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Razonamiento Matemático

Capítulo

Guía Académica I - Ciencias (A-SM-19)

1

Razonamiento Matemático

JUEGOS LÓGICOS I

MARCO TEÓRICO Hablar del razonamiento lógico-deductivo es hablar de la capacidad que tiene el alumno para generar alternativas lógicas a partir de cierta información dada, en donde el énfasis recae en un razonamiento lógico y directo, es decir, rápido y perspicaz. Para esto el alumno debe desarrollar y utilizar habilidades tales como: a) Inferir datos o valores que están implícitos en el problema. b) Determinar el valor de verdad de proposiciones a la luz de los datos del problema. c) Descubrir rápidamente las relaciones implícitas en el problema. d) Comparar magnitudes, es decir, verificar desigualdades, comparar edades, distancias, gastos efectuados, etc. e) Seleccionar la respuesta posible. f) Discriminar figuras (formas, tamaño, colores, etc.). Podemos decir, que de ahora en adelante, el alumno tendrá que utilizar toda su creatividad e ingenio para resolver problemas, ya sea de cálculo o análisis. Veamos un ejemplo: “La siguiente figura representa una igualdad entre números hecha con palillos de fósforo:

¿Podría usted cambiar de lugar un solo palillo de fósforo para generar una igualdad matemática verdadera?”. Resolución Lógicamente que la igualdad entre números a la que hace referencia el problema está dada en números romanos.

Pero ¡doce no es igual a uno!, por lo cual nos piden modificar la posición de un solo palillo para que la igualdad sea correcta. A primera vista parece imposible, pero podemos efectuar el siguiente movimiento:

Algunos dirán que esta nueva posición no representa nada en números romanos, y tienen muchísima razón, pero, como la mayoría ya lo entendió, la igualdad presentada es verdadera en nuestro sistema decimal, y es la siguiente: ¡Uno por uno, igual a uno! Nadie nos impidió cambiar el sistema de numeración en el cual se trabaja, solo nos pidieron cambiar la posición de un palillo y eso fue lo que hicimos. Algunos propondrán también la siguiente respuesta:

La cual, en el sistema de numeración romana, no tiene sentido, porque once no es igual a dos; pero si el primer miembro se lee en el sistema romano y el segundo miembro de la igualdad en el sistema decimal si llegaremos a una respuesta coherente:

Aunque la respuesta parece poco lógica, podemos argumentar como defensa que: ¡La creatividad y el ingenio no tienen ni tendrán límites! 167

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Razonamiento Matemático

PROBLEMAS RESUELTOS 1. ¿Cuántos dígitos hay que cambiar de posición como mínimo en la distribución original para generar una igualdad verdadera? (CEPREVI 2008)

101 – 102 = 1 Resolución 101 – 102 = 1



4. ¿Cuál es la mínima cantidad de palitos que hay que cambiar de posición en la figura original para poder contar solo cuatro cuadrados iguales si todos los palitos deben formar cuadrados? (UNFV 2001)

Era necesario cambiar un solo dígito. Rpta.: 1



Resolución

2. En la configuración

¿cuántos palitos como mínimo hay que cambiar de posición para generar una igualdad verdadera? (PRE–UNAC)



Resolución



Solo un palito.

Solo 2 palitos. Rpta.: 2

5. Si los dados de la figura son comunes, ¿cuánto suman los puntos que se encuentran en las caras no visibles de los dos dados? (PUCP 1999)

Rpta.: 1 3. Construya el cuadrado mágico de orden con las 9 primeros números naturales. (CEPREUNMSM 1998)

Resolución



En un cuadrado mágico, las filas, columnas y diagonales de 3 números siempre suman lo mismo; así por ejemplo:

168



Resolución



En cada dado la suma total de puntos es:



1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 En los dados sería 42, pero las caras visibles suman: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 ∴ Las caras no visibles suman: 42 – 15 = 27 Rpta.: 27

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Razonamiento Matemático

PRÁCTICA PARA A CLASE 1. El profesor Kike, propone en su clase de Razonamiento Matemático lo siguiente: “Si ustedes alumnos, resuelven estos problemas de cerillos, quedarán exonerados del examen bimestral:





A) Primos B) Tío - Sobrino C) Padre - Hijo D Abuelo - Nieto E) Tío abuelo - Sobrino nieto

 ¿Cuántos cerillos se deben mover, como mínimo, para que se verifique la igualdad?   ¿Cuántos cuadrados, cuyo lado sea la longitud de un cerillo, se pueden obtener, como máximo, con 20 cerillos?”

B) 2; 9 E) 4; 9

C) 3; 10

2. Mario desafía a Víctor en el siguiente problema:



4. Tengo algo que decirles: “El tío del hijo del padre de Manuel es mi primo hermano. ¿Qué es de mí, el padre del tío de Manuel si se sabe que Manuel es hijo único?”. A) Mi tío B) Mi padre C) Mi abuelo D) Mi sobrino E) Mi hijo

Averigüe usted cuáles fueron las respuestas correctas que deben dar los alumnos de la clase del profesor Kike. A) 1; 11 D) 3; 11

“Si lanzo simultáneamente 3 dados comunes y sumara los puntos obtenidos en la cara superior a cada uno de ellos, ¿cuántos valores distintos puede tomar esta suma?”. Víctor solo demoró un segundo en dar la respuesta correcta. ¿Cuál fue la respuesta que dio Víctor? A) 18 B) 17 C) 16 D) 15 E) 14

3. En una conversación realizada en el aula de 5.° San Marcos del colegio Saco Oliveros, se escucha decir: “Daniel es el único nieto del padre de Jaime y Francisco es el hermano del suegro de la madre del hijo de Jaime. ¿Qué parentesco existe entre Francisco y Daniel sabiendo que Jaime ni hermanos ni hermanas tiene?”.

Alberto, el alumno más aplicado del aula, resolvió el problema mencionado y acertó con la respuesta. ¿Cuál fue dicha respuesta?

5. Alejandro Romualdo, reconocido poeta peruano de la generación del 50, nació el 19 de diciembre de 1926. Entre sus publicaciones destaca Canto coral a Túpac Amaru con su famoso verso “Y no podrán matarlo”. El 29 de febrero del 2020 será sábado. Halle el día que nació si murió el 27 de mayo del 2008. A) Martes D) Jueves

B) Lunes E) Viernes

C) Domingo

6. Completemos el siguiente cuadrado mágico aditivo y hallemos los valores numéricos de A, L y K; pero daremos como respuesta A + L + K. A

L 9 5

6 K

¿Cuál debe ser nuestra respuesta correcta? A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

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Razonamiento Matemático

7. Alumnos: “Tenemos que distribuir los 9 primeros números naturales en el triángulo mostrado, tal que la suma de cada lado sea K”. Dé como respuesta la mayor suma que puede obtenerse al sumar los números ubicados en los tres vértices.

8. La escalera en la casa de Giovanni tiene 13 escalones. Uno de los escalones cruje cuando una persona se para sobre él. Mario subió la escalera así: se paró en el primer escalón y luego subió hasta el final, brincando de dos en dos. Pedro subió así: desde el primer piso brincó tres escalones y bajo uno, luego brincó tres escalones y bajo uno, luego brincó tres escalones y bajó uno, y así hasta el final. En ningun caso se oyó el escalón que cruje. ¿Cuál debe ser el escalón que cruje? A) 6 B) 8 C) 4 D) 12 E) Ninguno

A) 24 B) 18 C) 15 D) 6 E) 11

ASESORÍA 1. En la siguiente figura, ¿cuántos cerillos se deben mover como mínimo para obtener 5 cuadrados iguales? (Utilice todos los cerillos). A) 1 B) 2

3. Ubique los números consecutivos del 1 al 17, inclusive en los lugares indicados por los puntos, de tal manera que la suma de los números ubicados en cada cara sea 44. Dé como respuesta la suma de los números ubicados en los vértices.

C) 3 D) 4 E) 5 2. Ubique los números consecutivos del 1 al 12, inclusive, tal que la suma de los números ubicados en 4 círculos colineales sea la misma. Dé como respuesta dicha suma. A) 32 B) 30 C) 26 D) 24 E) 29

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A) 20 B) 23 C) 40 D) 46 E) 25 4. Si el mañana del pasado mañana de hace 3 días del anteayer del día que precede a hace 30 días del posterior al mañana del ayer del subsiguiente día del que se encuentra dentro de 50 días del ayer es miércoles, ¿qué día fue el anteayer del mañana del posterior día al ayer?

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A) Martes D) Lunes

B) Jueves E) Viernes

C) Domingo

5. Ana y Marcelo son una pareja de esposos que tienen 3 hijos con 2 hijas cada uno y también 2 hijas con 4 hijos cada una. Si en una reunión familiar están presentes todas estas personas y también los padres de Ana y Marcelo, ¿cuál es la cantidad de hijos e hijas presentes? A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23

Razonamiento Matemático

6. En el siguiente cuadro, escriba los números del 3 al 11 sin que alguno se repita, de tal manera que la suma de los tres números que formen filas, columnas y diagonales sea la misma. Dé como respuesta el valor de m.

m A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

HELICODESAFÍO 1. Si el ayer del pasado mañana del ayer del mañana de anteayer es lunes, ¿qué día de la semana será el pasado mañana del mañana del anteayer de hace 3 días? A) Sábado C) Lunes E) Jueves

B) Domingo D) Martes

2. ¿Qué parentesco existe entre el único hijo del hijo del abuelo de mi padre y el padre del único hermano de la tía de tu único sobrino si yo soy tu padre pero tú no eres mi hijo? A) Tío - sobrino B) Padrastro - entenado C) Padre - hijo D) Abuelo - nieto E) Padrino - ahijado 3. Pedro es concuñado de José porque su única hermana se ha casado con el único hermano de este. Si los hijos de Pedro y José son ahijados de Carmen —hermana de Pedro— pero no de Juan —hermano de José—, entonces los hijos, en relación con Juan, resultan ser A) o bien ahijados o bien hijos. B) ambos sus sobrinos naturales.

C) uno su sobrino natural, el otro su ahijado. D) uno su sobrino político, el otro su ahijado. E) uno su sobrino natural, el otro sobrino político. 4. ¿Qué día es el mañana del anteayer del posterior día al subsiguiente día del anterior al anteayer del mañana del pasado mañana del día que antecede al anteayer de hace 4 días del subsiguiente día del mañana de hoy viernes? A) Sábado D) Jueves

B) Lunes E) Miércoles

C) Martes

5. En el recuadro siguiente ubique los números 3; 9; 27; 81;..., de tal manera que se obtenga un cuadrado mágico multiplicativo en el que se cumple que el producto de los números ubicados en cada columna, fija y diagonal, es el mismo. Halle el valor de 5 xywz.

A) 3 D) 9

x

y

w

z

B) 27 E) 243

C) 81

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Razonamiento Matemático

TAREA DOMICILIARIA 1. En la figura, ¿cuántos cerillos se debe mover como mínimo para formar siete triángulos?

4. Camila distingue en la vereda a un hombre y dice: “El único hermano de ese hombre es el padre de la suegra de mi esposo”. ¿Qué parentesco tiene el hermano de ese hombre con Camila? A) Padre C) Tío - abuelo E) Suegro

A) 3 B) 4 C) 2 D) 1 E) 5 2. ¿Qué parentesco tiene con Manuel la única hermana de la suegra de la esposa del padre de su hermano? A) Tía - abuela C) Mamá E) Suegra

A) Lunes B) Martes D) Domingo E) Miércoles

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5. Distribuya los números del 0 al 8 de manera que la suma en fila, columna y diagonal siempre dé un mismo resultado.

B) Abuela D) Bisabuela

3. ¿Qué día de la semana es el mañana del pasado mañana del posterior día al anteayer del día que precede al subsiguiente día del posterior al mañana del anterior del mañana del jueves? C) Sábado

B) Tío D) Abuelo

4x

x



Dé como respuesta la suma de los números ubicados en los casilleros sombreados. A) 7 B) 9 C) 11 D) 15 E) 8

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Razonamiento Matemático

TAREA SEMANAL 1. En la figura, mueva la menor cantidad posible de cerillos para formar 4 cuadrados iguales. Dé como respuesta dicha cantidad. (Se deben usar todos los cerillos).

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. En un almuerzo familiar se observan a un abuelo, una abuela, 2 papás, 2 mamás, 3 nietos, un hermano, 2 hermanas, 2 hijos, 2 hijas, un suegro, una suegra y una nuera. ¿Cuál es el mínimo número de personas asistentes a dicho almuerzo? A) 19 D) 7

B) 9 E) 6

4. Si hoy es domingo, ¿qué día será el ayer del pasado mañana de hace dos días? A) Jueves C) Sábado E) Martes

B) Viernes D) Domingo

5. En un restaurante estaban presentes un padre, una madre, un tío, un hermano, una hermana, un sobrino, 1 sobrina y 2 primos. Si cada uno consumió un menú de S/5, ¿cuánto gastaron en total como mínimo? A) S/30 B) S/20 C) S/60 D) S/40 E) S/50

C) 13

3. En una familia cada hermano tiene 4 hermanas y 4 hermanos y cada hermana tiene 5 hermanos y 3 hermanas. ¿Cuántos hijos son en total? A) 9 D) 6

B) 10 E) 15

C) 8

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Capítulo

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Razonamiento Matemático

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JUEGOS LÓGICOS II

MARCO TEÓRICO Este tema se caracteriza por la abundante

Gerardo > Miguel → Miguel < Gerardo

información en cada problema, pero suficiente para

Claudio < Oliver < Enrique = Miguel < Gerardo

llegar a lo pedido. Los datos se deben considerar ∴ El menor de todos es Claudio.

directa o indirectamente, tratando primero de ordenar adecuadamente la información, en lo posible por medio de diagramas (recta, flechas,

II. ORDENAMIENTO VERTICAL

circunferencias, cuadros de doble entrada).



Los datos del problema se ubican de forma vertical en un cuadro o lista de forma que entre ellos exista una relación que el enunciado nos indicará.



Ejemplo



Cinco personas A, B, C, D y E trabajan en un edificio de seis pisos, cada una en un piso diferente. Si se sabe que

I. ORDENAMIENTO HORIZONTAL

Los problemas de esta parte contienen datos de un mismo tipo, se busca ordenarlos de forma creciente o decreciente. Los datos se ubican en una recta a manera lógica.



Ejemplo



Miguel y Enrique nacieron el mismo día. Oliver es menor que Enrique. Claudio es menor que Oliver, pero Gerardo es mayor que Miguel. Por lo tanto, el menor de todos es A) Enrique. D) Oliver. Resolución



Se trata de formar en un solo sentido las desigualdades (ya sea solo “”)

Oliver < Enrique Claudio < Oliver

174

bajan B y C. ¾¾ D trabaja en el quinto piso.

B) Gerardo. C) Miguel. E) Claudio.



Miguel = Enrique

¾¾ A trabaja en un piso adyacente al que tra-

¾¾ Adyacente y debajo de B, hay un piso vacío.

¿quiénes trabajan en el cuarto y sexto piso, respectivamente?

A) B y C D) C y E

B) C y A E) C y B

C) E y C



Resolución



Se tratará de empezar por los datos más claros (que no presenten varias posibilidades).

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¾¾ Del último dato se deduce que B no puede estar ni en el primer ni en el sexto piso

Razonamiento Matemático

III. ORDENAMIENTO CIRCULAR

Deberá tenerse en cuenta la relación entre los datos, teniendo en cuenta una disposición circular. La izquierda o derecha están referidas a las personas del problema que están sentadas mirando hacia el centro de la mesa.



Considerar

(es evidente que tampoco en el quinto). Luego las posibilidades restantes serán E

Vacío

D

D

D

C

B

Sentido horario

A

B

B

Sentido antihorario

B A

No se puede colocar A

No se puede colocar A y C

Ubicación pedida

C

D



¾¾ A está al frente de C. ∴ En el cuarto y sexto piso trabajan C y E,

¾¾ A está a la izquierda de D.

respectivamente.

¾¾ A está a la derecha de B.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Se sabe que

A: edad de Ángel B: edad de Beto C: edad de Carlos D: edad de Dante E: edad de Enrique

¾¾ Ángel obtuvo menos puntos que Beto. ¾¾ Dante menos puntos que Ángel. ¾¾ Carlos más puntos que Enrique. ¾¾ Enrique más puntos que Beto.

B>A>D

¿Quiénes obtuvieron el puntaje menor y

C>E>B

mayor, respectivamente? A) Ángel y Enrique

B) Dante y Carlos

C) Carlos y Beto

D) Beto y Carlos

E) Dante y Enrique

Resolución

C>E>B>A>D

∴ Dante y Carlos Rpta.: Dante y Carlos 175

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Razonamiento Matemático

2. En un comedor, ocho estudiantes se sientan alrededor de un mesa. Se identifican mediante letras, así: S está frente a E y entre P y F; B

3. Cuatro amigos Laura, Leyla, Lorena y Luisa viven en un mismo edificio pero en diferentes pisos. Se sabe que

está a la izquierda de E y frente a P; frente a D está D, este a su vez está a la siniestra de A. ¿Quién está entre A y E? A) E D) S

B) D E) F

Resolución

C) P

A) Lorena vive en el tercer piso. B) Luisa vive en el segundo piso. C) Laura vive en el tercer piso. D) Leyla vive en el cuarto piso. E) Luisa vive en el tercer piso.

B

E

¾¾ Leyla vive en el primer piso. ¾¾ Lorena vive adyacente a Luisa y Leyla. ¾¾ Laura vive más arriba que Luisa. ¿Qué afirmación es correcta?

Otro

Resolución D

F

A

S

P ∴ Entre A y E está D.



Rpta.: D

4.º

Laura

3.º

Luisa

2.º

Lorena

1.º

Leyla

En el primer dato es directo, los demás solo completan el cuadro. Rpta.: Luisa vive en el tercer piso.

PRÁCTICA PARA A CLASE 1. Seis amigos viven en un edificio, cada uno en un piso diferente. Carlos vive más abajo que Boris, pero más arriba que Daniel. Francisco vive 3 pisos más abajo que Carlos. Andrés vive 2 pisos más arriba que Carlos y a 4 pisos de Enzo. ¿Quién vive en el quinto piso? A Boris D) Carlos

B) Daniel E) Enzo

C) Andrés

2. Un encuestador cuya misión es averiguar las edades de los hijos en cada familia, en caso que los haya, se dirige a una casa donde es atendido por una mujer, a la que pregunta: 176

¿Cantidad de hijos? “Tres dice ella”. ¿Edades? Ella responde: “El producto de las edades es 36 y la suma de las mismas es igual al número de esta casa”. El encuestador se va pero al rato vuelve y le dice a la mujer que los datos que le dio no son suficientes; la mujer piensa y le dice: “Tiene razón, la mayor practica ballet”. Esto es suficiente para que el encuestador sepa las edades de los hijos. ¿Cuánto suma la edad de la mayor y el número de la casa? A) 19 B) 39 C) 28 D) 22 E) 14

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3. Ángela, María, Felipe y Rubén, de 23; 25; 27 y 30 años de edad, respectivamente, tienen las profesiones: veterinario, cantante, policía y escritor, uno cada uno, aunque no necesariamente en ese orden. Si se sabe que  Ángelo llevo a su gatito Tom para que lo revise su amigo Felipe, y este la admira mucho por su buen canto.  Entre ellos hay una madre que es policia.

determine las profesiones de Rubén y María, respectivamente. A) Escritor, cantante B) Veterinario, policía C) Escritor, policía D) Policía, escritora E) Veterinario, cantante

4. Álvaro, Mirna, Julio y Ángel de 8; 11; 7 y 12 años de edad, no necesariamente en ese orden, van a los juegos mecánicos acompañados de sus madres cuyos nombres son Juana, Hilda, Lucrecia y Rosa. Se sabe que

 Irene está junto y a la derecha de Leticia.

¿Quién está sentada junto y a la izquierda de María? A) Irene D) Lucía

B) Leticia E) Cecilia

C) Juana

6. Seis amigos van al concierto de la orquesta sinfónica nacional y compran los seis primeros asientos en el palco los cuales están numerados de izquierda a derecha. Alberto se sienta en un asiento par y siempre al lado de dos amigos, a la izquierda de Erick se encuentra el pasillo del palco. Martín se sienta en un asiento de numeración primo no par. Fernando se encuentra junto y a la derecha de Alberto, y además es el único que se encuentra sentado junto a Bono. ¿Cuál es el número del asiento de Elton? A) 4 B) 3 C) 5 D) 2 E) 1

 Lucrecia es la mamá de la niña que es la mayor de todos.

7. Los señores Lorenzo, Roberto y Román, cuyas edades son 55, 62 y 70 años, respectivamente, tienen un hijo cada uno. Uno de los hijos es psicólogo, otro es veterinario y el tercero es actor. Si sabemos que

 Julio se queja, con Hilda porque su hijo de 8 años lo está molestando.

 Sebastían, de 25 años, solo puede ser hijo de Roberto o Román.

Determine la edad de Ángel y el nombre de la mamá de Julio.

 Andrés, de 31 años, puede ser hijo de Lorenzo o de Román.

A) 8 años, Rosa C) 11 años, Rosa E) 12 años, Rosa

 El hijo de Lorenzo es psicólogo.

 Álvaro, que es el menor, se sube a un juego con su tía Rosa.



Razonamiento Matemático

 El nombre del tercer joven es Pedro, y tiene 28 años.

B) 8 años, Juana D) 11 años, Juana

5. En una mesa circular hay seis asientos simétricamente colocados, ante los cuales se sientan seis amigas a estudiar. Se sabe que  María no está al lado de Cecilia ni de Juana.  Leticia no está al lado de Cecilia ni de María.

 El hijo de Roberto no es veterinario.  A Sebastián no le gusta la actuación.

¿cuál es la suma, en años, de las edades del psicólogo y de su padre? A) 80 B) 93 C) 95 D) 86 E) 101

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Razonamiento Matemático

8. Cinco personas de una misma familia se sientan a almorzar alrededor de una mesa circular. Hay tres platos de arroz con pollo y dos de lomo saltado. Si se sabe que



¿cuál de las siguientes afirmaciones son falsas? I. Ana se sienta junto a José. II. No es cierto que José no se sienta junto a David.

 Los que comen lomo saltado no se sientan juntos.

III. No es cierto que María no se sienta junto a Josué.

 María no se sienta junto a José, pero ambos comen arroz con pollo.

A) I y II D) Solo III

 Ana no come lomo saltado, y se sienta junto a María, pero no junto a David.

B) II y III E) I y III

C) Solo II

 Josué es el primero en terminar de almorzar.

ASESORÍA 1. Cinco amigos rindieron un examen y se sabe que la nota más alta fue 18, además

3. Seis amigos se sientan a comer helados alrededor de una mesa circular.

¾¾ André obtuvo la mitad de nota que Máximo. ¾¾ Piero obtuvo el promedio de las notas de David y Máximo. ¾¾ Omar obtuvo tanto como David, pero el triple de nota que André.

¾¾ Julio está al lado de Carlos y al frente de Ana. ¾¾ David no se sienta nunca al lado de Ana.



Calcule la diferencia entre las notas que obtuvieron Piero y André. A) 9 B) 6 C) 4 D) 12 E) 3

2. Cinco autos, numerados del 1 al 5, participaron en una carrera. Si se sabe que ¾¾ la diferencia en la numeración de los 2 últimos autos en llegar fue igual a 2. ¾¾ el auto 1 llegó en segundo lugar. ¾¾ la numeración de los autos no coincide con el orden de su llegada. Podemos afirmar que I. no es cierto que ganó el auto 5. II. el auto 5 llegó después que el auto 1. III. el auto 2 ganó la carrera. A) Solo I D) I y II 178

B) Solo II E) I y III

C) Solo III



Entonces se puede afirmar que A) Ana y Carlos se sientan juntos. B) David está a la derecha de Julio. C) David está a la izquierda de Julio. D) Ana y Carlos están separados por una persona. E) Ana está al frente de David.

4. Tres varones, A, B y C, y tres mujeres, D, E y F, se sientan simétricamente alrededor de una mesa circular de modo que 2 personas del mismo sexo no se sientan juntas. Entonces se puede afirmar que I. A no se sienta frente a E. II. C no se sienta frente a B. III. F no se sienta frente a D. A) Solo I D) I y III

B) Solo II E) II y III

C) Solo III

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5. Alrededor de una mesa circular están sentados 6 amigos distribuidos simétricamente. Si se sabe que



¾¾ Karen se ubica junto a Rosa, pero no junto a María. ¾¾ Ana se sienta frente a la persona que está junto y a la izquierda de Rosa. ¾¾ María está a dos lugares de Ana. ¾¾ Inés se ubica a dos lugares y a la derecha de Dora. ¿quién se encuentra frente a Inés? A) Dora D) Karen

B) Ana E) María

Razonamiento Matemático

6. A, B, C y D son mecánico, electricista, soldador y carpintero, llevan uniformes de los colores blanco, amarillo, rojo y azul (no necesariamente en el orden indicado). El mecánico derrotó a B en el juego al sapo. C y el soldador juegan a menudo al bingo con los hombres de rojo y azul. A y el carpintero tienen aprecio al hombre de uniforme azul, quien no es el electricista pues este usa uniforme blanco. ¿Qué oficio tiene C y de qué color es su uniforme? A) Electricista - blanco B) Mecánico - azul C) Carpintero - amarillo D) Electricista - rojo E) Soldador - blanco

C) Rosa

HELICODESAFÍO 1. Alex, Beto, Coco, Dany y Eddy han obtenido los cinco primeros puestos en el torneo de salto alto. Si suma los números de los puestos de Alex, Beto, Dany y Eddy obtiene el número 11. Si suma los números de los puestos de Beto y Coco obtiene 6. Asimismo, si suma los números de los puestos de Coco y Eddy obtiene 9. Si Beto está por delante de Alex, ¿quién ganó el primer puesto? A) Alex D) Dany

B) Beto E) Eddy

C) Coco

2. Mily ordena, en un mismo nivel de su librero, sus libros de Álgebra, Geometría, Historia, Razonamiento Matemático (RM), Aritmética y Lógica, un libro de cada curso. Si se sabe que ¾¾ el libro de Geometría no está ubicado junto a los libros de Aritmética y RM. ¾¾ los libros de Geometría e Historia están juntos, lo mismo que los de RM y Aritmética.



¾¾ de izquierda a derecha, el libro de Geometría está ubicado después del libro de Álgebra, pero antes que el libro de RM. ¾¾ el libro de RM está ubicado a dos lugares del libro de Lógica. calcule la suma de todos los números que representan la posible ubicación, de izquierda a derecha, del libro de Lógica. A) 10 D) 9

B) 6 E) 7

C) 8

3. Tres profesores, A, B y C, enseñan cada uno un curso: RM, Historia y Literatura, aunque no necesariamente en ese orden. Si C es mayor que el profesor de Historia, el profesor de Literatura es el mejor amigo de B y es el más joven, entonces se deduce que I. A es el profesor de Literatura. II. B es el mayor de todos y enseña RM. III. A es mayor que el profesor de RM. A) Solo II D) II y III

B) Solo III E) I y II

C) Solo I

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Razonamiento Matemático

4. En una reunión se encuentran tres amigos: Adolfo, Boris y Coco. Cada uno de ellos tiene dos oficios, los cuales son chofer, contrabandista, músico, pintor, jardinero y barbero (no necesariamente en ese orden). Se conoce que ¾¾ el chofer cortejaba a la hermana del pintor. ¾¾ el músico y el jardinero solían ir a pasear con Adolfo. ¾¾ Coco vendió a Boris y al pintor un juego de ajedrez a cada uno. ¾¾ el pintor compró al contrabandista un litro de vino. ¾¾ Boris debía S/100 al jardinero. Indique la relación correcta.

5. Las profesiones de Ana, Betty, Carol y Diana son arqueóloga, abogada, doctora y profesora, aunque no necesariamente en ese orden. Si se sabe además que Ana está casada con el hermano de la abogada, Carol y la profesora van a trabajar en la movilidad de la abogada, las solteras de Betty y la arqueóloga son hijas únicas y Carol y Diana son amigas de la doctora, la cual está de novia, por lo tanto, la doctora y la profesora, en ese orden, son A) Ana y Carol. B) Betty y Carol. C) Diana y Carol. D) Betty y Ana. E) Diana y Betty.

A) Boris, pintor y chofer B) Coco, jardinero y chofer C) Boris, chofer y barbero D) Coco, jardinero y contrabandista E) Adolfo, pintor y barbero

TAREA DOMICILIARIA 1. Jorge, Óscar y Pablo son tres amigos que tienen las siguientes profesiones: músico, periodista y dentista, pero no necesariamente en ese orden. Se sabe que ¾¾ el dentista y el músico viven juntos. ¾¾ la esposa de Óscar es la prima de la novia del músico. ¾¾ Jorge viajó en taxi para visitar al dentista. ¿Cuál es la profesión de Pablo? A) Periodista C) Pintor E) Dentista

B) Ingeniero D) Músico

2. Salvador, Antonio, Julio y Pedro tienen diferentes ocupaciones. Sabemos que ¾¾ Antonio es hermano del electricista. ¾¾ el comerciante se reúne con Salvador para jugar naipes.

180



¾¾ Pedro y el electricista son clientes del sastre. ¾¾ Julio se dedica a vender abarrotes desde muy joven. ¿Qué ocupación tiene Antonio? A) Electricista C) Carpintero E) Mecánico

B) Sastre D) Comerciante

3. Un edificio de seis pisos es ocupado por familias diferentes, una en cada piso. Los Castillo viven 2 pisos más abajo que los Ruiz y 2 pisos más arriba que los Gálvez. Los Duárez viven en el segundo piso y los Correa no viven en el cuarto piso. ¿En qué piso viven los Soto? A) Primero D) Cuarto

B) Segundo C) Tercero E) Quinto

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4. Betty, Anabel, Ciro y Daniel terminaron sus estudios de Pedagogía, Derecho, Ingeniería y Matemática, una profesión cada uno, aunque no necesariamente en ese orden. De ellos se sabe que ¾¾ Betty no estudia Pedagogía. ¾¾ Anabel hubiese estudiado Matemática si Ciro hubiera estudiado Derecho. ¾¾ Daniel quiere estudiar Matemática. ¾¾ Ciro estudiaría Pedagogía si Anabel no lo hiciera. ¾¾ Betty estudiaba Matemática pero se trasladó a Ingeniería.

¿Qué estudian Anabel y Daniel, respectivamente? A) Comunicación - Pedagogía B) Pedagogía - Derecho C) Matemática - Ingeniería D) Pedagogía - Ingeniería E) Ingeniería - Derecho

Razonamiento Matemático

5. Alberto, Bernardo, Carlos y Diego fueron a cenar en compañía de sus esposas. En el restaurante se sentaron simétricamente alrededor de una mesa circular de forma que



¾¾ al frente de Alberto se sentó Carlos. ¾¾ junto y a la derecha de la esposa de Alberto se sentó Bernardo. ¾¾ ningún esposo se sentó al lado de su esposa. ¾¾ no encontramos dos hombres sentados juntos. ¿Quién se sentó entre Alberto y Diego? A) La esposa de Alberto B) La esposa de Bernardo C) La esposa de Carlos D) La esposa de Diego E) La esposa de Eduardo

TAREA SEMANAL 1. Cinco personas, A, B, C, D y E, trabajan en un edificio de 6 pisos, cada uno en un piso diferente. Si se sabe que ¾¾ A trabaja en un piso adyacente al que trabajan B y C. ¾¾ D trabaja en el quinto piso. ¾¾ adyacente y debajo de B hay un piso vacío. ¿quiénes trabajan en el cuarto y quinto piso, respectivamente? A) E y C D) C y B

B) C y A E) B y C

C) C y E

2. El Sr. Villanueva, el Sr. Espinoza y el Sr. Becerra viven en una casa de huéspedes en Ñaña. Uno de ellos es panadero, el otro es taxista y el tercero es bombero. Sabiendo que ¾¾ el Sr. Becerra y el Sr. Espinoza van juntos a jugar básquetbol. ¾¾ el taxista colecciona monedas, el bombero soldaditos de plomo y el panadero sellos postales. ¾¾ el taxista nunca ha jugado básquetbol. ¾¾ el Sr. Espinoza nunca ha oído hablar de sellos certificados. ¿En qué trabaja el Sr. Becerra? A) Panadero C) Bombero E) Contador

B) Taxista D) Carpintero

181

Guía Académica I - Ciencias (A-SM-19)

Razonamiento Matemático

3. En una calle hay cinco casas numeradas del 1 al 5, consecutivamente. Una de ellas es azul, otra es roja, otra es verde, otra es blanca y otra es gris. Se sabe que la casa roja no se ubica al centro, las casas azul y blanca tienen número par y que la casa azul está junto a las casas gris y roja. ¿De qué color es la casa 3? A) Azul D) Gris

B) Blanca E) Verde

C) Roja

4. Tres amigos, Alex, Beto y Coco, tienen distintas aficiones: vóley, fútbol y básquet y gustan de colores diferentes: azul, rojo y blanco. Si se sabe que Beto no practica vóley, Alex no practica básquet, Beto no gusta del azul, el basquetbolista no gusta del rojo y quien practica vóley gusta del blanco, ¿qué afición tiene Alex y cuál es el color favorito de Coco? A) Vóley - azul B) Fútbol - rojo C) Básquet - blanco D) Vóley - blanco E) Básquet - rojo

182

5. Tres amigas, Ana, Betty y Carla, estudian en tres universidades: UNI, SM y FV las carreras de Administración, Derecho e Ingeniería, aunque no necesariamente en ese orden. Si se sabe que ¾¾ Ana no está en la UNI y Carla no está en la SM. ¾¾ la que está en la UNI no estudia Administración. ¾¾ la que está en la SM estudia Derecho. ¾¾ Carla no estudia Ingeniería. ¿qué estudia Betty y en qué universidad? A) Derecho en la SM B) Ingeniería en la UNI C) Ingeniería en la FV D) Administración en la FV E) Derecho en la FV

Capítulo

Guía Académica I - Ciencias (A-SM-19)

3

Razonamiento Matemático

ALGORITMIA SENSORIAL

MARCO TEÓRICO AZUZANDO AL INGENIO 1. En la calle de una ciudad hay 10 postes de telégrafo. Si entre cada par de postes hay un cable, ¿cuántos cables hay en total?



A) 10 B) 15 C) 20 D) 100 E) 45

Se denomina razonamiento inductivo al tipo de razonamiento que partiendo de situaciones particulares (de menor a mayor complejidad) obtiene una conclusión, una veracidad el de tipo probable.

Resolución

2. Calcule la suma de coeficientes en el desarrollo de (a+b)10.



En este tipo de problema se analiza de la siguiente manera:



Resolución



Del 1.° al 2.° poste [hay 1 cable (1)]



Del 1.° al 3.° poste [hay 3 cables (1+2)]



Del 1.° al 4.° poste [hay 6 cables (1+2+3)]



Conclusión



En (a+b)10 la respuesta es 210 = 1024.



........





Del 1.° al n poste hay (n – 1) cables:



(1+2+3+4+5+6+7+8 ........ + (n–1))] ¾¾ Entonces



Del 1.° al 10.° poste [hay cables



(1+2+3+4+5+6+7+8+9)]



183

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Razonamiento Matemático

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Si cada símbolo distinto representa un dígito distinto, entonces, calcule (UNFV 2000)

4. ¿Cuántos palitos de fósforo se cuentan en la figura? (CEPRUNMSM 2006)



sabiendo que:







Resolución





Se observa que A solo puede ser 1.





⇒ De donde L = 9 y =0 ∴ = 1 + 9 + 0 = 10

Resolución

Rpta.: 10 2

2. Si se cumple que aa = bbcc , calcule a + b + c. (CEPREUNMSM 2009)

Resolución





Tabulando valores, el único que cumple es:



Rpta.: 399

882 = 7744



⇒ a = 8, b = 7 y c = 4



∴ a + b + c = 8 + 7 + 4 = 19 Rpta.: 19

3. ¿Cuál es el máximo número de puntos de corte de 20 circunferencias secantes? (CEPREVI–2008)

∴ 20 ⇒ 202 – 1 = 399

5. ¿Cuál será la suma de los números en la figura P31? (CEPREVI 2004)



Resolución

Resolución

∴ 3C ⇒ 20 × 19 = 380



Rpta.: 380

184



∴ Rpta.: 192

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Razonamiento Matemático

PRÁCTICA PARA A CLASE 1. El profesor Kike, propone el siguiente problema:

En qué cifra termina el resultado de



S=...47 + ...48 + ...49 + ... + ...98 + ...99



Pero el alumno Edgarcito, el más aplicado del salón, agarró su lapicito y empezó a resolver en una hoja; al cabo de 10 segundos, mostró a su profesor la respuesta obtenida, el cual estuvo satisfecho por haber acertado. ¿Cuál fue la respuesta obtenida por Edgarcito?

permiso para ir al concierto de Maluma por favor”, dice Luciana a su padre, y él responde: “Si me dices de cuántas maneras diferentes puedes leer tu nombre en este arreglo irás, de lo contrario será en otra oportunidad”.

653 términos

A) 1 B) 2 C) 7 D) 8 E) 9 2. Angela y Leyla, dos hermanas muy juguetonas, deciden construir una de secuencia de castillos a base de naipes; la secuencia formada fue la siguiente:

L L U U U C C C C I I I I I A A A A A A N N N N N N N A A A A A A A A

“Debes de tener en cuenta que las letras de la palabra a formar están ubicadas a una misma distancia”.



Lamentablemente, Luciana no podrá ir al concierto de su artista favorito. ¿Cuál debió ser la respuesta correcta que debió dar Luciana a su padre?



A) 216 B) 256 C) 168 D) 190 E) 254

Figura 1

Figura 2

Figura 3

...

4. Con pelotitas blancas y negras se arman la siguiente sucesión de figuras:

Si quisieran formar hasta la figura 30, ¿cuál fue el número de cartas utilizadas en dicha figura?



A) 1363 B) 1368 C) 1364 D) 1365 E) 1366



3. Maluma viene al Perú y ofrecerá un mega concierto en el Estadio Nacional. Luciana, que es fan de este artista decide ir, pero debe pedir permiso a su padre. “Papi, me das

... Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

Si disponemos de 102 pelotitas blancas, ¿cuántas pelotitas negras se necesitarán para formar una cierta figura, de modo que se utilicen todas las pelotitas blancas? A) 29 B) 25 C) 26 D) 24 E) 28

185

Guía Académica I - Ciencias (A-SM-19)

Razonamiento Matemático

5. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas diferentes se puede leer la palabra REDSOCIAL, a igual distancia mínima una letra de la otra?

7. Angela y Leila, dos hermanas muy juguetonas, deciden construir un castillo a base de letras; la secuencia formada fue la siguiente: A N N I I I T T T T A A A A A L L L L L L A A A A A A A V V V V V V V V A A A A A A A L L L L L L A A A A A T T T T I I I N N A

R E D S O E D S O C D S O C I S O C I A O C I A L A) 64 B) 72 C) 68 D) 70 E) 74 6. El joven Vitorino, decide dibujar en una cartulina el siguiente gráfico:



¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la frase "Anita lava la tina"? A) 6864 D) 13 720

B) 13 287 E) 13 728

C) 3432

8. El profesor Coqui, propone el siguiente ejercicio a sus alumnos:

Según la figura consta de 190 cerillos inclinados. ¿Cuál es la cantidad de cerillos verticales dibujados por Vitorino? A) 380 B) 300 C) 360 D) 420 E) 480

186



E=

50 × 202 × 34 × 309 + 2018 cos90°

¿Qué respuesta tienen los alumnos? A) 10 301 D) 10 111

B) 10 300 E) 10 125

C) 10 330

Guía Académica I - Ciencias (A-SM-19)

Razonamiento Matemático

ASESORÍA 1. Calcule la suma de cifras del resultado en cada caso.

A = (333...333)2

4. ¿Cuántos bolitas se contarán en F20?

B = (666...664)2

y

30 cifras

20 cifras

A) 200; 300 C) 270; 240 E) 270; 115

,

B) 270; 235 D) 300; 100

,

F1

2. Se dispone de 425 palitos y se desea construir el siguiente castillo:

,...

F2

A) 1200 D) 1160

F3

B) 960 E) 820

C) 800

5. A Carlitos le preguntaron por el número de palitos empleados en F20. ¿Qué respondió?



1

2

3

...

;

18 19 20

A) Sobran 10 C) Faltan 10 E) Faltan 5

;

F1

¿Sobran o faltan palitos?, ¿cuántos?

F2

;... F3

A) 840 B) 880 C) 800 D) 860 E) 820

B) Sobran 15 D) Sobran 5

6. La cantidad de segmentos simples necesarios para dibujar la figura 21 es un número de la

3. ¿Cuántos triángulos hay en total en F20?

b

forma  abc  . Calcule a + b + c.

F1

,

F2

,

F3

A) 20 B) 80 C) 81 D) 243 E) 27

,...

... F1

A) 9 D) 12

F2

F3

B) 10 E) 13

C) 11

187

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Razonamiento Matemático

HELICODESAFÍO 1. Se construye un triángulo escribiendo números enteros en un arreglo triangular con los números desde 1 hasta el 2012 en la primera fila. Observe que cada número en el triángulo es igual a la suma de los dos números ubicados arriba de él (fila anterior). ¿Cuál es el número que se encuentra en el vértice inferior del triángulo? Primera → 1 2 3 4 ... 2012 fila 3 5 7 8 12 20

3. Simplifique

B) 2011 × 22012

C) 2013 × 22012

D) 2013 × 22010

E) 2012 × 22010 2. A Miguelito le preguntaron por la suma de los números ubicados en las bolitas sombreadas de la F40. ¿Qué respondió? 5 3

3 1

,

1 7 5

,

1

11 9

7

17

,...

15 13



F1

F2

F3

A) 2000 B) 5200 C) 6400 D) 2500 E) 8900

188

1111111088888889 123456787654322 – 1

A) 3 B) 2 C) 7 D) 8 E) 11 4. Calcule la suma de los números de la fila 20 en

A) 2014 × 22010

E=



A) 8000

F1

B) 8020

F2

C) 7296

F3

D) 7100

F4

2 4 8

6 10 12

14 16 18 20

E) 6950

5. A Luchín, alumno muy talentoso, le plantearon que calcule la suma de cifras al operar A + B.

¿Que respuesta dio Luchín?





A = 3 1127 × 1129 × 1131 + 4 × 1129





B = 3 1123 × 1125 × 1127 + 4 × 1125

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

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Razonamiento Matemático

TAREA DOMICILIARIA 1. Calcule la suma de cifras del resultado en cada caso.

4. ¿Cuántos triángulos simples hay en la figura 30?

A = (666...666)2 y B = (999...999)2 50 cifras

...

20 cifras

A) 450; 100 C) 300; 180 E) 650; 200

B) 450; 180 D) 500; 200



F1

F2

F3

A) 400 B) 900 C) 930 D) 980 E) 1000

2. ¿Cuántos cuadrados se encontrarán en la posición 20?

5. ¿Cuántos palitos hay en el siguiente arreglo? A) 900

...

F1

A) 96 D) 399

F2

B) 144 E) 81

B) 915 C) 875

F3

D) 945

C) 400

3. ¿Cuántos palitos se necesitan para formar la figura 15?

E) 925

1

2

3 ... 19 20 21

...

F1

F2

F3

A) 24 B) 40 C) 32 D) 46 E) 52

189

Guía Académica I - Ciencias (A-SM-19)

Razonamiento Matemático

TAREA SEMANAL 1. Halle el número total de palitos en la figura 50.

4. ¿Cuántos bolitas se contarán en F30?

... F1

F2

, F1

F3

A) 180 B) 199 C) 200 D) 215 E) 235 2. Halle el total de palitos en



1

2

3

...

,

,...

F2

F3

A) 2640 B) 2915 C) 3413 D) 3900 E) 4000 5. Carlitos dispone de 700 cerillos y desea construir el siguiente castillo. ¿Sobrarán o faltarán cerillos y cuántos?

28 29 30

A) 420 B) 930 C) 830 D) 791 E) 860 3. Calcule la suma de todos los elementos de la matriz. 2 4 6 ... 20 4 6 8 ... 22 6 8 10 ... 24      20 22 ... ... ...

A) 2500 D) 2800

190

B) 24 500 E) 4000

C) 2000



2

4

A) Faltan 11 cerillos B) Sobran 11 cerillos C) Faltan 7 cerillos D) Sobran 7 cerillos E) Sobran 13 cerillos

...

40

42

Capítulo

Guía Académica I - Ciencias (A-SM-19)

4

Razonamiento Matemático

VERDADES Y MENTIRAS

MARCO TEÓRICO I. Definición

Los problemas de verdades y mentiras se sustentan bajo el análisis de la lógica intuitiva, cuya base son los principios lógicos aristotélicos, leyes que gobiernan el pensamiento humano y aseguran su validez.



Los principios lógicos son los fundamentos que determinan ciertas reglas a seguir, para lograr la coherencia y sistematicidad de los pensamientos en las formas y contenidos.



A continuación veamos cuáles son dichos principios. 1. Principio de identidad

Este principio expresa igualdad de la idea consigo misma.

Ejemplo: Juan es Juan

El principio de identidad cobra importancia para nuestro entendimiento en la medida que el predicado exprese notas complementarias al sujeto. De esta manera, el principio de identidad amplía nuestro conocimiento. Si dentro del principio de identidad no es sustituido por nuevas notas, el principio no posee valor para nuestro conocimiento.

Ejemplo: ¾¾ Bolívar es Bolívar (no posee valor). ¾¾ Bolívar es el libertador de cinco naciones. ¾¾ Bolívar es el libertador de la Nueva Granada. En la segunda y tercera oración, el sujeto va acompañado de dos adjetivos que al utilizarlos individualmente nos remiten al sujeto. Así, si decimos: El libertador de cinco naciones, sabemos que se está hablando de Bolívar. 2. Principio de contradicción

Este principio afirma la imposibilidad de concebir dos juicios contrarios y verdaderos con relación a un mismo objeto.



Si se tienen los juicios S es P y S no es P, es imposible que ambos juicios sean verdaderos a la vez, en el mismo tiempo y circunstancias.



Ejemplo: Los metales son duros, los metales no son duros. 191

Razonamiento Matemático

Guía Académica I - Ciencias (A-SM-19)

3. Principio del tercero excluido

Dados dos juicios contradictorios entre sí: (A es B), (A no es B), hemos de reconocer que alguno será verdadero y el otro necesariamente falso, no existiendo un tercer modo de ser. Igualmente se excluye la posibilidad de un tercer juicio con los mismos elementos A y B.

4. Principio de razón suficiente

Este principio plantea la necesidad de justificar los conocimientos de una forma razonada, es decir, ordenada y lógica. Solo es verdadero aquello que se puede probar suficientemente, basándose en otros conocimientos o razones ya demostradas.



Por ejemplo, cuando se dice que El todo es mayor que las partes, esta afirmación es un conocimiento verdadero, puesto que se ha comprobado que una parte es menor que el todo, ya sea por la experiencia o por pura intuición.

II. Estrategias para el desarrollo de problemas

Estos principios generan dos estrategias básicas para la determinación de la verdad o falsedad de los enunciados: ¾¾ Búsqueda de enunciados contradictorios, pues uno debe ser verdadero y el otro necesariamente falso. ¾¾ Búsqueda de enunciados similares, pues ambos tendrán el mismo valor de verdad.

192

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Razonamiento Matemático

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Pedro, alumno matriculado recientemente en un colegio, se encuentra con dos compañeros nuevos, Alan y Carlos, los cuales le mencionan:

deducir que también Quique sería culpable, generándose una contradicción, pues solo debe haber un culpable. Conclusión: Pepe miente y Raúl dice la verdad. Así solo queda como culpable Quique. Rpta.: Quique

¾¾ Alan: En este colegio todos mienten. ¾¾ Carlos: Para ser honestos, solo Alan miente.

Indagando, luego con sus profesores, se percató que solo uno de ellos decía la verdad. ¿Quién miente?



Resolución



Si suponemos que el que dice la verdad es Alan, entonces, de acuerdo a lo mencionado, también debería estar mintiendo, lo cual es contradictorio, pues hemos supuesto que dice la verdad, por lo tanto, Alan está mintiendo, lo cual se corrobora con lo dicho por Carlos y los profesores. Entonces, Carlos es el que dice la verdad. Rpta.: Alan

3. Cuatro hermanas observan un dado colocado sobre una mesa. Curiosamente todas observan solo tres caras del mismo (ver figura).





Si de las cuatro hermanas, solo dos dicen siempre la verdad y las otras dos siempre mienten, ¿qué puntaje se observa en la cara lateral del dado mostrado en la figura?



Resolución



Se observa que Diana reafirma lo que dice Betty, por lo cual ambas dicen la verdad o ambas mienten. Si ambas dijeran la verdad, entonces, el enunciado de Carla sería falso, por lo que en la cara lateral debería aparecer un número mayor que seis, lo cual en un dado común es imposible. Por lo tanto, Betty y Diana deben estar mintiendo. Como Ana y Carla dicen la verdad, se deduce que en las caras frontal y superior deben ubicarse los números 2 y 3, y en la cara lateral debe estar el 5 para hacer verdadero todo el suceso. Rpta.: Cinco

2. Cuatro sospechosos de haber cometido un delito fueron interrogados por la policía, siendo sus testimonios simples y concretos: ¾¾ Pepe: Raúl es el culpable. ¾¾ Quique: Yo no cometí el delito. ¾¾ Raúl: Pepe miente al decir que fui yo. ¾¾ Sergio: Quique está diciendo la verdad.

Si solo uno de ellos dice la verdad y solo hay un culpable, ¿quién es el culpable?



Resolución



De los enunciados vertidos se nota que Pepe y Raúl se contradicen, por lo cual uno de ellos debe decir la verdad y el otro debe estar mintiendo. Si suponemos que Pepe dice la verdad, entonces Raúl sería el culpable y los tres acusados restante estarían mintiendo, lo cual haría



Ellas afirman: ¾¾ Ana: Solo observo números primos. ¾¾ Betty: El seis aparece en la cara superior. ¾¾ Carla: Los puntos de las caras frontal y superior no suman los puntos de la cara lateral. ¾¾ Diana: Lo que dice Betty es cierto.



193

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Razonamiento Matemático

4. En un determinado pueblo existen dos tipos de personas: los veris que siempre dicen la verdad y los falsis que siempre mienten. Cierto día, un extranjero se encontró en un paraje con tres nativos de este pueblo: A, B y C, y les preguntó si decían la verdad, a lo cual sus respuestas fueron:

5. Cuatro amigos, Mario, Nicole, Olga y Pedro, se sentaron en fila en cuatro asientos numerados del 1 al 4 de izquierda a derecha. Ellos mencionan: ¾¾ Nicole: Yo estoy sentada entre un varón y Olga. ¾¾ Pedro: Yo estoy sentado en la silla número 2. ¾¾ Mario: Yo estoy sentado en la silla número 3.

¾¾ A: Los tres presentes mienten. ¾¾ B: Solo dos, de los tres presentes, mienten. ¾¾ C: Solo uno, de los tres presentes, miente.

El extranjero analizó lógicamente lo dicho por los nativos y se percató quiénes eran veris y quiénes falsis, ¿cuántos de los tres nativos eran falsis?



Resolución



De acuerdo a lo dicho, A debe ser falsi, pues si no, su enunciado sería contradictorio. Ahora suponemos que B es veri, lo cual haría que C sea falsi, comprobando su enunciado y a su vez haría válido el enunciado de C que debe ser falso, comprobando la existencia de dos falsis entre los tres nativos entrevistados. Rpta.: 2 falsis



Si se sabe que lo dicho por Nicole y por Mario es falso y lo dicho por Pedro es verdadero, ¿quién se ubica en la silla número 3?



Resolución



Como lo dicho por Nicole es falso, entonces, no debe sentarse entre un varón y Olga. Pedro debe ubicarse en la silla número 2.



Como lo dicho por Mario es falso, le queda como posibles ubicaciones las sillas 1 o 4, del siguiente modo:





N.° 1

N.° 2

N.° 3

N.° 4

Nicole

Pedro

Olga

Mario

N.° 1

N.° 2

N.° 3

N.° 4

Mario

Pedro

Olga

Nicole

En ambas distribuciones la silla número 3 es ocupada por Olga. Rpta.: Olga

194

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Razonamiento Matemático

PRÁCTICA PARA A CLASE 1. Los hermanos Lilo y Lulo tienen una extraña característica; uno de ellos gusta mentir lunes, miércoles y viernes y dice la verdad los otros días, y el otro falta a la verdad martes, jueves y sábado y dice la verdad los otros días. Cierto día Juanito, amigo de ellos, escuchó la siguiente conversación:

3. Cinco guitarristas dicen tener guitarras eléctricas de diferentes marcas y modelos (Gibson, Fender, Ibanez, Cort, etc.), las cantidades son 2; 4; 6; 8 y 10, respectivamente. Se sabe que cada uno dijo:  Peter Neyra: Yo tengo 6 guitarras.  Carlos Jiménez: Yo tengo 10 guitarras.

 Lilo: Hoy es domingo.

 Roberto Díaz: Carlos tiene 4 guitarras.

 Héctor: Ayer fue domingo.

 Miguel Misol: Yo tengo 8 guitarras.

 Lilo: Es verano.

 Jimy Gamarra: Yo tengo 4 guitarras.

Juanito, sabiendo las extrañas características de sus amigos, afirmó que A) es un domingo de verano. B) es un lunes de verano. C) es lunes pero no es verano. D) no se puede saber si es lunes o domingo. E) es domingo pero no es verano.

2. Cuatro amigas de promoción de colegio, deciden reunirse para reencontrarse después de haber egresado del colegio, cada una de ellas van con lentes oscuros y deciden reunirse en un restaurant de la Calle de las Pizzas. El mozo, muy cordialmente las saluda y al verlas, pregunta lo siguiente: “Señoritas, si no es indiscreción, ... ¿me podrían decir el color de sus ojos?” Ellas responden así:  Katty: Yo no tengo ojos azules.  Lina: Yo no tengo ojos pardos.  Valy: Yo tengo ojos pardos.



Si solamente una de ellos miente y las otras dicen la verdad, ¿cuántas guitarras tienen juntos Peter Neyra, Roberto Díaz y Jimy Gamarra? A) 18 B) 14 C) 12 D) 16 E) 22

4. Al estreno de “Toy Story 4” deciden ir: Consuelo García y sus hijos, Junior, Javier Ángel y Gabriela; están sentados en una fila de cuatro sillas numeradas en orden consecutivo del 8 al 11. En ese precio instante, llega también al cine el tío Enrique, los mira y dice:

“Junior está al lado de Javier Ángel”. “Consuelo está entre Junior y Javier Ángel”. Pero sucede que las dos afirmaciones que hizo el tío Enrique, son falsas. En realidad, Junior está en la silla numerada con el 10. ¿Quién está en la silla numerada con el 9? A) Marcos D) Gabriela

B) Junior C) Consuelo E) Tío Enrique

 Chechy: Yo no tengo ojos verdes.

Si se sabe que solo una tiene ojos azules y las demás tienen ojos pardos, y que solo una de las afirmaciones es incorrecta, ¿quién tiene ojos azules? A) Chechy D) Katty

B) Lina E) Ninguna

C) Valy

5. En el aula de la academia, se sabe que Luis siempre dice la verdad y que Carlos siempre miente. Ambos, después de terminada la clase de su profesor Patosky de RM, comentan lo siguiente:  Luis: No es verdad que María no ha perdido un lapicero. 195

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Razonamiento Matemático

 Carlos: No estoy mintiendo al decir que Juan no se encontró un lapicero.

¿Cuál de las alternativas siguientes, es la proposición correcta? A) María no perdió un lapicero y Juan se encontró un lapicero. B) María no perdió un lapicero y Juan se encontró el lapicero de María. C) María no perdió un lapicero y Juan no se encontró un lapicero. D) María perdió un lapicero y Juan se encontró un lapicero. E) María perdió un lapicero y Juan no encontró el lapicero de María.

6. Los habitantes de un pueblo agricultor tenían una rara costumbre, indefectiblemente los meses de mayor lluvia (marzo, junio y noviembre) siempre decían mentiras y los demás meses de sequía decían la verdad. En una oportunidad llegó un misionero que se había extraviado años atrás, y sabiendo de la rara costumbre del pueblo entabló la siguiente conversación con un habitante, con la finalidad de saber en qué mes se encontraba. Esta fue dicha conversación:



7. En un concurso de poesía en la cual participa Daniel, Carlos, Beto y Abel se les asigna a cada uno los números 2; 3; 5 y 7 además se tienen las siguientes afirmaciones:  Abel tiene un número que es la semisuma de los números asignados a Beto y Carlos.  Carlos tiene asignado el número 5.  Abel no tiene asignado el número 5.

Si solo una de las afirmaciones es verdadera, calcule la diferencia positiva de los números asignados a Beto y Abel. A) 5 B) 2 C) 1 D) 4 E) 3

8. En un planeta muy lejano el año tiene 730 días. En cada dia del año, cada habitante de dicho planeta miente o dice la verdad durante todo el día (ten presente que la cantidad de días en que se miente o en que se dice la verdad puede ser cero). A un habitante se le hizo, cada día del año, la siguiente pregunta: “¿Cuántos días mientes en el año?”, el habitante respondió:

 Misionero: ¿Estamos en el mes de noviembre?



En el primero día: Yo miento por lo menos un día del año.

 Poblador: Sí.



 Misionero: ¿Podré visitarlos en el próximo mes?

En el segundo día: Yo miento por lo menos dos días del año.



 Poblador: No, porque es Abril, mes de inundaciones.

En el tercer día: Yo miento por lo menos tres días del año.



Y así sucesivamente todos los días del año.



¿Cuántos días en el año miente dicho habitante?

¿En qué mes ocurre dicha conversación? A) Enero C) Junio E) Setiembre

196

B) Marzo D) Noviembre

A) 368 días C) 365 días E) 366 días

B) 364 días D) 367 días

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Razonamiento Matemático

ASESORÍA 1. Cuatro alumnas, María, Lucía, Irene y Flora, responden un examen de tres preguntas de la siguiente manera:



Pregunta María Lucía Irene Flora 1 V V F F 2 V F F V 3 F F V F Si se sabe que una de ellas contestó todas las preguntas correctamente, que otra falló en todas y que las otras dos fallaron solo en una cada una, ¿quién acertó en todas las preguntas? A) María D) Flora



— Gustavo: “Yo me robé la computadora”. — Santiago: “Eso es verdad”. — Pepe: “Yo no me llevé la computadora”.



Si solo uno de ellos se robó la computadora y solo uno dice la verdad, ¿quién se robó la computadora? A) Gustavo B) Santiago C) Pepe D) El policía E) Solo Periquito sabe



ca

El diamante no está aquí

Caja

e

verd

El diamante está aquí

Caja

B) Blanca E) A o C

C) Roja

4. Cuatro billetes de S/50; S/200; S/100 y S/20 están depositados en cuatro cajas cerradas. En cada una de estas hay un letrero como muestra la ilustración.



Aquí hay S/50

Aquí hay S/100

En la caja I hay S/20

Aquí hay S/20

Caja I

Caja II

Caja III

Caja IV

Si en cada caja hay solo un billete y de las inscripciones solamente una es falsa, ¿cuánto suman las cantidades de las cajas I y III? A) S/120 D) S/ 150

B) S/70 E) S/250

C) S/300

5. Dos personajes del cuento “Alicia en el país de las maravillas”, el león y el unicornio, tienen una rara característica: uno de ellos miente lunes, miércoles y viernes y dice la verdad los otros días; mientras que el otro miente martes, jueves y sábados y dice la verdad los otros días. Cuando Alicia les pregunta que día era, le respondieron: ¾¾ León: “Hoy es domingo”. ¾¾ Unicornio: “Ayer fue domingo”. ¾¾ León: “Estamos en primavera”.

3. Hay un diamante y tres cajas cerradas de diferente color, rotuladas con los siguientes enunciados: blan

Si solo uno de los enunciados rotulados es verdadero, ¿en qué caja está el diamante? A) Verde D) Negra



B) Lucía C) Irene E) Faltan datos

2. La policía detuvo a tres sospechosos del robo de una computadora. Al ser interrogados respondieron de la siguiente manera:

Caja



roja

Alicia pudo deducir correctamente que A) es un domingo de primavera. B) es un lunes de primavera. C) es un lunes, pero no de primavera. D) es un domingo, pero no de primavera. E) es un lunes de verano.

El diamante no está en la caja verde

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Razonamiento Matemático

6. Marco, Luis, Ignacio y Leonardo son acusados de cometer un delito, por lo cual son sometidos a un interrogatorio y el acta consigna la siguiente manifestación: ¾¾ Marco: “Fue Luis”. ¾¾ Leonardo: “Luis miente”. ¾¾ Ignacio: “Yo no fui, soy inocente”. ¾¾ Luis: “El delito lo cometió Leonardo”. Si se sabe que solo uno de ellos miente, ¿quién cometió el delito? A) Leonardo B) Ignacio C) Luis D) Marco E) Falta información

HELICODESAFÍO 1. Cuatro “hackers” son sospechosos de haber introducido un ultravirus en la internet por lo que al ser interrogados por la policía contestaron: ¾¾ Felipe: “Hernán participó”. ¾¾ Hernán: “Víctor participó”. ¾¾ Víctor: “Hernán miente”. ¾¾ Jesús: “Yo no participé”. Si el único inocente es el único que dice le verdad, ¿quién es? A) Felipe D) Jesús

B) Hernán C) Víctor E) No se puede determinar

2. Un pueblo estaba dividido en dos bandos, A y B. Los de A decían siempre la verdad y los de B siempre mentían. En cierta ocasión llegó un turista a las afueras del pueblo y encontró un grupo de tres personas. Preguntó a uno de ellos de qué barrio era y no entendió la contestación, entonces el turista preguntó a los otros dos, “¿qué ha dicho?”. ¾¾ La segundo persona le dijo: “Ha dicho que es de A”. ¾¾ La tercera persona le dijo: “Ha dicho que es de B”.

198



¿Cuál de estas personas es la embustera? A) La primera B) La segunda C) La tercera D) Ninguna E) Faltan datos para decidir

3. Liliana, Paulina, Sara y Maribel participaron en un concurso de equitación. Cuando un periodista que había llegado tarde les preguntó en qué puestos habían llegado, respondieron así: ¾¾ Liliana: “Maribel fue primera y Paulina fue segunda”. ¾¾ Paulina: “Maribel fue segunda y Sara fue tercera”. ¾¾ Maribel: “Sara fue última y Liliana fue segunda”.

Si cada una dijo una verdad y una mentira, ¿quién ganó el concurso? A) Liliana B) Paulina C) Sara D) Maribel E) No se puede determinar

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4. De A, B y C se sabe que dos de ellas tienen ojos verdes y la otra ojos azules. Si las personas que tienen ojos verdes mienten y la que tiene ojos azules dice la verdad y sabiendo que A dijo: “B tiene ojos azules”, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. A y B tienen ojos verdes. II. A y C tienen ojos verdes. III. A dijo la verdad. IV. A miente. V. B y C tienen ojos verdes. A) II y III D) IV y V

B) I y III E) I y IV

C) II y IV

Razonamiento Matemático

5. Nilda, Lucía, Miriam, Sonia y Ángela son amigas y se sabe que solo una de ellas es casada. Al preguntárseles quién es la casada, ellas respondieron: ¾¾ Nilda: “Lucía es la casada”. ¾¾ Lucía: “Miriam es la casada”. ¾¾ Miriam: “Ángela es la casada”. ¾¾ Sonia: “Yo no soy la casada”. ¾¾ Ángela: “Miriam mintió cuando dijo que yo soy casada”. Si solamente es cierta una de las afirmaciones, ¿quién es la casada? A) Lucía D) Sonia

B) Miriam E) Ángela

C) Nilda

TAREA DOMICILIARIA 1. En una evaluación en la que participan tres estudiantes, A, B y C, respondieron tres preguntas de la siguiente manera A

B

C

1.a

V

V

F

a

V

F

F

a

F

F

V

2.

3.

Si se sabe que uno de ellos contesta todas las preguntas correctamente, otro falló en todas y el tercero falló en una, ¿quién falló en todas las preguntas? A) A B) B C) C D) Faltan datos E) Ninguna de las anteriores

2. Miguel, Mario, Fernando y David son sospechosos de haber robado una billetera en una reunión a la cual los cuatro habían asistido. Cuando se les interrogó acerca del robo, ellos afirmaron lo siguiente: ¾¾ Miguel: “Yo no fui”. ¾¾ Fernando: “ Mario fue”. ¾¾ Mario: “Fernando miente al decir que fui yo”. ¾¾ David: “Yo la robé”.

Si se sabe que solo uno robó la billetera y que tres mienten, ¿quién dice la verdad? A) Miguel B) Mario C) David D) Fernando E) David y Fernando

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Razonamiento Matemático

3. Karyn y Katherin son gemelas, las cuales señalan lo siguiente: ¾¾ “Yo soy Karyn”, dice una de ellas. ¾¾ La otra comenta: “Si lo que ella dice es cierto, yo soy Katherin”. Si una de las dos miente y la otra nunca lo hace, indique el nombre de la sincera. A) Karyn C) Karina E) N. A.

B) Katherin D) Faltan datos

4. Un individuo miente siempre los martes, jueves y sábados y es completamente veraz los demás días. Cierto día mantiene el siguiente diálogo con una dama: ¾¾ Pregunta la dama: “¿Qué día es hoy?”. ¾¾ Responde el individuo: “ Sábado”. ¾¾ Pregunta la dama: “¿Qué día será mañana?”. ¾¾ Responde el individuo: “Miércoles”. ¿De qué día de la semana se trata? A) Martes D) Viernes

200

B) Miércoles C) Jueves E) Domingo

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5. Un juez estaba convencido que tres de los cuatro sospechosos: Lenin, Rony, Peter y Daga, eran los asesinos de “Nemesio”. Cada delincuente hizo una afirmación, pero solo una de las cuatro afirmaciones es verdadera. ¾¾ Lenin dijo: “Yo no lo maté”. ¾¾ Rony dijo: “Lenin miente”. ¾¾ Peter dijo: “Rony miente”. ¾¾ Daga dijo: “Rony lo mató”. ¿Quién no es el asesino? A) Lenin D) Daga

B) Rony E) N. A.

C) Peter

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Razonamiento Matemático

TAREA SEMANAL 1. Los alumnos Abel, Juan y Darío, responden una evaluación de tres preguntas. Cada pregunta tiene dos posibles respuestas, verdadero (V) o falso (F). Sus respuestas se muestran en el cuadro adjunto.



1.a pregunta 2.a pregunta

Abel V F

Juan F V

Darío F V

3.a pregunta

V

V

F

Se sabe que uno de ellos contestó correctamente todas las preguntas, otro se equivocó en todas sus respuestas y el tercero falló solo en una respuesta. ¿Cuál fue el orden de mérito de dichos alumnos? A) Darío, Juan y Abel B) Darío, Abel y Juan C) Juan, Darío y Juan D) Abel, Juan y Darío E) N. A.

2. Pepe se encuentra después de tiempo con dos hermanos gemelos y les pregunta sus nombres, a lo cual responde: “Yo soy Pepe”, “Yo soy Pipo”, “Sí, lo que él dice es verdad”. Si se sabe que uno de ellos miente, ¿quién dijo la verdad? A) Pipo

B) Pepe

C) Ninguno

3. El señor Carpintero, el señor Mayordomo, el señor Ingeniero y el señor Lechero están empleados como carpintero, mayordomo, ingeniero y lechero, aunque sus nombres no corresponden con sus profesiones. Ellos afirman lo siguiente: ¾¾ Sr. Carpintero: “Yo soy el lechero”. ¾¾ Sr. Ingeniero: “Yo soy el carpintero”. ¾¾ Sr. Mayordomo: “Yo no soy el lechero”. ¾¾ Sr. Lechero: “Yo no soy el mayordomo”.



Si tres de las cuatro afirmaciones son falsas, ¿quién es el ingeniero? A) Sr. Carpintero C) Sr. Ingeniero E) F.D.

B) Sr. Mayordomo D) Sr. Lechero

4. En una isla viven tres razas exactamente iguales, excepto por su actitud ante la verdad. Un azul siempre dice la verdad, un blanco siempre miente y un rosado dice la verdad y miente alternadamente. Un visitante se acercó a un grupo de tres nativos cuyos nombres son: Sr. Rosado, Sr. Blanco y Sr. Azul y, casualmente, hay uno de cada raza. Tomando al Sr. Rosado a un lado el visitante le dijo: “¿Es Ud. rosado, blanco o azul?”. “Yo soy rosado”, le contestó. “¿Y el Sr. Blanco?” “Es el blanco”. “Entonces, el Sr. Azul es el azul?” “Usted lo ha dicho”. ¿Es el Sr. Azul el azul?, si no lo es, ¿entonces quién lo es? A) Azul C) Blanco E) Negro

B) Rosado D) Rojo

5. En una cierta isla, los creyentes del dios Poder siempre mienten y los no creyentes siempre dicen la verdad. Un extranjero llega a la isla y se encuentra con cinco nativos del lugar. Pregunta al primero de ellos si es creyente del dios Poder. Este responde a la pregunta; el segundo, el tercero y el cuarto informan que el primero negó ser creyente, pero el quinto informa que el primero es realmente creyente. ¿Cuántos de los cinco nativos son creyentes del dios Poder? A) 1 B) 3 C) 5 D) 4 E) 2

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