona: A)

Sigamos, observa:

También lo puedes hacer así: 2 1 2(2)  3(1) 7    3 2 3(2) 6

2 1 4 3 7    3 2 6 6

esto solo es posible cuando los denominadores son primos entre sí.

 PROPIEDADES DE LA ADICIÓN 1)

6 6

2)

Conmutar significa cambiar de posición.

6 6

=

Asociativa 4 2 1 4 2 1         5 5 5 5 5 5

6 5

+

7 5

1 4 3 = + 5 5 5 =

7 5

Asociar significa Agrupar



11 2

B)

8 3  2 2

 

4 10

C)

11 15  10 10

 

2 5

3. Aplicando la propiedad conmutativa resuelve: A)

2 3  6 6

B)

7 2  5 3

C)

6 3  4 9

Conmutativa

4 2 2 4    6 6 6 6

4 6  5 5

4. Aplicando la propiedad asociativa resuelve: A)

4 3 2   5 5 5

B)

3 2 6   9 7 5

C)

4 3 6   5 7 9

5. Aplicando el método practicar resuelve: A)

2 3  5 7

B)

6 2  9 4

C)

1 2  5 3

53

6. Marcar con V ó F según sea el caso:

12. Aplicando el método práctico resuelve

A) En la suma homogéneas se halla el MCM ( B) En la suma heterogéneas se halla el MCM (

) )

Curiosidades Matemáticas El símbolo “.” para la multiplicación fue utilizado por “Thomas Marriot” pero quien lo popularizó fue Leibniz. 7. Marca con X las Fracciones Homogéneas

4 , 7

8 , 9

2 , 7

6 , 7

8 , 4

2 , 4

9 3

6 , 7

3 , 9

2 , 9

6 , 8

7 , 8

1 , 2

B)

6 3  9 7

C)

1 2  5 3

13. Efectuar las siguientes operaciones: A)

3 2 3 =   4 7 4

B)

3 8 

C)

3 8 7 =   9 9 9

B) Asociar significa

1 5

1 5

3 = 5

1 3

A)

100 350 420 =   10 10 10

B)

120 144 12 =   12 12 12

C)

450 600 900 =   90 100 90

9. Une con flechas A) Conmutar significa

2 3  5 7

14. Efectuar:

8. Marca con X las Fracciones Heterogéneas

2 , 5

A)

 cambiar de posición

15. Efectuar:

 agrupar

10. Une con flechas

A)

480 1500 1400 =   60 500 700

A) Homogéneas



2 3 , 5 7

B)

155 144 25 =   5 2 5

B) Heterogéneas



4 2 , 9 9

C)

13 5 3 7 =    4 9 4 9

11. Aplicando el método asociativo resuelve: A)

2 3 4   6 7 5

3 1 2 B)   9 10 7 C)

54

1 3 4   17 19 12

Curiosidad Matemática La división centesimal se inventó con el sistema métrico decimal o finales del siglo XVIII.

Tarea Domiciliaria 1. Coloca una (X) a la respuesta correcta: ¿En la suma de fracciones heterogéneas es necesario hallar el MCD? Si

2. Resolver:

5

b) 68/12 e) N.A.

a) 29/5 d) 28/5

b) 29/4 e) 26/4



c) 29/3

a)

2 5 , 3 3

F. Homogéneas

(

)

b)

3 6 , 3 3

F. Heterogéneas (

)

c)

2 5 , 7 7

F. Nula

)

(

5. Efectuar: 5 6 8 7     4 4 4 4 b) 27/4 e) N.A.

c) 28/4

5 2  3 3

a) 6/3 d) 8/3 7. Desarrollar: 3

b) 5/3 e) N.A.

c) 7/3

1 1 5 1 5 3 b) 143/15 e) N.A.

c) 4

A)

3 4 , 5 7

F. Homogénea

(

)

B)

6 7 , 5 5

F. Heterogénea (

)

C)

7 6  5 5

F. Homogénea

)

(

c) 72/12

4. Coloca V ó F según corresponda:

a) 25/4 d) 29/4

b) 10 e) N.A.

9. Coloca “V” ó “F” según convenga

No

3. Efectuar las siguientes operaciones: 1 18 1 3   3 3 3

a) 142/15 d) 145/16

a) 20/5 d) 25/5

1 1 3 6 4

a) 64/12 d) 14/12

6. Efectuar:

8. Efectuar: 15 20 100 30 =    5 5 10 10

c) 144/15

RESOLVER:

6 4

1 3

66 = 3

10.

1 2 

11.

26 29 144 25 =    4 4 12 5

12.

48 525 600 =   6 5 100

 1   4   3  13.         =  5   15   9  14.

28 14 48 59 =    7 7 7 7

15.

640 300 640 50 =    20 150 20 10

Curiosidades Matemáticas Paolo Ruffini, matemático italiano (1765 - 1822) publicó su famosa regla en 1804. esencialmente coincide con la publicada en 1819 por el inglés W.G. Hornes. Antecedentes de esta regla se han encontrado en trabajos de matemáticos chinos en el siglo XIII.

55

SUSTRACCIÓN EN EL CONJUNTO Q “Algunos libros son probados, otros devorados, poquísimos masticados y digeridos” 

SUSTRACCIÓN DE FRACCIÓN HOMOGÉNEAS



SUSTRACCIÓN DE FRACCIÓN HETEROGÉNEAS

Observemos el siguiente ejemplo: Mira atentamente siguiente ejemplo: X

14 3   7 8

X

7 9

2 9

-

5 9

=

PASO Nº 1 MCM (7, 8) = 56

también podemos resolverlo así:

7 2 7   9 9 9

PASO Nº 2 Atención: Para restar F. Homogéneas restamos los numeradores y conservamos el mismo denominador

=

A)

X X

X

X X X

14 3 112  21 31    7 8 56 56 

 AHORA PRÁCTICA TÚ

13 2  7 6

 PRÁCTICA

B)

(X)

X

=

7



8



PASO Nº 1 MCM(7, 6) = 42

PASO Nº 2 =

6



8



13 2   7 6 

56

La solución es muy parecida a la suma de heterogéneas.

 42



42

el

Curiosidades matemáticas Los números naturales se conocen desde la época más remota. Los Babilónicos sintieron necesidad de usar el cero. Al principio el cero era un espacio en blanco. Al pasar el tiempo se utilizó el símbolo 0 como circulo para rellenar los espacios en blanco, por tanto, el número anterior se escribía 705 como lo hacemos actualmente.

5.

6.

Ejercicios de Aplicación

1.

Coloca V ó F según convenga:

B)

4 3   5 5

C)

8 2   9 9

Resuelve: A)

7 4   3 9

B)

42 11   10 12

C)

31 13   17 15

Resuelve: A)

2 1  7 7

B)

13 3  12 18

C)

4 3  9 9

A) La propiedad conmutativa se aplica en la sustracción.

(

)

7.

B) La propiedad asociativa se aplica en la sustracción 2.

(

)

Coloca V ó F según convenga: A) En la sustracción de F. Homogéneas es necesario, hallar el M.C.M. ( )

8.

B) En la sustracción de F. Heterogéneas no es necesario hallar el M.CM. ( )

3.

Completa:

X

X X

X

8



4

Resuelve: A)

A)

12 3  4 4

 Heterogéneas

B)

13 6  7 9

 Homogéneas

Marque lo incorrecto: A)

4 2 2   6 6 6

B)

3 2 1   7 5 2

C)

4 3 1   6 6 6



9. 4.

Une con flechas:

Gráfica las siguientes sustracciones: A)

12 3  5 5

8 3   2 2

59

B)

6 4  2 2

a) Homogéneas – Mínimo común – Homogénea b) Heterogénea – Máximo común – Homogéneas c) Heterogéneas – Mínimo común –

10 6 C)  3 3

Homogéneas 

10. Une con flechas: A) Homogéneas

 No MCM (

)

B) Heterogéneas

 Si MCM (

)

14.

1 2 6 3    = 7 5 4 2

15.

4 7 3 6 15 =     2 4 5 2 5

11. Resuelve: A)

4 2  7 7

B)

18 6  10 10

C)

15 6  7 7

Tarea Domiciliaria

1. Colocar (V) ó (F) según convenga:

12. Resuelve: A)

Efectuar:

A) En la sustracción homogénea se coloca el

18 4  9 7

mismo denominador.

(

)

B) En la sustracción se puede aplicar la

13 6 B)  7 5

propiedad asociativa.

41 3 C)  10 8

Curiosidades matemáticas La primera edición latina de los elementos de Euclides apareció en 1482 con la Invención de la Imprenta.

13. Completar: Para restar fracciones es ________________ se reduce las fracciones a ser ____________ denominador.

Luego se restan las fracción

______________

60



EFECTUAR:

2.

3

1 1 5 15 = 2   5 5 5 5

3.

4

2 4 36 2 = 2   6 6 6 6

4.

5

4 81 4 1   3 = 9 9 9 9

5.

4 81 144 125 =    2 9 12 5

(

6. Desarrollar: 81 27 49   9 3 7 a) 5

b) 6

d) 12

e) N.A.

c) 7

)



7.

Desarrollar:

1 1   11 1   1 17. 3  2  1      2 5 3    5 6

25 144 516    17 5 12 516 a) 1

b) 3

d) 5

e) N.A.



Efectuar:

8.

1500 400 50 645    100 20 50 645 a) 35

b) 45

d) 75

e) N.A.

1  5    5 3  18.     2       2   7 4  2  7  c) 4

c) 55

9. Para restar fracciones __________ restamos los ____________ y conservamos el mismo ______________ a) Homogéneas – denominadores – signo b) Heterogéneas

–

numeradores

denominadores

–



Simplificar:

19.

11  5  1   7    1    3     = 5  6  6  6 

20.

13  11   7  5   1    3    2  = 9  9  9  9

1  4  5  10   21.     2    3    1  = 3 3 3 3       

1  9  13  21  5     2  = 22.   2    11  11  11  11  11  

c) Homogéneas – signos – denominadores d) N.A.



Efectuar:

1 2 1 1 1 10.         6 7 5 2 5 1 2  2 3  1 11.  3  2     1   5 6 3  5 2  1  3 5 1  1   12.  7       5 7 5   25 3 

Curiosidades matemáticas Los problemas de intereses los conocían los indios, pero fueron los árabes los que los introdujeron en España.

2 1 1   1 2 1   1 1  13.              3 2 8 2 3 8  4 2 2  1 1   1 1  4 14.   1    3       3   9 7   6 14  7 1   1 1  5 1  15.  1     2      1  7   2 3 2 7  1  3 5   4 17   1   16.  2        7 9   3 7   18 3 

61

ÁNGULOS II CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS LADOS

1. Del gráfico, calcular ”x”.

Ángulos Complementarios:

º º



º + º = 90º



Complemento de xº : C(x)

 xº

2xº xº

x = ……………………



º + º = 180º



Suplemento de xº : S(xº)

º º

Ángulos Opuestos por el Vértice

xº



º = º



xº = yº

º

x = ……………………

 S(xº) = 180º - xº

3. Calcular : CCC(23º) a) 67º b) 66 c) 65 d) 57 e) 77

º yº

Ángulos de Lados Paralelos

yº

º º xº

º = º

x = ……………………

2. Del gráfico calcular “”

º

º

xº xº

C(xº) = 90º -

Ángulos Suplementarios:

º

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

x º = yº

4. Calcular : SSSSS(142º) a) 142º b) 38 c) 36 d) 40 e) 48 5. Calcular E = SSSCCCº Si : º = CCCSSS140º a) b) c) d) e)

40º 50 90 140 150

2º

3º

x = ……………………

6. Calcular “” ; si : CCC=20º a) b) c) d) e)

13. Calcular “x”

70º 20 10 35 80

a) b) c) d) e)

7. Calcular “” ; si : SSSSS = 135 a) b) c) d) e)

35º 45 55 75 135

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

2x+25º

15º 30 45 5 60

FD  y  AE   B

A

75º 105 135 100 125

36º

TAREA DOMICILIARIA

CD  

a) b) c) d) e)

C

65º

xº E

F

D

E

xº

75º B

xº

C

xº

xº

º

2. Calcular “x” a) b) c) d) e)

68º 78º 58º 48º 34º

3. Calcular :

46º º º

CCCCC27 º CCC69º

a) 1 d) 4 2xº

º

130º

xº

BC  

CD y ED

A

155º 125º 135º 140º 175º

D

12. Calcular “x” 15º 30 45 60 40

º

1. Calcular “x”



a) b) c) d) e)

18º 54 36 72 108

3x-20º

11. Calcular “x” ;  AB a) b) c) d) e)

49º º

xº+40



10º 15 25 65 115

9º 41 49 50 45

30º+x

10. Calcular “x” ;  AB a) b) c) d) e)

xº+ º

15. Calcular “”

2º 4 10 5 15

9. Calcular “x” a) b) c) d) e)

2xº

2x-

14. Calcular “”

8. Calcular “x” a) b) c) d) e)

18º 36 30 40 60

4. Calcular : 60º

a) 1 d) 5

b) 2 e) 6

c) 3

b) 2 e) 4

c) 3

SSSS140º CCCC20º

5.

Calcular SSSCCCº Si : CSS40º = º a) 120º d) 150º

11. Del gráfico, calcular “x” b) 130º e) 160º

c) 140º

6. Calcular : SSSSSCCCCC Si : SSSCC120º =  a) 120º d) 150º 7.

b) 130º e) 160º

c) 140º

Del gráfico, calcular “” . Si : OM es bisectriz del ∢AOB. a) b) c) d) e)

8.

M 20º º O

B

Calcular “x” ; si : OP es bisectriz del ∢AOB. a) b) c) d) e)

9.

10º 20 30 15 5

A

35º 40 75 105 125

B

35º o

Calcular el menor de dos ángulos complementarios sabiendo que el mayor es el doble del menor. a) 30º d) 35º

b) 15º e) 60º

c) 45º

10. Del gráfico, calcular “x” a) b) c) d) e)

140 120 160 170 100

xº 30º-

80º

xº

70º

12. Calcular “x” a) b) c) d) e)

xº

120º 115 135 145 155

13. Calcular “x” ; a a) b) c) d) e)

115º 125 135 145 105

70º

65º

a

b , m

n 65º

m

n xº

b

14. Calcular “x”

40º

A

100º 120 130 150 170

C

xº

P

a) b) c) d) e)

2

a) b) c) d) e)

150º 120 130 140 100

xº 60º

15. Calcular “x” a) b) c) d) e)

46º 44 54 64 36

xº 46º

ÁNGULOS CONCEPTOS

Q I

__________ ; ______________ = _____

..............................................................................................

II. __________ ; ______________ = _____

..............................................................................................

III. __________ ; ______________ = _____

..............................................................................................

IV. __________ ; ______________ = _____

.............................................................................................. Donde:

A R

P º

O

B

* “P” : Pertenece a la región . * “R” : Pertenece a la región exterior del ángulo

¿QUÉ ES UNA BISECTRIZ? .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. Sea el ∢AOB :

A

¿Y cómo se denota? 

M

º

O

NOTACIÓN :

º

m∢AOB : …………………… B ¿Y su medida? ¿En que unidad se expresa? ∢AOB : …………………… En la unidad de : ……………………………………………….



¿Cómo, biseca?

O sea : ............................................................................... ............................................................................................. .............................................................................................

VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS : 

- Denota los siguientes ángulos y sus respectivas medidas:

I

N

A

II 60º

45º O

III

M

B

O

¡Recordemos! “Qué todo ángulo en la geometría

O

IV

T

70º 150º

P

OM es bisectriz del ∢AOB. Si : Se cumple : m∢AOM = m∢MOB = º

R

S

plana es positivo y menor ó igual a una vuelta”.

0º < ºGEOMETRICO < 360º

¿Profe Carlitos y porque algunos ángulos son mayores que otros y algunos tienen

º

lados comunes? a.4. Ángulo Llano : 40º 45º

20º

120º



60º

 = 180º

a.5. Ángulo de una vuelta :

140º

36º

40º

54º

 = 360º



40º 140º

JÓVENES PARA UN MEJOR ESTUDIO  Clasifiquemos los ángulos: según sus

* Veamos algunos ejemplos : 1.

Ang. Agudos:

medidas y según la posición de sus lados:  10º, 30º, 60º, 80º, 89º, etc. 2.

Ang. Obtusos :

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS a)

 100º, 150º, 118º, 179º, 91º, etc

Según sus medidas :

* De los siguientes gráficos indique si el ∢ es agudo, recto, obtuso o llano.

a.1. Ángulo Agudo :

0º  º  90º º a.2. Ángulo Obtuso :

90º  º  180º º

a.3. Ángulo Recto :

o

20º

↠

...................................................

o

36º

↠

.......................................

o

72º

↠

.......................................

o

100º

↠

.......................................

o

18º

↠

.......................................

o

90º

↠

.......................................

o

170º

↠

.......................................

o

115º

↠

.......................................

o

360º

↠

.......................................

o

180º

↠

.......................................

o

162º

↠

.......................................

o

180º

↠

........................................

o

162º

↠

........................................

o

90,5º

↠

........................................

o

89,5º

↠

........................................

o

0º

↠

........................................

20º

e) ∢ …………………………….. º

* Utilizando el transportador, mide aproximadamente los siguientes ángulos. 2.

o

º = ……………..

º

o º

o 

º = ……………..

º = ……………..

Indique de que tipo de ángulo se trata según su medida.

a)

16º

↠

.......................................

b)

25º

↠

.......................................

c)

145º

↠

.......................................

d)

90º

↠

.......................................

e)

180º

↠

.......................................

Usando el transportador medir aproximadamente los siguientes ángulos. 3.

º = …………….. º

º = ……………..

o º

4.

º = …………….. º

º = ……………..

o

5.

º = ……………..

º

º

º

º = ……………..

6.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

De los siguientes gráficos. Indique el tipo de ángulos:

mº = ……………..

mº 7.

º- º = ………………………..

a) ∢ …………………………….. b) ∢ …………………………….. º

60º

145º

c) ∢ …………………………….. d) ∢ ……………………………..

º

10. Calcular “x” 8.

Grafique aproximadamente con su transportador los siguientes ángulos.

Si : OM es bisectriz del ángulo AOB A

a) º = 25º

M 20º

O

B

Sol.b) º = 100º

Sabias que : ↠ 1º  > 60’

c) º = 90º

↠ 1’  > 60’’ ↠ 1º  > 3600’’

Por ejemplo : Convertir :

d) º = 160º

a)

45º

45º

e) º = 150º

 22º 

2

2

1º

 22º 

2

 22º 30'

60' 2 45º



2

 22º30'

60’

b) 9.

Indicar verdadero o falso :

17º 4 17 º

a) El ∢ agudo mide 90º

(

)

b) el ∢ obtuso mide 180º

(

)

c) 91º, es un ángulo agudo

(

)

d) 180º, es un ángulo llano

(

)

e) El ángulo obtuso puede ser 135º

(

)

 4º 

4

1º

 4º 

4

4

 4 º 15' 4 º15' 2(60’)

c)

60'

127 º 25

 5º 

= 5º +

24' 5

2º 25

12’

 5º 

 5º 

24' 5

2(60') 25 5

4(60’’)

 5º  4'

4' 5

12’’

= 5º + 4’ + =

127 º 25

4(60'') 5 1

 5º4'48''

 5º  4' 48''

11. Calcular :

13. Calcular

27 º 2

12. Calcular

35 º 2

125 º 4

TAREA DOMICILIARIA 1.

Indicar verdadero ó falso según corresponda: a)

El ángulo tiene dos lados

b)

El ángulo tiene dos bisectrices

c)

El

ángulo

esta

formado

14. Calcular

e)

8

2.

(

)

El ángulo agudo es mayor que 90º (

)

La

unidad

del

ángulo

es

el

grado

(

)

b)

El minuto sexagesimal es (1’)

(

)

c)

El segundo sexagesimal es (1’’)

(

)

d)

Un grado (1º) ; equivale a 60 minutos (

)

Un minuto (1’) equivale a 60 segundos sexagesimales (60’’)

4

)

sexagesimal (1º)

e)

3.

dos

Todos los ángulos están medidos en grados

sexagesimales (60’’)

85 º

)

Indicar verdadero ó falso según el ángulo. a)

15. Calcular

( (

sexagesimales 127 º

)

por

semirrectas. d)

(

(

)

Indicar verdadero o falso, según corresponda: a)

El ángulo agudo es menor que 90º;

(

)

(

)

pero mayor que 0º b)

El ángulo obtuso es mayor que 90º; pero menor que 180º

c)

El ángulo recto mide 180º

(

)

d)

El ángulo llano mide 90º

(

)

e)

El ángulo de revolución ó (

)

de una vuelta mide 360º 4.

Relacionar las siguientes alternativas: a) Ángulo Agudo

(

)

180º

b) Ángulo Obtuso

(

)

27º

c) Ángulo Recto

(

)

360º

d) Ángulo de una vuelta

(

)

90º

e) Ángulo Llano

(

)

150º

8.

5.

Resolver los siguientes ejercicios (medición) a)

b)

Indicar verdadero (V) o falso (F). a)

La geometría en Egipto era una ciencia

(

)

b)

Thales nació en Egipto

(

)

c)

Thales es el “Padre de la geometría”

(

)

d)

Thales sostenía que el agua es el origen de las cosas

144º

60º

e)

9. c)

La geometría aparece en Grecia, gracias a Thales.

∢ …………….

∢ …………….

( (

)



Si : OM es bisectriz : Calcular “x”:

d)

25º A ∢ …………….

∢ ……………. 6.

Medir

los

siguientes

ángulos

M

(use

a)

x+12

O

transportador) b)

B

Sol.-

º º º …………. 7.

Grafique

aproximadamente

º …………. los

siguientes

ángulos : a)

Rpta : 

10. Calcular “x” ; (Si OB ; es bisectriz ∢ AOC) º = 60º B

b)

A x

º = 90º C

c) º = 165º

O

Sol.-

d) º = 10º e)

Rpta : º = 105º

)

14. º =



11. Calcular “x” . Si : OM : Bisectriz:

135 25

Sol.-

M

A

3x-10º O

B

Rpta :

15. º =

180 º 16

Sol.-

Rpta : 12. Calcular “” en grados y minutos. º =

37 º 4

Sol.-

Rpta :

Rpta : 13. º =

105 º 8

Sol.-

Rpta :

CURIOSIDADES NUMÉRICAS En el evangelio, según San Juan (Cap 21, versículo 11) se lee que : “Los discípulos no habiendo pescado nada durante la noche se disponían a abandonar la tarea, cuando siguiendo el consejo de Jesús, echaron de nuevo la red, la cual Simón Pedro, la levanto y la trajo a tierra estaba llena de grandes peces en numero 153 y siendo tantos la red no se rompió. Por eso el número 153 se consideró en la antigüedad como número mágico, buscándose distintas propiedades del mismo. Por ejemplo : Es un número triangular :

1 + 2 + 3 + 4 + …………………………. + 15 + 16 + 17 = 153 13 + 53 + 33 = 153 1 + 2 x 1 + 3 x 2 x 1 + 4 x 3 x 2 x 1 + 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 153

Si se parte de un número natural, cualquiera que sea múltiplo de 3, y se suman el cubo de sus cifras. El resultado también será un múltiplo de 3, se aplica la misma operación. Continuando así se llegará al número 153. Ejemplo : 252 



23 + 53 + 23 = 141

141



13 + 43 + 13 = 66

66



63 + 63 = 432

432



43 + 33 + 23 = 99

99



93 + 93 = 1458

1458



13 + 43 + 53 + 83 = 702

702



73 + 03 + 23 = 351

351



33 + 53 + 13 =

153

Por eso se dice que el número 153 es un AGUJERO NEGRO.

Las operaciones entre números tienen ciertas curiosidades, ahora veremos algunas de ellas será divertido.

NOTABLES DESCOMPOSICIONES DE NÚMEROS El número 100 puede ser descompuesto en 4 sumandos tales que den el mismo número 16

sumandos 4 al primero, restando 4 al segundo, multiplicando por 4 al tercero y dividiendo por 4 al cuarto.

Se puede concluir que el número

*

número

100 = 12 + 20 + 4 + 64 12 + 4 = 16 20 – 4 = 16 4 x 4 = 16 64 ÷ 4 = 16

descompuesto en 4 sumandos tales que den el mismo sumando

al primero, restando

al segundo, dividiendo por

Podrás encontrar otro número que descompuesto en 4 sumandos; tales que den un mismo número sumando, restando, multiplicando y dividiendo un mismo número a cada sumando.

puede ser

al tercero y multiplicando

al cuarto. NÚMERO INVERTIDO

En los siguientes recuadros escribir números de 3 cifras y restarles el número que resulta al invertir el orden de sus cifras. Número

Número Invertido

Diferencia

1

Claro que si ¡Veámoslo Ahora!

2 3 4

Piensa un número tal como de esta tal como

y ahora un múltiplo

Aplica las cuatro operaciones

básicas.

Podemos observar que la cifra de las decenas es siempre

y la suma de cifras de los extremos es

siempre

1)

+

=

2)

-

=

3)

x

=

4)



=

El Número 84 Escribe la tabla del número 8 sumamos las cifras del resultado. ¿Qué observas?

Sumando los resultados obtenidos, tendremos Despejando el número pensado en cada operación.

1)

=

+

Tabla

2)

=

-

1x8 =8

8

8

3)

=



2 x 8 = 16

1+6=7

7

3 x 8 = 24

2+4=6

6

4)

=

x

4 x 8 = 32

3+2=5

5

5 x 8 = 40

4+0=4

4

6 x 8 = 48

4 + 8 = 12 ; 1 + 2 = 3

3

7 x 8 = 56

5 + 6 = 11 ; 1 + 1 = 2

2

8 x 8 = 64

6 + 4 = 10 ;

9 x 8 = 72

7+2=

10 x 8 = 80

8+0=

Suma de cifras

+

Resultado

=

11 x 8 = 88

+

=

;

+

12 x 8 = 96

+

=

;

+

PIRÁMIDES NUMÉRICAS

A Los resultados son los números del

al

Con el Número 9

del

en orden

1 x 9 + 2 = 11 12 x 9 + 3 = 111 123 x 9 + 4 = 1111

PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA

1234 x 9 + 5 = 11111 12345 x 9 + 6 = 111111 x9+

El número 37

= 1111111

Multiplicalo por los 9 Pirámide de ochos (8)

primeros múltiplos de 3.

0x9+8=8 9 x 9 + 7 = 88

37 x 3 = 111 ; 1 + 1 + 1 = 3

98 x 9 + 6 = 888

37 x 6 = 222 ; 2 + 2 + 2 = 6

987 x 9 + 5 = 8888

37 x 9 = 333 ; 3 + 3 + 3 = 9

9876 x 9 + 4 = 88888

37 x 12 = 444 ; 4 + 4 + 4 = 12 37 x

=

37 x 27 =

;

999 ;

+

+

x9+

=

9+9+9 =

27

B

= 888888

Con el número 8 1x8+1=9

Multiplicando por múltiplos de 3 la suma de cifras del resultado da por valor el mismo múltiplo

12 x 8 + 2 = 98 123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876 12345 x 8 + 5 = 98765 x8+

= 987654

C El Número 3367 33 x 3367 = 111111 66 x 3367 = 222222 99 x 3367 = 333333 132 x 3367 = 444444 x 3367 =

x 3367 = 999999

Multiplicado por los 9 primeros múltiplos de 33

12 = 1 (11)2 = 121 (111)2 = 12321 (1111)2 = 1234321 (11111)2 = Existen gran variedad de curiosidades numéricas sino miren el número 91

1 x 91 = 091 2 x 91 = 182

Observa : los resultados en forma vertical

3 x 91 = 273 4 x 91 = 364

.......................................................................................... 3.

5 x 91 = 455

12345678 x 9 + 9 = ....................................................

6 x 91 = 546 7 x 91 = 637

4.

8 x 91 = 728 9 x 91 = 819

5.

4x4–4x4

resultado de multiplicar 790 x 8 es 11 (Obs : No realizar la multiplicación ) 6.

:

2

:

3

:

4

:

................................................................

5

:

................................................................

6

:

................................................................

7

:

................................................................

8

:

................................................................

9

:

................................................................

10

:

................................................................

de las unidades del resultado es 3. ¿Cuál será la

4x4

4



Aldo resta un número de 3 cifras con el que se obtiene al invertir el orden de sus cifras. Si la cifra

4x4

1

¿Cuánto será la suma de cifras del resultado de multiplicar 798 x 8? Si la suma de cifras del

Los números del 0 al 10 pueden ser expresados usando cuatro “cuatros” mediante operaciones matemáticas. :

Escribir rápidamente el resultado de efectuar : (111111)2 = ..............................................................

FORMAS DIVERSAS DE ESCRIBIR UN NÚMERO.

0

Escribir rápidamente el resultado de efectuar:

cifra de las centenas?.

4 4

a) 4

b) 5

4  4  4 

d) 7

e) 8

4

c) 6

4

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

7.

¿Cuál es el número? Que elevado al cuadrado da como resultado 12345654321?

8.

a) 1234

b) 11111

d) 111111

e) 1010101

c) 98765

Si: 1234567 x A + B = 11111111 Hallar : A – B

9.

a) 5

b) 4

d) 2

e) 1

c) 3

Si : 1234567 x P + Q = 9876543 Hallar : (P x Q) /2

1.

Cuando se resta un número de 3 cifras con el que resulta al invertir el orden de sus cifras. La cifra

a) 56

b) 28

de las decenas es ___________________ en la

d) 32

e) 18

diferencia. 10. Hallar : A2 2.

¿Cuál es la suma de cifras del resultado de multiplicar 37 x 15?

Si :

A=

8888886 987654

c) 16

Encuentra tú junto a tu profesor unos cuántos a) 64

b) 49

d) 81

e) 16

c) 36

pares

de

números

que

cumplan

la

misma

curiosidad.

11. Calcular la suma de cifras de N : Si : M x N = 10305050301 + 2040604020 a) 5

b) 6

d) 8

e) 9

c) 7

12. ¿Cuál es el número que descompuesto en 4 sumandos tales que sumando 5 al primero, retando 5 al segundo, multiplicando por 5 al tercero y dividiendo por 5 al cuarto de siempre 20 como resultado? a) 140

b) 141

d) 143

e) 144

c) 142

13. ¿Cuál es la suma de las 2 últimas cifras? Del resultado de efectuar:

b) 3

d) 7

e) 9

1. Cuando se resta un número de 3 cifras con el que resulta al invertir el orden de sus cifras. La suma de las cifras extremas es _____________ en la diferencia. 2. ¿Cuál es la suma de cifras del resultado de multiplicar 37 x 24? ____________________________________

3. Escribir rápidamente el resultado de efectuar :

1 x 3 x 5 x 7 x …………………………………………………… a) 1

TAREA DOMICILIARIA

c) 5

(1111111)2 = ______________________ 4. Escribir rápidamente el resultado de efectuar: 12345678 x 8 + 8 = ______________________

14. ¿Cuánto será la suma de cifras del resultado de

5. ¿Cuánto será la suma de cifras del resultado de

restar un número de 5 cifras con el que se

multiplicar 3275 x 8?

obtiene al invertir el orden de sus cifras?.

Si la suma de cifras del resultado de multiplicar 3269 x 8 es 16.

a) 9

b) 18

d) 36

e) 45

c) 27

(Obs : No realizar la multiplicación). a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

15. Los siguientes pares de cuadrados perfectos y sus raíces están formados por las mismas cifras escritas en orden inverso :

6. Daniel resta un número de 3 cifras con el que

122 = 144

;

212 = 441

132 = 169

;

312 = 961

1222 = 14884

;

2212 = 48841

obtiene al invertir el orden de sus cifras. Si la cifra de las centenas del resultado es 5. ¿Cuál será la cifra de las unidades? a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

c) 4

7. Si :

d) 293

e) 294

2

(111 ……….1) = 123456787654321 13. Si multiplicamos 13 x 15 x 17 y así sucesivamente. “n” cifras

¿Cuál será el producto de las 2 últimas cifras del resultado?.

Hallar “n” : a) 9

b) 8

d) 6

e) 5

c) 7

a) 7

b) 10

d) 24

e) 30

14. ¿Cuánto es la suma de cifras del resultado de

8. Si : 12345678 x A + B = 111111111

restar un número de 7 cifras con el que se obtiene al invertir el orden de sus cifras?.

Hallar : 2A + B a) 18

b) 20

d) 27

e) 36

c) 24

9. Si : 12345678 x M + N = 98765432 Hallar : M – N

a) 9

b) 18

d) 36

e) 45

a) 4

b) 3

d) 1

e) 0

c) 2

a .

10. Hallar :

88888887 9876543

a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

c) 4

11. Calcular el producto de cifras de M. Si : M x M = 103050301 + 20404020 a) 4

b) 3

d) 1

e) 0

c) 2

12. ¿Cuál es el número que descompuesto en 4 sumandos tales que sumando 6 al primero, restando 6 al segundo, multiplicando por 6 al tercero y dividiendo por 6 al cuarto da siempre 36 como resultado. a) 290

b) 291

c) 292

c) 27

15. Usando cuatro cifras “3” y las operaciones básicas (+,-,x,÷,) expresar los números del 1 al 10). (Ejemplo 1 =

Si : A =

c) 20

3 x3 3 x3

)

EXPRESIONES ALGEBRAICAS I Por el año 800, Omar Janamina empezó con el desarrollo de lo que son las expresiones algebraicas, lo mismo por el siglo XII. Descubrimiento América En el Perú 300 E. Antigua En el Mundo 476

1492 E. Media

E. Moderna

800

XII

1453

RECORDAMOS: I.

“Si dos números son de signos iguales se suman los dígitos y se coloca el mismo signo”. No se coloca, se sobreentiende

Ejemplo:

¡AHORA TU!

+2+4=6

3+4=

-3 – 7 = -10

-13 – 9 =

II. “Si dos números son de signos diferente se restan los dígitos y se coloca el signo del mayor”

1.

Ejemplo:

¡AHORA TU!

3 - 2 = +1

7-5=

-4 + 2 = -2

-13 + 8 =

TÉRMINO ALGEBRAICO CONCEPTO.- Es aquella expresión que relaciona dos partes contrarias, por medio de la multiplicación, dichas partes son: Parte Constante: Es aquella magnitud que permanece invariable y se representa generalmente mediante números reales. Ejemplo: 4, 5, -2,

4 3

Parte Variable: Es aquella que varia y se representa generalmente por letras (x, y, z, …). Ejemplo: x2, xyz, x5y7. La unión de dichas partes origina el Término Algebraico.

Parte Variable

Así:

 2 x5 y4

Exponentes Bases

Parte Constante

AHORA Término Algebraico

Parte Constante

Parte Variable

Bases

Exponentes

-3xy 4xyz -3abc 7 M2n3 -4abc3 -x5 -4 4xyzt4 -3x2z3 2.

TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos términos algebraicos que tiene la misma parte Variable. Ejemplo: 3x4y5 es semejante con  2x4 y5 porque tiene la misma parte variable.

AHORA

TÚ



4x y

;

-x3y4



………… son semejantes



x5y3

;

x7y3



………… son semejantes



………… son semejantes



3 4

3 4

-a b

;

4 3

-3b a

OBS.: Un término algebraico NO puede tener como exponentes a: a)

Números Irracionales Ejemplos:

b)



4x 3 y 4 z 5

……………………. no es término algebraico.



2xy3z 2

……………………. no es término algebraico.

Letras Ejemplos:  

-xxyyzz 2 3 a

-2x y z

……………………. no es término algebraico. ……………………. no es término algebraico.

Vocabulario: 

Semejantes: Entes que guardan algo en común.



Términos: Expresión unitaria que conforma un tono.



Álgebra: Estudio de la unión de parte variable con parte constante y sus diversas operaciones.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

Relacionar los términos que son semejantes: 2 5

2.

7

5.

4

a) 4x y

(

)

x ay

b) 5x7y4a

(

)

2za3b4

Calcular: M  a  5

c) -3a3b4z

(

)

5abzx

a) 4

b) 3

d) 15xabz

(

)

3y5x2

d) 1

e) 0

t1 = 30x4

Completar:

6.

Término

Parte

Parte

Término

Algebraico

Constante

Variable

Semejante

–

Si los términos t1 y t2 son semejantes. t2 = 4xa

Dado los términos semejantes : 23am+3

;

Calcular: A 

1 4 3 x y 2 7xabn 27 54z2

7.

Son términos semejantes: 4xy2; -2x2y

II. 3abc; -3a2b2c

III. 15m2n3; 3n3m2

b) 6

d) 4

e) 3

c) 5

Si los siguientes términos son semejantes:

ab

a) 5

b) 4

d) 2

e) 1

c) 3

IV. -20z2; 2z2x 8.

4.

m1 2

a) 7

Calcular: R 

I.

 2 a14 .

4xa+3y4 ; -5x8yb+5

3 x2 y2

3.

c) 2

a) I

b) II

d) IV

e) N.A.

Dados los términos semejantes: 2xa+8yb+5 ;

c) III

3x12ya+2b

Calcular: R = a . b

Colocar si las proposiciones son verdaderas

a) 1

b) 0

d) 4

e) 5

c) 3

(V) o falsas (F): I.

En un término algebraico los exponentes de las variables no pueden ser letras.

II.

5x

3

yz es un término algebraico.

4 3 2

III. 5x y z ; semejantes.

4 3 2

-2x y z

son

(

)

(

)

términos (

)

9.

Dados los términos semejantes:

t1  (2a  b)x4 yb3

t2  (b  3a)x2a y6

Calcular: La suma de coeficientes. a) 10

b) 4

d) 7

e) -3

c) 12

10. Indicar los coeficientes de los términos

TAREA DOMICILIARIA

semejantes siguientes: -13ax a+8y7

4bx9y3b

a) -13 y 4

b) -26 y 16

d) -26 y 4

e) N.A.

c) -13 y 16

1.

Relacionar los términos semejantes: I)

11. Dados los términos algebraicos semejantes: (c + 4)ac+3bd+4 Calcular:

(d+2)a2c+1b2d+2

;

cd

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

12. Calcular de los términos semejantes: (a + 4)x5

(

)

7x

II) 4x3y5z6

(

)

2nma

III) -3x

(

)

cba

IV) amn

(

)

-x3z6y5

Completar:

Término

Parte

Parte

Término

Algebraico

Constante

Variable

Semejante

–

(2 + a)xa+2

;

2.

abc

1 5 x y 2

 3 xz

Los coeficientes: a) 7 y 5

b) 5 y 3

d) 4 y 5

e) N.A.

c) 3 y 2

abc 7

13. Si: t1 = 4x3y5z4 y t2 = -3xayb+1zc+2 son

-x4z5

semejantes. Calcular: A = a + b + c 3. a) 10

b) 9

d) 7

e) 6

c) 8

Son términos semejantes: I.

ab; -a2b3

II. 7xy; 4y2z

III. 7; x

IV. abc; -3cba

14. Si los términos semejantes presentan iguales coeficientes: (a + 4)xayb+3 ;

7xay7

a) I

b) II

d) IV

e) N.A.

c) III

Calcular la suma de los exponentes. 4. a) 10

b) 9

d) 7

e) 6

c) 8

Calcular: A 

; -4xb+1yc+2z7

abc 3

a) 5

b) 4

d) 2

e) 1

corresponda: I.

15. Dados los términos semejantes: 7xa+1yb+2zc+3

Colocar verdadero (V) o falso (F) según

En un término algebraico los exponentes no pueden ser números irracionales.

(

)

II. Es un término algebraico 3xxy3z.

(

)

III. 5x3y4z5; -3y3x4z5 semejantes. c) 3

son

términos ( )

5.

Si: t1 y t2 son semejantes: t1 = 13x7

t2 = 2xa

Calcular:

6.

11. Dados los términos algebraicos semejantes:

4a  3

(a + 4)ca+3db+4

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

Dado los términos semejantes : 3a2m+4

;

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

Si los siguientes términos son semejantes:

d) 4

e) 5

c) 3

(2 - b)xb+2

;

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

a) 9 y -3

b) 9 y 3

d) -9 y 4

e) N.A.

13. Si: t1 = 3x4y5z3 y t2 = -2xayb+2zc+1 son Calcular: A = a + b + c

c) 3

Dados los términos semejantes:

a) 10

b) 9

d) 7

e) 6

coeficientes:

Calcular: R = a . b

(b + 3)xbyc+3 ; b) 9

d) 7

e) 6

c) 8

Dados los términos semejantes:

t1  (2a  b)x 4 yb3

t2  (b  3a)x 4a y5 b) 2

a) 13

b) 12

d) 10

e) 9

d) 4

e) 5

10. Indicar los coeficientes de los términos semejantes siguientes: -2axa+by5

;

12bx8yb+4

a) -14 y 12

b) 14 y 12

d) -4 y -12

e) N.A.

c) 4 y -12

c) 11

15. Dados los términos semejantes: 3xa+4yb+3zc+2

c) 3

10xby5

Calcular la suma de los exponentes.

Calcular: La suma de coeficientes. a) 1

c) 8

14. Si los términos semejantes presentan iguales

-x7ya+2b

a) 10

c) 9 y 4

semejantes.

Calcular: B  a  b  4

9.

b) 2

Los coeficientes:

a) 1

3xa+5yb+7 ;

a) 1

(b + 4)x7

5xa+4y7 ; -3x5y3+b

8.

ab

12. Calcular de los términos semejantes:

 3 a12 .

Calcular: m + 1

7.

Calcular:

(b+2)c2a+1d2b+2

;

Calcular: A 

; -2xb+4yc+3z8

abc 3

a) 7

b) 6

d) 4

e) 3

c) 5