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Análisis Matricial de Estructuras. Introducción a Elementos finitos.

1

EJEMPLO DE APLICACIÓN. Para el pórtico mostrado en la figura, 12 Tn.

C30X30

C30X30

C30X30

V 30X40 2.50

5 Tn. C30X30

C30X30

V 30X40

C30X30

V 30X40

4.50

2.50

4.50

cuyas vigas son de 30x40 cm. y las columnas son de 30x30 de concreto de f'c = 210 kg/cm2, además E=217370.6 kg/cm2. Considere que todos los elementos (vigas y columnas) son axialmente rígidos. Se pide calcular: a) La matriz de rigidez reducida de las vigas y columnas. b) La matriz de rigidez reducida de toda la estructura, necesaria para calcular desplazamiento ante fuerzas laterales. (rigidez lateral) c) Calcule el desplazamiento en el primer y segundo nivel para una fuerza de sismo de:  5 t. en el primer nivel  12 t. en el segundo nivel d) Verifique los desplazamientos obtenidos de acuerdo a la norma E.030 del RNE. Realice un breve comentario.(considere R= 8) SOLUCION: El proceso de cálculo, se inicia con la numeración adecuada de los nudos y barras, así mismo adoptando la dirección local de cada una de las barras, generalmente esta dirección es de acuerdo a la numeración adoptada de los nudos (nudo con numeración menor a nudo con numeración mayor). 7

9

4

8

10

9

5 4

5 7

1

3

2.50

6

2

4.50

2.50

8

2

1

6

3

4.50

Alder Jhosué Quispe Panca

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2

Primeramente, se obtiene la matriz de transformación de coordenadas (L), que permitirá cambiar coordenadas locales de las barras a coordenadas globales. Así mismo la transpuesta de la matriz de transformación permitirá hacer lo contrario (global a local). Para ello, utilizaremos la expresión, obtenida anteriormente:

 cos  x cos  y   0 T   0  0   0

 cos  y cos  x 0 0

0 0 0 0 1 0 0 cos  x

0 0 0  cos  y

0 0

0 cos  y 0 0

cos  x 0

0 0  0  0 0  1

Aplicando la expresión anterior para las columnas donde   90 se tiene

0 1 1 0  0 0 TC   0 0 0 0  0 0

0  0 1 0 0 0 0   1 0 0 0 0 0  0     0 0 0 1 0 0 0 T  y su transpuesta es TC    0  0 0 0 0 1 0  0 0 0 1 0 0  0 1 0 0    0 0 0 1  0 0 0 0 0 1 De igual modo para las vigas (   0 ). En el caso de las vigas no es necesario realizar la 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

transformación de coordenadas debido a que las coordenadas locales y globales coinciden.

1 0  0 TV   0 0  0

0 1 0 0  0 1 0 0  0 0 1 0 T  y su transpuesta es TV   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0   0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0  0  0 0 1 0  0 0 1

0 0 0 1

0 0 0 0

Así mismo, se obtiene la matriz de rigidez local de cada barra, con la expresión:

 AE  L   0    0  k    AE   L   0    0

0

0

12EI L3 6EI L2

6EI L2 4EI L

0

0

12EI L3 6EI L2

6EI L2 2EI L





AE L 0 0

AE L 0 0

0 12EI L3 6EI  2 L



0 12EI L3 6EI  2 L

 0   6EI  L2  2EI  L   0   6EI   2  L  4EI  L  Alder Jhosué Quispe Panca

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3

A fin de facilitar la construcción de la matriz de rigidez local, se hará uso de la tabla siguiente: RIGIDEZ DE VIGAS BARRA

A

I

L

Base = 30

E

AE/L

12EI/L

3

Peralte= 40

6EI/L

2

4EI/L

2EI/L

VIGAS 1200 160000 250 21737.06 104337.89 2671.05 333881.24 55646873.60 27823436.80

Obteniéndose la matriz de rigidez:  104337.89 0.00 0.00 104337.89 0.00 0.00   0.00 2671.05 333881.24 0.00 2671.05 333881.24   0.00 333881.24 55646873.60 0.00 333881.24 27823436.80   V  104337.89 0.00 0.00 104337.89 0.00 0.00  0.00 2671.05 333881.24 0.00 2671.05 333881.24    0.00 333881.24 27823436.80 0.00 333881.24 55646873.60

k 

De igual modo para las columnas se tiene: RIGIDEZ DE COLUMNAS BARRA

A

I

L

E

Base = 30 AE/L

12EI/L

3

Peralte= 30

6EI/L

2

4EI/L

2EI/L

COLUMNAS 900 67500 450 21737.06 43474.12 193.22 43474.12 13042236.00 6521118.00  43474.12 0.00 0.00 43474.12 0.00 0.00   0.00 193.22 43474.12 0.00 193.22 43474.12    0.00 43474.12 13042236.00 0.00 43474.12 6521118.00   C  43474.12 0.00 0.00 43474.12 0.00 0.00  0.00 193.22 43474.12 0.00 193.22 43474.12     0.00 43474.12 6521118.00 0.00 43474.12 13042236.00 

k 

Se Convierte la matriz de rigidez local a global, aplicando la siguiente expresión:

 K   T    k   T 

T

donde:

 k  = matriz de rigidez local de las barras.  K  = matriz de rigidez global de las barras. T  = matriz de transformación de las barras. T T  = transpuesta de la matriz de transformación de las barras.

Obteniéndose la matriz de rigidez global de cada columna y viga: 1X

1Y

R1

4X

4Y

R4

2671.05 0.00 333881.24 2671.05 0.00 333881.24  1X   0.00 104337.89 0.00 0.00 104337.89 0.00  1Y   333881.24 0.00 55646873.60 333881.24 0.00 27823436.80  R1  K C1    0.00 333881.24 2671.05 0.00 333881.24  4X  2671.05  0.00 104337.89 0.00 0.00 104337.89 0.00  4Y   0.00 27823436.80 333881.24 0.00 55646873.60  R4  333881.24

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2X

2Y

R2

5X

5Y

4 R5

 K C 2

2671.05 0.00 333881.24 2671.05 0.00 333881.24  2X   0.00 104337.89 0.00 0.00 104337.89 0.00  2Y   333881.24 0.00 55646873.60 333881.24 0.00 27823436.80  R2   0.00 333881.24 2671.05 0.00 333881.24  5X  2671.05  0.00 104337.89 0.00 0.00 104337.89 0.00  5Y   0.00 27823436.80 333881.24 0.00 55646873.60  R5  333881.24

 K C 3

2671.05 0.00 333881.24 2671.05 0.00 333881.24  3X   0.00 104337.89 0.00 0.00 104337.89 0.00  3Y   333881.24 0.00 55646873.60 333881.24 0.00 27823436.80  R3   0.00 333881.24 2671.05 0.00 333881.24  6X  2671.05  0.00 104337.89 0.00 0.00 104337.89 0.00  6Y   0.00 27823436.80 333881.24 0.00 55646873.60  R6  333881.24

3X

3Y

R3

6X

6Y

R6

4X

4Y

R4

7X

7Y

R7

 K C 4

2671.05 0.00 333881.24 2671.05 0.00 333881.24  4X   0.00 104337.89 0.00 0.00 104337.89 0.00  4Y   333881.24 0.00 55646873.60 333881.24 0.00 27823436.80  R4   0.00 333881.24 2671.05 0.00 333881.24  7X  2671.05  0.00 104337.89 0.00 0.00 104337.89 0.00  7Y   0.00 27823436.80 333881.24 0.00 55646873.60  R7  333881.24

 K C 5

2671.05 0.00 333881.24 2671.05 0.00 333881.24  5X   0.00 104337.89 0.00 0.00 104337.89 0.00  5Y   333881.24 0.00 55646873.60 333881.24 0.00 27823436.80  R5   0.00 333881.24 2671.05 0.00 333881.24  8X  2671.05  0.00 104337.89 0.00 0.00 104337.89 0.00  8Y   0.00 27823436.80 333881.24 0.00 55646873.60  R8  333881.24

 K C 6

5X

5Y

R5

8X

8Y

R8

6X

6Y

R6

9X

9Y

R9

2671.05 0.00 333881.24 2671.05 0.00 333881.24  6X   0.00 104337.89 0.00 0.00 104337.89 0.00  6Y   333881.24 0.00 55646873.60 333881.24 0.00 27823436.80  R6   0.00 333881.24 2671.05 0.00 333881.24  9X  2671.05  0.00 104337.89 0.00 0.00 104337.89 0.00  9Y   0.00 27823436.80 333881.24 0.00 55646873.60  R9  333881.24

Alder Jhosué Quispe Panca

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4X

 K V 7

5Y

R5

5Y

R5

6X

6Y

7Y

R7

8X

8Y

8Y

R8

9X

9Y

4X 4Y R4 5X 5Y R5

R6 5X 5Y R5 6X 6Y R6

R8

0.00 0.00 43474.12 0.00 0.00   43474.12  0.00 193.22 43474.12 0.00 193.22 43474.12    0.00 43474.12 13042236.00 0.00 43474.12 6521118.00    0.00 0.00 43474.12 0.00 0.00   43474.12  0.00 193.22 43474.12 0.00 193.22 43474.12    0.00 43474.12 6521118.00 0.00 43474.12 13042236.00   8X

 K V 10

5X

0.00 0.00 43474.12 0.00 0.00   43474.12  0.00 193.22 43474.12 0.00 193.22 43474.12    0.00 43474.12 13042236.00 0.00 43474.12 6521118.00    0.00 0.00 43474.12 0.00 0.00   43474.12  0.00 193.22 43474.12 0.00 193.22 43474.12    0.00 43474.12 6521118.00 0.00 43474.12 13042236.00   7X

 K V 9

R4

0.00 0.00 43474.12 0.00 0.00   43474.12  0.00 193.22 43474.12 0.00 193.22 43474.12    0.00 43474.12 13042236.00 0.00 43474.12 6521118.00   0.00 0.00 43474.12 0.00 0.00   43474.12  0.00 193.22 43474.12 0.00 193.22 43474.12    0.00 43474.12 6521118.00 0.00 43474.12 13042236.00   5X

 K V 8

4Y

5

7X 7Y R7 8X 8Y R8

R9

0.00 0.00 43474.12 0.00 0.00   43474.12  0.00 193.22 43474.12 0.00 193.22 43474.12    0.00 43474.12 13042236.00 0.00 43474.12 6521118.00    0.00 0.00 43474.12 0.00 0.00   43474.12  0.00 193.22 43474.12 0.00 193.22 43474.12    0.00 43474.12 6521118.00 0.00 43474.12 13042236.00  

8X 8Y R8 9X 9Y R9

En las matrices dadas se ha sombreado, aquellos grados de libertad que van a ser eliminados, por condición del problema que manifiesta que las vigas y columnas son axialmente rígidas (no tienen deformación axial). Así por ejemplo, en la columna 1 tenemos que: en el nudo inicial 1 y nudo final 4 no tendrán deformación en la dirección del eje global “y”, por lo cual son eliminados. Así mismo se tiene, por ejemplo en la barra 10 que es una viga. En el nudo inicial 8 y final 9, no existirá deformación por cuanto las columnas y vigas son axialmente rígidas, por tanto, éstas filas y columnas respectivas se suprimen. De similar forma se realiza este procedimiento en todos los demás elementos del pórtico. Eliminando las columnas y filas correspondientes se obtienen las siguientes matrices reducidas para cada elemento:

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6

1X R1 N1 R4  2671.05 333881.24 2671.05 333881.24  N1 R4   333881.24 55646873.60 333881.24 27823436.80   2671.05 333881.24 N1   K C1     2671.05 333881.24 2671.05 333881.24  333881.24 55646873.60 R4    333881.24 27823436.80 333881.24 55646873.60  2X R2 N1 R5  2671.05 333881.24 2671.05 333881.24  N1 R5    N1  333881.24 55646873.60 333881.24 27823436.80 2671.05 333881.24   K C 2     2671.05 333881.24 2671.05 333881.24  333881.24 55646873.60R5    333881.24 27823436.80 333881.24 55646873.60  3X R3 N1 R6  2671.05 333881.24 2671.05 333881.24  N1 R6   333881.24 55646873.60 333881.24 27823436.80   2671.05 333881.24  N1   K C 3     2671.05 333881.24 2671.05 333881.24  333881.24 55646873.60 R6    333881.24 27823436.80 333881.24 55646873.60 

En las matrices dadas se ha marcado con rojo, los grados de libertad que son restringidos por condiciones de apoyo. Así por ejemplo en la columna 1 en su nudo inicial 1 no existe desplazamiento ni rotación. Así mismo por condición del problema (vigas y columnas axialmente rígidas), entonces en el primer nivel todos los desplazamientos son iguales. Lo mismo ocurre en el segundo nivel. Lo cual implica que: U4x, U5x, U6x son iguales, por lo cual se planteará que todos sean igual a N1 U7x, U8x, U9x son iguales, por lo cual se planteará que todos sean igual a N2 donde: N1=desplazamiento lateral del nivel 1 N2=desplazamiento lateral del nivel 2

 K C 4

N1

R4

N2

R7

N1

R5

N2

R8

N1

R6

N2

R9

R4

R5

2671.05 333881.24 2671.05 333881.24  N1   333881.24 55646873.60 333881.24 27823436.80 R4    2671.05 333881.24 2671.05 333881.24  N2    333881.24 27823436.80 333881.24 55646873.60 R7

 K C 5

2671.05 333881.24 2671.05 333881.24 N1   333881.24 55646873.60 333881.24 27823436.80 R5    2671.05 333881.24 2671.05 333881.24 N2   R8  333881.24 27823436.80 333881.24 55646873.60

 K C 6

2671.05 333881.24 2671.05 333881.24 N1   333881.24 55646873.60 333881.24 27823436.80 R6    2671.05 333881.24 2671.05 333881.24 N2    333881.24 27823436.80 333881.24 55646873.60 R9

 K V 7

13042236.00 6521118.00  R4    6521118.00 13042236.00  R5

Alder Jhosué Quispe Panca

Pág.

Análisis Matricial de Estructuras. Introducción a Elementos finitos.

R5

7

R6

 K V 8

13042236.00 6521118.00  R5   R6  6521118.00 13042236.00 

 K V 9

13042236.00 6521118.00  R7   R8  6521118.00 13042236.00 

 K V 10

13042236.00 6521118.00  R8    6521118.00 13042236.00  R9

R7

R8

R8

R9

Luego, ensamblado la matriz de rigidez global de cada barra, en un sola para toda la estructura, obtenemos la matriz de rigidez global del sistema estructural: N1

 16026.30   8013.15  0.00  0.00  K    0.00   333881.24   333881.24  333881.24

N2

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R8

R9

8013.15 0.00 0.00 0.00 333881.24 333881.24 333881.24  N1  8013.15 333881.24 333881.24 333881.24 333881.24 333881.24 333881.24  N2 333881.24 124335983.20 6521118.00 0.00 27823436.80 0.00 0.00  R4  333881.24 6521118.00 137378219.20 6521118.00 0.00 27823436.80 0.00  R5 333881.24 0.00 6521118.00 124335983.20 0.00 0.00 27823436.80  R6  333881.24 27823436.80 0.00 0.00 68689109.60 6521118.00 0.00  R7  333881.24 0.00 27823436.80 0.00 6521118.00 81731345.60 6521118.00 R8 333881.24 0.00 0.00 27823436.80 0.00 6521118.00 68689109.60  R9

En la cual identificamos las submatrices correspondientes:

 F   K11   0   K 21

K12  U    K 22   

La submatrices correspondientes serán:

K12

K11 N1

 16026.30   8013.15  0.00  0.00  K    0.00   333881.24   333881.24  333881.24

N2

R4

R5

R6

R7

8013.15 0.00 0.00 0.00 333881.24 333881.24 333881.24  N1  8013.15 333881.24 333881.24 333881.24 333881.24 333881.24 333881.24  N2 333881.24 124335983.20 6521118.00 0.00 27823436.80 0.00 0.00  R4  333881.24 6521118.00 137378219.20 6521118.00 0.00 27823436.80 0.00  R5 333881.24 0.00 6521118.00 124335983.20 0.00 0.00 27823436.80  R6  333881.24 27823436.80 0.00 0.00 68689109.60 6521118.00 0.00  R7  333881.24 0.00 27823436.80 0.00 6521118.00 81731345.60 6521118.00 R8 333881.24 0.00 0.00 27823436.80 0.00 6521118.00 68689109.60  R9

K 21

K 22 Alder Jhosué Quispe Panca

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Análisis Matricial de Estructuras. Introducción a Elementos finitos.

8

Aplicando las expresiones correspondientes con las submatrices se tiene: INVERSA DE K22 1.375E-09 -2.124E-10 4.777E-11 -3.237E-10 9.462E-11 -3.720E-11 K12 * INV(K22) 0.00037503 0.001330122

-2.124E-10 9.982E-10 -2.124E-10 9.462E-11 -1.716E-10 9.462E-11 -2.47886E-05 0.000832372

4.777E-11 -2.124E-10 1.375E-09 -3.720E-11 9.462E-11 -3.237E-10

-3.237E-10 9.462E-11 -3.720E-11 2.023E-09 -4.016E-10 1.222E-10

9.462E-11 -1.716E-10 9.462E-11 -4.016E-10 1.341E-09 -4.016E-10

-3.720E-11 9.462E-11 -3.237E-10 1.222E-10 -4.016E-10 2.023E-09

0.00037503 -0.002455213 -0.000758006 -0.002455213 0.001330122 0.002080183 0.000782795 0.002080183

K12 * INV(K22)*K21 7984.34 -6962.75 -6962.75 11882.31

KL=

K11-K12 * INV(K22)*K21 59626.616 -26842.731 esta es la matriz de rigidez lateral. (solamente sometido a fuerzas laterales de sismo) -26842.731 21923.167

Una vez obtenida la matriz de rigidez global del sistema. Se utiliza la expresión F=K x U (ley de Hooke), para obtener los desplazamientos laterales correspondientes: donde: F = matriz de fuerzas aplicadas. K = Matriz de rigidez lateral. U = Matriz de desplazamientos laterales. Despejando se tiene: U = K-1 x F Las fuerzas externas en cada nivel son: FN1 = FN2 =

3000 kg 5000 kg

La inversa de la matriz de rigidez lateral es: INV(KL) 3.74E-05 4.58E-05

4.58E-05 1.02E-04

Alder Jhosué Quispe Panca

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Análisis Matricial de Estructuras. Introducción a Elementos finitos.

9

Aplicando la expresión U = K-1 x F, obtenemos los desplazamientos laterales correspondientes: U = INV(KL) * FN UN1 = UN2 =

0.341 cm 0.645 cm

Los desplazamientos laterales de entrepiso serán los siguientes: Nivel 1 = 0.341 cm. Nivel 2 = 0.645 – 0.341 = 0.304 cm. Los resultados obtenidos, en seguida se verifican aplicando la norma peruana de INGENIERIA SISMORRESISTENTE E.030.

Realizando los cálculos correspondientes se obtiene: ( R=8 ) Desplazamiento Lateral = 0.304 x 0.75 x 8 = 1.824 cm (Aplicación de 16.4 del RNE E.030). Límite de desplazamiento = D/he = 1.824cm. / 250 cm. = 0.0072. COMENTARIO: Se verifica que el límite lateral de desplazamiento según Norma E.030 es 0.007 y lo obtenido por el análisis es 0.0072, la cual ligeramente supera el límite establecido, por lo cual implica que se debe aumentar ligeramente las secciones del pórtico analizado.

Alder Jhosué Quispe Panca