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Índice



Introducción……………………………………………….. ………………………………..2

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Objetivos………………………………………………………………………… ..….……….2



Desarrollo trabajo……………………………………………………………………3



Resultados………………………………………………………. ……………………………5



Conclusiones…………………………………………….. ………………………………….6



Bibliografía………………………………………. …………………………………….……6



Anexos……………………………………….…………………. ……………………………..6

del

0

Introducción

En el siguiente proyecto utilizamos métodos numéricos para aproximar el valor de una integral. El problema que se nos presenta es determinar la cantidad de petróleo bombeado de un oleoducto en un cierto tiempo. Un oleoducto es la tubería e instalaciones conexas utilizadas para el transporte de petróleo a grandes distancias. De esta manera utilizando los valores que nos dan, nuestra meta es aproximar una integral que representa –como mencionado antes- el petróleo bombeado en un cierto tiempo. Para encontrar este resultado utilizaremos los métodos cerrados aprendidos en la clase.

Objetivos

 

Comprender el uso de los métodos numéricos en aplicaciones de la vida real. Aprender como el uso de métodos numéricos nos puede ayudar en problemas que nos encontremos en nuestra vida profesional.

1

Desarrollo del Trabajo

La siguiente tabla representa el gasto instantáneo de petróleo crudo en un oleoducto (en miles de libras por hora). El flujo se mide a intervalos de 12 minutos. Hor a Gast o

6:0 0

6:1 2

6:2 4

6:3 6

6:4 8

7:0 0

7:1 2

7:2 4

7:3 6

7:4 8

8:0 0

8:1 2

6.2

6.0

5.9

5.9

6.2

6.4

6.5

6.8

6.9

7.1

7.3

6.9

¿Cuál es la cantidad de petróleo bombeado en 2 horas y 12 minutos?

Solución del Problema El petróleo bombeado lo calculamos multiplicando el gasto por el tiempo. Ya que el gasto es una variable, aplicamos la siguiente integral: 2.2

P=∫ gasto dt 0

Colocamos 2.2, ya que convertimos los 12 minutos = 0.2 horas. Ya que tenemos las imágenes de la función, y los límites de la integral son cerrados; vamos a aproximar la integral con los métodos numéricos cerrados. Utilizaremos:   

Regla Trapezoidal Simpson 1/3 Simpson 3/8

Regla Trapezoidal

2

I=

n−1

(

h f ( x 0 ) +2 ∑ f ( x i ) + f ( x n ) 2 i=1

Donde h=

)

b−a n

Como en la Regla Trapezoidal tenemos que dividir el área encerrada por los límites de la integral en “n” cantidad de rectángulos y en el problema dado ya tenemos las imágenes de la función, escogeremos n=11. Esto se debe a que el tiempo total de las 12 horas dadas es de 2 horas 12 minutos, lo que significa que la f(0) o en otras palabras la f(6:00) es 6.2, y así sucesivamente. Y por tener los 12 valores del gasto, “n” tiene que ser igual a 11. Habiendo explicado la razón por la que escogimos “n=11”, proseguimos a desarrollar la integral: Tenemos que

h=

b−a 2.2−0 = =0.2 n 11

Al sustituir los valores del gasto en la fórmula del trapezoide tenemos:

P=

0.2 [ 6.2+2 ( 6.0+5.9+5.9+6.2+6.4 +6.5+6.8+6.9+7.1+7.3 )+6.9 ] 2

Y obtenemos que

P=14.31=14,310 lb

Simpson 1/3 y Simpson 3/8 Como tanto el método de Simpson 1/3 y Simpson 3/8 tienen sus restricciones decidimos juntarlas. Esto se debe a que como ya explicamos, “n” tiene que ser igual a 11. Entonces como en Simpson 1/3 solo podemos escoger números pares para “n” y en Simpson 3/8 “n” tiene que ser igual a 3; utilizáremos: n=3

Simpson 3/8

n=8

Simpson 1/3

Y así tendremos (8+3=11) que “n=11”. 3



Simpson 1/3

I=



[

n−1

n−2

h f ( x0 ) + 4 ∑ f ( x i ) +2 ∑ f ( x i ) + f (x n) 3 i=impar j= par

]

Simpson 3/8

I =(b−a)

Donde en ambos h=

f ( x 0 ) +3 f ( x 1 ) +3 f ( x 2 ) +f ( x 3 ) 8

b−a n

Es importante notar que los limites de integración ya no serian los mismos, ya que en un método solo estamos escogiendo 8 cuadrados y en el otro solo 3. Sin embargo, h no cambiaria. Entonces:

Con Simpson 1/3 tenemos que:

h=

I=

b−a 1.6−0 = =0.2 n 8

0.2 [ 6.2+ 4 ( 6.0+ 5.9+ 6.4+6.8 )+ 2 ( 5.9+6.2+6.5 ) +6.9 ] =¿ 10.04666667 3 Con Simpson 3/8 tenemos que:

h=

I =( 0.6 )

b−a 2.2−1.6 = =0.2 n 3

6.9+ 3 (7.1 ) +3 ( 7.3 ) +6.9 =4.275 8

Entonces,

P=10.04666667+ 4.275=14.32166667 →∗1000=14,321.67 lb

4

Resultados

Con el método del trapezoide tenemos que 

P=14,310 lb

Con la suma de los métodos de Simpson 1/3 y Simpson 3/8 obtenemos que 

P=14,321.67

Lastimosamente, no hay manera de saber cuál es la mejor aproximación ya que no tenemos el valor verdadero de la integral por no tener la función del gasto y también no podemos evaluar el error truncado. Empero, observamos que los valores son muy parecidos, lo que nos indica de que aplicamos correctamente los métodos y que la cantidad de petróleo bombeado se encuentras aproximadamente cerca de esos valores.

Conclusiones

Como el problema que tuvimos que resolver contenía los valores del gasto, en otras palabras la Hora estaba funcionando como “x” y el Gasto estaba funcionando como “f(x)”; fue una decisión directa utilizar los métodos cerrados. Ya que, aparte de esta razón, también teníamos que los límites de la integral eran cerrados. Sin embargo, al no tener la función no pudimos aproximar esta integral por medio de otros métodos como la Regla Extendida del Punto Medio. Entonces, fue de mucha ayuda tener las imágenes porque al momento de usar los métodos solo sustituimos los valores de las f(xn). Porque sin un método numérico hubiera sido casi imposible encontrar el valor de la integral. Esto se debe a lo expresado antes, el hecho no tener la función y no tener un comportamiento secuencial departe de las imágenes de “x”. Concluimos entonces que los métodos numéricos son de mucha ayuda para la solución de problemas en nuestra vida profesional, ya que como ingenieros civiles tenemos que ser hábiles matemáticos capaces de resolver problemas difíciles ingeniosamente.

5

Bibliografía  

http://es.wikipedia.org/wiki/Oleoducto http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/simpson/index.html

Anexos

6