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PRIMER PARCIAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA II Octubre 2013

1. Sea

  1 2  1 2     .B  S  B  IR 2 x 2 : B. 2 0 2 0      

a) Probar que

S es subespacio de IR 2 x 2

b) Hallar una base

BS de S y la dimensión de S . Completar a una base B del espacio vectorial IR 2 x 2 .

c) Exhibir una base B ' de IR

 1 2 1   2 1 1  0 1 1  0 0 0 

2x2

tal que la matriz de cambio de coordenadas de B a B ' sea

0  0 0  1 

******************************************************************************************** Resolución: 1) a) Debo probar que

S es subespacio de IR 2 x 2

Entonces quiero ver que:

i)

0 0  , reemplazo la matriz B por la nula: 0  S . Veamos esto: Como 0   0 0

0  0 1  2

0 1 2 0 .  0   2 0   0 2  0 0 0 .  0   0 0   0

0  0  0  0 

Como ambos lados de la igualdad me dieron iguales, concluimos que

0S .

ii) A, B  S   A  B  S

Entonces: Sean

 1 2  1 2  1 2  1 2    . A y B.    .B (*) A, B  S  A.  2 0  2 0  2 0  2 0

Veamos si  A  B  S . Quiero ver que

 1 2  1 2    .( A  B) ( A  B).  2 0  2 0

Entonces planteo un lado de la igualdad:

 1 2  1 2  1 2   A.   B.  Esto vale por la distributividad. Ahora usando mis hipótesis (*) ( A  B).  2 0  2 0  2 0

 1 2  1 2  1 2  1 2  1 2   A.   B.    . A   .B y usando nuevamente distributividad, ( A  B).  2 0  2 0  2 0  2 0  2 0  1 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1 2   A.   B.    . A   .B   .( A  B) ( A  B).  2 0  2 0  2 0  2 0  2 0  2 0 Llegamos al otro lado de la igualdad. Por lo tanto, concluimos que  A  B  S

Iii) A  S , k  IR  k. A  S

Entonces: Sea

Veamos si

 1 2  1 2    . A (*1) k  IR y A  S  A.  2 0  2 0

 1 2  1 2    .(k . A) k. A  S . Quiero ver que (k . A).  2 0  2 0

Entonces planteo un lado de la igualdad:

  1 2  1 2   k . A.   Esto vale por la conmutatividad y la asociatividad. Ahora usando mi hipótesis (*1) (k . A). 2 0  2 0      1 2  1 2   1 2   k . A.    k .  . A  . Y usando nuevamente la asociatividad, obtengo: (k. A).  2 0   2 0  2 0    1 2  1 2   1 2  1 2   k. A.    k .  . A    .(k. A) (k . A). 2 0 2 0 2 0  2 0           Llegamos al otro lado de la igualdad. Por lo tanto, concluimos que k. A S Finalmente, como se cumplen i), ii) y iii), entonces b) Me piden hallar una base Hallemos la base

S es un subespacio de IR 2 x 2 .

BS de S y su dimensión. Y luego completarla para obtener una base de IR 2 x 2 .

Bs . Para ello, primero encontramos los generadores de S .

Armo una matriz genérica:

a b   y veo qué debe cumplir para pertenecer a S B   c d 

 a b   1 2  1 2  a b   .    .   c d   2 0  2 0  c d  a  2b  a  2c 2 a  b  2 d 1  bc y a  cd Resuelvo el sistema:  2 c  2d  2a 2c  2b

Finalmente armo mi matriz genérica para obtener los generadores de

a b   1 c  d     2  c d    c

S:

c   1 1   1 0    c 2  d   d   1 0   0 1 

  1

Decimos entonces que S  gen  2 

  1

1   1 0     Como se ve claramente que una no es múltiplo de la otra, , 0   0 1  

podemos afirmar que son LI y por lo tanto:

 1   1 0   1   y dim S  2 BS   2 ,     1 0   0 1   Para completar

BS , y obtener una base B de IR 2 x 2 , debo agregar dos matrices LI con las de BS ya que

dim IR 2 x 2  4   1    1

Propongo B   2

1   1 0   0 0   0 0    ,   ,   Debo probar que estas matrices son LI. ,   0   0 1   1 0   0 1  

 1 1 1 0  0 0  0 0  0 0             Resuelvo el sistema:   2      0 1 1 0  0 1  0 0  1 0 1     0  2   0          0 Por lo tanto, las matrices son LI y B es una base de IR 2 x 2      0     0 

c) Debo hallar una base B ' de IR

2x2

tal que

Primeramente, defino una base genérica

C BB '

 1 2 1   2 1 1  0 1 1  0 0 0 

B'  v1 , v2 , v3 , v4  de IR 2 x 2

1RA FORMA DE HACERLO: Si yo tuviera la matriz dato Como

0  0 0  1 

C B 'B , directamente podría despejar los vectores de B' .

CB 'B  CBB '  , hallemos la inversa de la matriz dada.

 1 2 1   2 1 1  0 1 1  0 0 0 

1

0 0 0 1

 1 1 0 0 0   0 1 0 0  2 F1  F2  0  0 0 1 0 0     0 0 0 1 0

2

1

0

3 3 0 1 1 0 0 0 1

1 0 0 0  2 1 0 0  F2 3 F3  0 0 1 0  0 0 0 1 

 1  0 0  0 

2 1 0 3 3 0 0 6 0 0 0 1

 6  12 0   2 1 0 0  F3 6 F1 0  6 F3  2 F2         0 0 2 1  3 0   0 0 0 0 0 1  

1 0

6 0   0 6 F2  F1 2  0 0   0 0 

0

0 0 0 0 6 0 0 1

0 0 0 0 6 0 0 1

 3 0   2 1  3 0  2 1  3 0  0 0 0 1 

4

1

 3  3 0   2 1  3 0  2 1  3 0  0 0 0 1  0

Finalmente, multiplico las filas para obtener “unos” en la diagonal:

1 0  0  6   0 0 0 0 

0 0 0 0 6 0 0 1

0 1 3 1 3 0

0  1 1 0 6 2  1 1 0 6 2  0 0 1

1

2

Extraemos información de las columnas: Si

1

2

Por lo tanto, C B 'B

 0  1  3 1  3  0

0  1 1 0 6 2  1 1 0 6 2  0 0 1

1

2

1

2

 1   1 0   0 0   0 0   1   ,   ,   B'  v1 , v2 , v3 , v4 , y B   2 ,     1 0   0 1   1 0   0 1  

entonces:

 0    1 1  1 0  1  0 0   0 0   2 3 0       0.  v1 B   13   v1  0. 2 1   13  3  1 0   0 1   1 1  0 1 1 0      3 3  3  0    1   2 1  1  1 0  1  0 0   0 0   512 1 2       0.   v2 B   6   v2  1 2 . 2 1   1 6  1 0  0 1  6  1 0   0 1   2 3 1 6  1    6  0   1   2   1  1  1 0  1  0 0   0 0   3 4 1 2       0.  v3 B   2   v3  1 2 . 2 1   1 2  2  1 0   0 1   0 1  0 1 1 0    1    2  2   0   0    1 1  1 0  0 0  0 0  0 0   0.  1.     v4 B   13   v4  0. 2 1   0. 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0            3  0   

Finalmente,

 2  B'   3 1   3

0   5 , 12 1 2 3  3

1  3 2 , 4 1  0 6 

1   0 0   2 ,  1   0 1   2 

2DA FORMA DE HACERLO Acordándonos de cómo está armada la matriz

C BB ' , tomamos los vectores de la base B , y calculamos sus

coordenadas en base B ' .

Si

C BB '

 1 2 1   2 1 1  0 1 1  0 0 0 

0  0 0  1 

  1    1  2 1     y así sucesivamente obtengo: Por lo tanto la primera columna es:  2      1 0  B '  0  0   2    1 0    1       0 1  B '  1  0  

;

1    0 0  1       1 0  B '   1 0  

 0    0 0   0       0 1  B '  0  1  

Todos estos datos me dicen:

 1 1   2   v1  2v2 (1)  1 0    1 0   2v  v  v (2) 1 2 3  0 1    0 0   1 0   v1  v2  v3 (3)    0 0    v4 (4)   0 1 

Debo resolver este sistema, hallando los 4 vectores de B '

 0 0  (4) v4   0 1   1 1   Ahora reemplazo esto en (2) (1) v1  2v2   2  1 0      1 1 1 0 1 0    v3     v2  2. 2v2   2 (2) v2  2v1  v3    0 1       1 0 0 1      

 1 1 1 0  1 1 1 0   2 2    2       v2  4.v2  2. 2  v  v   3 . v  2 .  v   3 . v   3 3 2 3 2  0 1  1 0  0 1 2 1 1 0            Reemplazo en

(3)

 1 1   0 0  2 2  0 0  1 1  2 2   v2    3.v2       6v2     2v2   2     2  (3)       1 0  1 0   2 1  2 1 1 0 1 0            

 5 5 5 3 3 6v2   2   v2  1  2   v2   12 6 4 1 2  4 1     3

5

Reemplazo en (1) v1  2 12

2  3

Reemplazo en lo obtenido en

 2  Finalmente: B'   3 1   3

1  2  1  6 

1   1 1  2 2  2   v1   3 1 1   1 0    6   3

5 (2) v3  3. 12 2  3

0   5 , 12 1 2 3  3

0   1  3 

1   2 2 3  4 2     v  3  0 1   2 1  6 

1  3 2 , 4 1  0 6 

1  2 1  2

1   0 0   2 ,  1   0 1   2 

2. Determinar, si es posible, una transformación lineal

f : IR 3  IR 2 tal que el núcleo sea el plano

2 x  y  z  0 , (1,2)  Im f y (2,2)  Im f . En caso de no ser posible, proponer una modificación de los datos del núcleo para poder determinarla. Determinarla explícitamente, dando su fórmula. ******************************************************************************************* Resolución: 2) Primeramente podemos analizar cuáles son los generadores del Núcleo y así poder hallar una base y su dimensión.

Nu f : ( x, y, z)  IR3 : 2 x  y  z  0  z  2 x  y Tomando un vector genérico, obtengo los generadores de la siguiente forma:

( x, y, z)  ( x, y, 2 x  y)  x(1,0,2)  y(0,1,1) Veo si ambos generadores son LI.

 (1,0,2)   (0,1,1)  (0,0,0)

De este sistema obtengo:

  0 ;   0 y 2    0 .

ambos escalares son necesariamente 0, los vectores son LI. Armo entonces la base del núcleo de

f : BNu f  1,0,2, 0,1,1 . Por lo tanto, dim Nu f  2

Por lo tanto, como

Además, como me dicen que esto me está diciendo que

(1,2)  Im f y (2,2)  Im f y estos son LI ya que uno no es múltiplo del otro, dim Im f  2 . Pero como Im f  IR 2 y dim IR 2  2  dim Im f  2 .

Aplicando el teorema de la dimensión, obtengo:

dim Nu f  dim Im f  dim IR 3  2  2  3 ABSURDO!!

Por lo tanto no existe ninguna TL que cumpla con los datos dados. Me piden por lo tanto, modificar el núcleo para poder encontrar una TL que cumpla. Si conservo la imagen, pido que la dimensión del núcleo sea 1. Propongo: Defino una TL que cumpla entonces:

BNu f  1,0,2

BNu f  1,0,2 y BIm f  1,2,  2,2. Entonces, para definirla bien,

debo dar la información de tres imágenes de elementos LI del dominio: Como

BNu f  1,0,2, se que f (1,0,2)  (0,0) Además se que BIm f  1,2,  2,2 entonces ambos

vectores son imagen de alguien del dominio. Pero estos no los tengo como datos, por lo tanto los invento LI con el

(1,0,2) .  f (1,0,2)  (0,0)  3  f (0,1,0)  (1,2) Como los vectores de IR que elegí ya están triangulados si los pongo en una matriz, son LI  f (0,0,1)  (2,2)  3

Me piden ahora dar la fórmula. Entonces escribo un vector genérico de IR en c.l. de los datos, para luego hallar su imagen.

( x, y, z)   (1,0,2)   (0,1,0)   (0,0,1) Si resuelvo el sistema despejando los escalares, obtengo:

  x ;   y ; 2    z En la última reemplazo

x

y obtengo:

  z  2x

Reemplazo en la ecuación original y obtengo:

( x, y, z)  x(1,0,2)  y(0,1,0)  z  2 x (0,0,1) y ahora aplico f a ambos lados para encontrar la fórmula general.

f ( x, y, z)  f x(1,0,2)  y(0,1,0)  z  2 x (0,0,1) Como f es una TL, separo la suma y saco los escalares: f ( x, y, z)  x. f (1,0,2)  y. f (0,1,0)  z  2 x . f (0,0,1) Ahora reemplazo por sus imágenes: f ( x, y, z)  x.(0,0)  y.(1,2)  z  2 x .(2,2) Entonces la fórmula de la TL es: f ( x, y, z )   y  2 z  4 x , 2 y  2 z  4 x 

V y W , las bases B  v1 , v2 , v3  y B'  w1 , w2  respectivamente. a) Sea T : V  W una transformación lineal tal que: T (v1 )  w1  w2 ; T (v2 )  2w1  2w2 ; T (v3 )  w2 3) Se consideran en los espacios vectoriales

Decir cómo formar bases B1 de V y B1 ' de W , que tengan en cuenta los datos dados, de modo que

 0 1 0  M B1B1 'T    0 0 1 b) Sea f : V  W una transformación lineal, suponga que tuviera como dato M BB1 ' f y la de cambio de coordenadas

C B 'B1 ' . ¿De qué tamaño o dimensión es C B 'B1 ' ? ¿Cómo operaría con dichas matrices para

obtener M BB ' f

********************************************************************************** Resolución: 3) a) Los datos que me dan, me permiten formar la matriz base

M BB'T ya que tengo las imágenes de los vectores de la

B en combinación lineal de los de la base B' .

Por lo tanto,

Siendo

2 0  1  M BB 'T     1  2 1

B1  u1 , u2 , u3  y B'  z1 , z 2  genéricas. Debo encontrar sus elementos en función de los dados en

 0 1 0  , entonces debería realizar un cambio de coordenadas de la siguiente B y B' . Como tengo M B1B1 'T    0 0 1 forma:

M B1B1 'T  CB 'B1 ' .M BB 'T .CB1B b) Datos:

M BB1 ' f , C B 'B1 ' .

C B 'B1 ' será una matriz cuadrada y como es una matriz que trabaja en bases de W , entonces sería una matriz de 2x2. Para hallar M BB ' f debería utilizar cambio de coordenadas de la siguiente forma:

M BB 'T  CB1 'B ' . M BB1 'T , donde CB1 'B ' es la inversa de C B 'B1 ' que me la dan de dato.

4. Dada la recta del plano de ecuación nueva base sea

2 x  3 y  0 , dar una base conveniente de IR 2 para que su ecuación en la

x' 0 .

*********************************************************************************************

Resolución: 4) Primeramente busco un vector director de la recta.



  

2 x  3 y  0  x  3 y  x, y   3 y, y  y 3 ,1 Busco un vector director más simple: v  3,2 . 2 2 2

Para completar mi base de

IR 2 , buscaré un vector perpendicular a v . Sea v '   2,3 . Como son perpendiculares,

seguro son LI, ya que uno no es múltiplo del otro. Dibujo la recta para ver cómo debo armar la base para que la recta finalmente me de

x' 0

Y L 2 -2

3

Podemos ver que para que la nueva ecuación de la recta sea

X

x' 0 , el eje y ' debe ser el coincidente con la recta.

Entonces, debo formar la base donde el segundo vector sea el vector director de la recta. Normalizo y escribo:

 ,  3  B    2 ,3 ,2   13 13   13 13   Veamos analíticamente que obtengo la ecuación requerida.

C BE

 2  13   3 13 

 13  y entonces:  2  13  3

 2  x  13      y  3 13 

 13  x'    2  y '  13  3

x   2 x' 3 y' 13 13  Entonces:  x' 2 y' y  3 13 13  Reemplazo en la ecuación de la recta:

2 x  3 y  0  2.  2 x' 3 y '   3. 3 x' 2 y '   0 13 13  13 13     4 x' 6 y ' 9 x' 6 y '  0   13 x '  0  x '  0  13 13 13 13 13 Como se quería ver.