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• Aldair Dominguez Felix

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“Año de la Universalización de la Salud”

FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS Y AFINES

MÉTODOS NUMÉRICOS

SEMANA 01 Correo institucional : [email protected]

Ciclo: V

Escuela Profesional : Ingeniería Civil Semestre : 2020 -1

TEORÍA DE ERORRES DOCENTE: Mg. Alvino Aldave Vicente M. COMAP N° 1913

Problema # 01 Evaluar 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 3𝑥 , para 𝑥 = 4.71 utilizando aritmética de redondeo a un digito. Considerando como solución exacta 𝑓 4.71 = − 14.487489, cuantificar los errores absolutos y relativos. Solución:

MÉTODOS NUMÉRICOS

Interpreta la importancia de la teoría de error en las diversas aplicaciones, empleando una actitud cognitiva. Comprender la importancia del teorema de Cálculo.

TEORÍA DE ERRORES CIFRAS SIGNIFICATIVAS EXACTITUD Y PRECISIÓN DEFINICION DE ERROR

CIFRAS SIGNIFICATIVAS Las cifras significativas son también conocidas como dígitos significativos y se desarrollaron para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. Él numero de cifras significativas es él numero de dígitos mas un dígito estimado que se pueda usar con confianza. Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza.

NORMAS PARA EL CONTEO 01

Cualquier dígito diferente de cero es significativo: 8725.34 tiene 6 cifras significativas.

02

Los ceros entre dígitos distintos de cero son significativos: 1006.8 tiene 5 cifras significativas. 403.6 tiene 4 cifras significativas.

03

Los ceros a la izquierda antes y después del punto decimal no son significativos: 0.00365 tiene 3 cifras significativas. 0.0078 tiene 2 cifras significativas.

NORMAS PARA EL CONTEO 04

Si el número es mayor que uno, todos los ceros a la derecha del punto decimal son significativo: 237.150 tiene 6 cifras significativas. 300.00 tiene 5 cifras significativas.

05

Si el número es menor que uno, entonces únicamente los ceros que están al final del número y entre dígitos distintos de cero son significativos: 0.08050 tiene 4 cifras significativas.

NORMAS PARA EL CONTEO 06

Para los números expresados en notaciones científicas se siguen las reglas anteriores en su parte numérica. La potenciación no se tiene en cuenta para el número de cifras significativas: 2.083 x 104 tiene 4 cifras significativas.

07

Los ceros al final de un dato entero no son significativos: 600 tiene 1 cifras significativas.

08

Los ceros al final de un dato entero no son significativos: 6.00 x 102 tiene 3 cifras significativas.

IMPLICACIONES 01

Se deben desarrollar criterios para especificar qué tan confiable son los resultados aproximados en los diversos métodos numéricos.

02

Ciertas cantidades no se pueden expresar exactamente con un número finito de dígitos. Ejemplos: 𝜋 = 3.141592653589793238462643……. 𝑒 = 2,71828182845904523536...

EXACTITUD Y PRECISIÓN Exactitud Se refiere a que tan cercano se encuentra el valor calculado o medido del valor verdadero.

Inexactitud o sesgo:

Precisión Se refiere a que tan cercano se encuentran unos de otros, diversos valores calculados o medidos. Se define como la desviación sistemática del valor verdadero.

Imprecisión o incertidumbre: Se refiere a la magnitud en la dispersión de los elementos.

EXACTITUD Y PRECISIÓN

Inexacto e impreciso

Exacto e impreciso

Inexacto y preciso

Exacto y preciso.

DEFINICION DE ERROR

Tipos de errores

Los errores numéricos surgen del uso de aproximaciones para representar operaciones y cantidades matemáticas exactas.

Errores en datos Errores de redondeo

Errores de truncamiento

4. 237498756835124

DEFINICION DE ERROR La relación entre el resultado exacto, o verdadero, y el aproximado está dada por:

Valor verdadero = valor aproximado + error El error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado:

Et = valor verdadero − valor aproximado Donde: Et : error verdadero.

DEFINICION DE ERROR Una manera de tomar en cuenta las magnitudes de las cantidades que se evalúan consiste en normalizar el error respecto al valor verdadero: error verdadero Error relativo fraccional verdadero = valor verdadero

El error relativo también se puede multiplicar por 100% para expresarlo como: valor verdadero − valor aproximado 𝜀𝑡 = . 100% valor verdadero Donde: 𝜀𝑡 : el error relativo porcentual verdadero.

Cálculo de errores Planteamiento del problema 01: Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un cuaderno, y se obtiene 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10 000 y 10 cm, calcule: a) El error verdadero. b) El error relativo porcentual verdadero en cada caso. Solución:

Cálculo de errores Planteamiento del problema 02: Se quiere medir el voltaje de una fuente de alimentación y se obtiene un valor de 123.4 V, si se sabe que el valor verdadero es de 125 V, calcule: a) El error verdadero. b) El error relativo porcentual verdadero. Solución:

DEFINICION DE ERROR ERROR ABSOLUTO: 𝐸𝑎 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑎𝑚𝑑𝑜

ERROR RELATIVO: 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 𝐸𝑟 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜

ERROR RELATIVO PORCENTUAL VERDADERO: 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑎𝑚𝑑𝑜 𝜀𝑡 = . 100% 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜

Cálculo de errores Planteamiento del problema 01: Sea el 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 = 0.0354𝑥101 y el 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 = 39.21𝑥10−1 . Encontrar 𝐸𝑎 y 𝐸𝑟 y el resultado expresarlo en punto flotante P.F.

Solución:

Cálculo de errores Planteamiento del problema 02: Sea el 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 = 621.35 y el 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 = 600.01 . Encontrar 𝐸𝑎 y 𝐸𝑟 y el resultado expresarlo en punto flotante P.F.

Solución:

ESTIMACIÓN DEL ERROR EN MÉTODOS ITERATIVOS ESTIMACIÓN DE ERROR: En tales métodos se hace una aproximación considerando la aproximación anterior. Este proceso se efectúa varias veces, o de forma iterativa, para calcular en forma sucesiva, esperando cada vez mejores aproximaciones.

𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝜀𝑎 = . 100% 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 𝜀𝑎 < 𝜀𝑠

𝜀𝑠 = 0.5𝑥102−𝑛 % Donde: 𝑎 𝜀𝑎 𝜀𝑠 𝑛

: significa que el error está normalizado a un valor aproximado. : valor absoluto porcentual : tolerancia porcentual prefijada : cantidad de cifras significativas

Estimación del Error en Métodos Iterativos Planteamiento del problema 01: La ecuación se conoce como expansión en series de Maclaurin. 2 3 𝑛 𝑥 𝑥 𝑥 𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 + + + ⋯ + 2! 3! 𝑛! Así cuanto más términos se le agreguen a la serie, la aproximación será cada vez más una mejor estimación del valor verdadero de 𝑒 𝑥 . Empezando con el primer término 𝑒 𝑥 = 1 y agregando término por término, estime el valor de 𝑒 0.5 . Después de agregar cada término, calcule el error relativo porcentual verdadero y aproximado. Observe que el valor verdadero es 𝑒 0.5 = 1.648721 … Agregue términos hasta que el valor absoluto del error aproximado 𝜀𝑎 sea menor que un criterio de error preestablecido 𝜀𝑠 con tres cifras significativas. Solución:

Estimación del Error en Métodos Iterativos Planteamiento del problema 02: La ecuación se conoce como expansión en series de Maclaurin. 𝑥 2 𝑥 4 𝑥 6 𝑥 8 𝑥 10 cos 𝑥 = 1 − + − + − +⋯ 2! 4! 6! 8! 10! Calcular el valor de cos(0.2) con un 𝜀𝑎 < 10−5 . Solución:

Estimación del Error en Métodos Iterativos Planteamiento del problema 03: La ecuación se conoce como expansión en series de Maclaurin. 2 3 𝑛 𝑥 𝑥 𝑥 𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 + + + ⋯ + 2! 3! 𝑛! Calcular el valor de 𝑒 0.2 con un 𝜀𝑎 < 0.001. Solución:

Estimación del Error en Métodos Iterativos Planteamiento del problema 04: La ecuación se conoce como expansión en series de Maclaurin. 𝑥3 𝑥5 𝑥7 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑥 − + − + ⋯ 3! 5! 7! Calcular el valor de 𝑠𝑒𝑛(0.5) con un 𝜀𝑎 < 0.001. Solución:

EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIOS PROPUESTOS Problema # 01 Evaluar 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 3𝑥, para 𝑥 = 4.71 utilizando aritmética de redondeo a un digito. Considerando como solución exacta 𝑓 4.71 = − 14.487489, cuantificar los errores absolutos y relativos.

Solución:

EJERCICIOS PROPUESTOS Problema # 02 Sea el 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 = −10.35 y el 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 = 100.25𝑥10−2 . Encontrar 𝐸𝑎 y 𝐸𝑟 y el resultado expresarlo en punto flotante P.F.

Solución:

EJERCICIOS PROPUESTOS Problema # 03 Evaluar la serie del número 𝑒 utilizando 4 y 5 términos. ¿Qué errores de truncamiento se comenten en cada caso, si se considera como solución exacta 2.71828? ∞ 1 𝑒=෍ 𝑖! 𝑖=0

Solución:

EJERCICIOS PROPUESTOS Problema # 04 Utilizando 3 y 5 términos en la serie, evalúe 𝑠𝑒𝑛

𝜋 4

. Considerando como

solución exacta 0.0707107, obtener los errores relativos de cada caso. Solución:

EJERCICIOS PROPUESTOS Problema # 05 Utilizando 3 y 5 términos en la serie, evalúe 𝑐𝑜𝑠

𝜋 3

. Considerando como

solución exacta 0.50, obtener los errores absolutos y relativos de cada caso. Solución:

EJERCICIOS PROPUESTOS Problema # 06 Determine en número de términos necesarios para aproximar 𝑐𝑜𝑠 𝑥 a 8 cifras significativas con el uso de la serie de Maclaurin. 𝑥 2 𝑥 4 𝑥 6 𝑥 8 𝑥 10 cos 𝑥 = 1 − + − + − +⋯ 2! 4! 6! 8! 10! Calcular la aproximación en donde el valor de 𝑥 = 0.3𝜋 Solución: