• Author / Uploaded
• ismacarmona

Citation preview

REGLETAS DE CUISENAIRE Descripción Definición: Son un material matemático destinado a que los niños aprendan la descomposición del los números e iniciarles en las actividades de cálculo, todo ello sobre una base manipulativa acorde a las características psicológicas del periodo evolutivo de estos niños. Consta de un conjunto de regletas de madera de 10 tamaños y colores diferentes; la longitud de las mismas va de 1 a 10 cm y la base es de 1 cm2.

Utilidad: Con la utilización de las regletas se consigue que los alumnos: -

Asocien la longitud con el color. Todas las regletas del mismo color tienen la misma longitud.

-

Establezcan equivalencias. Uniendo varias regletas se obtienen longitudes equivalentes a las de otras más largas.

-

Conozcan que cada regleta representa un número del 1 al 10, tal que a cada uno de estos números le corresponde a su vez una regleta determinada.

A través de ellas se pretende: -

Formar la serie de numeración del 1 al 10.

-

Comprobar la relación de inclusión en la serie numérica. En cada número están incluidos los anteriores.

-

Trabajar manipulativamente las relaciones “ser mayor que”, “ ser menor que” y “ ser

equivalente” de los números, basánsose en la comparación de longitudes.

1

-

Realizar seriaciones diferentes.

-

Introducir la descomposición y composición de los números.

-

Introducir los sistemas de numeración mediante diferentes agrupamientos.

-

Iniciar las cuatro operaciones de forma manipulativa.

-

Comprobar empíricamente las propiedades de las operaciones.

-

Obtener la noción de número fraccionario y, en especial, de los conceptos de doble y mitad.

-

Trabajar de forma intuitiva la multiplicación como suma de sumandos iguales.

-

Realizar particiones y repartos como introducción a la división.

-

Utilizar las regletas como unidades de medida de longitud.

Actividad de construcción - Construir regletas: -

Material: cartulinas de colores, láminas de plástico de colores, listones de madera, pintura lacada, no tóxica, tijeras, sobres o cajas.

-

Desarrollo:

+ Conseguir cartulinas de diez colores diferentes que coincidan con los de las regletas Cuisenaire. + Hacer una plantilla de cada regleta con las medidas indicadas anteriormente: 1 X 1cm, 2 X 1, 3 X 1, etc. + Marcar el contorno de las plantillas en cada pliego de cartulina. + Recortarlas, cortando varias de cada regleta. + Es conveniente plastificar cada pieza, para evitar que se deterioren. + Se puede utilizar otros materiales, como plástico de colores o madera, de más larga duración, aunque de más difícil construcción. En el caso de la madera, tendrían que cortarla niños mayores o adultos). + Preparar también los sobres o cajas donde se van a guardar.

Actividad de aplicación Juego libre: -

Material: Regletas Cuisenaire.

-

Objetivo: ordenación de las longitudes. Relación n + 1.

2

-

Desarrollo:

+ Cada niño coge una regleta de cada color. + Se les pide que elijan la regleta más pequeña y la pongan encima de la mesa. + de las que han quedado, se vuelve a solicitar que cojan la más pequeña y la coloquen a continuación o debajo de la que habían elegido con anterioridad, como si formaran un tren o una escalera. Y así sucesivamente, hasta que coloquemos todas las regletas en orden de menor a mayor. + Proceder de la misma manera, pero a la inversa, eligiendo la más grande en lugar de la más pequeña, formando una sucesión en orden de mayor a menor. + En los ensayos fallidos realizados por los alumnos, aprovechar para preguntarles: ¿qué ha pasado? Puede suceder que hayan elegido una regleta más grande o más pequeña. ¿Qué tendrás que buscar ahora, otra más grande o más pequeña?

Orientaciones prácticas para su empleo -

La utilización de las regletas, como la de cualquier otro material, deberá iniciarse con el juego libre hasta que los niños se familiaricen con ellas.

-

Como paso previo a la utilización de las regletas tienen que conocer los colores y haber trabajado con otros materiales concretos figurativos.

-

Si los niños son muy pequeños, se puede comenzar jugando con las regletas más grandes que hay en el mercado.

-

En estas actividades se puede trabajar individualmente y en grupos.

-

Cada niño tiene un ritmo de aprendizaje diferente, que se deberá respetar. Es preciso que domine la actividad antes de pasar a otra siguiente de mayor complejidad.

-

Debido a la gran cantidad de regletas y a su tamaño, e fácil perderlas, especialmente las blancas; por ello habrá que guardarlas diariamente y comprobar que no falta ninguna. Esto deberán hacerlo los propios niños, siendo una actividad tan educativa como las anteriores.

-

El papel de adulto es directivo en cuanto que dirige el proceso, pero no realiza la actividad por ellos. Los alumnos han de desarrollar su capacidad lógica y creativa, resolviéndola por sí solos, sin detrimento del desarrollo de su capacidad creadora.

-

Los niños deben descubrir y comprobar sus propios errores, así como sus aciertos.

3

-

Es conveniente dosificar el tiempo de las actividades y variarlas que no lleven a la fatiga y con ella al bloqueo y a la falta de eficacia.

-

Las actividades con regletas se pueden realizar en distintos contextos de juego; por ejemplo, jugar a los mercados y utilizarlas como monedas de cambio.

4

Descripción del material

Este material está formado por unas barritas de madera o plástico de un centímetro cuadrado de sección y de diferentes longitudes que van desde 1 cm hasta 10 cm. Cada regleta tiene un color determinado, de manera que regletas de longitudes diferentes tienen colores diferentes. Asimismo, cada regleta representa un número, dependiendo de la longitud y color que tenga.

Las regletas tienen los siguientes colores y longitudes:

Regleta del

Color

Longitud (cm)

Uno Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete Ocho Nueve Diez

Blanco Rojo Verde claro Rosa Amarillo Verde oscuro Negro Marrón Azul Naranja

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

La siguiente tabla de Multiplicación ha sido reproducida del libro: Los Números en color de G. Cuisenaire. Autor: José Antonio Fernández Bravo. Editorial: Seco Olea. Página 169. Madrid, 1989

6

BIBLIOGRAFÍA

Cascallana, M. T. (1988): Iniciación a la matemática. Editorial Santillana, Madrid.

Fernández, J. (1989): Los Números en color de G. Cuisenaire. Editorial: Seco Olea. Página 169. Madrid, 1989

Hernández, V.; Carrión, J.; Morales, A.; Moreno, D. (2005): Matemáticas y su didáctica. Manuales docentes de Educación Primaria, Nº 5. Vicerrectorado de Planificación y Calidad, Universidad de Las Palmas de Gran Canaria.

7

LAS REGLETAS DE CUISENAIRE (Números en color)

M. Cinta Muñoz Catalán

VENTAJAS DEL USO DE RECURSOS -El recurso manipulativo ES SIEMPRE UN MEDIO para promover el aprendizaje de un concepto, nunca debe ser un fin en sí mismo. -Promueve el aprendizaje conceptual de los conceptos. -Permite la manipulación de conceptos abstractos, reduciéndolos a aspectos concretos del mismo. -Permiten ver, tocar, coger y mover, reproduciendo acciones irreproducibles en la pizarra

VENTAJAS DEL USO DE RECURSOS -Las construcciones realizadas pueden permanecer en el tiempo para volver a ellas durante el repaso. -Ayuda a afianzar y consolidar los conocimientos -Permite adaptarse a la heterogeneidad del grupo, resultando imprescindible para los alumnos con necesidades educativas especiales. -Son instrumentos motivadores

LIMITACIONES DEL USO DE RECURSOS -Las restricciones que impone la naturaleza y características de cada tipo de material didáctico o recurso. -Posee un uso limitado temporalmente. Hay que exigir que, progresivamente, comiencen a manipular mentalmente el material en ausencia física del mismo para poder pasar a la abstracción. -El uso del material debe ser ágil, no debe estorbar a la actividad sino facilitarla.

LAS REGLETAS DE CUISENAIRE (Números en color)

LAS REGLETAS DE CUISENAIRE (Números en color) Las regletas son prismas cuadrangulares de 1cm2 de base y cuya longitud oscila entre 1 y 10 cm. Cada regleta equivale a un número determinado: La La La La La La La La La La

regleta regleta regleta regleta regleta regleta regleta regleta regleta regleta

blanca, con 1 cm. de longitud, representa al nº 1. roja, con 2 cm. representa al nº 2. verde claro, con 3 cm. representa al nº 3. rosa, con 4 cm. representa al nº 4. amarilla, con 5 cm. representa al nº 5. verde oscuro, con 6 cm. representa al nº 6. negra, con 7 cm. representa al nº 7. marrón, con 8 cm. representa al nº 8. azul, con 9 cm. representa al nº 9. naranja, con 10 cm. representa al nº 10.

LAS REGLETAS DE CUISENAIRE (Números en color) La representación más apropiada para las regletas debería ser la siguiente (prisma):

Utilizaremos la representación poligonal por motivos de simplificación

-Construcción del número natural *La secuencia numérica del 1 al 10: cada número es igual al anterior de la serie más 1. *Ordenación de números: conceptos ‘mayor que’, ‘menor que’, ‘equivalente a’. *Visión flexible del número: composición y descomposición de los números -Iniciación a las operaciones básicas y propiedades

-1º Familiarización con el material: aprender los colores y a ordenar por tamaños. (Se pueden trabajar los conceptos de ‘mayor que’, ‘menor que’ o ‘igual o equivalente a’). -2ª Asociar cada regleta de color con el número que representa.

CONSTRUCCIÓN DE LA SECUENCIA NUMÉRICA

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

CONCEPTO DE NÚMERO QUE SE PONE DE RELIEVE:

Cada número es igual al anterior de la serie más 1. 2

=

1

+

1

6

=

5

+

1

3

=

2

+

1

7

=

6

+

1

4

=

3

+

1

8

=

7

+

1

5

=

4

+

1

9

=

8

+

1

10

=

9

+

1

Unos números están contenidos en otros.

¿CUÁL DE ESTOS NÚMEROS ES EL MAYOR? ¿CUÁL ES EL MENOR?

4

8

5

2

6

¿CUÁL DE ESTOS NÚMEROS ES EL MAYOR? ¿CUÁL ES EL MENOR?

2

4

5

6

8

8

6

5

4

2

¿CUÁL DE ESTOS NÚMEROS ES EL MAYOR? ¿CUÁL ES EL MENOR? CONTENIDOS TRABAJADOS

*Comparación y ordenación de números (El color y la longitud de las regletas ayuda a afianzar el valor de cada número y a compararlos entre sí)

2

4

5

6

8

*Trabajar los conceptos ‘mayor qué’, ‘menor que’, ‘equivalente a o igual a’. (La utilización el signo vendrá después)

REPRESENTA EL NÚMERO 5

-¿Cuántas regletas, como máximo, podemos utilizar para representar el 5? ¿Y como mínimo? ¿Qué otras opciones hay? Ejemplos con el número máximo de regletas, con el número mínimo y sólo con dos regletas.

REPRESENTA EL NÚMERO 5

CONTENIDOS TRABAJADOS

*El desarrollo de una idea flexible del número natural *Intuitivamente observan que unos números están contenidos en otros

REPRESENTA EL NÚMERO 5

¿Sólo podemos representarlo componiendo regletas? Es decir, ¿sólo podemos representarlo por medio de sumas?

REPRESENTA EL NÚMERO 5

CONTENIDOS TRABAJADOS

-Relacionado con la idea de desarrollar una imagen flexible del número, podemos trabajar la composición y descomposición de números, mediante la suma y la resta.

-Construcción del número natural *La secuencia numérica del 1 al 10: cada número es igual al anterior de la serie más 1. *Ordenación de números: conceptos ‘mayor que’, ‘menor que’, ‘equivalente a’. *Visión flexible del número: composición y descomposición de los números -Iniciación a las operaciones básicas y propiedades

Indagar cómo el uso de las regletas da sentido a los siguientes contenidos matemáticos. SUMA

MULTIPLICACIÓN

-Concepto de suma que pone de relieve.

-Concepto de multiplicación que pone de relieve.

-Las propiedades de la suma (conmutativa, asociativa).

-Propiedades: conmutativa, asociativa y distributiva respecto de la suma y la resta.

-La suma con llevadas.

DIVISIÓN RESTA -Concepto de resta que pone de relieve. -¿Qué propiedades cumple? -La resta con llevadas.

-Concepto de división que pone de relieve (División partitiva y cuotitiva) -La división exacta y la división entera -La división por exceso y por defecto -¿Qué propiedades cumple?

6+4= y

SUMA COMO UNIÓN DE CONJUNTOS

y

¿6+4=4+6? y

y PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA SUMA

-El resultado de esta operación podemos identificarlo con una regleta única de la misma longitud. Los valores iniciales (6 y 4) están contenidos en el 10, pero la utilización de la regleta de 10 elimina la referencia a esos valores y muestra la idea de convertirse en un ente diferente a los anteriores. -En este caso, tanto el color como la longitud de la regletaresultado supone un apoyo perceptual para la comprensión de la suma. ¿Siempre será así? - En el caso de las sumas con resultado mayor de 10, se elimina este apoyo perceptual.

¿(5+3)+1=5+(3+1)? (5+3)+1=

(

+

)+

=

+

=

+

= = =9

¿(5+3)+1=5+(3+1)? 5+(3+1)=

+

(

+

)

=

+

=

+

= = =9

¿(5+3)+1=5+(3+1)? -Obtenemos el mismo resultado en cada miembro de la igualdad: el número 9 o, en el lenguaje de las regletas:

-Las regletas nos ayudan a comprobar manipulativamente la propiedad asociativa de la suma

¿Cuánto es 27+14?

+

=

=

-En las sumas con llevadas, es conveniente representar los números haciendo uso de la regleta del 10, tantas veces como sea posible (descomposición numérica en base al 10) -Así asemejamos la representación con regletas a nuestro sistema de numeración decimal. -La regla básica es que 10 regletas blancas (o sumas de regletas hasta 10) es igual a una regleta naranja. (10 unidades = 1 Decena)

Tengo 9 caramelos y me como 5 ¿Cuántos me quedan?

X X X X X 4

-Con las regletas blancas, podemos trabajar la resta con el significado de ‘quitar’: En el ejemplo: ‘a 9 le quito 5 y me quedan 4’

Tengo 9 caramelos y me como 5 ¿Cuántos me quedan?

-Las regletas de colores permiten trabajar el significado de la resta: ‘cuántas faltan para’ En el ejemplo: ‘a 5 le faltan 4 para llegar a 9’

-En la resta, al igual que en la suma, se cumple la propiedad distributiva. Con las regletas se comprueba de la misma manera. -En la resta ¿Se cumple la propiedad conmutativa en el conjunto de los números naturales? ¿Cómo se comprobaría con las regletas?

Tengo 32 caramelos y me como 17 ¿Cuántos me quedan? No puedo quitarle la negra a la roja, porque la negra no está contenida en la roja Solución: transformo una naranja en 10 blancas y las coloco en el lugar de las unidades

Tengo 32 caramelos y me como 17 ¿Cuántos me quedan? X X X X X X

X

X

=

=

3x2= 2 veces 3

CONTENIDOS

-Concepto de multiplicación: La multiplicación como suma reiterada. 3 veces 2

-Se pone de relieve la propiedad conmutativa de la multiplicación.

¿(3x2)x4=3x(2x4)? (3x2)x4=

2 veces 3

4 veces

3x(2x4)=

3 veces

4 veces 2

¿(3x2)x4=3x(2x4)? (3x2)x4=

2 veces 3

4 veces

6x4=24

4

6

¿(3x2)x4=3x(2x4)? (3x2)x4=

2 veces 3

4 veces

3x(2x4)=

3 veces

4 veces 2

¿(3x2)x4=3x(2x4)? 3x(2x4)=

3 veces

4 veces 2

3x8=24

3

8

? S E T N E L A V I U Q E N ¿SERÁ ¿(3x2)x4=3x(2x4)? (3x2)x4=

2 veces 3

4 veces

3x(2x4)=

4 veces 2

3 veces

¿(3x2)x4=3x(2x4)? 2 veces 3

(3x2)x4=

4 veces 2 veces 3

4 veces

-Con el color, se pierde la referencia a las unidades.

¿(3x2)x4=3x(2x4)? 3x(2x4)=

4 veces 2

2 veces 3

4 veces

3 veces

-Efectivamente, se trata de representaciones equivalentes, cumpliéndose así la propiedad asociativa de la multiplicación

La propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma se comprueba también con las regletas ¿Seríais capaces de comprobar que 3x(2+1)=3x2+3x1?

EXPRESAMOS EL PRODUCTO DE OTRA MANERA… Formamos un rectángulo con 5 regletas rojas 5X2

2 blancas de ancho 5 Blancas de largo

La regleta de encima indica las veces que tenemos la regleta de abajo

Representa el 12 con regletas en cruz

4x3

3x2x2

6x2 12x1

¿Podríamos representar los números que poseen centena? (Por ejemplo, 126) 2 regletas naranjas en cruz (10x10), 2 regletas naranjas, 1 verde oscuro

¿Podríamos representar los números que poseen unidades de millar? (Por ejemplo, 1126) 3 regletas naranjas en cruz, 2 regletas naranjas en cruz (10x10), 2 regletas naranjas, 1 verde oscuro

¿Cuál es el mayor número que se podría representar? Cualquiera, dependiendo del número de piezas de que dispongamos y de la estabilidad de la montaña que formemos

¿Hasta que número deberíamos representar? Los materiales siempre son para la introducción al concepto y hay que intentar ir progresivamente eliminándolo para promover el pensamiento abstracto.

QUEREMOS DIVIDIR 6 CARAMELOS ENTRE TRES NIÑOS ¿CUÁNTOS RECIBE CADA UNO?

-La división supone un reparto equitativo. QUEREMOS DIVIDIR 6 CARAMELOS ENTRE TRES NIÑOS EN PARTES IGUALES ¿CUÁNTOS RECIBE CADA UNO?

QUEREMOS DIVIDIR 6 CARAMELOS ENTRE TRES NIÑOS EN PARTES IGUALES ¿CUÁNTOS RECIBE CADA UNO?

CONTENIDO TRABAJADO

-El concepto de división que se pone de relieve es el de ‘Reparto equitativo’ (División partitiva). -Las regletas blancas permiten reproducir manipulativamente el reparto.

6: 3=2

CONCEPTOS DE DIVISIÓN

-Reparto equitativo de 6 en 3 partes (División partitiva) Ejemplo: QUEREMOS DIVIDIR 6 CARAMELOS ENTRE 3 NIÑOS EQUITATIVAMENTE ¿CUÁNTOS RECIBE CADA UNO?

-Representa cuántas veces está contenido el 3 en el 6. (División cuotitiva o de medida) Ejemplo: TENÍAMOS 6 CARAMELOS Y LO HE REPARTIDO, DE MANERA QUE A CADA NIÑO LE HA TODACO 3 CARAMELOS ¿CUÁNTOS NIÑOS ERAN?

LAS REGLETAS DE CUISENAIRE DIVISIÓN POR REPARTO Y AGRUPAMIENTO Las regletas de Cuisenaire, nos permiten presentar y visualizar con facilidad, dos interpretaciones diferentes de la división:  Reparto  Agrupamiento

- En el reparto, se trata de repartir una cantidad, de forma equitativa, entre un número determinado de partes. Puede ser que en ese reparto sobren algunos elementos, o no. En cada caso, se debe reflexionar sobre lo que ocurre al volver a reunir todas las partes (más el resto, si lo hubiese).

- En el agrupamiento, se trata de ir agrupando elementos de una cantidad inicial, en la forma en que lo indique el enunciado, representando con las regletas lo que se plantea, y también interpretar lo que ocurre, cuántos grupos se han podido formar y si sobran o no, elementos.

En las páginas siguientes se plantean dos situaciones sencillas, para representar con las regletas y se comenta la forma de llevar a cabo cada una de ellas.

 

Enuncia dos actividades de división de números naturales y resuélvelas con ayuda de las Regletas de Cuisenaire

Actividad 1 (División por reparto)

Pedro tiene 12 caramelos y quiere repartirlos entre sus 2 amigos. ¿Cuántos caramelos le tocarán a cada uno? En el enunciado nos piden que compartamos los caramelos de Pedro entre sus dos amigos, por lo que podemos decir que este ejercicio lo resolveremos por medio de una división por reparto. Comenzamos construyendo el tren del 12 con las regletas (naranja-roja) que representan los 12 caramelos.

Para poder repartir los caramelos entre dos personas tenemos que buscar una regleta que, colocada dos veces, tenga la misma longitud que el tren formado por las regletas naranja-roja. Tras probar con varias regletas, es decir, mediante ensayo-error, llegamos a la conclusión de que la verde oscura (la del 6) es la que cumple la condición indicada.

RESPUESTA: Pedro podrá darle 6 caramelos a cada uno de sus amigos o o o o

Dividendo: 12 (la regleta naranja más la regleta roja) Divisor: 2 (el número de regletas verde-oscuras) Cociente: 6 (la longitud de la regleta verde-oscura) Resto: 0 (la división es exacta, por lo que no sobra nada)

Actividad 2 (División por agrupamiento)

En el supermercado tienen 12 kg de papas que quieren envasar en bolsas de 2 kg. ¿Cuántas bolsas se requerirán?

Este problema nos pide que hagamos diferentes grupos de la misma cantidad, 2 kg. Por ello decimos que se trata de una división concebida como agrupamiento. El primer paso es representar los datos. Construimos con las regletas el tren del 12 (formado por una regleta naranja y una roja), correspondiente a los 12 kg de papas.

Para realizar los agrupamientos colocaremos tantas regletas rojas (2 kilos) como la suma de las longitudes de las regletas naranja y roja nos permita, es decir, determinaremos cuántas veces está contenida la regleta roja en el tren del 12.

RESPUESTA: con los 12 kg podremos realizar 6 agrupamientos de 2 kg cada uno. o o o o

Dividendo: 12 (la regleta naranja más la regleta roja) Divisor: 2 (la longitud de las regletas rojas de la línea inferior) Cociente: 6 (número de regletas rojas de la línea inferior) Resto: 0 (la división es exacta, por lo que no sobra nada)

En definitiva, se requieren 6 bolsas de papas cada una de las cuales contendrá 2 kg.

WEBS SOBRE LAS REGLETAS DE CUISENAIRE

http://www.uco.es/~ma1marea/Recursos/Regletas.swf http://clic.xtec.cat/db/act_es.jsp?id=1316 http://www.regletasdigitales.com/ http://www.youtube.com/watch?v=ta7YK_jLe34 http://www.youtube.com/watch?v=a0Teppbuz-w&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=-c2J8OFL4uE&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=_XPk5sQgjOY&feature=related http://www.uco.es/~ma1marea/

Víctor M Manuel Hernánndez Suárez y Agustín Moraales González

1. PRO OBLEMAS ARITMÉT TICOS ESC COLARES S

PROB BLEMAS DE D ESTRU UCTURA ADITIVA: A CLASIFIC CACIÓN

Matemáticas y su didáctica

Víctor Manuel Hernández Suárez y Agustín Morales González

Matemáticas y su didáctica

Víctor Manuel Hernández Suárez y Agustín Morales González

Matemáticas y su didáctica

2. MATERIALES DIDÁCTICOS Y OPERACIONES ARITMÉTICAS BÁSICAS

- REGLETAS DE CUISENAIRE

DESCRIPCIÓN Material ideado por G. Cuisenaire y divulgado por Gattegno. Conjunto de barritas de madera (o plástico) de 10 tamaños y colores diferentes. La longitud de las mismas va de 1 a 10 cm, siendo la base de todas ellas un cuadrado de un centímetro de lado.

INTERÉS DIDÁCTICO 

Establecimiento de equivalencias, ya que si se unen varias regletas se obtienen longitudes equivalentes a las de otras más largas.

Víctor Manuel Hernández Suárez y Agustín Morales González



Enseñanza y aprendizaje del concepto de número y de las operaciones aritméticas básicas.



Comprobación empírica de algunas propiedades de las operaciones.



Utilización de las regletas como unidades de medida de longitud. Cambios.



Aplicación de las regletas para trabajar la superficie y el volumen.



Construcción del número natural. La secuencia numérica del 1 al 10: cada número es igual al anterior de la serie más 1.



Ordenación de números: trabajar manipulativamente las relaciones “ser mayor que”, “ser menor que” y “ser equivalente” de los números, basándose en la comparación de longitudes.



Realizar particiones y repartos como introducción a la división.



Comprobación de la relación de inclusión en la serie numérica. En cada número están incluidos los anteriores.

- Esquemas de los problemas de estructura aditiva y de estrategias para su resolución mediante el uso de regletas Cuisenaire

Matemáticas y su didáctica

Víctor Manuel Hernández Suárez y Agustín Morales González

Matemáticas y su didáctica

Víctor Manuel Hernández Suárez y Agustín Morales González

- Esquemas de los problemas de estructura multiplicativa y de estrategias para su resolución mediante el uso de regletas Cuisenaire

Matemáticas y su didáctica

Víctor Manuel Hernández Suárez y Agustín Morales González

- Algunos ejemplos de modelización de problemas de división mediante el uso de regletas Cuisenaire. División por reparto y agrupamiento

Matemáticas y su didáctica

Se cumple la propiedad fundamental:

D = d · c + r ; 45 = 7 · 6 + 3

Víctor Manuel Hernández Suárez y Agustín Morales González

Matemáticas y su didáctica

- BLOQUES MULTIBÁSICOS DE DIENES Zolthan Paul Dienes defendía el trabajo en las escuelas con bases de numeración distintas de la decimal, comenzando con las bases más pequeñas. Para facilitar la abstracción de la idea de valor relativo y la comprensión de los algoritmos de cálculo ideó, alrededor de 1960, el material que nos ocupa.

DESCRIPCIÓN Los bloques multibásicos de Dienes están diseñados para reproducir las características propias de cualquier sistema de numeración tratando de formalizar el principio de agrupamiento. En este caso, los bloques que utilizamos corresponden al sistema decimal. El material se presenta en cajas, una para cada base de numeración. En cada caja pueden distinguirse: unidades (cubitos), barras, placas y bloques, construidos en madera pulida, sin color a fin de facilitar la abstracción. Las piezas están marcadas mediante ranuras, separadas entre sí 1 cm con el fin de dar la impresión de que las unidades se han pegado unas con otras. De esta manera se pretende facilitar el reconocimiento de los valores numéricos que representan. Sólo trabajaremos con la caja correspondiente a la BASE 10.

BLOQUES MULTIBASE Los bloques multibase se utilizan para facilitar la comprensión de la estructura del sistema de numeración decimal y las operaciones fundamentales. Se emplean, principalmente, en los procesos iniciales de enseñanza y aprendizaje de los alumnos de primer ciclo.

cubos

barra

placas

bloque

Los bloques multibase están compuestos por una determinada cantidad de cubos, barras, placas y bloques (cajas). Pueden construirse en madera, plástico u otro material resistente a la manipulación. Los cubos tienen una medida aproximada a un centímetro cuadrado en cada una de sus caras. Las barras equivalen a diez cubos, las placas contienen diez barras, y los bloques están conformados por diez placas. La utilización de este material permite representar números y operaciones y realizar operaciones. 1 . R epresentación de núm eros El proceso de representación numérica debe realizarse en forma gradual. Inicie con la representación de números de un dígito y aumente, progresivamente, su dificultad. Los bloques multibase permiten observar los cambios de unidad de orden, de unidades a decena, de decenas a centena y de centenas a unidad de millar. Se utilizan para representar números naturales, establecer equivalencias y representar números decimales. Metodología a) Inicialmente, se representan con cubos, números de un dígito hasta llegar al 9, luego se añade una unidad y se cambian los 10 cubos por una barra b) Posteriormente, se procede a realizar representaciones con cubos y barras hasta el número 99. Luego, se agrega un cubo para realizar el cambio del número 99 al 100. El número 99 se representa utilizando 9 cubos y 9 barras y, el número 100, se puede representar inicialmente con 9 barras y 10 cubos, para luego introducir el cambio de los 10 cubos por una barra, y así establecer la equivalencia entre 10 barras y 1 placa. c) Una vez dominado el trabajo con cubos, barras y placas; introduzca el número mil. Hágalo de la misma forma que el punto b), agregue un cubo, represente el número mil y establezca las equivalencias correspondientes. 1

2 . R ealiz ación y representación d e operaciones Los bloques multibase permiten resolver y representar las cuatro operaciones fundamentales: suma, resta, multiplicación y división. Se pueden resolver operaciones con números naturales y decimales. Metodología Suma a) Represente los sumandos por separado. Luego, junte las representaciones y realice el conteo total. Inicie con operaciones sencillas donde no haya que hacer transformaciones en el total o resultado. Ejemplos: 3 + 5 =

10 + 7 =

21 + 8 =

b) Después, introduzca sumandos que permitan hacer transformaciones con el total o resultado. Es decir, si en el resultado hay 10 o más cubos sustitúyalos por barras y deje solamente la cantidad de cubos menor a 10. c) Una vez dominada la transformación de cubos a barras (unidades a decenas), continúe, con operaciones que permitan transformaciones de barras a placas (decenas a centenas) y, finalmente, de placas a cubos (centenas a unidad de millar). Ejemplos: 27 + 18 = 46 + 37 = 86 + 69 = 125 + 238 =

567 + 725 =

Resta a) Represente el número del minuendo, luego, a esa representación del minuendo, retire la cantidad que representa el sustraendo. Inicie con operaciones sencillas que no requieran transformaciones. Ejemplos: 9 - 5 =

19 - 3 =

29 - 8 =

b) Luego, introduzca operaciones que requieran transformaciones (pedir prestado). Aumente progresivamente la dificultad. Inicie con operaciones que requieran transformaciones de barras a cubos. Ejemplos: 12 - 5 =

45 - 7 =

62 - 38 =

c) Después, continúe con transformaciones de placas a barras y cubos. Finalmente, transformaciones de bloque a placas, barras y cubos. Ejemplos: 145 - 77 =

353 - 199 =

1 245 - 896 =

d) Tome en cuenta que, en la resta, las transformaciones se realizan de una unidad mayor a una unidad menor. 2

Multiplicación a) Represente la cantidad y el número de veces que se repite, cambiando el orden de los factores. Es decir, si se multiplica 11 x 4 , realice la representación de 11 veces 4 y 4 veces 11, o sea 44, haciendo las transformaciones necesarias para obtener cuatro barras y cuatro cubos. Aumente la dificultad de las operaciones y transformaciones en forma progresiva. Ejemplos: 2 x 3 =

3 x 6 =

12 x 4 =

25 x 6 =

126 x 8 =

b) Una vez dominadas estas transformaciones puede introducir variantes. Por ejemplo, en la multiplicación 215 x 3, primero se hace la representación de 215 (dos placas, una barra y tres cubos) y, luego las multiplicaciones en forma individual, dos placas (200) por 3, una barra (10) por 3 y cinco cubos (5) por 3, para juntarlos todos y encontrar el producto o resultado. c) Los bloques multibase se pueden utilizar para representar áreas y comprobar la propiedad conmutativa de la multiplicación. Ejemplo: 23 x 4 se puede representar como 23 veces 4 ó 4 veces 23; se agrupan las barras y cubos, para luego comprobar que representan la misma área. División a) Se representa el dividendo y se reparte o divide en tantos grupos como indica el divisor. b) Inicie el proceso de repartición por la unidad de orden superior en el dividendo. c) Ejemplo: en la operación 1215 ÷ 5 = inicie por la unidad de millar. 1. Considere el bloque que representa la unidad de millar. Como no se puede repartir, se transforma en placas. Ahora se tienen 10 placas, más 2 que hay en las centenas, en total hay 12 placas, que si se pueden repartir en 5 grupos. Le corresponde 2 placas a cada grupo y sobran 2 placas. 2. Estas 2 placas que sobran se transforman en barras, ahora se tienen 20 barras, más 1 que hay en las decenas, en total hay 21 ba rras. Le corresponde 4 barras a cada grupo y sobra 1 barra. 3. Esta barra que sobra se transforma en cubos, ahora se tienen 10 cubos, más 5 que hay en las unidades, en total hay 15 cubos, que repartidos en 5 grupos, le corresponde 3 cubos a cada grupo. 4. Finalmente, tenemos como resultado en cada grupo 2 placas, 4 barras y 3 cubos, que corresponde al número 243. d) Aumente, progresivamente, la dificultad de las operaciones y de las transformaciones. Operaciones con decimales a) Los decimales se trabajan cambiando la unidad de base. Es decir, si en las operaciones anteriores la unidad básica era el cubo, ahora se puede considerar la placa como la unidad, entonces las barras representan los décimos y los cubos los céntesimos. b) Si se desea trabajar con milésimos se debe variar la unidad básica. Entonces, el bloque representa la unidad, las placas los décimos, las barras los centésimos y los cubos los milésimos. 3

c) En la multiplicación se opera con valores entre 0 y 1 en el multiplicador. Si se quiere realizar la siguiente operación 4 x 0,5 se debe interpretar como 4 repetido 0,5 veces ó 4 repetido la mitad de las veces, que corresponde a 2. Es decir, 4 placas repetidas la mitad de las veces son 2 placas. d) En la división se opera con valores entre 0 y 1 en el divisor. e) Si se quiere realizar la siguiente operación 3 ÷ 0,5 = se procede a realizar grupos como indica el divisor, es decir, grupos de cinco décimas (5 barras, si se tiene la placa como la unidad). Para resolver la operación se transforma el 3 (placas) en barras, entonces 3 placas equivalen a 30 barras, luego se procede a formar grupos de cinco décimas. Con las 30 barras se pueden formar 6 grupos de cinco décimas, y obtener 6, como respuesta, resultado o cociente de la operación. Bibliografía Torra, M. Construir las Matemáticas en Educación Primaria.

Bloques multibase y las NNTT. http://www.arcytech.org/java/b10blocks/b10blocks.html http://www.ceducar.org/contenidos/areas/Matem%C3%A1tica/Matem%C3%A1tica%20Bloque s%20Multibase.pdf Biblioteca nacional de manipuladores virtuales http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html Juego bloques base: Ilustra la suma y resta en distintas bases http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_152_g_1_t_1.html Usa bloques de base 10 para modelar la agrupación que ocurre en la adición. http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_154_g_1_t_1.html Usa bloques de base para sumar y restar números decimales. http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_264_g_1_t_1.html Usa bloques de base 10 para modelar la separación de grupos que ocurre en la substracción. http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_155_g_1_t_1.html http://nlvm.usu.edu/es/nav/category_g_1_t_1.html

4

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

MATERIAL: BLOQUES ARITMÉTICOS MULTIBÁSICOS (BAM) DE DIENES 1. INTRODUCCIÓN El conocimiento del sistema de numeración decimal y los algoritmos de las operaciones básicas requiere conocer previamente la secuencia numérica tradicional (verbalización) y haber realizado actividades de agrupamiento en conjuntos (cuantificación). Durante mucho tiempo se defendió el argumento de que el aprendizaje previo del agrupamiento en bases distintas a la de diez (base dos, base tres, base cuatro, etc.) facilita la comprensión del sistema de numeración decimal. Existen razones para pensar que ello no es así, (Véase Maza (1991), p. 108 y 109). Para este autor "el agrupamiento en bases distintas a la de diez es, cuanto menos, innecesario y cuanto más, perjudicial". Sin embargo, las investigaciones realizadas hasta la fecha (véase DICKSON et al. (1991)) no parecen haber aclarado la cuestión. Para las labores de agrupamiento existen dos tipos de material: el proporcional y el no proporcional. El primero se caracteriza por revelar el método de agrupamiento y hacerlo perceptible; tal es el caso de todos los elementos de tipo discreto (garbanzos, fichas, marcas sobre el papel, BAM, etc.). Así, al encerrar varios elementos dentro de un grupo, queda claramente de manifiesto, por vía visual, el número de elementos que integran cada grupo. En el segundo tipo (ábacos, monedas, etc.) la situación es muy diferente. Ahora, la actividad de agrupar no consiste como antes en "encerrar dentro de", sino en "cambiar por"; por ejemplo, una moneda de 50 céntimos de euro se cambia por cinco monedas de 10 céntimos, una de 5 céntimos se transforma en cinco de un céntimo. Al realizar estos cambios, la cantidad original se transforma y desaparece, tanto si se hace en un sentido como en el otro. El ábaco común funciona bajo el mismo principio (diez bolas a la derecha en la varilla de las unidades, por ejemplo, desaparecen al ser cambiadas por una bola a la derecha en la varilla de las decenas). Por tanto, no todos los materiales presentan la misma "transparencia" en relación a la acción realizada (el agrupamiento), por lo que convendrá desarrollar las primeras actividades de este tipo con material proporcional para, más tarde, pasar al no proporcional.

2. ORIGEN DEL MATERIAL Zolthan Paul Dienes defendía el trabajo en las escuelas con bases de numeración distintas de la decimal, comenzando con las bases más pequeñas. Para facilitar la

1

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

abstracción de la idea de valor relativo y la comprensión de los algoritmos de cálculo ideó, alrededor de 1960, el material que nos ocupa. 3. DESCRIPCIÓN El material se presenta en cajas, una para cada base de numeración. En cada caja pueden distinguirse: unidades (cubitos), barras, placas y bloques, construidos en madera pulida, sin color a fin de facilitar la abstracción. Las piezas están marcadas mediante ranuras, separadas entre sí 1 cm con el fin de dar la impresión de que las unidades se han pegado unas con otras. De esta manera se pretende facilitar el reconocimiento de los valores numéricos que representan. Sólo trabajaremos con la caja correspondiente a la BASE 10. Por ello, tendremos: • 1 barra (una decena) = 10 unidades simples (cubitos) • 1 placa (una centena) = 10 barras (10 decenas) • 1 bloque (una unidad de millar) = 10 placas (10 centenas) Análogamente, cabría concebir el bloque largo, la placa-bloque, el bloque -bloque, etc., si bien no resultan prácticos.

REPRESENTAN

EQUIVALENCIA EN EL SND

Cubo (c)

Unidad

Barra (b)

Decena

1b = 10 c

Placa (p)

Centena

1p = 10 b

Bloque (bq)

Millar

1 bq = 10 p

2

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

Bloque

BLOQUES DE DIENES

Placa

Barra

Cubo

4. INTERÉS DIDÁCTICO DE LOS BAM (BASE 10) Dado que nos limitaremos a utilizar la caja correspondiente a la base diez, el material permite la comprensión de la estructura del Sistema de Numeración Decimal (SND), a la vez que comprender significativamente los algoritmos de cálculo (fundamentalmente, suma y resta). Es especialmente importante prestar especial atención a los procedimientos originales que puedan sugerir los diversos alumnos/as, en relación con el modo de realizar las operaciones elementales con los BAM (Base 10).

5. OTROS MATERIALES RELACIONADOS De estructura comparable a los BAM cabe mencionar el "Material Madibases", compuesto por placas de cartón que se disponen una a continuación de otra; en una placa 3

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

aparece dibujado un cubito (unidad simple), en la siguiente una barra, en la siguiente una placa, etc. El trabajo se realiza por medio de fichas. Otros materiales estructurados que permiten reforzar los algoritmos de cálculo (fundamentalmente, suma y resta) son los diversos tipos de ábacos (plano, vertical, horizontal, ruso, japonés, etc.). Asimismo, el conocido como "Minicomputador de Papy", que combina las bases dos y diez, permite realizar las operaciones elementales.

6. ACTIVIDADES CON LOS BAM (BASE 10) 6.1. Juego libre con los bloques. 6.2. Intercambio de piezas grandes por piezas de orden inferior. 6.3. Práctica de la adición: 6.3.1. Sumas sin llevadas (números de dos, tres y cuatro dígitos). 6.3.2. Sumas con llevadas (números de dos, tres y cuatro dígitos). 6.4. Práctica de la sustracción: 6.4.1. Restas sin llevadas (números de dos, tres y cuatro dígitos). (Todas las cifras del minuendo son iguales o mayores que las del mismo orden del sustraendo). 6.4.2. Restas con llevadas (números de dos, tres y cuatro dígitos). (En el sustraendo hay alguna cifra mayor que su correspondiente del minuendo). • Método de "pedir prestado". Justificación del método. • Método tradicional o de "sumar la base". Justificación del método. 6.5. Práctica de la multiplicación (multiplicador de una sola cifra). 6.6. Práctica de la división (divisor de una sola cifra). 7. BIBLIOGRAFÍA CASCALLANA. M.T. (1988). Iniciación a la Matemática. Madrid: Santillana. DICKSON, L. et al. (1991): El aprendizaje de las Matemáticas. Barcelona: LaborMEC. GÓMEZ, B. (1988): Numeración y cálculo. Madrid: Síntesis. HERNÁNDEZ, V. (COORDINADOR) et al. (2011): Matemáticas y su didáctica I. Colección Manuales Universitarios de Teleformación. Manuales docentes Grado en Educación Primaria, N. 3. Las Palmas de Gran Canaria: ULPGC. Vicerrectorado de Ordenación Académica y Espacio Europeo de Educación Superior. MAZA, C. (1991): Enseñanza de la suma y de la resta. Madrid: Síntesis. 4

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

MAZA, C. (1991): Enseñanza de la multiplicación y de la división. Madrid: Síntesis.

8. BIOGRAFÍA DE Z.P. DIENES http://www.zoltandienes.com/biography.html

Dr. Zoltan P. Dienes is a world-famous theorist and tireless practitioner of the "new mathematics" - an approach to mathematics learning that uses games, songs and dance to make it more appealing to children. Holder of numerous honorary degrees, Dr. Dienes has had a long and fruitful career, breaking new ground and gaining many followers with his revolutionary ideas of learning often complex mathematical concepts in such fun ways that children are often unaware that they are learning anything! This is an honest account of an academic radical, covering his sometimes unconventional childhood in Hungary, France, Germany and Britain, his peripatetic academic career, his successes and failures and his personal affairs. Occasionally sad or moving, frequently amusing and always fascinating, this autobiography shares some of the intelligence, spirit and humanity that have made Dr. Dienes such a landmark figure in mathematics education. A 'must-read' for anyone with a professional interest in the field, this is also an absorbing and frank book for anyone interested in the life of a man of ideas who was not afraid to take on the might of the traditionalist educational establishment.

5

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

9. ALGORITMOS CON LOS BLOQUES MULTIBÁSICOS DE DIENES

9.1. Adición y sustracción -Ejemplo de Adición: Antonio tiene 125 gallinas y su prima 195 patos. ¿Cuántas aves tienen entre los dos? Se representan los dos sumandos con los Bloques Multibásicos de Dienes, de la siguiente forma:

Se suman cubos con cubos, barras con barras y placas con placas. Se sabe que diez cubos forman una barra, que hay que añadir al total de las mismas y se obtienen 12.

6

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

Las diez barras se transforman en una placa, quedan tres placas y dos barras.

7

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

El resultado es, por tanto, 320 aves. - Algoritmo de la sustracción: Método “sumar diez”. María le da al dueño de una tienda 230 € por una compra de 211 €. ¿Cuántos euros tiene que devolverle el dueño de la tienda? Inicialmente, se representa la cantidad asignada al minuendo con el material:

Seguidamente, tenemos que restar un cubo al conjunto de piezas que representa al minuendo. En este caso, al no disponer de cubos sueltos añadimos 10 y restamos uno:

Al añadir los 10 cubos, la cantidad representada ahora es 240 y para que la resta no cambie debemos quitar además de la barra, indicada por el sustraendo, otra más, ya que, 10 cubos forman una barra.

8

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

Finalmente, restamos dos placas.

En la práctica acostumbramos a representar, con el material, el minuendo y el sustraendo.

- Algoritmo de la sustracción: Método “tomar prestado”

Resolvemos el problema anterior de la siguiente manera:

Inicialmente, se representa la cantidad asignada al minuendo con el material.

9

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

Posteriormente, tenemos que restar un cubo al conjunto de piezas que representa al minuendo. En este caso, al no disponer de cubos, tomamos prestada una barra de las tres disponibles, ésta la transformamos en 10 cubos y restamos uno.

A continuación, restamos una barra a las dos existentes:

Finalmente, sustraemos dos placas a los dos que tenemos.

10

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

9.2. Multiplicación y división

El algoritmo de la multiplicación se trabaja como una suma reiterada. En cambio, para el algoritmo de la división se reparten o se agrupan piezas, de los Bloques Multibásicos, de un mismo tipo. A continuación, vamos a ver un ejemplo: Juan tiene 113 € y desea repartirlos en partes iguales entre sus dos amigos. ¿Cuántos euros recibe cada uno? Representamos el 113 con el material:

Se reparten placas, barras y cubos. Al disponer de una sola placa no podemos repartirla entre dos. Para ello, la transformamos en 10 barras que sumadas a la existente hacen 11 barras y las repartimos entre dos:

11

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

Se forman dos grupos de cinco barras y queda una sin repartir. Esta barra se transforma en 10 cubos que añadidos a los tres hacen un total de trece.

Se forman dos grupos de seis cubos y queda uno sin repartir. Así, el cociente es 56 y el resto 1. 9.3. PROBLEM A D E SUM A CON LOS BLO QUE S MULTIB ÁSICOS DE DIENES

LOS BLO QU ES MULTI B ÁSICO S DE DIENES

Los bloques multibásicos de Dienes están diseñados para reproducir las características propias de cualquier sistema de numeración tratando de formalizar el

12

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

principio de agrupamiento. En este caso, los bloques que utilizamos corresponden al sistema decimal. Este material consta de una serie de piezas, normalmente de madera o plástico, que representan unidades de primer, segundo, tercer y cuarto orden (unidades, decenas, centenas y unidades de millar). Se representan en forma de: • Cubos: de 1 cm de arista, que representan las unidades (de primer orden). • Barras: compuestas de 10 cubos unidos. En el SND, corresponderían a las decenas (unidades de segundo orden). • Placas: constan de una superficie cuadrada compuesta en cada lado por tantos cubos como indique la base del sistema de numeración; en nuestro sistema la placa sería una superficie de 10 x 10 cubos: la centena. Correspondería también a 10 barras unidas. (unidades de tercer orden). • Bloques: son cubos cuyo volumen viene determinado por la base elegida; en nuestra base 10, el bloque estaría compuesto por 10 x 10 x 10 cubos, es decir, 1.000 cubos; correspondería también a 100 barras o 10 placas; la unidad de millar (unidades de cuarto orden). TABLA DE EQUIVALENCIAS

R E P R E S E N T AN Cubo

E Q U I VAL E N C I A S E N E L SN D

Unidad Decena

1 barra = 10 cubos

Centena

1 placa = 10 barras

Millar

1 bloque = 10 placas

Barra

Placa

Bloque

13

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

I NTERÉS DIDÁCTICO  Realizar agrupamientos con los cubos en distintas bases 4, 6, 8, 10, e intercambiar estas agrupaciones por las piezas de unidades de segundo orden (las barras), y éstas por las de tercer orden.  Manejar los conceptos de unidades de orden superior con un apoyo concreto.  Llegar a comprender el valor posicional de las cifras; así, un cubo tiene diferente valor que una barra.  Realizar las operaciones de adición y sustracción de forma manipulativa.  Comprender de forma práctica la suma y resta “con llevadas”.  Trabajar los conceptos de doble y mitad.  Iniciar de forma manipulativa las operaciones de multiplicación y división.  Ayudar a la resolución de problemas cotidianos con las operaciones de números naturales.  Afianzar los conceptos aprendidos con otros recursos, como ábacos, regletas de Cuisenaire, etc.  Trabajar el SND y otros sistemas de numeración.  Estudiar los algoritmos de las operaciones a través de la manipulación.  Utilizar los cubos, las barras y las placas como unidades de medida. R ESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Francisco tiene 5346 € en el Banco y gana en la Lotería Primitiva un premio de 3978 €. ¿Cuántos euros tendrá en total? Resuelve esta actividad utilizando los Bloques Multibásicos de Dienes. Debes representar los dos números que intervienen en la operación. Asimismo, debes representar y explicar, detalladamente, cada paso realizado al mismo tiempo que efectúas las operaciones.

Se representan los dos sumandos con los Bloques Multibásicos de Dienes, de la siguiente forma: 5346 (5 unidades de millar, 3 centenas, 4 decenas y 6 unidades)

14

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

3978 (3 unidades de millar, 9 centenas, 7 decenas y 8 unidades)

Adición. Se suman cubos con cubos, barras con barras y placas con placas. Se sabe que diez cubos (unidades) forman una barra (decena), que hay que añadir al total de éstas; así se obtienen 12 barras (decenas); y quedan 4 cubos (unidades) sin agrupar.

De las 12 barras (decenas), 10 barras se transforman en una placa (centena), por lo que se obtienen 13 placas (centenas); y quedan 2 barras (decenas) y 4 cubos (unidades) sin agrupar.

15

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

De las 13 placas (centenas), 10 placas se transforman en un bloque (unidad de millar) y se obtienen 9 bloques (unidades de millar); y quedan 3 placas (centenas), 2 barras (decenas) y 4 cubos (unidades) sin agrupar.

RESPUESTA: el resultado es, por tanto, 9324 euros. (9 unidades de millar, 3 centenas, 2 decenas y 4 unidades)

9.4. PROBLEM A D E RE ST A CON LOS BLO QUES MULTIBÁSICOS DE DIEN ES

16

ACTIVIDAD: RESTA CON LOS BLOQUES DE DIENES Salvador tiene 3475 € y le presta a su hermana Rosa 1897 €. ¿Cuántos euros le quedan? Resuelve esta actividad utilizando los Bloques de base diez de Z.P. Dienes. Debes representar los dos números que intervienen en la operación. Asimismo, debes explicar, detalladamente, cada paso realizado al mismo tiempo que efectúas las operaciones. Resolución del problema REPRESENTAN Cubo

EQUIVALENCIAS EN EL SND

Unidad

Decena

1 barra = 10 cubos

Centena

1 placa = 10 barras

Millar

1 bloque = 10 placas

Barra

Placa

Bloque

Salvador tiene 3475 €:

Y su hermana Rosa 1897 €:

Algoritmo de la sustracción: método de “tomar prestado” En primer lugar, representamos con el material solamente el minuendo para proceder a la sustracción:

Tenemos que restar 7 cubos (unidades) a los cubos del minuendo. Como sólo disponemos de 5 cubos, de las siete barras (decenas) disponibles, tomamos prestada una de ellas y la transformamos en 10 cubos, con lo cual tendremos 15 cubos en el minuendo, lo que

nos permite restar los 7 cubos del sustraendo; lógicamente, debemos eliminar del minuendo dicha barra, así como los 7 cubos.

A continuación debemos restar nueve barras (decenas), pero como solamente hay 6 de ellas, de las placas (centenas) disponibles, tomamos prestada una de ellas que se transforman en 10 barras (decenas), con lo cual tendremos 16 barras en el minuendo, lo que nos permite restar las 9 barras del sustraendo; lógicamente, debemos eliminar dicha placa y eliminamos las nueve barras (decenas) necesarias:

Ahora le toca el turno a las centenas. En este caso, necesitamos restar ocho placas (centenas), pero sólo disponemos de tres. Por ello, tomamos prestado un bloque (unidad de millar), que eliminamos, y lo transformamos en diez placas (centenas); de esta manera, disponemos de 13 placas con lo que podemos eliminar 8 de ellas:

Finalmente, siguiendo un proceso análogo, restamos la unidad de millar que aparece en el sustraendo:

Por tanto, tras prestarle 1897 € a su hermana Rosa, a Salvador le quedan 1578 €.

1 unidad de millar (bloque), 5 centenas (placas), 7 decenas (barras) y 8 unidades (cubos).

Algoritmo de la sustracción: método de “sumar diez” En primer lugar, representamos con el material tanto el minuendo como el sustraendo para proceder a la sustracción: Salvador tiene 3475 €:

Y su hermana Rosa 1897 €:

Para efectuar la resta, con la ayuda de los bloques de Dienes, debemos seguir la secuencia numérica siguiente:

1. Tenemos que restar 7 cubos (unidades) a los cubos del minuendo. Como sólo disponemos de 5 cubos, tomamos de la caja 10 de ellos y los añadimos a los 5 del minuendo. Al hacer esto, para que la diferencia no varíe, deberíamos añadir también 10 cubos a los 7 del sustraendo, lo que equivale a añadir una barra a las 9 existentes en éste, y restamos los 7 cubos (unidades) al minuendo. Nos quedan 8 cubos (unidades). Minuendo (3475 €):

SUMAMOS 10 PLACAS

SUMAMOS 10 CUBOS

SUMAMOS 10 BARRAS

Sustraendo (1897) €:

Añadimos 10 placas, que se transforman en un bloque

Añadimos 10 barras, que se transforman en una placa

Añadimos 10 cubos, que se transforman en una barra

2. Tenemos que restar 10 barras (decenas) a las barras del minuendo. Como sólo disponemos de 7 barras, tomamos de la caja 10 de ellas y las añadimos a las 7 del minuendo. Al hacer esto,

para que la diferencia no varíe, deberíamos añadir también 10 barras a las 10 del sustraendo, lo que equivale a añadir una placa a las 8 existentes en éste, y restamos las 10 barras (decenas) al minuendo. Nos quedan 7 barras (decenas). 3. Tenemos que restar 9 placas (centenas) a las 4 placas del minuendo. Como sólo disponemos de 4 placas, tomamos de la caja 10 de ellas y las añadimos a las 4 del minuendo. Al hacer esto, para que la diferencia no varíe, deberíamos añadir también 10 placas a las 9 del sustraendo, lo que equivale a añadir un bloque al ya existente en éste, y restamos las 9 placas (centenas) al minuendo. Nos quedan 5 placas (centenas). 4. Finalmente, restamos a las 3 unidades de millar del minuendo (bloques), dos unidades de millar (bloques) del sustraendo. Nos queda 1 bloque (unidad de millar). De esta manera, a Salvador le quedan 1578 € tras prestarle 1897 € a su hermana Rosa.

1 unidad de millar (bloque), 5 centenas (placas), 7 decenas (barras) y 8 unidades (cubos).

10. LOS BLOQUES DE DIENES Y LAS EXPRESIONES DECIMALES

En relación con las expresiones decimales tenemos la siguiente,

TABLA DE EQUIVALENCIAS

REPRESENTAN

EQUIVALENCIAS EN EL SND

Cubos Milésimas

Barras

Centésimas

1 barra = 10 cubos Parte decimal

Placas

Bloques

Décimas

Unidades

1 placa = 10 barras

Parte entera

1 bloque = 10 placas

11. WEBS DE INTERÉS DIDÁCTICO (BLOQUES DE DIENES)

http://nlvm.usu.edu/es/nav/topic_t_1.html http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_152_g_1_t_1.html?from=topic_t_1.html http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_154_g_1_t_1.html?from=topic_t_1.html http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_155_g_1_t_1.html?from=topic_t_1.html http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_264_g_1_t_1.html?from=topic_t_1.html

Bloques de Base – Ilustra la suma y resta en distintas bases.

Bloques de Base - Adición – Usa bloques de base 10 para modelar la agrupación que ocurre en la adición. Bloques de Base - Sustracción – Usa bloques de base 10 para modelar la separación de grupos que ocurre en la substracción. Bloques de Base - Decimales – Usa bloques de base para sumar y restar números decimales.

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

BLOQUES ARITMÉTICOS MULTIBÁSICOS (BAM) DE DIENES Y EXPRESIONES DECIMALES PROBLEMA DE SUMA CON LOS BLOQUES MULTIBÁSICOS DE DIENES

LOS BLOQUES MULTIBÁSICOS DE DIENES

Los bloques aritméticos multibásicos de Dienes están diseñados para reproducir las características propias de cualquier sistema de numeración tratando de formalizar el principio de agrupamiento. En este caso, los bloques que utilizamos corresponden al sistema decimal. Este material consta de una serie de piezas, normalmente de madera o plástico, que representan unidades de primer, segundo, tercer y cuarto orden (milésimas, centésimas, décimas y unidades enteras). Se representan en forma de: • Cubos: de 1 cm de arista, que representan las unidades de primer orden (milésimas). • Barras: compuestas de 10 cubos unidos. En el SND, corresponderían a las centésimas (unidades de segundo orden). • Placas: constan de una superficie cuadrada compuesta en cada lado por tantos cubos como indique la base del sistema de numeración; en nuestro sistema la placa sería una superficie de 10 x 10 cubos: la décima. Corresponderían también a 10 barras unidas (unidades de tercer orden). • Bloques: son cubos cuyo volumen viene determinado por la base elegida; en nuestra base 10, el bloque estaría compuesto por 10 x 10 x 10 cubos, es decir, 1.000

1

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

cubos; correspondería también a 100 barras o 10 placas; la unidad entera (unidades de cuarto orden). TABLA DE EQUIVALENCIAS

REP RES ENTAN Cubo

EQUIVALENCIAS EN EL S ND

Milésimas Centésimas

1 barra = 10 cubos

Décimas

1 placa = 10 barras

Unidades

1 bloque = 10 placas

Barra

Placa

Bloque INTERÉS DIDÁCTICO  Realizar agrupamientos con los cubos en distintas bases 4, 6, 8, 10, e intercambiar estas agrupaciones por las piezas de unidades de segundo orden (las barras), y éstas por las de tercer orden.  Manejar los conceptos de unidades de orden superior con un apoyo concreto.  Llegar a comprender el valor posicional de las cifras; así, un cubo tiene diferente valor que una barra.  Realizar las operaciones de adición y sustracción de forma manipulativa.  Comprender de forma práctica la suma y resta “con llevadas”.  Trabajar los conceptos de doble y mitad.  Iniciar de forma manipulativa las operaciones de multiplicación y división.  Ayudar a la resolución de problemas cotidianos con las operaciones de números naturales.  Afianzar los conceptos aprendidos con otros recursos, como ábacos, regletas de Cuisenaire, etc.

2

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

 Trabajar el SND y otros sistemas de numeración.  Estudiar los algoritmos de las operaciones a través de la manipulación.  Utilizar los cubos, las barras y las placas como unidades de medida. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Francisco obtiene en el examen 5,346 puntos y en las actividades 3,978 puntos. ¿Cuál será su nota final, sabiendo que ésta se obtiene sumando las notas del examen y de las actividades?

Resuelve este problema utilizando los Bloques Multibásicos de Dienes.

Debes representar los dos números que intervienen en la operación. Asimismo, debes representar y explicar, detalladamente, cada paso realizado al mismo tiempo que efectúas las operaciones.

Se representan los dos sumandos con los Bloques Multibásicos de Dienes, de la siguiente forma: 5,346 (5 unidades enteras, 3 décimas, 4 centésimas y 6 milésimas)

3,978 (3 unidades enteras, 9 décimas, 7 centésimas y 8 milésimas)

3

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

Adición. Se suman cubos con cubos, barras con barras y placas con placas. Se sabe que diez cubos (milésimas) forman una barra (centésima), que hay que añadir al total de éstas; así se obtienen 12 barras (centésimas); y quedan 4 cubos (milésimas) sin agrupar.

De las 12 barras (centésimas), 10 barras se transforman en una placa (décima), por lo que se obtienen 13 placas (décimas); y quedan 2 barras (centésimas) y 4 cubos (milésimas) sin agrupar.

De las 13 placas (décimas), 10 placas se transforman en un bloque (unidad entera) y se obtienen 9 bloques (unidades enteras); y quedan 3 placas (décimas), 2 barras (centésimas) y 4 cubos (milésimas) sin agrupar.

4

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

RESPUESTA: por tanto, la calificación final obtenida por Francisco es sobresaliente 9,324 (9 unidades enteras-bloques, 3 décimas-placas, 2 centésimas-barras y 4 milésimas-cubos).

PROBLEMA DE RESTA CON LOS BLOQUES MULTIBÁSICOS DE DIENES

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Salvador obtuvo en el examen final 3,475 puntos y su hermana Rosa 1,897. ¿En cuántos puntos superó Salvador a su hermana? Resuelve esta actividad utilizando los Bloques de base diez de Z.P. Dienes. Debes representar los dos números que intervienen en la operación. Asimismo, debes explicar, detalladamente, cada paso realizado al mismo tiempo que efectúas las operaciones.

Salvador obtiene en el examen 3,475 puntos:

5

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

Y su hermana Rosa 1,897 puntos:

Algoritmo de la sustracción: método de “tomar prestado” En primer lugar, representamos con el material solamente el minuendo para proceder a la sustracción:

6

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

Tenemos que restar 7 cubos (milésimas) a los cubos del minuendo. Como sólo disponemos de 5 cubos, de las siete barras (centésimas) disponibles, tomamos prestada una de ellas y la transformamos en 10 cubos, con lo cual tendremos 15 cubos en el minuendo, lo que nos permite restar los 7 cubos del sustraendo; lógicamente, debemos eliminar del minuendo dicha barra, así como los 7 cubos.

7

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

A continuación debemos restar nueve barras (centésimas), pero como solamente hay 6 de ellas, de las placas (décimas) disponibles, tomamos prestada una de ellas que se transforma en 10 barras (centésimas), con lo cual tendremos 16 barras en el minuendo, lo que nos permite restar las 9 barras del sustraendo; lógicamente, debemos eliminar dicha placa y también las nueve barras (centésimas) necesarias:

Ahora le toca el turno a las décimas. En este caso, necesitamos restar ocho placas (décimas), pero sólo disponemos de tres. Por ello, tomamos prestado un bloque (unidad entera), que eliminamos, y lo transformamos en diez placas (décimas); de esta manera, disponemos de 13 placas con lo que podemos eliminar 8 de ellas:

8

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

Finalmente, siguiendo un proceso análogo, restamos la unidad entera que aparece en el sustraendo:

9

MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

BLOQUES DE DIENES

RESPUESTA: por tanto, Salvador supera a su hermana Rosa, en 1,578 puntos (1 unidad entera-bloque, 5 décimas-placas, 7 centésimas-barras y 8 milésimas- cubos).

10

EL ÁBACO ¾ EL ÁBACO FUE INVENTADO HACE MÁS DE TRES MIL AÑOS

Las últimas investigaciones arqueológicas apuntan a que el ábaco, instrumento para realizar operaciones aritméticas, tiene un origen que se remonta a más de 3000 años, informaron fuentes oficiales chinas, en octubre de 1993. La nueva teoría, que indica que el ábaco se utilizaba ya durante la dinastía occidental china Zhou (del siglo XI al año 771 a. C.), se originó a raíz de los estudios posteriores al descubrimiento hace unos 20 años de 40 abalorios de cerámica en colores rojo y negro. Tras el hallazgo, más de 30 expertos analizaron las cuentas que miden 1,5 centímetros de diámetro, así como el lugar del hallazgo, llamado Zhouyuan, cerca de la ciudad de Baoji, en la provincia de Shaanxi (norte), y llegaron a la conclusión de que los abalorios fueron construidos y utilizados para hacer cálculos. El ábaco, un cuadro de madera con diez cuerdas o alambres paralelos y en cada uno de ellos otras tantas bolas movibles, sigue siendo un instrumento de uso diario en China, donde se utiliza, tanto en tiendas como en bancos u otras organizaciones, para realizar cálculos. La nueva teoría sobre el origen del ábaco ha desbancado a la que databa su aparición en la dinastía Han (206 antes de Cristo al 220 después de Cristo).

¾ DESCRIPCIÓN El ábaco es uno de los recursos más antiguos para la didáctica de las matemáticas; a través de su utilización el niño llega a comprender los sistemas de numeración y el cálculo de las operaciones con números naturales. Material didáctico que consta de un marco o soporte de madera y de una serie de varillas metálicas y paralelas. Estas varillas pueden estar dispuestas horizontalmente o verticalmente y cada una de ellas lleva insertadas diez bolas o anillas de un mismo color.

Cada varilla representa un orden de unidades, que en el sistema de numeración decimal serían las unidades, decenas, centenas, unidades de millar,... Las bolas de cada varilla pueden ser de diferente color y tienen que ser fácilmente manipulables por los niños.

Por su fundamento teórico, el ábaco puede ser considerado como la primera máquina de calcular. ¾ UTILIDAD El ábaco sirve básicamente para iniciar y afianzar el cálculo de las operaciones con números naturales. Antes de utilizarlo es conveniente que se haya trabajado la noción de cantidad, que el alumno tenga el concepto de número y se haya practicado la coordinabilidad. El conocimiento matemático en los niños pasa por tres fases: una manipulativa, otra gráfica y, por último, la simbólica. Con el ábaco se puede cubrir esa primera fase manipulativa en lo que se refiere al cálculo; una vez que hayan comprendido en qué consiste el procedimiento, se les puede introducir en la expresión de estas operaciones de forma gráfica y abstracta. Comenzar a trabajar el cálculo con el uso del ábaco previene errores conceptuales posteriores, como el de colocar las cifras en una posición incorrecta para la suma. El ábaco posibilita el conocimiento del valor de las cifras dentro de un número y facilita la mejor comprensión del cero. La iniciación del cálculo a partir de una representación numérica abstracta provoca a menudo conceptos erróneos. La enseñanza de la suma con trucos como el de consigue que los alumnos aprendan mecánicamente, pero no comprenden lo que significa; con el uso del ábaco ven con claridad lo que significa y cuál es el valor de ese 1.

¾ INTERÉS DIDÁCTICO A través de las actividades con el ábaco, los niños pueden comprender: - El sistema de numeración decimal, cómo se forman las unidades de orden superior. - El procedimiento para representar los números naturales. - El valor relativo de las cifras, en función de las posiciones que ocupan. - Los procedimientos de cálculo, aplicándolos de forma razonada y mecánica. Esta comprensión posibilitará a su vez que el niño alcance: - La representación mental de las operaciones, lo que facilita el cálculo mental y la realización de forma abstracta de operaciones más complejas. - La práctica razonada del cálculo, que le permitirá más adelante el uso racional de la calculadora. Asimismo, tenerlo como modelo para la representación de decimales y las unidades y subunidades de longitud.

¾ TIPOS DE ÁBACOS La utilización del ábaco en la escuela es muy antigua, por ello existe una gran oferta comercial de este recurso, aunque es también de sencilla construcción. Existen diversos tipos de ábaco, y pueden clasificarse en función de varios criterios: la disposición de las varillas, el material con el que están realizados, etc. 9 Ábaco vertical Se caracteriza porque las varillas están dispuestas verticalmente sobre una base o soporte, generalmente de madera. El número de varillas es variable, depende del campo numérico sobre el que se quiera trabajar. En el Ciclo inicial

hay que comenzar por utilizar dos varillas, que corresponderán a las unidades y a las decenas; sólo cuando hayan dominado el uso de éstas podrá utilizarse la tercera, correspondiente a las centenas, y así sucesivamente.

En cada varilla hay diez bolas del mismo color, las diferentes varillas tienen bolas de colores distintos. El ábaco vertical puede tener las varillas abiertas o, para más seguridad, pueden clavarse en el soporte de madera los dos extremos de las varillas formando una “u” invertida. 9 Ábaco horizontal Tiene el mismo fundamento teórico que el vertical, pero las varillas están clavadas en un marco de madera en forma horizontal y paralelas entre sí.

En cada varilla se han ensartado diez bolas, que pueden deslizarse a través de ella con facilidad; lógicamente las varillas han de ser más largas que lo que ocupan las bolas para poder separarlas.

Su manejo con los niños pequeños tiene una mayor dificultad que el ábaco vertical, por el número de varillas y por no poder sacar, o eliminar de la vista, las bolas no necesarias. 9 Ábacos provisionales Aunque los ábacos clásicos son los anteriormente descritos, se puede utilizar para construirlos cualquier otro tipo de material de deshecho disponible. Lo fundamental es que queda bien delimitado el lugar que ocupa cada orden de las unidades y que se establezca con claridad la equivalencia de que diez unidades forman una unidad de orden superior (en el sistema de numeración decimal). Esto puede hacerse simplemente con cordones de colores y bolas ensartadas, o con

diferentes botes o cajas, donde se depositan objetos contables, como botones, legumbres, cubos, fichas, etc.

¾ ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON EL ÁBACO A continuación, vamos a ver algunos ejemplos del uso del ábaco. • SUMA CON EL ÁBACO María gasta 126 euros en comprar ropa y su amigo Pedro 174 euros. ¿Cuántos euros se gastan? Resolvemos la suma con el ábaco. Se comienza representando una de las dos cantidades, por ejemplo 174.

Seguidamente se añade el otro sumando, 126, y se procede de esta manera: 1º. Se añaden las 6 unidades del 126 a las 4 del 174. Hay que tener en cuenta que 10 unidades son una decena. Así, 10

bolas en una varilla equivalen a una bola en la varilla inmediata superior.

Las diez bolas de la varilla de las unidades se pasan a la izquierda y se traslada una bola, de las tres disponibles en la varilla de las decenas, hacia la derecha. Así, nos quedan 0 unidades, 8 decenas y una centena. 2º. Se añaden las dos decenas del 126 a las 8 decenas anteriores, En este caso hay que recordar que 10 decenas son una centena.

Las 10 bolas de la varilla de las decenas se trasladan a la izquierda y se pasa una bola, de las 9 disponibles en la varilla de las centenas, hacia la derecha. De esta manera, nos quedan 0 unidades, 0 decenas y dos centenas. 3º. Finalmente se añade una centena a las dos anteriores. Y el resultado es de 300 euros.

• RESTA CON EL ÁBACO Carmen tiene 1250 euros y le presta a Juan 162 euros. ¿Cuántos euros tiene ahora Carmen? Realizamos la resta con el ábaco. Representamos el minuendo en el ábaco:

Procedemos a restarle el 162 de la siguiente manera: 1º A las unidades del minuendo les restamos las del sustraendo. En este caso, al ser 0 < 2, tomamos “prestada” una decena de las cinco que tenemos y la transformamos en 10 unidades. A las 10 unidades les restamos dos y quedan ocho.

Se traslada hacia la izquierda una bola de las 5 que representan a las decenas, y se pasan hacia la derecha las diez bolas de la varilla de las unidades. De esas diez bolas se trasladan dos hacia la izquierda. Nos quedan 8 unidades. 2º. A las cuatro decenas que nos quedan tenemos que restarles 6. De igual modo que antes, al ser 4 < 6, tomamos “prestada” una centena de las 2 disponibles y la transformamos en 10 decenas. Luego, a las diez decenas les

restamos dos (14 – 6 = 10 – 2), quedan 8 unidades, 8 decenas, 1 centena y 1 unidad de mil. Se traslada a la izquierda una de las dos bolas que representan las centenas y se pasan las diez bolas, de la varilla de las decenas, a la derecha. A continuación, restamos las dos decenas pasando las dos bolas hacia la izquierda. 3º. Finalmente a la centena que nos queda le restamos una.

Carmen tiene 1088 euros.

ÁBACO Descripción Material didáctico que consta de un soporte o marco de madera y de una serie de varillas metálicas y paralelas. Cada varilla representa un orden de unidades y lleva insertada diez bolas de un mismo color. Diez bolas en una varilla equivalen a una bola en la varilla del orden inmediato superior.

C

D

U

176 = 100 + 70 + 6

ALGORITMOS CON EL ÁBACO 1. Adición Raquel tiene 176 euros y le prestan 144 más. ¿Cuántos euros tiene en total? En el cuadro siguiente se representan los pasos que se dan para obtener la suma (176 + 144): (a) 176 = 100 + 70 + 6 Sumamos las cuatro unidades al 176: (b) 176 + 4 = (100 + 70 + 6) + 4 = 100 + 70 + (6 + 4) (c) 176 + 4 = 100 + (70 +10) = 100 + 80 Añadimos 40 unidades al 180: (d) (100 + 80) + 20 = 100 + 80 + 20 = 100 + (80 + 20) (e) (100 + 80 + 20) + 20 = 200 + 20

Finalmente, agregamos cien unidades al 220: (f) (200 + 20) + 100 = 300 + 20 = 320.

C

D U

(a)

(c)

2

1

(b)

4

(d)

1

10

10 2

1 (e)

(f)

Diez bolas en una varilla equivalen a una bola en la varilla del orden de unidades inmediato superior.

2. Sustracción Juan tiene 176 patos y vende 89. ¿Cuántos patos le quedan? En el dibujo siguiente se representa en el ábaco el cálculo de la resta (176 - 89): (a) 176 = 100 + 70 + 6 Restamos nueve unidades a 176: (b) 176 – 6 = (100 + 70 + 6) – 6 = 170 (c) 170 – 3 = 160 + (10 – 3) = 167 Aquí se han tomado prestadas 10 unidades y se restan 3. Finalmente, se sustraen 80 unidades al 167: (d) (100 + 60 + 7) – 60 = (100 + 60 + 7) – 60 = 107 (e) (100 +7) – 20 = (80 + 20 + 7) – 20 = 80 + 7 = 87

C

D U

6

(a)

1

(b)

10 3

(c)

6

(d)

1

10 2

(e)

Una bola en una varilla equivale a diez bolas en la varilla del orden de unidades inmediato inferior.

WEBS SOBRE ÁBACOS http://clic.xtec.cat/db/act_es.jsp?id=3388 http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_209_g_1_t_1.html?open=activities&from=topic _t_1.html http://www.educa.madrid.org/portal/c/portal/layout?p_l_id=10162.17&p_p_id=visor_W AR_cms_tools&p_p_action=0&p_p_state=maximized&p_p_width=270&p_p_col_orde r=n1&p_p_col_pos=0&p_p_col_count=1&_visor_WAR_cms_tools_contentId=780c69 cf-fc1f-4a1f-a5e5-48022258c084&_visor_WAR_cms_tools_fieldId=-http://www.youtube.com/watch?v=PbRN-2hWYz8 http://www.cuadernosdigitalesvindel.com/juegos/juego_abaco.php http://www.ehu.es/aba/abac http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_196_g_3_t_1.html?open=activities&from=topic _t_1.html

El Ábaco

El ábaco es un instrumento que sirve para facilitar al alumno el aprendizaje del concepto de sistema posicional de numeración (en cualquier base), cómo se forman las distintas unidades que lo conforman, así como para ayudar a comprender las operaciones de números naturales (suma, resta, multiplicación y división) y ayudar a afianzar su cálculo. También nos va a permitir profundizar en los conceptos de clasificación y ordenación. Por último podemos desarrollar pequeñas investigaciones acerca de la forma de los números y utilizarlo como apoyo en la representación de los números decimales, así como en la representación de las unidades de longitud.

Descripción El ábaco es uno de los recursos más antiguos utilizados en didáctica de las matemáticas. Está formado por un soporte de madera y una serie de varillas paralelas (con un número variable de ellas) colocadas vertical u horizontalmente (ábaco vertical o ábaco horizontal). En estas varillas se van introduciendo bolas de distintos colores, con la condición de que en cada varilla sólo se introducen 10 bolas del mismo color. Cada varilla representa un orden de unidades: unidades, decenas, centenas, ...; y cada bola de cada color ha de ser introducida en su varilla correspondiente.

¿Para qué sirve? El ábaco nos va a ayudar, como cualquier otro material que utilicemos, a despertar en el alumnado una actividad mental que les ayude a comprender el significado del número y el sentido de las operaciones básicas. La iniciación a las operaciones de una manera abstracta puede provocar errores en la adquisición de los conceptos. La enseñanza de la suma y de la resta con el truco de “me llevo una”, hace que el alumnado aprenda de manera mecánica las operaciones y que obviemos el verdadero objetivo: aprender el significado del número, el sentido de las operaciones y el efecto que estas operaciones hacen sobre los números. La fase manipulativa, por la que debe pasar cualquier tipo de conocimiento matemático en la escuela primaria, se cubre con el ábaco en la enseñanza de los sistemas de numeración posicional.

Es muy conveniente que, al mismo tiempo que se trabaja manipulativamente con el ábaco los distintos conceptos, trabajemos a un nivel de abstracción superior, representando gráficamente las operaciones, lo que hacemos en el ábaco plano. Éste consiste en hacer en una hoja de papel una tabla en la que representemos un orden de unidades, escritas de derecha a izquierda y comenzando por las unidades, decenas, ... Es conveniente hacer uso del color al principio.

Antes de ponernos a trabajar con el ábaco es conveniente haber trabajado la noción de cantidad. Una vez trabajadas estas actividades el ábaco puede convertirse en un gran aliado para la enseñanza aprendizaje del concepto de sistema posicional de numeración. El trabajo con el ábaco puede facilitar más adelante el cálculo mental, la comprensión de operaciones más complejas y abstractas, así como el uso racional de la calculadora.

¿Qué podemos hacer con el ábaco? Con este material podemos trabajar en principio actividades que lleven a la adquisición de ciertos conceptos previos, que los alumnos ya han trabajado en la etapa de Educación Infantil, como: • • •

Contar acciones o elementos y representarlas en el ábaco. Separar elementos que no pertenecen a un conjunto. Reconocer ciertas posiciones en el espacio: más cerca – más lejos; delante – detrás; arriba – abajo; derecha – izquierda; ... • Concepto de cantidad: más que, menos que, igual que. • Composición y descomposición de los números hasta el 9 y su representación en el ábaco. Podemos seguir trabajando actividades encaminadas a: •

Establecer distintos convenios de representación en el ábaco de ciertas acciones de conteo (procedimiento de representar los números en el ábaco). • Establecer equivalencias diversas entre bolas de distintos colores. Reversibilidad de esa relación de equivalencia. • Comprender cómo se forman los números y su representación en el ábaco. • Comprender cómo se forman las unidades de un orden inmediatamente superior (decena, ...).

•

Comprender que las cifras que forman un número tienen un valor relativo, dependiendo de la posición que ocupen dentro del número. • Resolver de manera razonada y no mecánica las operaciones básicas con números naturales. También podemos utilizar el ábaco como un instrumento para realizar pequeñas investigaciones con los números, e introducir algunos conceptos nuevos: • • • • •

Simetrías de algunos números (capicúas). Números complementarios. ¿Qué “números” podemos formar con un determinado número de bolas? Representación de los números decimales. Representación de las unidades de longitud.

Una posible secuencia de actividades • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Juego libre Juegos de representación. Contar elementos o efectuar acciones y representarlas en el ábaco. Juegos de clasificación. Establecer equivalencias diversas a través de cambio de bolas de distintos colores. Deshacer las equivalencias efectuadas (reversibilidad en la relación de equivalencia). Representar gráficamente (en el ábaco plano) las actividades que realizamos en el ábaco. Pasar de la representación gráfica de las actividades (ábaco plano) a la representación de las mismas en el ábaco Formación del número. Introducción del sistema decimal. Agrupamientos de 10 en 10. Representación en el ábaco. Formación de la decena. Pasar de la representación en el ábaco plano a la representación en el ábaco vertical. Comprender el valor de posición de las cifras. Reconocer el valor del cero según su posición. Iniciación a la suma (“sumas sin llevadas”) de forma manipulativa, gráfica y numérica. Iniciación a la resta (“resta sin llevadas”) de forma manipulativa, gráfica y numérica. Iniciación a la “suma con llevadas” de forma manipulativa, gráfica y numérica. Iniciación a la “resta con llevadas” de forma manipulativa, gráfica y numérica. Pequeñas investigaciones con el ábaco. Introducción al sistema métrico decimal. Introducción a los números decimales. Introducción a la multiplicación y división por la unidad seguida de ceros.

Desarrollo de algunas actividades 1. Jugamos con el ábaco El objetivo de esta actividad es la manipulación libre por parte del niño del ábaco, para que vaya explorando las distintas posibilidades que el material le ofrece. Al principio el juego puede ser individual, pero es conveniente que se vayan agrupando y que el juego se vaya verbalizando entre ellos. En principio se juega sin ningún tipo de reglas, pero a medida que se avanza en la actividad conviene dar algún tipo de orden (las bolas de un mismo color en la misma varilla; tres bolas en cada varilla; ...). 2. Experiencias prenuméricas y clasificaciones Teniendo en cuenta que los objetivos que pretendemos alcanzar (entre otros) con este material son el aprendizaje de la numeración y la adquisición del concepto de cantidad, es conveniente trabajar algunas actividades tales como: • •

Agrupar el material en distintos conjuntos. Separar un conjunto en subconjuntos (bolas de distintos colores, tapones de distintas formas, chapas de distintos refrescos, cromos, ...) • Trabajar los conceptos “más que”, “menos que”, “igual que”. • Contar elementos (bolas, tapones, chapas, ...) •

3. Contamos y representamos en el ábaco •

De lo que se trata es de contar palillos, palmadas, palabras, pasos, saltos ..., todo lo que se nos ocurra; y pedirles a los niños y niñas que utilicen las bolas y el ábaco para representar esas acciones. No hay reglas en la representación. En un principio vamos a contar elementos hasta el 9. El primer convenio al que tenemos que llegar con los alumnos es a que estas acciones las representen, todos, en la barra de la derecha.

4. Cambiamos en el banco unas bolas por otras •

El objetivo de esta actividad es establecer equivalencias diversas a través de sucesivos cambios de bolas de distintos colores. Se pretende que a partir de estos juegos, los niños se vayan acercando a la comprensión de los distintos órdenes de unidades que conforman el número. En primer lugar hay que llegar a un acuerdo con los alumnos el cambio que vamos a efectuar: por ejemplo, una bola roja vale por tres bolas azules. Este acuerdo se puede llegar a realizar dentro de una historia Representamos en la pizarra la equivalencia que se ha establecido para que esté bien visible, y al mismo tiempo podemos ir anotando en una cartulina los distintos cambios que vamos adoptando cada vez:

CAMBIOS

Se realizan varios cambios, hasta que los niños se familiaricen con la actividad. Los cambios los haremos entre los números 1 al 9. El desarrollo de esta actividad puede ser: Se elige un lugar de la clase que haga de banco; y a un alumno que haga de banquero (se van cambiando). Podemos también incluir la figura del inspector, que velará porque los cambios se efectúen bien. Se coloca el cartel con el cambio aceptado por todos y se les da a los niños una serie de bolas de distintos colores, que podrán ir al banco a cambiar. Una vez que todos han efectuado el cambio cuentan el número de bolas que tienen y dicen el color. Los cambios los podemos ir haciendo cada vez más complejos, dependiendo del grado de comprensión que vayan adquiriendo los alumnos. Esta actividad debe terminar deshaciendo el cambio, es decir, los alumnos irán al banco y cambiarán las bolas azules por las bolas rojas correspondientes. Se hará una reflexión acerca del número de bolas que teníamos al principio y el número de bolas que tenemos al final, en cada uno de los cambios que hagamos. 5. Cambio bolas en mi ábaco •

Antes de introducir al niño en el sistema de numeración decimal, vamos a realizar una serie de cambios que les conduzca a comprender el orden de unidades. Para ello le vamos a dar a cada niño una serie de bolas de un color determinado, por ejemplo 7 bolas azules, y las van a colocar en la varilla de la derecha, la que será posteriormente la varilla de las unidades. El orden de las varillas van a tomar ya importancia a la hora de cambiar. En la cartulina de cambios anotamos la equivalencia que estimemos conveniente, o la que los niños digan. Por ejemplo: Empezaremos diciendo que, por cada dos bolas azules te las cambiaré por una bola roja, que las irás colocando en la varilla que está a continuación. Preguntaremos cosas, tales como: ¿Cuántas bolas rojas tienes? ¿Y azules? ¿Cuántas bolas azules tenías al comienzo del juego? ¿Te quedan más bolas azules? ¿Puedes cambiarlas por más bolas rojas? Inmediatamente hacemos la actividad recíproca, es decir, vamos a cambiar las bolas rojas por las bolas azules. Por cada bola roja que quites de la

segunda varilla, te daré dos bolas azules que colocarás en la varilla de la derecha. Preguntaremos. ¿Cuántas bolas azules hay en la varilla de la derecha? ¿Hay más o menos que al principio?. Se irán repitiendo cambios idénticos con distintos números de bolas y diferentes colores.

6. Del ábaco vertical •

al ábaco plano

Se trata de pasar de la fase representativa o manipulativa, a la fase gráfica en la construcción del conocimiento matemático. Utilizamos para ello el ábaco plano, en el que en la fila superior, representamos las bolas con los mismos colores y en la misma posición que en el ábaco vertical. La actividad consiste en dibujar tantas bolas, del mismo color y en la misma posición, en el ábaco plano, como bolas hayamos puesto en el ábaco vertical:

Hay quien piensa que es bueno ir cambiando los colores de las bolas y su posición en el ábaco, para que así, posteriormente, el niño no llegue a asociar un color con un determinado orden de unidades. En el ábaco plano, cuando introduzcamos los conceptos de unidad, decena, centena ..., añadiremos una columna a la derecha, donde representaremos el número con cifras. Pero la introducción de estos conceptos tienen que efectuarse una vez que los niños y niñas hayan trabajado todo lo relativo a agrupaciones y cambios. Como en todas las actividades anteriores, es conveniente hacer la actividad inversa, es decir, pasar de la representación gráfica que tenemos en el ábaco plano, a la representación en el ábaco vertical. 7. Juntamos tus bolas y las mías •

Esta actividad va encaminada a introducir la operación suma de forma manipulativa y gráfica. Empezamos desde el principio a darle sentido a la operación y no a darle importancia al algoritmo para resolverla. Vamos a trabajar por parejas, y cada pareja utilizará tres ábacos. Cada alumno tendrá un ábaco, el tercero lo utilizaremos para representar el resultado final. Definimos al comienzo un tipo de agrupamiento, por ejemplo: En cada ábaco de los alumnos hay representadas ciertas cantidades, por ejemplo:

Cada alumno copia en un ábaco plano el número de bolas que ha puesto en su ábaco vertical. Se verbalizan las bolas que tienen cada uno. A continuación se les pide a cada pareja que junten sus bolas y representen la cantidad resultante en el tercer ábaco. ¿Cuántas bolas tenéis ahora? ¿Qué hemos hecho? ¿Puedo cambiar bolas azules por rojas?

Una vez efectuado el cambio, podemos seguir preguntando, ¿cuántas bolas tengo ahora? Esta actividad se puede hacer gráficamente, con ábacos planos, de la siguiente forma:

8. Construimos los números De aquí en adelante vamos a trabajar conjuntamente con el ábaco plano y el ábaco vertical. Cada representación que hagamos en el ábaco vertical, la vamos a hacer en el ábaco plano, y viceversa, al que le hemos añadido una columna a la derecha para representar con números las acciones que representamos en el ábaco vertical. •

Partimos de una situación de conteo, como las que teníamos al principio. Queremos contar palmadas, sillas, ... Por cada palmada que demos, la representamos en el ábaco, introduciendo una bola azul en la varilla de la derecha. Este tipo de convenio ya se utilizó al principio, por lo que el alumno está familiarizado con él. Empezamos contando y representado acciones u objetos hasta el 9. Número 7

¿Qué pasará cuando queramos contar diez cosas? ¿Cómo las representaremos? Evidentemente, todos los alumnos introducirán las diez bolas azules en la varilla correspondiente. Tendremos que inventarnos algo para construir nuestro sistema de numeración decimal. ¿Os acordáis de los cambios de bolas que hacíamos? Bien, pues el cambio que vamos a hacer es que por cada diez bolas azules que tengamos las vamos a cambiar por una bola roja, que introduciremos en la varilla siguiente. El convenio de que una bola roja en la segunda varilla vale por diez bolas azules en la primera varilla, nos va a permitir seguir avanzando en la construcción del sistema posicional de base 10. A partir de aquí, introducimos el concepto de decena. Los alumnos representarán, sin mayor dificultad, los números, entendiendo por qué se escriben así. Más adelante haremos actividades para construir decenas completas, trabajar el valor de posición de las cifras de un número, así como reconocer el valor del cero según la posición que ocupe. La primera dificultad con la que nos vamos a encontrar a la hora de construir nuestro sistema de numeración decimal es la formación de la primera decena (la construcción del 10). Es imprescindible que el niño asimile la equivalencia establecida, y que le ayudemos a comprender que el cero significa que no hay bolas azules en la varilla de la derecha. Por eso la grafía del diez en el ábaco plano es 1 (una bola roja en la segunda varilla) y 0 (ninguna bola azul en la varilla de la derecha).

C

D

U

Número 10 11 12

Para seguir contando no tenemos más que seguir añadiendo bolas azules sucesivamente en la varilla de la derecha y respetar el convenio de que por

cada diez bolas azules en la varilla de la derecha, la cambiamos por una bola roja que introducimos en la varilla que está inmediatamente a su izquierda. Otra forma de actuar para que los niños comprendan por qué el diez se escribe así (10), es contar hacia atrás en un ábaco. Supongamos que tenemos representado el 15, si le decimos a los alumnos que vayan poniendo sucesivamente en el ábaco el 14, 13, 12, 11 y 10, llegarán por sí mismos a comprender que la representación de ese número es una bola roja en la segunda varilla y ninguna bola azul en la varilla de la derecha. Se efectuarán todas las representaciones que hagan falta para que el alumno comprenda cómo se forman los números y el por qué de su grafía. Les haremos preguntas como: ¿Cuántas bolas azules tienes? ¿Y rojas? ¿Si cambio las rojas por azules, cuántas azules tengo? Encaminadas a la comprensión de que la decena está formada por diez unidades del “orden inmediatamente inferior”. A continuación podemos hacer la actividad recíproca, es decir, le damos a los alumnos números escritos en el ábaco plano y éstos tienen que hacer la representación en el ábaco vertical. 9. Escribimos el siguiente de un número •

Esta actividad la pueden realizar por parejas. Un alumno representa un número en el ábaco vertical y lo escribe en el ábaco plano. El compañero tiene que hacer la representación del número siguiente y efectuar la misma operación.

La dificultad, y por tanto el punto de aprendizaje, se presentará cuando haya que construir una nueva decena. La acción que tenemos que valorar es ver si el alumno, efectivamente, cambia las 10 bolas azules de la varilla de la derecha, por una bola roja, y la introduce en la varilla siguiente. 10. ¿Quién es mayor? •

Con esta actividad queremos trabajar el valor de posición de las cifras, que el alumno comprenda que el valor de la cifra 1 en los números 18 y 31 no es el mismo.

Podemos empezar representando en el ábaco distintos números de dos cifras. A continuación, el maestro representará en dos ábacos distintos, dos números, por ejemplo el 18 y el 31. La pregunta es: ¿Qué número es más grande? Si el alumno se fija en el número de bolas, evidentemente la representación del número 18 en el ábaco tiene más bolas que la representación del numero 31. El punto de enseñanza está en hacer que el niño comprenda que la cifra que ocupa el lugar de las decenas es en la que nos tenemos que fijar para saber qué número es mayor. Para los alumnos que pudieran haberse dejado llevar por la percepción visual, y hubieran dicho que el 18 es más grande 1ue el 31, podemos efectuar el cambio: una bola roja en la segunda varilla, vale por 10 bolas azules en la varilla de la derecha. Entonces haremos que el niño cuente las bolas azules que hay en cada representación. Volveremos a pedirle al alumno que deshaga el cambio para que queden los números representados como al principio. Preguntamos de nuevo: ¿Qué número es, entonces, más grande?

11. Número con ceros •

La idea a trabajar con esta actividad es que cuando no haya bolas en una varilla, lo representamos con la cifra cero. Así, el alumno tendrá que distinguir entre la representación del 05 y del 50. El proceso sería parecido a que empezáramos construyendo, al mismo tiempo, en el ábaco vertical y en el ábaco plano, las decenas completas hasta el 90, a través de situaciones de conteo que fueran múltiplos de 10. En otro ábaco, representaremos, también a través de situaciones de conteo, los números del 1 al 9.

Preguntar si los dos números representados, cada vez, son iguales. ¿Cuál es mayor? ¿Por qué? Los alumnos tendrán que efectuar mentalmente el cambio de las bolas que representan las decenas (rojas) por las bolas que representan las unidades (azules). D

U

D

U

5

0

0

5

12. Iniciación a la suma •

Los alumnos ya saben juntar las bolas de dos ábacos en un tercero y hacer los agrupamientos pertinentes. Vamos a pasar de la fase manipulativa y gráfica, a una fase más abstracta: la representación numérica en el ábaco plano del resultado de la operación. En un principio no introducimos el algoritmo clásico de la suma. Se hará posteriormente, cuando el alumno haya interiorizado el sentido de la operación a través de diversas situaciones como la que a continuación explicitamos: • La actividad la realizamos por parejas. Cada pareja cuenta con tres ábacos. Cada alumno representa en su ábaco (tanto en el vertical, como en el ábaco plano) un número (estaremos pendientes de que las bolas que se introduzcan en las varillas equivalentes de los dos ábacos, al sumarlas, no superen la decena). Por ejemplo: D

U

D

U

3

1

2

5

A continuación, cada uno de los alumnos traspasa las bolas de su ábaco, al tercer ábaco, a las varillas equivalentes, respetando el orden de éstas, es decir, las bolas azules en la varilla de la derecha y las bolas rojas en la varilla siguiente. Estamos efectuando la operación. Cada alumno anota el resultado en su ábaco plano. Como en la realización del algoritmo habitual de la suma, en el ábaco introducimos primero las bolas que corresponden a las unidades y posteriormente las que corresponden a las decenas.

D

U

5

6

Un punto de estudio interesante es dar a los alumno un número en el ábaco plano y que ellos hagan la representación en dos sumandos en los ábacos verticales. Cuando hayamos hecho varias actividades de este tipo, conviene que los alumnos hagan cada suma en el papel (en el mismo ábaco plano), y que se percaten que las unidades se suman con las unidades; y las decenas con las decenas. D

U

3 2

1 5

5

6

Si los alumnos han comprendido el proceso llevado hasta ahora, estamos en disposición de introducir la suma “con llevadas”. La manera de proceder es la misma: trabajo por parejas, cada pareja con tres ábacos. Decimos a cada alumno que represente un número en su ábaco (ahora tendremos que estar pendientes que esos números sobrepasen, al sumarlos, la decena en el orden de las unidades). Por ejemplo: D

U

D

U

2

6

5

8

En el tercer ábaco, al juntar las bolas de los dos ábacos correspondientes a las unidades, nos encontramos con que en la varilla de la derecha tenemos que introducir 14 bolas azules. Es el momento de recordar el trabajo previo con los agrupamientos y el cambio de bolas. Cada 10 bolas azules en la primera varilla, las cambio por 1 bola roja en la varilla siguiente (empieza a tener sentido la

coletilla “me llevo una”). Por lo tanto el resultado, después de contar las bolas en el ábaco será:

D

U

2 5

6 8

8

4

Como en toda operación, la idea es ir dejando paulatinamente el apoyo manipulativo y el apoyo gráfico, para terminar con la representación abstracta de los números y de la operación que realizo con ellos. 13. Iniciamos la resta •

El comienzo de esta actividad es muy parecido al proceso seguido con la suma. Conviene plantear la suma y la resta de manera simultánea. El orden en la que se presentan aquí es pura anécdota. Empezaremos trabajando por parejas. Cada niño tendrá un ábaco. Les pediremos que representen cada uno de ellos un número en su ábaco(con cuidado de que uno de ellos sea mayor que el otro en todos sus órdenes de unidades). Al igual que en la suma, no introducimos el algoritmo hasta que se hayan trabajado suficientes actividades de este tipo. Por ejemplo: D

U

D

U

7

5

5

3

La primera pregunta que les hacemos a los niños es: ¿Cuál de los dos números es mayor? Una vez solucionada la pregunta, iremos quitando al número mayor tantas bolas azules y tantas bolas rojas como bolas azules y rojas hay en el otro ábaco. Este proceso conviene que lo hagamos de manera ordenada, para no confundir a los alumnos: por cada bola que quito en el ábaco del número menor, quito una bola en el ábaco del número mayor del mismo color y de la misma varilla. Por último representamos en el ábaco plano el resultado obtenido.

D

U

2

2

Al igual que con la suma, si los alumnos han comprendido bien este proceso, es hora de introducir la resta “con llevadas”. Tenemos que empezar recordando a los alumnos los juegos de cambios de bolas que hacíamos al principio. De igual forma, hemos de trabajar los cambios recíprocos (deshacer los cambios). El proceso podría ser como sigue. Seguimos trabajando por parejas. Los alumnos anotan en sus ábacos una cantidad (cuidaremos que la cifra de las unidades del minuendo sea más pequeña que la del sustraendo). Comparamos las cantidades y elegimos el número mayor. Y empezamos a quitar bolas del ábaco del número mayor ... Nos daremos cuenta que nos faltan bolas. Este es el momento en el que preguntamos ¿Qué hacemos? Recordamos las equivalencias entre las bolas y repasamos que una bola roja en la segunda varilla, vale por diez bolas azules en la varilla de la derecha. ¿Si no tenemos bolas suficientes, por qué no cambiamos una bola roja en el banco? De esta manera tendremos una bola roja menos, pero tendremos diez bolas azules más. Así, si que puedo quitar ya las bolas azules. Por ejemplo: Representamos las cantidades 53y 28 en dos ábacos. Comparamos las cantidades y decidimos cuál es la mayor. Una vez elegida, comenzamos a quitar bolas, empezando por la varilla de las unidades. D

U

D

U

5

3

2

8

Efectuamos el cambio: Por lo que tenemos en el ábaco que hace de minuendo, 4 bolas rojas (una menos de las que teníamos) y 13 bolas azules, diez más de las que teníamos. Lo que hay que hacerles ver a los alumnos es que, aunque tengamos distinto número de bolas, el número representado es el mismo. Y por lo tanto, ahora si podemos ir quitando bolas, como lo hacíamos antes, y el resultado es:

D

U

2

5

El algoritmo para la resolución de la operación es el de todos conocidos: D

U

D

U

5 2

3 8

4 2

13 8

2

5

14. Pequeñas investigaciones con el ábaco Vamos a presentar en este apartado una serie de actividades tipo que se podrán adaptar a los distintos niveles de aprendizaje, con sólo elegir los números dentro del campo numérico en el que estemos trabajando. Una consideración importante es que las bolas van a perder la propiedad del color, es decir, tomarán el valor dependiendo de la varilla en la que la introduzca. Es un paso más en la adquisición del valor de posición de la cifra. •

¿Qué números de dos, tres, cuatro, ..., cifras, necesitan para anotar su siguiente, desplazar más de una bola a las varillas de la izquierda. • Con una bola, ¿qué números podemos representar en un ábaco de dos varillas? ¿Y de tres varillas?... • Con cinco bolas, ¿cuántos números puedes representar en un ábaco de tres varillas?

• • • • • •

(En este tipo de actividad se puede jugar con las variables nº de bolas y nº de varillas del ábaco) ¿Cuál es el mayor de los números formados? ¿Y el menor? ¿Cuáles de estos números tendrán un cero? ¿Y un uno?... Representar en un ábaco (definimos número de varillas según la necesidad) números con ceros y unos solamente, empleando, una bola, dos, ... (definimos el número de bolas según la necesidad) Representar números pares. ¿Con cuántas bolas, como mínimo, puedo formar un número par en la varilla de la derecha? Con una bola, en un ábaco de tres varillas, ¿cuántos números pares puedo representar? Representar números impares. ¿Con cuántas bolas, como mínimo, puedo formar un número impar en la varilla de la derecha? Con dos bolas, en un ábaco de tres varillas, ¿cuántos números impares puedo representar? Números capicúas son aquellos que se leen igual de derecha a izquierda, que de izquierda a derecha.

Si tienes un ábaco de cuatro varillas y tienes 8 bolas, ¿qué números capicúas puedes formar? ¿Cuál es el mayor? ¿Y el menor? Si formas un número capicúa (con un determinado número de bolas y en un determinado ábaco), ¿cuál es el siguiente capicúa que puedes formar? • Números complementarios son aquellos que al sumarlos, resulta un número con todas sus cifras iguales.

+

•

=

Con dos ábacos de tres varillas y 7 bolas para cada ábaco, forma dos números complementarios. • Con dos ábacos y 12 bolas, forma números complementarios.

15. Otros usos del ábaco •

Representación de los números decimales. El ábaco puede ser una ayuda para representar los números decimales, es un modelo sugerente que podemos utilizar. Lo primero que tenemos es que determinar la varilla correspondiente a las unidades, es decir, donde situaremos la coma. Una vez definida esta cuestión, las varillas del ábaco tomarán los valores de los distintos órdenes de unidades. Luego para pasar de una unidad a otra (de una varilla a otra), únicamente hemos de aplicar las reglas ya conocidas: o Estamos trabajando en un sistema de numeración posicional. o Cada 10 unidades de un orden cualquiera, forman una unidad del orden inmediatamente superior, o, cada unidad de un orden cualquiera forma diez unidades del orden inmediatamente inferior.

UM C

D U

d

c

El número representado en el ábaco es: 3.256, 34 Si queremos pasar este número incomplejo a complejo, no tenemos más que escribir el número de bolas de cada varilla y la unidad correspondiente. Si, al contrario, queremos pasar de un número complejo a incomplejo, lo representamos en el ábaco, fijamos la varilla donde se representan las unidades (el lugar de la coma), y a continuación escribimos el número, cuyas cifras se corresponden con el número de bolas que hay en cada orden de unidades. •

Multiplicación y división por la unidad seguida de ceros. La utilización del ábaco, como apoyo material para la realización de estas operaciones, puede ayudarnos a dar una regla para su aprendizaje, así como a comprenderlas. Lo primero que tenemos que hacer es, como en el caso anterior, determinar la varilla correspondiente a las unidades. Una vez definida esta cuestión, las varillas del ábaco tomarán los valores de los distintos órdenes de unidades. Este material puede permitir que el propio alumno sea capaz de definir la regla para efectuar estas operaciones: o Una bola en la varilla de la derecha vale uno. o La misma bola situada en la segunda varilla vale 10 veces más lo que vale en la primera.

o La misma bola situada en la tercera varilla vale 100 veces más lo que vale en la primera, o 10 veces más lo que vale la segunda. o ... Dado un número cualquiera representado en el ábaco, si lo queremos multiplicar por la unidad seguida de ceros, únicamente hemos de trasladar de manera ordenada todas las bolas desde su varilla, a otra varilla situada a la izquierda, tantos lugares como ceros tiene la unidad. Por ejemplo: Si queremos multiplicar 725 x 1000, procederemos, primero a representar el número en el ábaco:

Y luego, desplazaremos las bolas, ordenadamente, tres varillas hacia la izquierda.

725

725.000

Para dividir por la unidad seguida de ceros, el procedimiento es análogo, únicamente que los desplazamientos se producen hacia la derecha. Si son números decimales, los desplazamientos los hacemos en función de la coma, a derecha o izquierda, dependiendo si dividimos o multiplicamos. Por ejemplo si quiero realizar 72’5:1000, primero representamos el número en el ábaco, definiendo previamente el orden de unidades en las varillas:

C

D

U d

725

c mm

C

D

U

d

0’725

c mm

•

Introducción al sistema métrico decimal. La manera de proceder es exactamente la misma que la utilizada para representar los números decimales. Se han de respetar las propiedades del sistema de numeración decimal: o Es un sistema de numeración posicional, es decir, dependiendo del lugar que la cifra ocupe dentro del número, ésta tomará un determinado valor. o Diez unidades de un orden cualquiera, forman una unidad del orden inmediatamente superior. El ábaco tomaría esta apariencia:

Km Hm Dm m dm cm

•

Para pasar de una unidad a otra, sólo tenemos que definir la equivalencia de que una bola situada en una determinada varilla, vale por diez bolas situadas en la varilla que está situada inmediatamente a su derecha. De la misma manera, 10 bolas situadas en una determinada varilla, vale por una bola situada en la varilla que está situada inmediatamente a su izquierda. • Para pasar de números complejos a incomplejos; y viceversa, sólo tenemos que aplicar lo ya reseñado en el punto de los números decimales.

Universidad de la Frontera Facultad de Ingenier´ıa, Ciencias y Admistraci´on Departamento de Matem´atica

TALLER # 2 - Sistema Decimal Actividad Did´ actica: El Abaco El ´abaco es uno de los recursos m´as antiguos utilizados en did´actica de las matem´aticas. Est´a formado por un soporte de madera y una serie de varillas paralelas (con un n´ umero variable de ellas) colocadas vertical u horizontalmente (´abaco vertical o ´abaco horizontal). En estas varillas se van introduciendo bolas de distintos colores, con la condici´on de que en cada varilla s´ olo se introducen 10 bolas del mismo color. Cada varilla representa un orden de unidades: unidades, decenas, centenas, ...; y cada bola de cada color ha de ser introducida en su varilla correspondiente.

El ´abaco nos va a ayudar, como cualquier otro material que utilicemos, a despertar en el alumnado una actividad mental que les ayude a comprender el significado del n´ umero y el sentido de las operaciones b´asicas. La iniciaci´ on a las operaciones de una manera abstracta puede provocar errores en la adquisici´on de los conceptos. La ense˜ nanza de la suma y de la resta con el truco de “me llevo una”, hace que el alumnado aprenda de manera mec´anica las operaciones y que obviemos el verdadero objetivo: aprender el significado del n´ umero, el sentido de las operaciones y el efecto que estas operaciones hacen sobre los n´ umeros. La fase manipulativa, por la que debe pasar cualquier tipo de conocimiento matem´atico en la escuela primaria, se cubre con el ´abaco en la ense˜ nanza de los sistemas de numeraci´on posicional. Antes de ponernos a trabajar con el ´abaco es conveniente haber trabajado la noci´on de cantidad. Una vez trabajadas estas actividades el ´abaco puede convertirse en un gran aliado para la ense˜ nanza aprendizaje del concepto de sistema posicional de numeraci´ on. Abaco plano Es muy conveniente que, al mismo tiempo que se trabaja manipulativamente con el ´abaco los distintos conceptos, trabajemos a un nivel de abstracci´ on superior, representando gr´aficamente las operaciones, lo que hacemos en el ´ ´abaco plano. Este consiste en hacer en una hoja de papel una tabla en la que representemos un orden de unidades, escritas de derecha a izquierda y comenzando por las unidades, decenas, · · · Es conveniente hacer uso, al principio, del color. Actividad 0 En una cartulina blanca recortamos una porci´on rectangular de 15 × 10. Trazar una recta horizontal, de lado a lado, a 2 cms de la parte superior y tres rectas verticales cada 5 cms. Finalmente, pintar las tres partes superiores de colores, azul, rojo y amarillo. Ver la siguiente figura.

1

Una primera actividad, para introducir al ni˜ no en el sistema de numeraci´on decimal, es realizar una serie de cambios que les conduzca a comprender el orden de unidades. Actividad 1 Se proporciona a cada ni˜ no 7 fichas azules y se les pide las coloquen en el ´abaco plano. Las acciones pueden ser: Profesor Les cambio 2 fichas azules por una roja. Las rojas se ubican en el color rojo. Profesor Les cambio 4 fichas azules ¿Cu´antas rojas debo entregarles? Los alumnos dir´an 2, aceptan el canje y las ponen en el ´abaco plano. Profesor ¿Cu´antas fichas azules te quedan? ...... ¿Puedes cambiarlas por m´as fichas rojas? .......... Profesor Vamos a deshacer los cambios para que tengan las 7 fichas azules del principio. ¿Cu´antas fichas azules debo entregarles por las tres rojas que tiene? ...... Muy bien, pasen a mi esctitorio para hacer el cambio. La figura siguiente muestra la acci´ on inicial y final en el ´abaco plano.

Actividad 2 Cada ni˜ no o ni˜ na tiene 7 fichas azules ubicadas en el ´abaco plano. Las acciones son: Profesor Les cambio 3 fichas azules por una roja. Las rojas las ubican en el color rojo. Profesor ¿Cu´anto es el m´aximo de fichas rojas que pueden lograr con este canje? ........ ¿Cu´antas azules les quedan? ...... La figura siguiente muestra la acci´ on inicial y final en el ´abaco plano.

Actividad 3 Cada ni˜ no o ni˜ na ubica 7 fichas azules y 3 rojas en su ´abaco plano. Las acciones son: Profesor Si el cambio es una roja por dos azules ¿Cu´al el m´aximo de canjes que puedes hacer? ....... ¿cu´antas azules te quedan? ..... Profesor Si el cambio es una roja por tres azules ¿Cu´al el m´aximo de canjes que puedes hacer? ....... ¿Cu´antas azules te quedan? ..... Profesor Si el cambio es una roja por cuatro azules ¿Cu´al el m´aximo de canjes que puedes hacer? .......¿Cu´antas azules te quedan? .... Profesor Si el cambio es una roja por siete azules ¿Cu´al el m´aximo de canjes que puedes hacer? ....... ¿Cu´antas azules te quedan? .... Profesor Si el cambio es una roja por ocho azules ¿Cu´al el m´aximo de canjes que puedes hacer? ....... Actividad 4 Cada ni˜ no o ni˜ na ubica 12 fichas azules en su ´abaco plano. Las acciones son: Profesor Si el cambio es una roja por diez azules ¿Cu´antas azules te quedan? ..... ¿Cu´antas rojas tienes? ..... Ubica tus fichas en el ´abaco plano e indica la cantidad que tienes en la parte inferior del ´abaco

2

Actividad 5 Cada ni˜ no o ni˜ na ubica 25 fichas azules en su ´abaco plano. Las acciones son:

Profesor Si el cambio es una roja por diez azules ¿Cu´antas rojas obtienes al hacer todos los cambios? ..... ¿Cu´antas azules te quedan? ..... Ubica tus fichas en el ´abaco plano e indica la cantidad, de rojas y azules, que tienes en la parte inferior del ´abaco. ¿Te diste cuenta que 25 fichas azules se han transformado en 2 rojas y 5 azules? Actividad 6 Cada ni˜ no o ni˜ na ubica 38 fichas azules en su ´abaco plano. Las acciones son:

Profesor Si el cambio es una roja por diez azules ¿Cu´antas rojas obtienes al hacer todos los cambios? ..... ¿Cu´antas azules te quedan? ..... Ubica tus fichas en el ´abaco plano e indica la cantidad, de rojas y azules, que tienes en la parte inferior del ´abaco. ¿Te diste cuenta que 38 fichas azules se han transformado en 3 rojas y 8 azules? Si lo anterior lo tienes claro y el canje sigue siendo una roja por diez azules, dime ¿cu´antas fichas rojas obtienes al canjear 64 fichas azules? .... y ¿cu´antas azules? ...... Y en el caso de tener 97 fichas azules ¿cu´antas rojas despu´es del canje? ..... ¿cu´antas azules? Juntando fichas Esta actividad va encaminada a introducir la operaci´on suma de forma manipulativa y gr´afica. Empezamos desde el principio a darle sentido a la operaci´ on y no a darle importancia al algoritmo para resolverla. Vamos a trabajar por parejas, y cada pareja utilizar´a tres ´abacos. Actividad 5 Cada alumno tendr´a un ´abaco, el tercero lo utilizaremos para representar el resultado final. Definimos al comienzo un tipo de agrupamiento o canje, por ejemplo, Una roja por seis azules. En cada ´abaco de los alumnos hay representadas ciertas cantidades, por ejemplo:

3

No olvides los colores. En el rect´angulo de la derecha van las azules y en el siguiente, hacia la izquierda, las rojas. Considerando el canje establecido y contando todas las fichas, ¿cu´antas fichas azules debiera tener cada alumno? ............ y .............. En el tercer ´abaco juntamos todas las fichas. Debes tener algo como lo siguiente:

Considerando el canje de una roja por seis azules, estableces la situaci´on final de las fichas en el tercer ´abaco que aparece a continuaci´ on.

Sistema de Numeraci´ on Decimal De aqu´ı en adelante vamos a considerar s´ olo canjes de una ficha roja por diez azules. Partimos de una situaci´ on de conteo. Empezamos contando y representado acciones u objetos hasta el 9. Por ejemplo, si pedimos ubicar 7 fichas en ambos ´abacos, la situaci´ on ser´a la siguiente: 4

Actividad 6. La primera dificultad con la que nos vamos a encontrar a la hora de construir nuestro sistema de numeraci´on decimal es la formaci´ on de la primera decena (la construcci´on del 10). ¿Qu´e pasar´a cuando queramos contar diez cosas? ¿C´ omo las representaremos? Evidentemente, todos los alumnos colocar´an las diez fichas azules en la columna de las azules.

Tendremos que inventarnos algo para construir nuestro sistema de numeraci´on decimal. ¿Recuerdas los cambios de fichas que hac´ıamos? Bien, el cambio que vamos a hacer es que por cada diez fichas azules que tengamos las vamos a cambiar por una ficha roja, que colocamos en la columna de las fichas rojas. Es imprescindible que el ni˜ no asimile la equivalencia establecida, y que le ayudemos a comprender que el cero significa que no hay fichas azules en la columna de la derecha. Por eso la representaci´on del diez en el ´abaco plano es 1 (una ficha roja en la segunda columna) y 0 (ninguna ficha azul en la primera de la derecha).

El convenio de que una ficha roja en la segunda columna vale por diez fichas azules en la primera columna, nos va a permitir seguir avanzando en la construcci´ on del sistema posicional de base 10. A partir de aqu´ı, introducimos el concepto de decena. Los alumnos representar´an, sin mayor dificultad, los n´ umeros, entendiendo por qu´e se escriben as´ı. M´as adelante haremos actividades para construir decenas completas, trabajar el valor de posici´on de las cifras de un n´ umero, as´ı como reconocer el valor del cero seg´ un la posici´on que ocupe. De esta forma llegamos a tener lo siguiente:

5

Actividad 7. Representar el 15 en el ´abaco plano

Una vez que tienes ubicadas las fichas, escribe la cantidad de ´estas en la u ´ltima fila. Ahora saca de a una todas las fichas azules y anota el n´ umero de fichas que van quedando.

Se efectuar´an todas las representaciones que hagan falta para que el alumno comprenda c´omo se forman los n´ umeros y el por qu´e de su escritura. Les haremos preguntas como: ¿Cu´antas fichas azules tienes? ¿Y rojas? ¿Si cambio las rojas por azules, cu´antas azules tengo? encaminadas a la comprensi´ on de que la decena est´ a formada por diez unidades del “orden inmediatamente inferior”. A continuaci´on podemos hacer la actividad rec´ıproca, es decir, le damos a los alumnos n´ umeros escritos en el ´abaco plano y ´estos tienen que hacer la representaci´on. Actividad 8. Representa los n´ umeros que aparecen en la u ´ltima fila de cada ´abaco.

6

´ El Abaco Vertical Abierto El ´abaco es uno de los recursos m´as antiguos utilizados en did´actica de las matem´aticas. Est´a formado por un soporte de madera y una serie de varillas paralelas. En estas varillas se van introduciendo fichas, con la condici´ on de que en cada varilla no pueden haber m´as de nueves fichas. Cada varilla representa un orden de unidades: unidades, decenas, centenas.

Dejaremos, paulatinamente, de lado el color, pero para empezar asociamos el azul con la primera varilla derecha y el rojo con la que est´a a la izquierda de ´esta. No olvidar que el canje aqu´ı estipula que 10 fichas en una varilla corresponde a una ficha en la varilla inmediatamente a la izquierda 1 roja por 10 azules). Veamos ejemplos para una mejor comprensi´on de la idea. Actividad 9 La siguiente figura muestra la representaci´on del n´ umero 7 en el ´abaco plano y en el abierto.

Actividad 10 Representa el n´ umero 13 en el ´abaco plano y su equivalente en el abierto.

7

Escribimos el siguiente de un n´ umero Esta actividad la pueden realizar por parejas. Un alumno representa un n´ umero en el ´abaco vertical y lo escribe en el ´abaco plano. El compa˜ nero tiene que hacer la representaci´on del n´ umero siguiente y efectuar la misma operaci´ on. La dificultad, y por tanto el punto de aprendizaje, se presentar´a cuando haya que construir una nueva decena. La acci´on que tenemos que valorar es ver si el alumno, efectivamente, cambia las 10 bolas azules de la varilla de la derecha, por una bola roja, y la introduce en la varilla siguiente. Actividad 11 Hay que representar los siguientes n´ umeros, en el mismo ´orden, 17, 18, 19, 20, 21 en el ´abaco plano y en el vertical

8

¿Qui´ en es mayor? Con esta actividad queremos trabajar el valor de posici´on de las cifras, que el alumno comprenda que el valor de la cifra 1 en los n´ umeros 18 y 31 no es el mismo. Actividad 12 En los ´abacos siguientes representa los n´ umeros 18 en el de la izquierda y el 31 en el de la derecha.

La pregunta es: ¿Qu´e n´ umero es m´as grande? Si el alumno se fija en el n´ umero de fichas, evidentemente la representaci´on del n´ umero 18 en el ´abaco tiene m´as bolas que la representaci´on del numero 31. El punto de ense˜ nanza est´ a en hacer que el ni˜ no comprenda que la cifra que ocupa el lugar de las decenas es en la que nos tenemos que fijar para saber qu´ e n´ umero es mayor. Para los alumnos que pudieran haberse dejado llevar por la percepci´on visual, y hubieran dicho que el 18 es m´as grande que el 31, habr´ıa que recordarles el cambio: una ficha roja en la segunda varilla, vale por 10 bolas azules en la varilla de la derecha. Entonces haremos que el ni˜ no cuente las fichas azules que hay en cada representaci´on. Volveremos a pedirle al alumno que deshaga el cambio para que queden los n´ umeros representados como al principio. Preguntamos de nuevo: ¿Qu´e n´ umero es, entonces, m´as grande? N´ umero con ceros La idea a trabajar con esta actividad es que cuando no haya fichas en una varilla, lo representamos con la cifra cero. As´ı, el alumno tendr´a que distinguir entre la representaci´on del 05 y del 50. El proceso ser´ıa parecido a que empez´aramos construyendo, al mismo tiempo, en el ´abaco vertical y en el ´abaco plano, las decenas completas hasta el 90, a trav´es de situaciones de conteo que fueran m´ ultiplos de 10. Actividad 13 En los ´abacos siguientes representa los n´ umeros 30, 50, 70, 80, 90.

9

A partir de este momento damos nuevos nombres a las fichas azules, unidades (U) y a las rojas decenas (D)

N´ umeros de tres cifras Se recuerda que seguimos con el canje de 1 ficha roja por 10 azules y que ahora agregamos el canje de 1 ficha amarilla por 10 rojas. Actividad 13 La representaci´ on del n´ umero 99, en los ´abacos plano y abierto es

En tu ´abaco plano agrega una ficha azul en las unidades (U) ¿cu´antas fichas azules tienes? ......... Es correcto, pero no olvides que el canje es una roja por diez azules, lo que significa que NUNCA puedes tener m´as de 9 fichas en un color ¿Qu´e se te ocurre hacer? Dijiste ¡hacer el canje! correcto, hazlo notar en el siguiente ´abaco (rojas por azules) 10

Ahora pasa algo similar, la cantidad de fichas rojas es ........ Luego, debes hacer canje de fichas. Hazlo en el siguiente ´abaco

Escribe, en la parte inferior del ´abaco, el n´ umero que ha resultado. Tambi´en anota en el ´abaco abierto el equivalente al n´ umero que pusiste en el ´abaco plano

Actividad 14 Escribir en el ´abaco plano y vertical abierto los siguientes n´ umeros: 123, 231, 132, 213, 321, 312

11

Iniciaci´on a la suma Los alumnos ya saben juntar las fichas de dos ´abacos en un tercero y hacer los agrupamientos pertinentes. Vamos a pasar de la fase manipulativa y gr´afica, a una fase m´as abstracta: la representaci´on num´erica en el ´abaco plano del resultado de la operaci´ on. En un principio no introducimos el algoritmo cl´asico de la suma. Se har´a posteriormente, cuando el alumno haya interiorizado el sentido de la operaci´on a trav´es de diversas situaciones como la que a continuaci´on explicitamos: La actividad la realizamos por parejas. Cada pareja cuenta con tres ´abacos. Cada alumno representa en su ´abaco (tanto en el vertical, como en el ´abaco plano) un n´ umero (estaremos pendientes de que las fichas que se introduzcan en las varillas equivalentes de los dos ´abacos, al sumarlas, no superen la decena). Por ejemplo:

12

A continuaci´on, cada uno de los alumnos traspasa las fichas de su ´abaco, al tercer ´abaco, a las varillas equivalentes, respetando el orden de ´estas, es decir, las fichas azules en la varilla de la derecha y las fichas rojas en la varilla siguiente. Estamos efectuando la operaci´ on. Cada alumno anota el resultado en su ´abaco plano. Como en la realizaci´ on del algoritmo habitual de la suma, en el ´abaco introducimos primero las fichas que corresponden a las unidades y posteriormente las que corresponden a las decenas.

Un punto de estudio interesante es dar a los alumnos un n´ umero en el ´abaco plano y que ellos hagan la representaci´on en dos sumandos en los ´abacos verticales. Cuando hayamos hecho varias actividades de este tipo, conviene que los alumnos hagan cada suma en el papel (en el mismo ´abaco plano), y que se percaten que las unidades se suman con las unidades; y las decenas con las decenas.

Actividad 15 El alumno 1 representa en los ´abacos plano y vertical el n´ umero 44. El alumno 2 representa el 23.

En los ´abacos siguientes juntan las fichas, recuerdan lo del canje y escriben la cantidad de fichas reunidas

13

Con m´as actividades y si los alumnos han comprendido el proceso llevado hasta ahora, estamos en disposici´ on de introducir la suma “con llevadas”. La manera de proceder es la misma: trabajo por parejas, cada pareja con tres ´abacos. Decimos a cada alumno que represente un n´ umero en su ´abaco (ahora tendremos que estar pendientes que esos n´ umeros sobrepasen, al sumarlos, la decena en el orden de las unidades). Por ejemplo:

En el tercer ´abaco, al juntar las fichas de los dos ´abacos correspondientes a las unidades, nos encontramos con que en la varilla de la derecha tenemos que introducir 14 fichas azules. Es el momento de recordar el trabajo previo con los agrupamientos y el cambio de fichas. Cada 10 fichas azules en la primera varilla, las cambio por 1 ficha roja en la varilla siguiente (empieza a tener sentido la frase famosa “me llevo una”). Por lo tanto el resultado, despu´es de contar las fichas en el ´abaco ser´a:

Como en toda operaci´ on, la idea es ir dejando paulatinamente el apoyo manipulativo y el apoyo gr´afico, para terminar con la representaci´ on abstracta de los n´ umeros y de la operaci´on que se realiz´o con ellos. Actividad 16 El alumno 1 representa en los ´abacos plano y vertical el n´ umero 54. El alumno 2 representa el 37.

En los ´abacos siguientes juntan las fichas, recuerdan lo del canje y escriben la cantidad de fichas reunidas

14

Iniciamos la resta El comienzo de esta actividad es muy parecido al proceso seguido con la suma. Conviene plantear la suma y la resta de manera simult´anea. El orden en la que se presentan aqu´ı es pura an´ecdota. Empezaremos trabajando por parejas. Cada ni˜ no tendr´a un ´abaco. Les pediremos que representen cada uno de ellos un n´ umero en su ´abaco (con cuidado de que uno de ellos sea mayor que el otro en todos sus ´ordenes de unidades). Al igual que en la suma, no introducimos el algoritmo hasta que se hayan trabajado suficientes actividades de este tipo. Por ejemplo:

La primera pregunta que les hacemos a los ni˜ nos es: ¿Cu´al de los dos n´ umeros es mayor? Una vez solucionada la pregunta, iremos quitando al n´ umero mayor tantas fichas azules y tantas fichas rojas como fichas azules y rojas hay en el otro ´abaco. Este proceso conviene que lo hagamos de manera ordenada, para no confundir a los alumnos: por cada ficha que quito en el ´abaco del n´ umero menor, quito una ficha en el ´abaco del n´ umero mayor del mismo color y de la misma varilla. Por u ´ltimo representamos en el ´abaco plano el resultado obtenido.

Al igual que con la suma, si los alumnos han comprendido bien este proceso, es hora de introducir la resta “con llevadas”. Tenemos que empezar recordando a los alumnos los juegos de cambios de fichas que hac´ıamos al principio. De igual forma, hemos de trabajar los cambios rec´ıprocos (deshacer los cambios). El proceso podr´ıa ser como sigue: Representamos las cantidades 53 y 28 en dos ´abacos. Comparamos las cantidades y decidimos cu´al es la mayor. El ´abaco con mayor cantidad de ficha (53) lo ubicamos a la izquierda y el otro a la derecha. Comenzamos a quitar fichas, empezando por la varilla de las unidades. Preguntamos ¿es posible a 3 fichas quitarle 8? Se procede a recordar lo del canje de 10 fichas azules por una roja. Al pedirles que hagan este canje, la situaci´ on en el ´abaco es la siguiente

15

En el ´abaco que hace de minuendo tenemos ahora 4 fichas rojas (una menos de las que ten´ıamos) y 13 fichas azules, diez m´as de las que ten´ıamos. Lo que hay que hacer ver a los alumnos es que, aunque tengamos distinto n´ umero de fichas, el n´ umero representado es el mismo. Y por lo tanto, ahora si podemos ir quitando fichas, como lo hac´ıamos antes, y el resultado es:

El algoritmo para la resoluci´ on de la operaci´on es el de todos conocidos:

Una consideraci´ on importante es que las fichas van a perder la propiedad del color, es decir, tomar´an el valor dependiendo de la varilla en la que la introduzca. Es un paso m´as en la adquisici´on del valor de posici´on de la cifra. Ya sin colores, el maestro(a) indica “si coloco esta ficha aqu´ı (en la primera posici´on de derecha a izquierda) la ficha vale .......................”

16

Los ni˜ nos y ni˜ nas debieran decir que 1. Como en la primera barra de la derecha no hay 10, se dicen que son unidades de orden cero y se simbolizan como 100 . Por supuesto que esta es una explicaci´on de la l´ogica del ´abaco para el maestro, que obviamente no se transmite a los ni˜ nos, pero que se debe tener en cuenta cuando se utiliza este instrumento. Si la coloco aqu´ı (posici´ on correspondiente a la barra siguiente), vale .........

La respuesta es evidentemente 10. En la barra siguiente (de derecha a izquierda) cada ficha vale 10, entonces esa barra corresponde con las unidades de orden 1, que se representa como 101 y que se denominan “decenas”. Los alumnos deben entender que en el ´abaco, el valor de las fichas cambia al cambiar de posici´on y que una ficha en la barra que vale 10 equivale a 10 fichas en la barra que vale 1. El profesor ahora puede preguntar por el valor que tienen las dos fichas que muestra el ´abaco.

A partir de esto, el profesor o profesora puede mover las fichas e ir preguntando el valor y corrigiendo los errores. Otra estrategia que resulta adecuada para que los alumnos entiendan la equivalencia y la composici´ on es pedirles representar los n´ umeros 9, 99 y 999 y pedirles que agreguen 1 ficha m´as y muestren el efecto que se ha producido. A medida que los alumnos entienden la l´ogica del sistema, el maestro les pide representar los n´ umeros que ´el les dicte. 1. Representar en el ´abaco 5030

17

An´ alisis del ´ abaco Es claro de los ejemplos anteriores, que este es un material claramente posicional, es decir que ofrece como propiedad, la posibilidad de trabajar con el valor de posici´on. De esta manera y trabajando adecuadamente, el material coincide con la escritura de numerales. Observemos en detalle como se registra el valor de posici´ on dentro del material:

Una misma ficha en diferentes posiciones, representa un valor que corresponde a cada unidad del SNBD (Sistema Num´erico de Base Diez). Esto es an´alogo a lo que ocurre con la escritura de numerales: un d´ıgito escrito en una posici´on particular, representa el valor de una unidad del SNBD. Para el ejemplo de la gr´afica anterior, el numeral a escribir es 111111 El cero se representa en el ´abaco con la ausencia de fichas. Cada ficha representa al numero de veces que se repite la unidad. De esta manera, las fichas son los operadores del sistema. En el SNBD los operadores son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Por esto, cuando se trabaja con el ´abaco de manera adecuada, en cada barra no pueden haber m´as de 9 fichas. 10 fichas en una barra equivalen a una ficha en la unidad siguiente. Ejercicios Resolver: 1. Sumar, en la tercera fila, las cantidades indicadas en la dos primeras fila, e indicar la cantidad

2. Restar, en la tercera fila, las cantidades indicadas en la dos primeras fila, e indicar la cantidad

18

Matemáticas y su didáctica

- ÁBACO

DESCRIPCIÓN Material didáctico que consta de un soporte o marco de madera y de una serie de varillas metálicas y paralelas. Cada varilla representa un orden de unidades y lleva insertada diez bolas de un mismo color. Diez bolas en una varilla equivalen a una bola en la varilla del orden inmediato superior.