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MATEMÁTICA I FACULTAD DE NEGOCIOS

UNIDAD II: LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL SESIÓN 03: Aplicaciones de la derivada de una función real-Análisis marginal y elasticidad de la demanda

I. Resolver los siguientes problemas: 1.

La función de costo total de una fábrica de medias es estimada como: 𝐶(𝑞) = −10484.69 + 6.750𝑞 − 0.000328𝑞 2 , donde q es la producción de pares de medias y C es el costo total. Encuentre la función de costo marginal y evalúela cuando q=5000. Corregido

Solución:

La función es: 𝐶(𝑞) = −10484.69 + 6.750𝑞 − 0,000328𝑞2 Ordenando: 𝐶(𝑞) = −0,000328𝑞 2 + 6.750𝑞 − 10484.69 𝐶′(𝑞) = 2(−0.000328𝑞) + 6.750 − 0 𝐶′(𝑞) = −0,000656𝑞 + 6.750 (Función de costo marginal) Reemplazando 𝑞 = 5000 𝐶′(5000) = −0,000656(5000) + 6,750 = 3,47 Interpretación: El costo de producir un par de zapatos adicional será de 3,47 dólares aproximadamente.

2.

Un fabricante estima que cuando se producen “q” unidades de un cierto artículo, el costo q2 total es C (q)   3q  98 , y todas las “q” unidades se venderán cuando el precio sea 8 75  q dólares por unidad. p(q)  3 a) Encontrar el costo marginal. b) Calcular el costo de producir la novena unidad como una adicional más. c) Encontrar el ingreso marginal.

Solución: a) 2𝑞 +3 8 𝑞 𝐶′(𝑞) = + 3 4 b) 8 𝐶′(8) = 4 + 3=5 dólares. c) R(q) = p q (75 − 𝑞) 𝑅(𝑞) = 𝑞 3 𝐶′(𝑞) =

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𝑞2 𝑅(𝑞) = 25𝑞 − 3 2𝑞 𝑅′(𝑞) = 25 − 3 3.

Suponga que el ingreso (en dólares) por la venta de x unidades de un producto está dado 60 x 2  74 x por R( x)  . Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 49 unidades. 2x  2 Interprete su resultado.

Solución: 60𝑥 2 + 74𝑥 2𝑥 + 2 (60𝑥 2 + 74𝑥)´ (2𝑥 + 2) − (60𝑥 2 + 74𝑥)(2𝑥 + 2)´ 𝑅´(𝑥) = (2𝑥 + 2)2 2 (120𝑥 + 74) (2𝑥 + 2) − (60𝑥 2 + 74𝑥)(2) 𝑅´(𝑥) = (2𝑥 + 2)2 2 240𝑥 + 240𝑥 + 148𝑥 + 148 − (120𝑥 2 + 148𝑥) 𝑅´(𝑥) = (2𝑥 + 2)2 2 240𝑥 + 240𝑥 + 148𝑥 + 148 − 120𝑥 2 − 148𝑥 𝑅´(𝑥) = (2𝑥 + 2)2 2 240𝑥 + 240𝑥 + 148 − 120𝑥 2 𝑅´(𝑥) = (2𝑥 + 2)2 2 120𝑥 + 240𝑥 + 148 𝑅´(𝑥) = (2𝑥 + 2)2 120(49)2 + 240(49) + 148 𝑅´(49) = [2(49) + 2]2 𝑅´(49) = 30 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑅(𝑥) =

Interpretación:

El ingreso recibido por las ventas de una unidad adicional (50) será aproximadamente de 30 dólares.

4.

Suponga que el ingreso de una compañía petrolera (en miles de dólares) está dado por R( x)  100 x  x 2 , x  0; donde x es el número de miles de barriles de petróleo que se vende diariamente. a) Encuentre la función que da el ingreso marginal para cualquier valor de x b) Encuentre el ingreso marginal cuando se vende 20 000 barriles (x=20) Solución:

𝑅(𝑥) = 100𝑥 − 𝑥 2 𝑅′(𝑥) = 100 − 2𝑥 X=20 𝑅′(20) = 100 − 2(20) = 60 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 Interpretación: El ingreso recibido por la venta de mil barriles adicionales es 60 miles de dólares aproximadamente.

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5.

Si

la

𝐶(𝑞) =

función 5𝑞 2 √𝑞 2 +3

de

costo

total

para

un

fabricante

está

dada

por:

+ 5000, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑞 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠, encuentre la función de

costo marginal e interprete. Solución: 5𝑞 2

𝐶(𝑞) = 𝐶´(𝑞) = 𝐶´(𝑞) =

+ 5000 √𝑞 2 + 3 (5𝑞 2 )´√𝑞 2 + 3 − 5𝑞 2 (√𝑞 2 + 3)´ (√𝑞 2 + 3) 5𝑞(𝑞 2 + 6)

2

√𝑞 2 + 3

Interpretación:

El

costo

𝐶´(𝑞) = 6.

de

producir

un

producto

adicional

(q+1)

es

5𝑞(𝑞 2 +6)

.

√𝑞 2 +3

Una joyería realizó un estudio sobre relojes y determinó que su demanda mensual está relacionada con el precio unitario de los relojes por medio de la ecuación:

p

60 0.01x 2  1

“p” se mide en dólares y x en miles de unidades. a) Determina la función de ingreso. b) Halla la función de ingreso marginal y calcula el ingreso marginal cuando x = 2. Solución: 60 x a) I ( x)  0.01x 2  1  60 x ´ 0.01x 2  1   60 x   0.01x 2  1´ b) I ´( x)  2  0.01x2  1

I ´( x) 

60  0.01x 2  1   60 x  0.02 x

I ´( x)  

 0.01x

2

 1

2

6000  x 2  100 

x

2

 100 

2

I ´(2)  53.25 Interpretación:

Cuando el nivel de producción es de 2 000 unidades el ingreso crece a razón de $53.25 por cada 1 000 unidades adicionales producidas y vendidas.

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7.

La ecuación de demanda de cierto artículo es 𝑝 + 0.1𝑥 = 80 y la función de costo es 𝐶(𝑥) = 5000 + 20𝑥. Calcule la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades y también en el caso de que se produzcan y vendan 400 unidades. Interprete los resultados. Solución: 𝑈(𝑥) = −0.1𝑥 2 + 60𝑥 − 5000 𝑈´(𝑥) = −0.2𝑥 + 60 x=150 𝑈´(150) = 30 x=400 𝑈´(400) = −20 Interpretación:

Cuando la produce y se vende una unidad adicional, la utilidad incrementa en $30 por cada artículo. No le conviene al productor incrementar la producción ya que tendrá una pérdida de $20 por unidad extra producida. 8.

La demanda de bebidas destiladas está dada por q= - 0,00375p+7,87, donde p es el precio al menudeo (en dólares) de una caja de licor y q es el número promedio de cajas compradas por año por un consumidor. Calcule e interprete la elasticidad de la demanda cuando p=$118 por caja. 𝑞 = −0.00375𝑝 + 7.87 𝑝 = $118 −𝑝 𝑑𝑞 𝐸= 𝑞 𝑑𝑝 −118 𝐸= (0.00375) −0.00375(118) + 7.87 𝐸 = −0.06 a) |𝐸| = |−0.06| = 0.06

Interpretación:

La demanda es inelástica porque es menor a uno. Cuando el precio es p = 60 un incremento de 1% (aumento de $0.60 en el precio) generará una disminución de 2.4% en la demanda, aproximadamente. 9.

Supongamos que la demanda q y el precio p de cierto artículo se relacionan mediante la ecuación q=340-4p, donde el precio está dado en dólares. a) Calcule la elasticidad de la demanda cuando el precio es 60 dólares. Interprete b) Determine el precio por caja para el que la demanda tendrá elasticidad unitaria. Solución: 4𝑝

𝑝

a) La elasticidad de la demanda es: 𝐸 = − 340−4𝑝 = − 85−𝑝 P=60 𝐸 = −2.4

Interpretación: MATEMÁTICA 1 – FACULTAD DE NEGOCIOS

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Cuando el precio es p = 60 un incremento de 1% generará una disminución de 2.4% en la demanda, aproximadamente. b) |𝐸| = 1 𝑝 |− |=1 85 − 𝑝 𝑝 =1 85 − 𝑝 p=85-p 2p=85 p=42.5 10. Supongamos que la demanda q y el precio p de cierto artículo se relacionan mediante la ecuación lineal q = 450 – 3p donde el precio está dado en dólares. a) Calculemos la elasticidad de la demanda en función del precio p. b) Calculemos la elasticidad de la demanda cuando el precio es p =120 e interprete. c) Calculemos la elasticidad de la demanda cuando el precio es p = 60 e interprete. Solución: 𝑝

a) La elasticidad de la demanda es: 𝐸 = − 150−𝑝 b) p=120 𝐸 = −4 Cuando el precio es $120, un aumento de 1% en el precio (aumento de $1.20 en el precio) producirá una disminución aproximada de 4% en la demanda. c) p=60 𝐸 = −0.67 Cuando el precio por unidad del producto es $60, un aumento de 1%, esto es de $0.60, producirá una disminución aproximada de 0.67% en la demanda. 11. La demanda q y el precio p de cierto artículo se relacionan mediante la ecuación lineal: q=240 – 2p; 0≤p≤ 120 a) Expresa la elasticidad de la demanda como una función de p. b) Calcula la elasticidad de la demanda cuando el precio sea p=100 c) ¿A qué precio la elasticidad de la demanda es igual a –1? Solución: 2𝑝

a) La elasticidad de la demanda es: 𝐸 = − 240−2𝑝 b) p=100 2(100) = −5 240 − 2(100) 𝐸 = −5

𝐸=−

Interpretación:

Cuando el precio es p = 100 un incremento de 1% generará una disminución de 5% en la demanda, aproximadamente.

c) −

2𝑝 = −1 240 − 2𝑝

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2𝑝 =1 240 − 2𝑝 2p=240-2p 4p=240 p=60 12. La ecuación de demanda de cierto artículo es: q=400 – 2p2 para 0 ≤ 𝑝 ≤ 10. a) Expresa la elasticidad de la demanda como una función de p. b) Calcula la elasticidad de la demanda cuando el precio es p= 6. c) ¿A qué precio la elasticidad de la demanda es igual a –1? Solución: 4𝑝2

a) 𝐸 = − 400−2𝑝2 4(6)2

b) 𝐸 = − 400−2(6)2 𝐸 = −0,439

Interpretación:

Cuando el precio es p = 6 dólares un incremento de 1% generará una disminución de 0.44% en la demanda, aproximadamente.

4𝑝2

c) − 400−2𝑝2 = −1 4𝑝2 =400-2𝑝2 6𝑝2 = 400 400 𝑝=√ 6 p=8,16 dólares

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