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• Jhonn Valle

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA “TOMAS FRÍAS” FAC. DE CIENCIAS PURAS –CARRERA DE FÍSICA

TEORÍA DE ERRORES

ERROR DE DISTRIBUCIÓN DE GAUSS

1. OBJETIVOS  Observar y registrar los errores casuales en la medición de una variable física  Obtener el valor medio ( 𝑡̅ )  Calcular el error típico ( 𝜎 )  Realizar la curva de distribución de la variable observada

2. PRINCIPIO

Ninguna medición de una variable física puede dar un valor absolutamente exacto, puesto que la existencia de error en la experimentación, es por esto la importancia del cálculo de error.

3. FUNDAMENTO TEÓRICO

3.1.ERRORES DE MEDIDA Cuando se mide una magnitud física, no debe esperarse que el valor obtenido sea exactamente igual al valor verdadero. Es importante dar alguna indicación de qué tan cerca está el resultado obtenido del valor verdadero; es decir, alguna indicación de la exactitud o confiabilidad de las mediciones.

La estimación de los errores es importante, porque sin ella no se puede obtener conclusiones significativas de los resultados experimentales. La idea de error no es cosa de interés secundario o circunstancial en un experimento, al contrario, está relacionado con el propósito del experimentador, el método de efectuarlo y el significado de los resultados. Para lo que sigue se requiere tener presente las siguientes definiciones:

Error.-

Incertidumbre estimado.

Precisión.-

Definición nítida (error casual pequeño).

Exactitud.-

Proximidad al valor verdadero (relativamente libre de error sistemático).

Discrepancia.- Diferencia entre dos resultados.

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No debe confundirse precisión con exactitud. Presión denota inexactitud por ejemplo un reloj de alta precisión en su construcción, por algún deterioro, puede estar marcando valores inexactos. También se debe tener cuidado en no confundir error y discrepancia.

3.2.FUENTES DE ERROR Como ya hemos indicado al hacer una medición experimental sucede que jamás se puede llegar a medir sin cometer error alguno. En consecuencia, existe diferencia entre el valor medio y el verdadero, a esta deferencia se designa con el nombre de error. La fuente del error puede ser de distinta naturaleza, para los fines que interesa, a la física en particular, se clasifican en dos grupos importantes: Errores sistemáticos y errores casuales o accidentales. En la anterior clasificación no se incluye la equivocación que resulta ser fortuita.

3.2.1. Errores sistemáticos o acumulativos

Un error sistemático se caracteriza por tener aproximadamente el mismo valor numérico y el mismo signo bajo las mismas condiciones dadas; P. ej. el retardo de un reloj.

I. Errores Naturales Estos provienen de fenómenos naturales y son el efecto de ciertas influencias que inciden directamente en las observaciones o lecturas que se realizan, algunas de éstas influencias son p. ej. La refracción de la luz, la dilatación térmica de los materiales, la presión atmosférica, etc. Así p. ej. Un instrumento que mide distancias por el tiempo tardado en viajar, entre dos puntos por una radiofrecuencia de radar dará un resultado erróneo si no se corrige la variación de la velocidad de las ondas por las variaciones de densidad de la atmósfera, presencia de vapor de agua, etc.

II. Errores instrumentados Estos son efecto de imperfecciones de construcción, deterioros o deficiente calibración de los instrumentos de medida. Por ejemplo si las divisiones de una regla graduada son en exceso o en defecto de lo que señala, las longitudes que se miden con ella, tendrán sus valores numéricos demasiado pequeños o demasiado grandes. Todavía peor, si las divisiones de la escala fuesen diferentes entre sí. PRÁCTICAS DE FÍSICA BÁSICA I: (FIS – 100A)

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III. Errores personales Estos dependen de las limitaciones físicas y también de los hábitos del observador, p. ej. él puede tener un retardo en audición y visualización de señales, tendencia a observar las escalas siempre por el lado izquierdo, en la estimación de fracciones, etc.

El error sistemático debido a fenómenos naturales se compensa tomando en cuenta Factores de corrección especificados en cada instrumento a usar.

En cambio los errores instrumentales, se puede corregir sometiendo el instrumento a control continuo sobre su correcto funcionamiento mediante contrastación con sub patrones. Esta corrección es limitada por la carencia de esta última razón por la cual cada instrumento, según su calidad o categoría, ofrece una precisión determinada. Por ejemplo, instrumento de clase 1 significando que la medición se realiza con un error del 1% de la desviación final en toda la escala de medición correspondiente.

3.2.2. Errores casuales o accidentales Los errores accidentales o de observación son casuales en naturaleza y usualmente pequeños y tienen la tendencia de compensarse unos con otros. Su presencia es detectada en una serie de medidas por la aparición de discrepancias. Los errores casuales pueden tener tanto de signo positivo como negativo, de hecho hay una igual probabilidad de que el signo sea positivo o negativo. De modo que es imposible determinar el signo, puesto que no hay relación conocida entre el signo y la magnitud del error por un lado, y las condiciones de medida por el otro. Hay una verdadera casualidad en ocurrencia y cantidad.

Se puede observar que los distintos resultados de medición presentan una dispersión en torno a un valor (valor medio) y a medida que el número de mediciones aumente, se establece la función analítica denominada distribución normal o gaussiana como se observa en la figura (1).

I. Valor medio Si se tiene una serie de valores parciales de observación xi correspondientes a una magnitud, estos valores xi se dispersan en los alrededores del valor verdadero X desconocido.

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Puesto que el valor verdadero se desconoce, por ello es conveniente calcular el valor medio, como la media aritmética definida por 𝑛=𝑖

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 +. . +𝑥𝑛 1 𝑥̅ = = ∑ 𝑥𝑖 𝑁 𝑁

(1)

𝑖=0

Donde N, es el número de mediciones. La importancia del valor medio radica en que es el valor más próximo al valor verdadero.

Figura 1: Función de distribución de Gauss II. Error típico

El error absoluto de una medición con valor xi es: 𝑒𝑖 = 𝑥̅ − 𝑋

(2)

y el error del valor medio será : 𝐸 = 𝑥̅ − 𝑋

(3)

El conjunto de n mediciones forma una distribución cuya desviación típica se designa con σ. Cada conjunto tiene su propio valor medio; y los valores medios de todos los conjuntos forman otra distribución cuya desviación se designa con 𝜎𝑥̅ . Por su puesto, un experimento real solamente tendrá un conjunto de n mediciones y un valor medio. Pero la idea básica es que este conjunto es una muestra al azar de la distribución de mediciones individuales, y el promedio es el miembro correspondiente de la distribución de los mismos. La cantidad 𝜎𝑥̅ . Se conoce como error típico al valor medio, y se toma como la PRÁCTICAS DE FÍSICA BÁSICA I: (FIS – 100A)

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medida del error medio de 𝑥̅ respecto a x. De manera que σ representa el error típico de una medida parcial. La relación que se establece entre σ y 𝜎𝑥̅ , está dada por: 𝜎𝑥̅ =

σ

(4)

√𝑛

El valor de σ depende solamente de la precisión de las mediciones individuales y es independiente de su número; mientras que el valor de 𝜎𝑥̅ disminuye aumentando n. Sin embargo puesto que 𝜎𝑥̅ disminuye solamente con 1/√𝑛 , suele ser cada vez más improductivo repetir lecturas de la misma magnitud. Por el contrario, deberá tratarse de disminuir 𝜎𝑥̅ , reduciendo σ, esto es, tomando con más cuidado el conjunto de lecturas en primera instancia. De la relación (4) no es posible calcular 𝜎𝑥̅ a partir de σ (puesto que σ queda expresada en términos de ei) o la inversa (𝜎𝑥̅ se expresa en términos de E). Sin embargo, esta dificultad se supera trabajando en términos de los residuos. El residuo di de la medición xi está definido por:

di = xi - x

(5)

A diferencia del error, el residuo es una cantidad conocida. Según Gauss, los errores típicos se calculan de la forma siguiente (desviación estándar de la muestra): n



 

d i 1

2 i

Con n   (grande)

n 1

(6)

Si n  10, se recomienda usar la relación:





 n

(7)

Donde  = xi máx - xi min (intervalo de variación) PRÁCTICAS DE FÍSICA BÁSICA I: (FIS – 100A)

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De la relación (4), 𝜎𝑥̅ se expresa por: n

𝜎𝑥̅ =

d 11

2 i

(8)

n(n  1)

Cuando n  . Si n  10, se recomienda usar:

𝜎𝑥̅ ≅

𝛥

(9)

𝑛

El resultado de la serie de mediciones se expresa como 𝑋 = 𝑋̅ ± 𝜎𝑥̅

(10)

Cuya interpretación consiste en: el valor verdadero X se hallará en el "intervalo de confianza" 𝑋̅ − 𝜎𝑥̅ ≤ 𝑋 ≤ 𝑋̅ + 𝜎𝑥̅ Con un “porcentaje de confianza” de 68,3%. Es decir que hay probabilidad del 68,3% de que el valor verdadero se halle dentro de esos límites y un 31,7% que no se halle. La relación (10) expresa el resultado final de nuestra medición, pero debe tomarse en cuenta que ella no incluye al error proveniente de fuentes del tipo sistemático.

III. Error porcentual En muchos casos se suele indicar el error en forma porcentual, que para el valor medio viene definido por: 𝑃𝑋̅ =

𝜎𝑥̅ 𝑥̅

100%

(11) De manera similar, para una medición individual; el error porcentual será:

P 

 ·100 % x

(12)

A partir de las relaciones (11), (12) y (4) se establece que:

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𝑃𝑥̅ =

𝑃

(13)

√𝑛

Mediante las relaciones (4) y más preferentemente por (13), se facilita en la toma de decisiones a fin de poder cumplir con los objetivos previamente establecidos según las necesidades planteadas. 3.2.3. Distribución de frecuencias – Histogramas

TOMA DE DATOS La toma de datos es la obtención de los mismos que no han sido ordenados numéricamente. En siguiente ejemplo se muestra la toma de datos (xi) que corresponden al tiempo de oscilación de un péndulo (periodo).

ORDENACIÓN Una ordenación es una colocación de los datos numéricos tomados, en orden creciente o decreciente de magnitud. La diferencia entre el mayor y el menor de los números se llama recorrido o rango de los datos.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA Cuando se dispone de un gran número de datos, es útil el distribuirlos en clases o categorías y determinar el número de ellos pertenecientes a cada clase, que es la frecuencia de clase

DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO O ANCHURA DE UN INTERVALO DE CLASE Para determinar el ancho de los intervalos se procede de la siguiente manera: 1.- Determinar la amplitud: A = Amplitud = XMAX – XMIN

(9)

2.- Determinar el tamaño o anchura del intervalo de clase:

h

A Amplitud  n0 ( I ) Número de int ervalos

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Donde usualmente el número de intervalos puede ser n0 (I) = 3, 5 o 10 Por lo tanto, partiendo del valor mínimo de la variable se construyen la serie de intervalos y se evalúa la frecuencia con que cae la variable en el para cada caso.

4. MONTAJE Y REALIZACIÓN 1. Montaje y realización. El sistema resorte masa está compuesto por un resorte suspendido verticalmente donde en su extremo inferior se cuelga una masa. El sistema descrito tiene propiedades elásticas, por tanto al desplazar la masa de su posición de equilibrio (reposo), y soltándola, este se pone a oscilar alrededor de su posición de equilibrio. El tiempo de una oscilación completa (un vaivén) se llama periodo de oscilación. En tal sistema el periodo es constante (invariable). Se trata de medir dicho periodo.

Se debe medir 50 veces el periodo de oscilación a partir del montaje indicado en la figura 3 de la derecha, usando un cronómetro:

5.

TAREAS.

5.1.- Medir el espesor de diez esferas de vidrio y registrar en la tabla Nº 1 5.2.- Anotar los datos obtenidos experimentalmente en la tabla 1 5.3.- Obtener el valor medio de los periodos medidos 5.4.- Calcular el error típico y el error porcentual y 5.5.- Escribir el valor verdadero en función del valor medio y el error típico medio. Establecer el intervalo de confianza. 5.6.-Ordene sus datos por intervalos y frecuencias, anote sus datos en la Tabla 2. Grafique en papel milimetrado el Histograma y ubique en el intervalo de confianza. 5.7.-

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6.

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OBTENCIÓN DE DATOS

TABLA 1: Valores experimentales Nº

ti [s]

𝑑𝑖 = (𝑡𝑖 – 𝑡̅)[𝑠]

di2 [s2]

Nº

1

26

2

27

3

28

4

29

5

30

6

31

7

32

8

33

9

34

10

35

11

36

12

37

13

38

14

39

15

40

16

41

17

42

18

43

19

44

20

45

21

46

22

47

23

48

24

49

25

50

t  ...............

  ...................

ti [s]

𝑑𝑖 = (𝑡𝑖 – 𝑡̅)[𝑠]

di2 [s2]

P  ......................

Intervalo de confianza: ...........................................................................................

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TABLA 2: VALORES PARA EL HISTOGRAMA

Nº

Intervalo [ s ] Frecuencia

1 2 3 4 5 6 7 8

7. PROCESAMIENTO DE DATOS.

8. CUESTIONARIO. 8.1.- ¿Cuál es el propósito de un modelo matemático aplicado a cualquier ciencia? 8.2.- ¿Qué distribuciones conoce y cual su área de incidencia experimental? 8.3.- La curva normal es un modelo qué está definida en términos de una ecuación matemática. ¿Para qué sirve? 8.4.- Para definir completamente una distribución normal, que basta conocer. 8.5.- La distribución normal es una distribución aplicable a poblaciones continuas o discretas.

9. OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES.

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