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• MIGUEL Angel Marceliano Rodriguez

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EXAMEN FINAL: TEMAS: 1. 2. 3. 4. 5.

Problema de aplicación de la línea recta Problema de aplicación de la parábola Problema de negocios: Costo fijo, costo variable, etc Problema con funciones por intervalos Problema con función exponencial y logarítmica

PROBLEMAS DE REPASO 1. Una tienda de la selva peruana vendió 20 equipos de pesca en un mes cuando el precio de cada uno era de 25 dólares. Cuando se fijó el precio en 30 dólares de cada equipo, vendió 15 equipos de pesca. Determinar la demanda, suponiendo que existe una relación lineal entre la demanda 𝒒 y el precio 𝒑. Solución Datos cuando vende 20 equipos de pesca el precio es 25 dólares cada uno. Si el precio es 30 dólares cada uno, se venden 15 equipos. Precio unitario (𝑝), cantidad (𝑞) Resolución la ecuación es de la forma lineal. Es decir 𝑝 = 𝑚𝑞 + 𝑏………(*) Reemplazando los datos en (*): 25 = 20𝑚 + 𝑏……(I) 30 = 15𝑚 + 𝑏……(II) Luego resolviendo el sistema se obtiene 𝑚 = −1 y 𝑏 = 45 Respuesta, Por tanto, la demanda es 𝑝 = −𝑞 + 45. 2. Un fabricante de filtros para agua tiene costos fijos mensuales por $2000, costos de producción de $20 por unidad y un precio de venta unitario de $30. Determina: a) La ecuación de la ganancia. b) La ganancia al producir 250 filtros para agua. Solución: a) La ecuación de la ganancia. Sea x: número de filtros producidos mensuales. Costo fijo:𝐶𝐹 = $2000 Costo variable: 𝐶𝑉 = 20𝑥 Costo total: 𝐶𝑇 = 20𝑥 + 2000 Ingreso total:𝐼 = 30𝑥 Por lo tanto:

Utilidad=Ingreso total-Costo total 𝑈 = 30𝑥 − (20𝑥 + 2000) U = 30x - 20x - 2000 𝑈 = 10𝑥 − 2000 b) La ganancia al producir 250 filtros para agua. Si 𝑥 = 250 entonces 𝑈(250) = 10(250) − 2000=2500-2000=$500 Por lo tanto, al producir 250 filtros para agua se tendrá una utilidad de $500. 3. La escudería Ferrari, ha identificado que, el rendimiento de combustible de un automóvil se obtiene de acuerdo con la velocidad con la que se desplaza. Si x representa la velocidad medida en kilómetros por hora (km/h), el rendimiento está dado por la ecuación:

y

1 2 7 x  , para 0  x  120. 40 2

Resolver: a) Completar la siguiente tabla de rendimiento: Velocidad (Km/h)

2 0

4 0

6 0

8 0

10 0

Rendimient o (y) b) ¿A qué velocidad se obtiene el máximo rendimiento? c) ¿Cuál es el máximo rendimiento? d) Graficar la parábola que modela la situación. Solución: Resolver: a) Completar la siguiente tabla de rendimiento:

Vel.(Kmh) Rend.R(x)

20

40

60

80

100

b) ¿A qué velocidad se obtiene el máximo rendimiento?

x

b 2a

7   2 x    1  2   40 

c) ¿Cuál es el máximo rendimiento?

𝑥 = 70 𝑘𝑚/ℎ

𝒚=−

𝟏 𝟕 𝟕𝟎𝟐 + 𝟕𝟎 𝟒𝟎 𝟐

𝒚 = 𝟏𝟐𝟐. 𝟓

d) Graficar la parábola que modela la situación.

4. En el concierto de Juanes los organizadores del concierto han establecido el siguiente esquema de pagos para VIP, costo por una entrada S/160. Si se compran 3 entradas se ofrece un descuento del 10% sobre el total, si se compran de 4 a más se ofrece un descuento del 40% sobre el total. Para realizar una proyección de los ingresos que podrían recibir los organizadores necesitan: a) b) c) d)

Establecer una relación entre el precio y el número de asistentes. Indicar cual se considera una variable independiente y cual dependiente. Graficar la relación establecida. Si un grupo de 7 jóvenes se acercan a comprar su entrada ¿cuánto tendrían que pagar?

Solución: Datos:  El costo de 1 entrada = S/. 160.  Por la compra de 3 entradas se da un descuento del 10% del total, es decir pagan sólo el 90% total.  Po la compra de 4 a más entradas se da un descuento del 40% de total, es decir pagan sólo el 60% total.  Asuma que x sea el número de asistentes.

a) Entonces la relación entre el precio y el número de asistentes está dada por la función: 5. Los biólogos han determinado que cuando se dispone de suficiente espacio y nutrientes, el número de bacterias en un cultivo crece exponencialmente. Suponga que inicialmente hay 2000 bacterias en cierto cultivo y que 20 minutos después hay 6000 bacterias. a) Determines la función exponencial b)¿Cuántas bacterias habrá al cabo de una hora? c) ¿En cuánto tiempo la población será de 18000?

 160 ; si x  1    90  P  x   160 x   ; si x  3 100      60  160 x   ; si x  4  100   Reescribiendo la función, tenemos:

; si x  1 ; si x  3 ; si x  4

160  P  x   144 x 96 x 

b) x : número de asistentes (variable independiente) P: precio de entrada (variable dependiente) c) Gráfica

P

576

432 384

160 0

1

2

3

4

5

6 X

d) P7  672 ; los 7 jóvenes tendrán que pagar S/. 672.