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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA EP-INGENIERIA CIVIL

TRABAJO ENCARGADO Método de Rigidez lateral en estructuras CURSO: Análisis Estructural II AUTOR: Gladys Giovana Ramos Anccota SUPERVISOR: Ing. Alex Sander Mamani Quispe TRABAJO N°1

MOQUEGUA-ILO, NOVIEMBRE 2017

UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROF. INGENIERIA CIVIL

DEDICATORIA A mis padres, porque creyeron en mí y porque me sacaron adelante, dándome ejemplos dignos de superación y entrega, impulsándome en los momentos más difíciles de mi carrera, y porque el orgullo que sienten por mí, fue lo que me hizo ir hasta la conclusión de mi trabajo. Gracias por haber fomentado en mí el deseo de superación y el anhelo de triunfo en la vida. Mil palabras no bastarían para agradecerles su apoyo, su comprensión y sus consejos en los momentos difíciles

ANALISIS ESTRUCTURAL II

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INDICE GENERAL CAPITULO 1 ........................................................................................................................................................................................................................................... 4 1.INTRODUCCION ............................................................................................................................................................................................................. 4 CAPITULO 2 ........................................................................................................................................................................................................................................... 5 2.OBJETIVOS ..................................................................................................................................................................................................................... 5 2.1.GENERAL ................................................................................................................................................................................................................. 5 2.2.ESPECIFICOS .......................................................................................................................................................................................................... 5 CAPITULO 3 ........................................................................................................................................................................................................................................... 6 3.MARCO TEÓRICO........................................................................................................................................................................................................... 6 3.1.CONCEPTOS GENERALES .................................................................................................................................................................................... 6 3.2.RIGIDEZ LATERAL ................................................................................................................................................................................................... 6 3.3. APLICACIONES ...................................................................................................................................................................................................... 6 3.4.SECCION A ANALIZAR ............................................................................................................................................................................................ 6 CAPITULO 4 ........................................................................................................................................................................................................................................... 8 4.EJEMPLOS DE APLICACIÓN ......................................................................................................................................................................................... 8 4.1.EJEMPLO N° 1 ......................................................................................................................................................................................................... 8 4.1.1.PROCEDIMIENTO ............................................................................................................................................................................................. 8 4.2.EJEMPLO N° 2 ....................................................................................................................................................................................................... 20 4.2.1.PROCEDIMIENTO ........................................................................................................................................................................................... 20 CAPITULO 5 ......................................................................................................................................................................................................................................... 29 5.CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES................................................................................................................................................................. 29 5.1.CONCLUSIONES.................................................................................................................................................................................................... 29 5.2.RECOMENDACIONES ........................................................................................................................................................................................... 29 LISTA DE REFERENCIAS ................................................................................................................................................................................................................... 30 ANEXO .................................................................................................................................................................................................................................................. 30

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CAPITULO 1 1.

INTRODUCCION Cuando se habla de solucionar una estructura hablamos de encontrar las relaciones entre las fuerzas aplicadas y las fuerzas de reacción, las fuerzas internas en todos los puntos y las deformaciones. Para estructuras estáticas solo es necesario plantear las ecuaciones de equilibrio para encontrar fuerzas de reacción ya que estas no sobrepasan en número a las ecuaciones de equilibrio. Una vez tengamos las reacciones procedemos a encontrar las fuerzas internas por equilibrio de secciones y de ahí encontramos las deformaciones por los métodos de la doble integración o trabajo virtual. En la solución de estructuras estáticamente indeterminadas tenemos que solucionar simultáneamente las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad de deformaciones y las de relaciones de fuerzas y desplazamientos (leyes constitutivas del material). Observe que para las estructuras estáticas los métodos de encontrar las deformaciones involucran la compatibilidad y las relaciones fuerza-desplazamiento concluyendo que estas ecuaciones se deben cumplir en todo tipo de estructura. La manera como se manipulan estos tres tipos de ecuaciones en el proceso de solución determina el método. Es por eso que en este trabajo hablaremos del método de Rigidez, donde se explicaran los fundamentos básicos para el análisis de estructuras.se mostrara que la aplicación del método, aunque tediosa para hacerla manualmente, resulta muy adecuada para uso de computadora.se proporcionan ejemplos de aplicaciones específicas en armaduras planas Además, el método de Rigidez hace alusión a su nombre porque las ecuaciones finales a solucionar tienen como incógnitas los desplazamientos en función de las rigideces de los elementos. Por consiguiente, el método de la rigidez se trabaja con los desplazamientos en un punto determinado es importante definir lo que es un grado de libertad.

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CAPITULO 2 2.

OBJETIVOS 2.1.

GENERAL Tiene la finalidad de dar a conocer la utilidad del método de rigidez en el análisis matricial de estructuras, como es el caso de las placas y columnas(pórticos) y su importancia en la ejecución de problemas que se le presenten, así como también que el lector tenga una idea básica de cómo trabajan los programas de cómputo de análisis estructural y así poder saber el error o la exactitud de dicho programa, incluyendo los más sofisticados como son los de Elementos Finitos.

2.2.

ESPECIFICOS          

Efectuar el contenido de este método mediante ejemplos. Planteo de fórmulas pertenecientes al método. Utilización del método matricial, tanto en la multiplicación, y la matriz inversa. Hacer del contenido de este trabajo lo mas comprensible. Planteo de soluciones. Verificación de resultados mediante el programa Ftool. Dar pautas de algunos cálculos para evitar problemas en el desarrollo del ejercicio y tener un resultado esperado Calculo de matriz de rigidez lateral. Diferenciar los procedimientos de análisis matricial de una placa con el de una columna. Desarrollar ejemplos que faciliten su comprensión.

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CAPITULO 3 3.

MARCO TEÓRICO 3.1.

CONCEPTOS GENERALES En esencia, este método analiza las estructuras mediante el uso de métodos matriciales. Además puede usarse tanto para analizar estructuras estáticamente determinadas como indeterminadas, inclusive se obtienen los desplazamientos y fuerzas de forma directa. Por lo general es mas fácil formular matrices necesarias para realizar las operaciones del análisis de estructuras Trabaja con los tres tipos de ecuaciones mencionados aplicadas a los nudos de la estructura dejando como incógnitas los desplazamientos de los grados de libertad libres. Notamos que es una forma completamente distinta de trabajar, pero que analizando mas detenidamente es simplemente

.

el método de los nudos

3.2.

RIGIDEZ LATERAL Durante el movimiento de una edificación por la acción sísmica, las solicitaciones sobre aquella son realmente de dirección diversa. Se ha llegado a considerar que el movimiento del suelo tiene seis componentes de movimiento independientes, tres traslacionales y tres rotacionales. Dentro de estas componentes, las traslacionales en las direcciones horizontales suelen ser tomadas en cuenta, en forma independiente, para fines de tener condiciones de carga en los análisis, dado que por lo general son los más importantes. En el caso de un pórtico plano, la sola consideración de un movimiento traslacional de la base implicaría la aparición de acciones de inercia traslacionales y rotacionales. Sin embargo, los giros ocasionados son relativamente pequeños, por lo que las acciones rotacionales también lo son y prácticamente no influyen en los efectos finales sobre la estructura, tanto a nivel de desplazamientos como de fuerzas internas. Por esta razón, se considera una acción de inercia traslacional, por lo que la "fuerza" sísmica tiene, para fines de análisis, un sentido horizontal. Sea el pórtico plano simple, sometido a la acción de una fuerza horizontal F, que representa la acción sísmica. La deformación axial de los elementos no se considera apreciable, de modo que los tres grados de libertad del sistema consisten en un desplazamiento lateral y dos giros en los nudos superiores.

3.3.

APLICACIONES Este método de cálculo es aplicable a estructuras hiperestáticas de barras que trabajan de forma elástica y líneal, incluyendo también estructuras estáticamente indeterminadas. Esta aplicación de cálculo requiere de una transformación de coordenadas para localizar las matrices K. Haciendo falta introducir un algoritmo para encontrar esas matrices en otro sistema de coordenadas. El método de rigidez directa se ejecuta mediante el método de los elementos finitos. En una única ecuación podemos saber el comportamiento interno de la estructura a calcular, siendo así los datos desconocidos para su posterior calculo las fuerzas y desplazamientos aplicados en la estructura, que podremos determinarlos resolviendo la ecuación por medio de este método directo de la rigidez, mediante un programa del ordenador (como puede ser el MATLAB u Octave.)

3.4.

SECCION A ANALIZAR El siguiente trabajo analizara dos secciones de la casa ubicada en los edificios verdes, en dicha casa se encuentran la sección de placa-columna y columna-columna, en el cual se calculará el método de rigidez lateral. En esta vivienda se encuentra proyectada para 3 pisos, ya que actualmente se encuentra en construcción. Además, tiene como propietario a Jaime Valencia Quiroz.

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SECCION PLACA –COLUMNA

SECCION COLUMNA –COLUMNA

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CAPITULO 4 4.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN Se desarrollará dos ejemplos de estructuras aplicando el método de rigidez con el fin de hallar la rigidez lateral de dichas estructuras por medio del análisis matricial, para ello se escogió secciones de una vivienda unifamiliar proyectada para 3 pisos, considerando solo 2 niveles en estos ejemplos. 4.1.

EJEMPLO N° 1 En este ejemplo se presenta una estructura basada en un pórtico unido a una columna en dos dimensiones. Hallar la matriz de rigidez de dicha estructura. Las medidas se encuentran en el siguiente ejercicio. VIGA

COLUMNA

4.1.1.

PROCEDIMIENTO  PASO 1: Para desarrollar considerar solo los ejes de los elementos estructurales. Además de ubicar los nodos respectivos, como se muestra en la siguiente figura:

 PASO 2:

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Se procede a colocar los grados de libertad en cada nodo. Luego se ubica la enumeración de los elementos, es decir miembros en cada barra. Además, es importante tener en cuenta las direcciones de las barras que serán de utilidad más adelante, por lo tanto, se le colocarán, como se muestra en la imagen:

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 PASO 3: Se calcula la matriz local de cada miembro, para ello se necesita el área, inercia,modulo de elasticidad y la longitud correspondiente del tramo a analizar. Para esto se analizarán en base a las siguientes formulas: FORMULA o

Área = 𝑏 ∗ ℎ

o

Inercia =

o

Módulo de elasticidad = 1500√𝑓′𝑐

𝑏∗ℎ 3 12

MIEMBRO 1 VIGA (SEGUNDO NIVEL) BASE (b)

25

PERALTE (d)

40

AREA(A)=

1000

INERCIA =

133333.3333

F'c =

210

E=

21737.07

L=

165

a=

0

b=

57.5

EI =

2898275349

Se comenzará en el miembro 1 correspondiente a una viga con brazo rígido, para lo cual ser tener un brazo rigido se requiere de fórmulas de otro tipo para este caso para conformar la matriz: FORMULA: 

G = Módulo de corte

𝐺=   

ʋ = módulo de Poisson: siendo 1/6 para C.A. ff = factor forma: 6/5 para secciones rectangulares Av. = área de corte 𝐴𝑣 =



𝐴 𝑓𝑓

Coeficiente utilizado para solamente placas ᴓ=

FORMULA - BRAZO RIGIDO POISSON (ʋ) MODULO DE CORTE (G) FACTOR FORMA (ff) AREA DECORTE (Av) ᴓ

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𝐸 2 ∗ (1 + ʋ)

12 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼 𝐺 ∗ 𝐴𝑣 ∗ 𝐿2

0.16667 9315.88505 1.20000 833.3333 0.1645546

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MATRIZ LOCAL

UTILIZACION DE LAS FORMULAS DE UNA VIGA CON BRAZO RIGIDO (PLACA)

MATRIZ DEL PRIMER MIEMBRO CON SUS RESPECTIVOS GRADOS DE LIBERTAD

K1=

1

2

3

4

5

6

131739.8 0 0 -131739.8 0 0

0 6648.28 548482.96 0 -6648.28 930758.95

0 548482.96 62815148.95 0.00 -548482.96 59222308.6

-131739.8 0 0 131739.79 0 0

0 -6648.28 -548482.96 0 6648.28 -930758.95

0 930758.95 59222308.6 0 -930758.95 147871558.8

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1 2 3 4 5 6

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 PASO 4: La matriz del miembro se debe multiplicar por la matriz de rotación y el resultado de esta multiplicarlo por la transpuesta de la matriz de rotación, para ello se necesita el coseno y seno que depende de la dirección del miembro, como se ve en la imagen:

FORMULA:  MATRIZ ROTACION:

 TRANSPUESTA DE LA MATRIZ DE ROTACION

Matriz de rotación y su transpuesta del ejercicio del miembro 1 Angulo = o

GRADO COSENO SENO

0 1 0 MATRIZ DE ROTACION

R=

ANALISIS ESTRUCTURAL II

1.0 0.00 0 0.0 0 0

0.00 1.0 0.00 0 0.00 0.00

0 0.00 1.00 0.00 0.00 0.0

0.0 0 0 1.0 0.00 0

0 0.00 0.00 0.00 1.0 0.00

0 0.00 0.0 0 0.00 1.0

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MATRIZ DE ROTACION TRANSPUESTA

𝑅𝑇 =

1.0 0.00 0 0.0 0 0

0.00 1.0 0.00 0 0.00 0.00

0 0.00 1.00 0.00 0.00 0.0

0.0 0 0 1.0 0.00 0

0 0.00 0.00 0.00 1.0 0.00

0 0.00 0.0 0 0.00 1.0

RESULTADO

1

2

3

4

5

6

131739.7886 0

0 6648.278245 548482.9552 0 -6648.278245 930758.9543

0 548482.9552 62815148.95 0 -548482.9552 59222308.58

-131739.7886 0 0 131739.7886 0 0

0 -6648.278245 -548482.9552 0 6648.278245 -930758.9543

0 930758.9543 59222308.58

0 -131739.7886 0 0

0 -930758.9543 147871558.8

1 2 3 4 5 6

 PASO 5: Todo se repite para los demás miembros, como se muestra en la imagen:

MIEMBRO 2 COLUMNA (SEGUNDO NIVEL) BASE (b) 15 PERALTE (d) 45 AREA(A)= 675 INERCIA = 113906.25 F'c = 210 E= 21737.07 L= 260 a= 0 b= 0 EI = 2475987574 FORMULA - BRAZO RIGIDO POISSON (ʋ) MODULO DE CORTE (G) FACTOR FORMA (ff) AREA DECORTE (Av) ᴓ

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0.16667 9315.88505 1.20000 562.5000 0.0838757

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MATRIZ DEL MIEMBRO

1 56432.8 0 0 -56432.8 0 0

K2=

2

3

7

8

9

0 1559.66 202755.91 0 -1559.66 202755.91

0 202755.91 35881297 0.00 -202755.91 16835239.0

-56432.8 0 0 56432.77 0 0

0 -1559.66 -202755.91 0 1559.66 -202755.91

0 202755.91 16835239.0 0 -202755.9 35881297.3

1 2 3 7 8 9

DIRECCION DEL ANGULO PARA SENO Y COSENO: MATRIZ DE ROTACION

GRADO COSENO SENO

1.570796327 6.12574E-17 -1

R=

0.0 1.00 0 0.0 0 0

-1.00 0.0 0.00 0 0.00 0.00

0 0.00 1.00 0.00 0.00 0.0

0.0 0 0 0.0 1.00 0

0 0.00 0.00 -1.00 0.0 0.00

0 0.00 0.0 0 0.00 1.0

RESULTADO DE LA MATRIZ LOCAL DEL MIEMBRO 2

1 1559.660837 -3.36138E-12

2

3

7

8

9

-3.36138E-12

202755.9089

-1559.660837

3.36138E-12

202755.9089

1

56432.76521 1.24203E-11

1.24203E-11 35881297.28

3.36138E-12 -202755.9089

-56432.76521 -1.24203E-11

1.24203E-11 16835239.02

-1559.660837

3.36138E-12

-202755.9089

1559.660837

-3.36138E-12

-202755.9089

2 3 7

3.36138E-12

-56432.76521

-1.24203E-11

-3.36138E-12

56432.76521

-1.24203E-11

8

202755.9089

1.24203E-11

16835239.02

-202755.9089

-1.24203E-11

35881297.28

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202755.9089

ANALISIS ESTRUCTURAL II

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MIEMBRO 3 PLACA (SEGUNDO NIVEL) BASE (b) 15 PERALTE (d) 115 AREA(A)= 1725 INERCIA = 1901093.75 F'c = 210 E= 21737.07 L= 260 a= 0 b= 0 EI = 41324198642 FORMULA - BRAZO RIGIDO POISSON (ʋ) MODULO DE CORTE (G) FACTOR FORMA (ff) AREA DECORTE (Av) ᴓ

0.16667 9315.88505 1.20000 1437.5000 0.5477811

MATRIZ ROTACIONAL Para todas las matrices rotacionales de los miembros 3,5 y 6 se emplea el ANGULO = -90, lo cual la matriz rotacional dada esta resuelta en el miembro 2. MATRIZ LOCAL DEL MIEMBRO 3

4

5

18228.71745

-7.71772E-12

-7.71772E-12

144217.0667

2369733.268

1.45164E-10

-18228.71745

7.71772E-12

7.71772E-12

-144217.0667

2369733.268

1.45164E-10

6 2369733.268

10

11

-18228.71745

7.71772E-12

1.45164E-10

7.71772E-12

467004550.4

-2369733.268

-2369733.268 -1.45164E-10 149126099.3

-2369733.268

12 2369733.268

4

-144217.0667

1.45164E-10

5

-1.45164E-10

149126099.3

6

18228.71745

-7.71772E-12

-2369733.268

-7.71772E-12

144217.0667

-1.45164E-10

10 11

-1.45164E-10

467004550.4

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MIEMBRO 4 VIGA (PRIMER NIVEL) BASE (b) 25 PERALTE (d) 40 AREA(A)= 1000 INERCIA = 133333.3333 F'c = 210 E= 21737.07 L= 165 a= 0 b= 57.5 EI = 2898275349 FORMULA - BRAZO RIGIDO POISSON (ʋ) MODULO DE CORTE (G) FACTOR FORMA (ff) AREA DECORTE (Av) ᴓ

ANALISIS ESTRUCTURAL II

0.16667 9315.88505 1.20000 833.3333 0.1645546

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MATRIZ ROTACIONAL Para la matriz rotacional del miembro 4 se utiliza la misma matriz rotacional del miembro 2 ,ya que según su dirección el Angulo es 0. MATRIZ LOCAL DEL MIEMBRO 4

7

8

131739.7886 0 0 -131739.7886 0 0

0 6648.278245 548482.9552 0 -6648.278245 930758.9543

9

10

0 548482.9552 62815148.95 0 -548482.9552 59222308.58

-131739.7886 0 0 131739.7886 0 0

11

12

0 -6648.278245 -548482.9552 0 6648.278245 -930758.9543

0 930758.9543 59222308.58 0 -930758.9543 147871558.8

7 8 9 10 11 12

MIEMBRO 5 COLUMNA PRIMER NIVEL BASE (b) 15 PERALTE (d) 45 AREA(A)= 675 INERCIA = 113906.25 F'c = 210 E= 21737.07 L= 240 a= 0 b= 0 EI = 2475987574 FORMULA - BRAZO RIGIDO POISSON (ʋ) MODULO DE CORTE (G) FACTOR FORMA (ff) AREA DECORTE (Av) ᴓ

0.16667 9315.88505 1.20000 562.5000 0.0984375

MATRIZ ROTACIONAL Para todas las matrices rotacionales de los miembros 3,5 y 6 se emplea el ANGULO = -90, lo cual la matriz rotacional dada esta resuelta en el miembro 2. MATRIZ LOCAL DEL MIEMBRO 5 7 1956.683716

8

9

13

14

15

-3.62514E-12

234802.0459

-1956.683716

3.62514E-12

234802.0459

7

-3.62514E-12

61135.49565

1.43834E-11

3.62514E-12

-61135.49565

1.43834E-11

8

234802.0459

1.43834E-11

38492860.4

-234802.0459

-1.43834E-11

17859630.61

9

-1956.683716

3.62514E-12

-234802.0459

1956.683716

-3.62514E-12

-234802.0459

13

3.62514E-12

-61135.49565

-1.43834E-11

-3.62514E-12

61135.49565

-1.43834E-11

14

234802.0459

1.43834E-11

17859630.61

-234802.0459

-1.43834E-11

38492860.4

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MIEMBRO 6 PLACA (PRIMER NIVEL) BASE (b) 15 PERALTE (d) 115 AREA(A)= 1725 INERCIA = 1901093.75 F'c = 210 E= 21737.07 L= 240 a= 0 b= 0 EI = 41324198642 FORMULA - BRAZO RIGIDO POISSON (ʋ) MODULO DE CORTE (G) FACTOR FORMA (ff) AREA DECORTE (Av) ᴓ

0.16667 9315.88505 1.20000 1437.5000 0.6428819

MATRIZ ROTACIONAL Para todas las matrices rotacionales de los miembros 3,5 y 6 se emplea el ANGULO = -90, lo cual la matriz rotacional dada esta resuelta en el miembro 2. MATRIZ LOCAL DEL MIEMBRO 6

10

11

12

16

17

18

21834.61832

-8.23303E-12

2620154.199

-21834.61832

8.23303E-12

2620154.199

10

-8.23303E-12

156235.1555

1.60504E-10

8.23303E-12

-156235.1555

1.60504E-10

11

2620154.199

1.60504E-10

486602664.9

-2620154.199

-1.60504E-10

142234342.9

12

-21834.61832

8.23303E-12

-2620154.199

21834.61832

-8.23303E-12

-2620154.199

16

8.23303E-12

-156235.1555

-1.60504E-10

-8.23303E-12

156235.1555

-1.60504E-10

17

2620154.199

1.60504E-10

142234342.9

-2620154.199

-1.60504E-10

486602664.9

18

ANALISIS ESTRUCTURAL II

16

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 PASO 6: Se conforma la matriz global sumando todas las matrices locales que coincidan con los grados de libertad, como se muestra en la imagen:

 PASO 7: Se escoge la parte de la matriz global de 12x12, es con la que se va a trabajar.

1 2 3

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

1

2 -3.36138E12

3

5

6

7 1559.660837

8

9

10

11

12

202755.9089

4 131739.7886

202755.9089

0

0

0

X

63081.04346

548482.9552

1.24203E-11

0

0

0

Y

548482.9552

98696446.24

3.36138E-12 202755.9089

3.36138E-12 56432.76521 -1.24203E11

16835239.02

0

0

Z X

0 6648.278245

0 548482.9552

2369733.268 930758.9543

0

0

0

0 18228.71745

2369733.268

0

0

0

930758.9543

59222308.58 202755.9089 -1.24203E11

614876109.2

0

0

135256.1332 -6.98653E12

0 -6.98653E12

32046.13701

7.71772E-12 2369733.268 131739.7886

7.71772E-12 144217.0667 -1.45164E10

124216.5391

548482.9552

0

548482.9552

137189306.6

0

0 548482.9552

171803.1244 -1.59508E11

0 6648.278245 548482.9552 -1.59508E11

59222308.58

250420.9308

133299.4494 -3.36138E12

4

202755.9089 131739.7886

5

0

6 7

0 1559.660837

8

3.36138E-12

3.36138E-12 56432.76521

9

202755.9089

1.24203E-11

16835239.02

10

0

0

11

0

12

0

0 0 6648.278245 0 548482.9552 -7.71772E149968.506 12 -7.71772E12 150865.3449 2369733.268 930758.9543

0 930758.9543 59222308.58

0

0

0

0

0

0

0

0

0 18228.71745

32046.13701 131739.7886

0

0

7.71772E-12

7.71772E-12 144217.0667

0 2369733.268 -1.45164E10

0

0 6648.278245

0

0

2369733.268

1.45164E-10

149126099.3

0

930758.9543

ANALISIS ESTRUCTURAL II

307100.5004 930758.9543

1.45164E-10

Y

149126099.3

Z

0

X

930758.9543

Y

59222308.58

Z

250420.9308 930758.9543

X

1101478774

Z

17

Y

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ESCUELA PROF. INGENIERIA CIVIL

 PASO 8: Se elimina las filas y columnas que corresponden al eje y, como se ve en la imagen :

1 2 3 4

9

1

2 -3.36138E12

Z

X

Y

Z

X

3

4 131739.7886

5

6

0

0

7 1559.660837

202755.9089

-3.36138E12

63081.04346

548482.9552

0

202755.9089

548482.9552

98696446.24

0

131739.7886

0

0

149968.506

0

6648.278245

548482.9552

-7.71772E12

0

930758.9543

59222308.58

1559.660837

3.36138E-12

3.36138E-12

56432.76521

202755.9089 -1.24203E11

202755.9089

1.24203E-11

0

6

8

Y

133299.4494

5

7

X

10 11 12

6648.278245 548482.9552 -7.71772E12

Y

Z

X

Y

Z

8

9

10

11

12

3.36138E-12

202755.9089

0

0

0

1.24203E-11

0

0

0

16835239.02

0

0

0

7.71772E-12

2369733.268

930758.9543

3.36138E-12

59222308.58

202755.9089

56432.76521 -1.24203E11

2369733.268

0

0

0

18228.71745

150865.3449

930758.9543

0

0

0

7.71772E-12

2369733.268

930758.9543

614876109.2

0

0

0

0

0

0

135256.1332

-6.98653E12

32046.13701

0

0

0

-6.98653E12

124216.5391

548482.9552

0

16835239.02

0

0

0

32046.13701

548482.9552

137189306.6

0

0

0

18228.71745

7.71772E-12

131739.7886

0

0

171803.1244

0

0

0

7.71772E-12

144217.0667

2369733.268 -1.45164E10

0

6648.278245

548482.9552

-1.59508E11

307100.5004

930758.9543

0

0

0

2369733.268

1.45164E-10

149126099.3

0

930758.9543

59222308.58

250420.9308

930758.9543

1101478774

2369733.268 131739.7886

144217.0667 -1.45164E10

1.45164E-10 149126099.3

0

0

6648.278245 548482.9552 -1.59508E11

930758.9543

X

Z

X

Z

X

Z

X

Z

1

3

4

6

7

9

10

12

1

133299.4494

202755.9089

-131739.7886

0

-1559.6608

202755.909

0

0

X

3

202755.9089

98696446.24

0

59222308.58

-202755.91

16835239

0

0

4 6

-131739.7886

0

149968.506

2369733.268

0

0

-18228.7174

2369733.268

Z X

0

59222308.58

2369733.268

6.14876E+08

0

0

-2369733.27

149126099.3

Z

7

-1559.660837

-202755.9089

0

0

135256.133

32046.137

-131739.789

0

X

9

202755.9089

16835239.02

0

0

32046.137

137189307

0

59222308.58

Z

10

0

0

-18228.71745

-2369733.268

-131739.79

0

171803.124

250420.9308

X

12

0

0

2369733.268

149126099.3

0

59222308.6

250420.931

1101478774

Z

 PASO 9: Se unen los ejes x en sola columna y fila, como se ve en la imagen:

1 3 4 6 7 9 10 12

-3.18323E-12 0 0 0 1956.683716 234802.0459 21834.61832 2620154.199

ANALISIS ESTRUCTURAL II

Z 6 0 59222308.58 2369733.268 614876109.2 0 0 -2369733.268 149126099.3

Z 9 202755.9089 16835239.02 0 0 32046.13701 137189306.6 0 59222308.58

Z 12 0 0 2369733.268 149126099.3 0 59222308.58 250420.9308 1101478774

Z X Y Z X Y Z

250420.9308

MATRIZ SIN EJE Y

Z 3 202755.9089 98696446.24 0 59222308.58 -202755.9089 16835239.02 0 0

Y

59222308.58

RESULTADO

X 1

X

X Z X Z X Z X Z

18

X Y Z

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ESCUELA PROF. INGENIERIA CIVIL

X

Z

Z

Z

Z

1

3

6

9

12

1

23791.30204

202755.909

0

202755.909

0

X

3

0

98696446.2

59222308.6

16835239

0

Z

6

0

59222308.6

614876109

0

149126099.3

Z

9

234802.0459

16835239

0

137189307

59222308.58

Z

12

2620154.199

0

149126099

59222308.6

1101478774

Z

 PASO 10: El resultado de la matriz anterior da paso a una nueva fórmula y con la hallaremos la matriz de rigidez lateral, como se ve en la imagen:

FORMULA DE RIGIDEZ LATERAL: −1 𝐾 ∗ = 𝐾𝑎𝑎 − 𝐾𝑎𝑏 𝐾𝑏𝑏 𝐾𝑏𝑎

−1 𝐾𝑏𝑏 = 1.10526E-08

-1.12031E-09

-1.45558E-09

2.29936E-10

-1.12031E-09

1.79647E-09

2.48234E-10

-2.56566E-10

-1.45558E-09

2.48234E-10

7.66012E-09

-4.45463E-10

2.29936E-10

-2.56566E-10

-4.45463E-10

9.66557E-10

-0.000176818

0.001258006

-4.36993E-05

−1 𝐾𝑎𝑏 𝐾𝑏𝑏 = 0.001945852 −1 𝐾𝑎𝑏 𝐾𝑏𝑏 𝐾𝑏𝑎 180.8834996 −1 (𝐾 ∗ = 𝐾𝑎𝑎 − 𝐾𝑎𝑏 𝐾𝑏𝑏 𝐾𝑏𝑎 )

𝐾𝐿 =

ANALISIS ESTRUCTURAL II

23610.41854 kg/cm

19

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ESCUELA PROF. INGENIERIA CIVIL

EJEMPLO N° 2 En este ejemplo se presenta una estructura basada en una viga apoyada en dos columnas de dos dimensiones. Hallar la matriz de rigidez de dicha estructura. Las medidas se encuentran en el siguiente ejercicio.

4.2.1.

PROCEDIMIENTO  PASO 1: Para desarrollar considerar solo los ejes de los elementos estructurales. Además de ubicar los nodos respectivos. Se procede a colocar los grados de libertad en cada nodo. Luego se ubica la enumeración de los elementos, es decir miembros en cada barra. Además, es importante tener en cuenta las direcciones de las barras que serán de utilidad más adelante, por lo tanto, se le colocarán, como se muestra en la imagen:

 PASO 2: Se calcula la matriz local de cada miembro, para ello se necesita el área, inercia, módulo de elasticidad y la longitud correspondiente del tramo a analizar. Para esto se analizarán en base a las siguientes formulas: FORMULA o

Área = 𝑏 ∗ ℎ

o

Inercia =

o

Módulo de elasticidad = 1500√𝑓′𝑐

ANALISIS ESTRUCTURAL II

𝑏∗ℎ 3 12

20

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Además, calcular el coseno y seno correspondiente al miembro debido a la dirección dada de la barra.

MIEMBRO 1

VIGA (SEGUNDO NIVEL) BASE (b)

25

PERALTE (d)

20

AREA(A)=

500

INERCIA =

16666.66667

F'c =

210

E=

21737.07

L=

285

EI =

362284419

GRADO

0

COSᴓ (λx)

1

SEN ᴓ(λy)

0

 PASO 3: Se calcula la matriz local de cada miembro, para ello se basa en la siguiente formula:

ANALISIS ESTRUCTURAL II

21

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MATRIZ LOCAL DEL MIEMBRO 1

K1=

1

2

3

4

5

6

38135.2 0.0 0 -38135.2 0.0 0

0.0 187.8 26761.54524 0.00 -187.8 26761.55

0 26761.55 5084693.60 0.00 -26761.55 2542346.8

-38135.2 0.0 0.00 38135.20 0.0 0.00

0.0 -187.80 -26761.55 0.0 187.80 -26761.55

0 26761.55 2542346.8 0.00 -26761.55 5084693.6

1 2 3 4 5 6

 PASO 4: Entonces repetimos el mismo procedimiento con todos los miembros hasta llegar a la matriz local

MIEMBRO 2 COLUMNA (SEGUNDO NIVEL) BASE (b)

15

PERALTE (d)

45

AREA(A)=

675

INERCIA =

113906.25

F'c =

210

E=

21737.07

L=

260

EI =

2475987574

GRADO

-2

COSᴓ (λx)

0

SEN ᴓ(λy)

-1

MATRIZ LOCAL DEL MIEMBRO 2

K2=

1

2

3

7

8

1690.5

0.0

219762.2107

-1690.5

0.0

0.0

56432.8

0.00

0.0

-56432.77

0.00

2

219762.2107 -1690.5

1.34621E-11

38092116.52

-219762.21

0.00

19046058.3

3

0.00

-219762.21

1690.48

0.0

-219762.21

7

0.0

-56432.8

0.00

0.0

56432.77

0.00

8

219762.2107

0.00

19046058.3

-219762.21

0.00

38092116.5

9

ANALISIS ESTRUCTURAL II

9

219762.2107

1

22

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MIEMBRO 3 COLUMNA (SEGUNDO NIVEL) BASE (b)

15

PERALTE (d)

45

AREA(A)=

675

INERCIA =

113906.25 210 21737.07 260 2475987574 -2 0 -1

F'c = E= L= EI = GRADO

COSᴓ (λx) SEN ᴓ(λy) MATRIZ LOCAL DEL MIEMBRO 3

4

5

6

10

1690.5 0.0

K3=

0.0 219762.2107 -1690.5 56432.8 0.00 0.0 1.34621E219762.2107 11 38092116.52 -219762.21 -1690.5 0.00 -219762.21 1690.48 0.0 -56432.8 0.00 0.0 219762.2107 0.00 19046058.3 -219762.21

11

12

0.0 -56432.77

219762.2107 0.00

0.00 0.0 56432.77 0.00

19046058.3 -219762.21 0.00 38092116.5

4 5 6 10 11 12

MIEMBRO 4 VIGA (PRIMER NIVEL) BASE (b)

25

PERALTE (d)

20

AREA(A)=

500

INERCIA =

16666.66667 210 21737.07 285 362284419 0 1 0

F'c = E= L= EI = GRADO

COSᴓ (λx) SEN ᴓ(λy)

ANALISIS ESTRUCTURAL II

23

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ESCUELA PROF. INGENIERIA CIVIL

MATRIZ LOCAL DEL MIEMBRO 4

7

K4=

38135.2 0.0 0 -38135.2 0.0 0

8

9

0.0 0 187.8 26761.55 26761.54524 5084693.60 0.00 0.00 -187.8 -26761.55 26761.55 2542346.8

10

11

12

-38135.2 0.0 0.00 38135.20 0.0 0.00

0.0 -187.80 -26761.55 0.0 187.80 -26761.55

0 26761.55 2542346.8 0.00 -26761.55 5084693.6

7 8 9 10 11 12

MIEMBRO 5 COLUMNA PRIMER NIVEL BASE (b)

15

PERALTE (d)

45

AREA(A)=

675

INERCIA =

113906.25 210 21737.07 250 2475987574 -2 0 -1

F'c = E= L= EI = GRADO

COSᴓ (λx) SEN ᴓ(λy) MATRIZ LOCAL DEL MIEMBRO 5

7 1901.6 0.0

K5=

8

9

13

14

15

0.0 237694.8071 -1901.6 0.0 237694.8071 58690.1 0.00 0.0 -58690.08 0.00 1.45606E237694.8071 11 39615801.18 237694.81 0.00 19807900.6 -1901.6 0.00 -237694.81 1901.56 0.0 -237694.81 0.0 -58690.1 0.00 0.0 58690.08 0.00 237694.8071 0.00 19807900.6 237694.81 0.00 39615801.2

ANALISIS ESTRUCTURAL II

7 8 9 13 14 15

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MIEMBRO 6 COLUMNA (PRIMER NIVEL) BASE (b)

15

PERALTE (d)

45

AREA(A)=

675

INERCIA =

113906.25 210 21737.07 250 2475987574 -2 0 -1

F'c = E= L= EI = GRADO

COSᴓ (λx) SEN ᴓ(λy) MATRIZ LOCAL DEL MIEMBRO 6

K6=

10

11

12

16

17

18

1901.6 0.0

0.0 58690.1 1.45606E11 0.00 -58690.1 0.00

237694.8071 0.00

-1901.6 0.0

0.0 -58690.08

237694.8071 0.00

0.00 0.0 58690.08 0.00

19807900.6 -237694.81 0.00 39615801.2

237694.8071 -1901.6 0.0 237694.8071

39615801.18 -237694.81 -237694.81 1901.56 0.00 0.0 19807900.6 -237694.81

10 11 12 16 17 18

 PASO 5: Se conforma la matriz global sumando todas las matrices locales que coincidan con los grados de libertad, como se muestra en la imagen

ANALISIS ESTRUCTURAL II

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 PASO 6: Se escoge la parte de la matriz global de 12x12, es con la que se va a trabajar.

1 2

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

1

2

3

5

6

9

10

11

12 0

-3.35337E-12

219762.2107

0

0

7 1690.478544

8

39825.68051

4 38135.20196

3.35337E-12

219762.2107

0

0

3.35337E-12 219762.2107

56432.76521 -1.34621E11

1.34621E-11

0

0

0

Y

19046058.26

0

0

Z

219762.2107 26761.54524

0

0

0

0 1690.478544

219762.2107

X

0

0

0

1.34621E-11

Y

43176810.11

0

0

19046058.26

Z

41727.23896 -6.83209E12

0 -6.83209E12

17932.59639

3.35337E-12 219762.2107 38135.20196

3.35337E-12 56432.76521 -1.34621E11

0

X

115310.6414

26761.54524

0

26761.54524

Y

26761.54524

82792611.29

0

2542346.798

Z

0 26761.54524

41727.23896 -6.83209E12

0 187.8003175 26761.54524 -6.83209E12

17932.59639 26761.54524

X

2542346.798

17932.59639

82792611.29

Z

187.8003175 26761.54524 -3.35337E12

-3.35337E-12

56620.56553 26761.54524

0

26761.54524

3

219762.2107

26761.54524

43176810.11

0

4

-38135.20196

5

0

0 187.8003175

0 26761.54524

39825.68051 -3.35337E12

6

0

26761.54524

219762.2107

7

-1690.478544

0

0

0

8

3.35337E-12

3.35337E-12 56432.76521

2542346.798 219762.2107 -1.34621E11

56620.56553 26761.54524

0

0

0

9

219762.2107

1.34621E-11

19046058.26

0

10

0

0

0

0 1690.478544

17932.59639 38135.20196

11

0

0

0

3.35337E-12

3.35337E-12 56432.76521

0 219762.2107 -1.34621E11

0

0 187.8003175

12

0

0

0

219762.2107

1.34621E-11

19046058.26

0

26761.54524

2542346.798

115310.6414 26761.54524

X

 PASO 7: Se elimina las filas y columnas que corresponden al eje y, como se ve en la imagen:

MATRIZ SIN EJE Y X

Z

X

Z

X

Z

X

Z

1

3

4

6

7

9

10

12

1

39825.68051

219762.2107

-38135.20196

0

-1690.4785

219762.211

0

0

X

3

219762.2107

43176810.11

0

2542346.798

-219762.21

19046058.3

0

Z

4

-38135.20196

0

39825.68051

219762.2107

0

0

219762.2107

X

6

0

2542346.798

219762.2107

4.31768E+07

0

0

0 1690.47854 219762.211

19046058.26

Z

7

-1690.478544

-219762.2107

0

0

41727.239

17932.5964

-38135.202

0

X

9

219762.2107

19046058.26

0

0

17932.5964

82792611.3

0

2542346.798

Z

10

0

0

-1690.478544

-219762.2107

-38135.202

0

41727.239

17932.59639

X

12

0

0

219762.2107

19046058.26

0

2542346.8

17932.5964

82792611.29

Z

ANALISIS ESTRUCTURAL II

26

Y

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 PASO 8: Se unen los ejes x en sola columna y fila, como se ve en la imagen: X 1

Z

Z

Z

Z

3

6

9

12

1

4.54747E-13

219762.2107

0

219762.2107

0

X

3

0

43176810.11

2542346.798

19046058.26

0

Z

4

0

0

219762.2107

0

219762.2107

X

6

0

2542346.798

43176810.11

0

19046058.26

Z

7

1901.558457

-219762.2107

0

17932.59639

0

X

9

237694.8071

19046058.26

0

82792611.29

2542346.798

Z

10

1901.558457

0

-219762.2107

0

17932.59639

X

12

237694.8071

0

19046058.26

2542346.798

82792611.29

Z

 PASO 10:

El resultado de la matriz anterior da paso a una nueva fórmula y con la hallaremos la matriz de rigidez lateral, como se ve en la imagen:

X 1

Z

Z

Z

Z

3803.116913

3

1

219762.211

6

9

12

0

219762.211

3

0

0

X

43176810.1

2542346.8

19046058.3

0

Z

6

0

2542346.8

43176810.1

0

19046058.26

Z

9

237694.8071

19046058.3

0

82792611.3

2542346.798

Z

12

237694.8071

0

19046058.3

2542346.8

82792611.29

Z

FORMULA DE RIGIDEZ LATERAL: −1 𝐾 ∗ = 𝐾𝑎𝑎 − 𝐾𝑎𝑏 𝐾𝑏𝑏 𝐾𝑏𝑎

−1 𝐾𝑏𝑏 =

ANALISIS ESTRUCTURAL II

2.59024E-08

-1.78755E-09

-5.97699E-09

5.94755E-10

-1.78755E-09

2.59024E-08

5.94755E-10

-5.97699E-09

-5.97699E-09

5.94755E-10

1.34703E-08

-5.50457E-10

5.94755E-10

-5.97699E-09

-5.50457E-10

1.34703E-08

0.004378851

-0.000262131

0.001646737

9.73495E-06

27

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−1 𝐾𝑎𝑏 𝐾𝑏𝑏 =

0.004378851

-0.000262131

0.001646737

9.73495E-06

−1 𝐾𝑎𝑏 𝐾𝑏𝑏 𝐾𝑏𝑎

393.7346728 −1 (𝐾 ∗ = 𝐾𝑎𝑎 − 𝐾𝑎𝑏 𝐾𝑏𝑏 𝐾𝑏𝑎 )

𝐾𝐿 =

ANALISIS ESTRUCTURAL II

3409.382241

kg/cm

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CAPITULO 5 5.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 5.1.

CONCLUSIONES         

5.2.

Se concluye que el método de análisis matricial es muy importante para la resolución de estructuras como armaduras. Es un método directo para el cálculo de desplazamientos, reacciones y esfuerzos. se basa en los factores de grados de libertad para los cálculos correspondientes. Es de suma utilidad ejercicios que implican armaduras estáticamente indeterminadas, que hoy en día son difíciles de resolver por los estudiantes Para su resolución implica el conocimiento previo del análisis matricial Para el análisis del análisis de rigidez matricial se eliminen los ejes y y se unan en una sola fila y columna los ejes x quedando intactos los ejes z. Siempre mantener el orden Colocar siempre las direcciones de la barra porque depende de eso los resultados. Para la matriz de cada elemento se debe multiplicar por la matriz rotacional y su transpuesta de esta.

RECOMENDACIONES         

Saber con anticipación el análisis de matrices en cuanto a multiplicación, y matriz inversa prioritariamente. Colocar un punto fijo en cuanto al origen de las coordenadas globales, para tener un lado de inicio, en cual se podrá colocar las coordenadas de cada miembro. Fijarse bien las fórmulas para evitar errores en el aplacamiento de cada una de ellas Ubicar bien los nodos y miembros correspondientes para su fácil resolución Indicar bien las flechas que indican las direcciones de los esfuerzos Diferenciar las fórmulas de una placa y una columna. Siempre verificar la matriz global deben tener similitud tano diagonal como verticalmente los números Tener conocimiento del análisis matricial.

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LISTA DE REFERENCIAS    

Me base en la información del libro de octava edición de Hibbeler “análisis estructural”, en cual dispone de ejemplos practicos para la resolución de los ejercicios Pdf = Análisis de método de rigidez lateral Pdf= Análisis Estructural II Libro de análisis de edificios de Ángel San Bartolomé

ANEXO Se adjunta el juego de planos de la vivienda donde certifican la sección donde se extrajo los dos ejemplos: plano de cimentación y plano de aligerado.

ANALISIS ESTRUCTURAL II

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