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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA PROGRAMA CIENCIAS BÁSICAS

100412 – ECUACIONES DIFERENCIALES

RICARDO GOMEZ NARVAEZ (Director Nacional)

RICARDO GOMEZ NARVAEZ

Palmira, Valle, Diciembre 2011 0

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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL

El presente protocolo fue diseñado en el año 2009 por Carlos Iván Bucheli Chaves docente de la UNAD, ubicado en el CEAD de San Juan de Pasto, el Autor es físico-matemático, especialista en docencia universitaria, magíster en enseñanza problemita y otros. Se ha desempeñado como tutor de la UNAD desde 2001 hasta 2011. El presente protocolo ha tenido 4 actualizaciones realizadas por Carlos Iván Bucheli Chaves y una 5 actualización que la realiza el docente Ricardo Gómez. El material ha sido revisado por la dirección de la Escuela de Ciencias básicas, Tecnología e Ingeniería: Jorge Eliécer Rondon y por su acreditador: Juan Jesús Cruz, los cuales han aportado para la calidad de este material.

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TABLA DE CONTENIDO 1. IDENTIFICACIÓN DEL CURSO 2. INTRODUCCIÓN 3. JUSTIFICACIÓN 4. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS 4.1 Propósitos 4.2 Objetivos 4.3 Metas 4.4 Competencias 5. UNIDADES DIDÁCTICAS 6. MAPA CONCEPTUAL 7. CONTEXTO TEÓRICO 8. METODOLOGÍA 9. SISTEMA DE EVALUACIÓN 10. GLOSARIO DE TÉRMINOS 11. FUENTES DOCUMENTALES 11.1 Bibliografía

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FICHA TÉCNICA Nombre del curso: Palabras clave:

Ecuaciones Diferenciales Ecuación, solución, curva, homogénea, exacta, orden, aplicación, constante, serie, polinomio, ortogonal, derivada, integral, no lineal, punto critico, diferencial, variable, exacta, factor, no homogénea, lineal, punto, regular, derivadas, parciales, funciones. Institución: Universidad Nacional Abierta y a Distancia -UNAD. Ciudad: Palmira – Colombia Autor del Protocolo Académico: Ricardo Gómez Narváez [email protected] [email protected] Año: 2011. Unidad Académica: Ciencias Básicas Campo de formación: Ingeniería. Área del conocimiento: Disciplinar. Créditos académicos: Tres (3), correspondiente a 144 horas de trabajo académico: 106 horas promedio de estudio independiente y 38 horas promedio de acompañamiento tutorial. Tipo de curso: Teórico. Destinatarios: Estudiantes de diversos programas de pregrado y cursos abiertos de la Universidad Nacional Abierta y a DistanciaUNAD-. Competencia general de El estudiante conoce los conceptos teóricos básicos para la aprendizaje: resolución de ecuaciones diferenciales, la misma que aplicará en el diseño de modelos matemáticos de fenómenos físicos, así como en la resolución de problemas con enfoque hacia el área de ingeniería. Aplicar los conocimientos teóricos en la resolución de ecuaciones diferenciales y realizar trabajos en equipo para fomentar la tolerancia, el razonamiento crítico, el respeto y la responsabilidad. Donde el estudiante: Podrá analizar las variables físicas más importantes dentro de los fenómenos naturales y de los aparatos construidos. Desarrollará sus habilidades de pensamiento complejo. Reforzará el pensamiento lógico y simbólico. Estimulará el pensamiento creativo a partir de las posibilidades de diversidad y cambio en la estructura matemática de los fenómenos físicos. Metodología de oferta: A distancia. Formato de circulación: Documentos impresos en papel, Web; CD-ROM. Denominación de las unidades Unidad 1: ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. didácticas: Unidad 2: ecuaciones diferenciales de segundo orden y de orden superior. Unidad 3: estudio de series y funciones especiales 3

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INTRODUCCIÓN

La educación a distancia ha sido tema de estudio de interés, debido, entre otros factores, al crecimiento demográfico y a los cambios acelerados en la tecnología y el nuevo entorno internacional. En ese lapso hemos pasado, en mayor o menor grado, de una educación tradicional, escolarizada, cerrada, de limitado acceso y por un período determinado, a una educación moderna, abierta, a distancia, sin restricciones de acceso, continua y para toda la vida.

Lo anterior implica nuevas formas de aprender, formas que implican importantes cambios tanto para los estudiantes como para los docentes y, aún más, para el propio sistema educativo.

El presente curso académico: Ecuaciones diferenciales se encuentran ubicado en el área Disciplinar donde Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen una función incógnita y alguna de sus derivadas. Si la función es de una variable la ecuación se llama ordinaria (EDO). Si es de varias variables, la ecuación es en derivadas parciales

El curso académico tratara los siguientes aspectos de mucha importancia en la ingeniería y sus diferentes proyecciones a la solución de problemas así: Trata de los sistemas de n ecuaciones de primer orden y de las ecuaciones de orden n sobre los que más información se puede obtener y que más veces son resolubles: los lineales. Primero se generalizan las propiedades vistas de las ecuaciones de primer orden. Luego se tratan, para ir fijando ideas, los sistemas de 2 ecuaciones y las ecuaciones de orden 2 (siempre resolubles si los coeficientes son constantes). Se pasa después al orden n general (se podrán resolver ya menos veces), se estudia su estabilidad y se introduce la técnica de resolución mediante transformadas. Hay una breve sección sobre soluciones periódicas; describe cómo resolver las EDOS lineales de segundo orden con coeficientes variables mediante series de potencias (único método posible la mayoría de las veces), en torno a los 4

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llamados puntos regulares y a los singulares regulares. Además estudiaremos en este curso una unidad con respecto al manejo de series y la solución de ecuaciones diferenciales mediante series llevando el curso a sus diversas aplicaciones.

El trabajo Académico consta de dos componentes:

Estudio independiente, que puede ser realizado en forma individual o en pequeños grupos colaborativos.

Acompañamiento tutorial, donde este, se hace en grupo de curso, en pequeños grupos colaborativos o también en forma individual o personalizada cuando el estudiante lo necesite. Las fuentes documentales y bibliografía respectiva la encuentra en forma escrita (módulos, libros, revistas), en medio magnéticos, CDS y también en documentos Web utilizando la autopista de la información

El curso consta de tres (3) créditos académicos equivalentes a 144 horas de estudio, distribuidas de la siguiente manera:

Estudio independiente:

106 horas

Acompañamiento y seguimiento tutorial:

38 horas

El curso está orientado a la autogestión estudiantil de los conocimientos teóricos para la comprensión de la estructura y funcionamiento de las ecuaciones diferenciales y series.

La estrategia pedagógica del curso hará énfasis en el desarrollo de competencias básicas (prepositivas, argumentativas Interpretativa, latitudinales, comunicativas, socio-afectivas,

disciplinares,

cognitivas,

metodológicas,

complejas,

y

transversales a través del desarrollo de actividades situaciones y actuaciones de 5

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aprendizaje que involucran las fases de reconocimiento, profundización y transferencia, planificadas en la guía de actividades.

El desarrollo de las actividades serán evaluadas en forma cualitativa (auto evaluación y coevaluación) y en forma cuantitativa (heteroevaluación sumativa).

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3. JUSTIFICACION Las tendencias actuales en una enseñanza universitaria de calidad dan menos importancia que antes a la transmisión de unos contenidos, por lo demás en continuo cambio y revisión, y expresan, en cambio, mayor interés por la adquisición, por parte del Estudiante, de técnicas y hábitos de estudio, de capacidad de análisis crítico, de inventar y descubrir, etc. En suma, ponen el énfasis en que el estudiante aprenda a aprender.

Las ecuaciones diferenciales constituyen uno de los más poderosos instrumentos teóricos para la interpretación y modelación de fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad, a saber, aquellos que contienen dinámicas, que expresan evolución, transformación o cambio en términos de algún conjunto de parámetros. Son, por eso, de especial importancia práctica y teórica para los ingenieros de cualquier rama.

La matemática, y en general el conocimiento básico, Permite el profundo conocimiento y comprensión de los procesos la innovación tecnológica,

la

adecuación y generación de tecnología, la optimización de recursos y mejoramiento de la

producción, la generalización del conocimiento y las

soluciones y mucho más La formación básica tecnológica es un complemento a la formación técnica, permitiendo no solo la importación de tecnología y soluciones, sino también su adecuación, mejoramiento e incluso optimización.

Las Ecuaciones Diferenciales permiten el modelado matemático y análisis de una gran variedad de sistemas determinísticos, no determinísticos y estocásticos. El curso desarrolla las principales ideas de los sistemas lineales y no lineales desde un enfoque teórico. El área de los sistemas ha penetrado prácticamente en todas las áreas de la tecnología, ya que permite abordar y manejar sistemáticamente aspectos de optimización y logro de comportamientos deseados. El área de los sistemas es transversal y genérica. Transversal por aplicarse a varias áreas de conocimiento:

sistemas

mecánicos,

eléctricos,

de

procesos,

humanos, 7

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económicos, etc.; por eso se encuentra todo género de investigadores: ingenieros de todas las disciplinas, economistas, físicos, matemáticos, etc.

Genérica en cuanto a que utiliza métodos, técnicas y tecnologías de varias áreas de conocimiento bajo un enfoque sistémico basado en el modelo matemático. Problemas cada vez más complejos requieren de métodos nuevos para el modelado, análisis y diseño de sistemas, por lo que profesionales con una buena formación matemática tienen un gran campo de acción y una estrecha relación con la Teoría General de Sistemas, Dinámica de Sistemas, Métodos Numéricos.

4. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS

4.1 PROPÓSITOS DE FORMACIÓN Para que en el curso académico que usted está cursando obtenga los mejores resultados, el curso de ecuaciones diferenciales le va a proporcionar: los conocimientos, métodos, técnicas y criterios para la modelación matemática de fenómenos específicos

propios de la ingeniería. Por lo anterior un requisito

indispensable para este curso es tener dominio del cálculo diferencial e integral.

Este curso académico genera las bases para la selección, diseño, innovación y creación de sistemas; el alumno podrá aplicar las ecuaciones diferenciales y las transformadas respectivas para el diseño y solución de problemas reales. Es importante señalar que las ecuaciones diferenciales representan el enlace entre los cursos de matemáticas de la etapa básica y los cursos de las etapas disciplinarias o terminales de las diferentes carreras de ingeniería, ya que una ecuación diferencial es un modelo de comportamiento de un sistema real, ya sea circuito eléctrico, crecimiento poblacional, enfriamiento de un cuerpo, mezcla, etc.

Contribuir a la comprensión del estudiante sobre los enfoques teóricos de las ecuaciones diferenciales y la aplicación de sus principios a la solución de 8

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problemas del entorno a través del desarrollo de competencias básicas, complejas y transversales aspectos que configuran el campo teórico de las ecuaciones diferenciales y series matemáticas.

Generar en el estudiante una actitud crítica, a través del fomento de la discusión y el

trabajo colaborativo en redes de comunidad académica en el área de

matemáticas y especialmente en ecuaciones diferenciales a partir de la selección y valoración de los diferentes modelos matemáticos.

Potenciar los procesos de autoprendizaje del estudiante

a través del desarrollo

de estrategias de autogestión formativa, a partir de la interacción con medios y mediaciones incluidos escenarios virtuales, que facilitan el aprendizaje autónomo.

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4.2 OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL:

Que la comunidad estudiantil de la UNAD, comprenda e interioricen las diferentes ecuaciones diferenciales para la solución de problemas en forma ágil con una presentación sistemática. Lograr que el estudiante UNADISTA:

OBJETIVO GENERAL DEL CURSO:

El Estudiante aplicará los conocimientos teóricos en la resolución de ecuaciones diferenciales y realizará trabajos en equipo para fomentar la tolerancia, el razonamiento crítico, el respeto y la responsabilidad. Donde conocerá los conceptos teóricos básicos para la resolución de ecuaciones diferenciales, conceptos que aplicará en el diseño de modelos matemáticos de fenómenos físicos, así como en la resolución de problemas con enfoque hacia el área de ingeniería y socio económico.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS DEL CURSO:

El estudiante: Se familiarizará con los conceptos básicos y terminología de las ecuaciones diferenciales en general y conocerá los métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales de primer orden.

Utilizará los conceptos básicos y la terminología para proponer modelos matemáticos que representen la variación de fenómenos y problemas físicos, y aplicará los métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales de primer orden para resolverlos.

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Se familiarizará con los conceptos básicos y terminología de las ecuaciones diferenciales

y

conocerá los métodos de resolución de las ecuaciones

diferenciales de orden superior.

Utilizará los conceptos básicos y la terminología para proponer modelos matemáticos que representen los fenómenos oscilatorios, y aplicará los métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales de segundo orden para resolverlos.

Se familiarizará con los conceptos básicos y terminología de las ecuaciones diferenciales con coeficientes variables y conocerá los diferentes métodos para su resolución.

Se familiarizará con los conceptos básicos y terminología de la transformada de Laplace y los utilizará en la resolución de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

Se familiarizará con los conceptos básicos y terminología de los diferentes Sistemas Dinámicos y aprenderá a modelarlos.

Se familiarizará con los conceptos básicos y terminología de las series matemáticas y solución de ecuaciones diferenciales.

4.3. METAS

El estudiante presentará y sustentará en su portafolio de desempeño personal una construcción

teórica personal a partir de las actividades de auto aprendizaje

individual y colaborativo señaladas en la guía de actividades del curso. Para el caso de las actividades de la fase de transferencia, los trabajos deben reflejar la visión crítica del estudiante sobre la identificación de un modelo matemático utilizando ecuaciones diferenciales y la solución de un problema real en el área de estudio. 11

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El estudiante realimentara en el portafolio de desempeño personal la efectividad de las

estrategias cognitivas aplicadas a las diferentes situaciones didácticas

planificadas y autogestionadas a partir de la guía de actividades en el desarrollo del curso, para explicitar el resultado de la transferencia de competencias logradas en la interacción con medios y mediaciones incluidos escenarios virtuales aportados por el curso.

4.4 COMPETENCIAS Los Estudiantes conocerán y reflexionarán sobre el uso y la importancia que las Ecuaciones Diferenciales en la ingeniería. Así como sus elementos básicos y su aplicación en el planteamiento y solución de problemas de Ingeniería y en general.

Los Estudiantes conocerán los conceptos básicos y terminología de las ecuaciones diferenciales en general, su utilización y los métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Los Estudiantes utilizarán los conceptos básicos y la terminología para proponer modelos matemáticos que representen la variación de fenómenos y problemas físicos, y aplicarán los métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales de primer orden para resolverlos.

Los Estudiantes conocerán los conceptos básicos y terminología de las ecuaciones diferenciales y aplicarán los diferentes métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales de orden superior.

Los Estudiantes utilizarán los conceptos básicos y la terminología para proponer modelos matemáticos que representen los fenómenos oscilatorios, y aplicarán los métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales de segundo orden para resolverlos.

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Los Estudiantes conocerán los conceptos básicos, terminología y propiedades de la transformada de la place y los aplicarán en la resolución de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes

Los Estudiantes conocerán los conceptos básicos y terminología de los sistemas de ecuaciones diferenciales,

y los aplicarán

los diferentes métodos para su

resolución.

Los Estudiantes podrán analizar las variables físicas más importantes dentro de los fenómenos naturales y de los aparatos construidos.

Los Estudiantes desarrollarán sus habilidades de pensamiento complejo

Los Estudiantes reforzarán el pensamiento lógico y simbólico

Los Estudiantes estimularán el pensamiento creativo a partir de las posibilidades de diversidad y cambio en la estructura matemática de los fenómenos físicos.

Estos propósitos se pueden desglosar en relación con objetivos, competencias y metas de aprendizaje, mediante la siguiente tabla:

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5. UNIDADES DIDÁCTICAS A partir de la concepción epistemológica para el auto aprendizaje de las ecuaciones diferenciales se han seleccionado las palabras claves tales como: Ecuación, solución, curva, homogénea, exacta, orden, aplicación, constante, serie, polinomio, ortogonal, derivada, integral, transformada, no lineal, punto crítico, diferencial, variable, exacta, factor, no homogénea, lineal, punto, regular, derivadas, parciales, funciones. Que nos encontraremos en el transcurso y en el seguimiento del curso. Unidad 1: Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Las ecuaciones con las que generalmente el estudiante ha trabajado responden, en su mayor parte, a la necesidad de obtener los valores numéricos de ciertas magnitudes. Pero en las aplicaciones de las matemáticas surgen con frecuencia una gran clase de problemas cualitativamente diferentes: problemas en los que la incógnita es a su vez una función. Llegamos así a las ecuaciones funcionales y su naturaleza puede ser, en general, muy diversa. De hecho, puede decirse que ya se conocen algunos ejemplos de ecuaciones funcionales: el cálculo de primitivas y las funciones implícitas.

Consideraremos ahora la clase más usual e importante de ecuaciones que sirve para determinar tales funciones: las llamadas ecuaciones diferenciales, esto es, ecuaciones en las que, además de la función desconocida. Una posible clasificación de las ecuaciones funcionales esta recogida en ecuaciones diferenciales ordinarias, en derivadas parciales, ecuaciones integrales, ecuaciones integro-diferenciales, otras. La primera clasificación que se puede dar para las ecuaciones diferenciales es dividirlas en ordinarias y parciales, según que la función incógnita dependa de una o de varias variables. Actualmente, las ecuaciones diferenciales se han convertido en una herramienta poderosa para la investigación de los fenómenos naturales. La mecánica, la astronomía y la tecnología han sido causa de numerosos progresos en esta área. De todas maneras las edo base fundamental del modelo matemático de una realidad se ajustan a una Edo lineal de primer orden por su grado de complejidad mínima.

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Unidad 2: Ecuaciones diferenciales de segundo orden y de orden superior Es frecuente, en numerosos problemas de mecánica, teoría de circuitos eléctricos o sistemas en general que se modelan matemáticamente, las ecuaciones que rigen los procesos son de orden mayor que uno. Por lo tanto, será necesario trabajar con ecuaciones diferenciales de orden superior.

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n es una ecuación que liga la variable independiente x, una función incógnita y = y(x) y sus derivadas sucesivas), es decir, es una expresión, bien de la forma: F(x, y, y’, y’’,y’’’, . . . , y(n))= 0 (forma implícita)

Unidad 3: Estudio de series y funciones especiales

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se

representa una serie con términos an como

donde N es el índice final de la

serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,

.

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si

existe o si tiende a infinito; converge si

para algún

no

.

Completamos este material didáctico con la tercera unidad cuyo objetivo final nos dará las técnicas para resolver Ecuaciones Diferenciales lineales con coeficientes variables, utilizando para ello las series. Definimos el concepto de punto ordinario y punto singular regular.

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Primera Unidad

TABLA DE CONTENIDO UNIDADES DIDÁCTICAS Capítulos Lecciones Lección 1: Fundamentos generales como apoyo a las ecuaciones diferenciales. Capítulo 1: Lección 2: Conceptualización de una ecuación INTRODUCCIÓN A diferencial. LAS ECUACIONES Lección 3: Resolución de una ecuación diferencial. DIFERENCIALES

Capítulo 2: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Lección 4: Clasificación de las ecuaciones diferenciales. Lección 5: Ejercicios propuestos. Lección 6: Ecuaciones con variables separables.

Lección 7: Ecuaciones Homogéneas. Lección 8: Ecuaciones exactas. Lección 9: El factor integrante. UNIDAD I. Lección10: Ejercicios Propuestos ECUACIONES DIFERENCIALES Capítulo 3: Lección 11: Trayectorias Ortogonales. DE PRIMER CAMPOS DE Lección 12: Los campos de fuerza. Una aplicación ORDEN APLICACIÓN DE de las Ecuaciones diferenciales. LAS ECUACIONES Lección 13: Aplicaciones de familias de curvas y LINEALES DE trayectorias ortogonales. PRIMER ORDEN Lección 14: Otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Lección 15: Ejercicios Propuestos. Segunda Unidad Capítulos Lecciones Lección 16: Ecuaciones diferenciales de segundo orden y métodos de solución. Capítulo 4. Lección 17: La Solución General de una ecuación ECUACIONES diferencial como Combinación Lineal de Soluciones DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN. Linealmente Independientes. Lección 18: Ecuaciones diferenciales lineales UNIDAD II. homogéneas y no homogéneas con coeficientes ECUACIONES Constantes. DIFERENCIALES Lección 19: Operador para la solución de DE SEGUNDO ecuaciones diferenciales. ORDEN Y DE Lección 20: Ejercicios Propuestos. ORDEN SUPERIOR Capítulo 5: Lección 21: Ecuaciones diferenciales lineales de ECUACIONES orden n. DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Lección 22: Ecuaciones diferenciales de orden 16

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superior con coeficientes constantes Lección 23: Ecuación diferencial de orden superior homogénea y no homogénea con coeficientes constantes. Lección 24: Métodos generales de solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior. Lección 25: Ejercicios propuestos. Capítulo 6: CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR. Tercera Unidad

Capítulos

Capítulo 7: GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES.

UNIDAD III. ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES

Capítulo 8: SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS

Capítulo 9: FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS

Lección 26: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden Lección 27: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior Lección 28: Ecuaciones diferenciales de Euler. Lección 29: Ecuaciones diferenciales de Chebyshev y de Bessel . Lección 30: Ejercicios Propuestos. Lecciones Lección 31: Definición de serie matemática. Lección 32: Clasificación de las series matemáticas. Lección 33: Técnicas para resolver Ecuaciones Diferenciales mediante series matemáticas. Lección 34: Definimos el concepto de punto ordinario y punto singular regular en una Ecuación diferencial. Lección 35: Ejercicios Propuestos. Lección 36: Estudio de Series De Potencias. Lección 37: Propiedades y Convergencia de las series de potencias. Lección 38: Solución de ecuaciones diferenciales de primer orden mediante Series de potencias. Lección 39: Solución de ecuaciones diferenciales de orden superior mediante Series de potencias. Lección 40: Ejercicios Propuestos. Lección 41: Funciones analíticas. Lección 42: Series De Taylor. Lección 43: Solución de ecuaciones diferenciales mediante Series de Taylor. Lección 44: Series de MacLaurín. Lección 45: Ejercicios Propuestos. 17

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6. MAPA CONCEPTUAL CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES

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7. CONTEXTO TEÓRICO Las ecuaciones diferenciales juegan un papel esencial en el modelado de procesos físicos, químicos, biológicos, económicos, atmosféricos, oceanográficos, etc. También son utilizadas en la industria para el control de procesos de producción, para la simulación por computadora de procesos, etc. Además, son parte fundamental de modelos de la naturaleza y de aplicaciones en la salud. La resolución efectiva de las ecuaciones diferenciales requiere, en casi todos los casos, el uso de diseños y el análisis del sistema a tratar. Cabe señalar que un tipo de métodos matemáticos difiere del modelo encontrado. Esta clase de métodos requiere la aplicación de avanzadas técnicas matemáticas. Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. A la variable dependiente también se le llama función incógnita. La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace). Orden de la ecuación Se llama orden de la ecuación al orden de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. Ejemplo: y’’ + 4 xy’ + 2y = 4x + 5 19

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es una ecuación diferencial de orden 2, ya que la derivada de mayor orden que aparece en ella es de ese orden. Grado de la ecuación Se llama grado de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden. La ecuación debe tener una forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado. Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma: , es decir: Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero. Tipos de soluciones Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación. Hay tres tipos de soluciones: Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes. En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa. Solución particular: un caso particular de la solución general, en donde la constante recibe un valor específico. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general. El uso de ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todos los ramos de la ingeniería para el modelamiento de fenómenos físicos.

Criterios de calidad del curso 20

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El curso de Ecuaciones Diferenciales se desarrolla con aplicación de un protocolo académico y de una guía académica que garantizan el cumplimiento de los requisitos de calidad planteados en el decreto 2566 sobre condiciones para acreditación de los programas, incluyendo por ejemplo el caso específico de los créditos académicos como parámetro para la, gestión de tiempos de aprendizaje independiente y con acompañamiento docente, más la optimización disciplinar mediante la actualización de los contenidos y la interacción con redes de comunidades académicas especializadas en la disciplina. Aplicación de las TIC en el curso El empleo de las TIC se evidencia en el uso de herramientas de aula virtual, para comunicación o interacción dialógica, estudio, cognición y evaluación. El curso de Ecuaciones Diferenciales está agregando estos avances de manera adaptada al modelo pedagógico institucional de forma virtual y tradicional. El proceso de El proceso de cambio a campus virtual de Ecuaciones Diferenciales está elevadamente desarrollado en cuanto a preparación de contenidos multimediales o virtuales, como se podría analizar navegando en el curso correspondiente. El campus virtual incluirá además la construcción y fortalecimiento de la red académica de docentes de Ecuaciones Diferenciales a nivel de todos los CEAD del país y la interacción con profesionales internacionales y nacionales del campo de las matemáticas. Suministraremos material, ideas prácticas y recursos acerca de la Integración de las tecnologías de la Información y las Comunicaciones (TICs) en la clase de Ecuaciones Diferenciales. Esta asignatura, en compañía de Lenguaje, son fundamentales en el desarrollo intelectual de los estudiantes ya que ofrecen herramientas para aprender a pensar y para aprender a aprender. Las ecuaciones diferenciales han sido tradicionalmente un dolor de cabeza para educadores y estudiantes. Un alto porcentaje de estudiantes sienten temor y falta de gusto cuando se enfrentan a esta materia. La educación universitaria debe tener como propósito que los estudiantes alcancen las competencias matemáticas necesarias para comprender, utilizar, aplicar y comunicar conceptos y procedimientos matemáticos. Que puedan a través de la exploración, abstracción, clasificación, medición y estimación, llegar a 21

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resultados que les permitan comunicarse y hacer interpretaciones y representaciones; es decir, descubrir que las ecuaciones diferenciales si están relacionadas con la vida y con las situaciones que los rodean, más allá de las paredes de la universidad. En cuanto a la integración de las TICs en los procesos de aprendizaje de las Ecuaciones Diferenciales, nos hemos basado en cinco categorías, las cuales son: conexiones dinámicas, herramientas avanzadas y comunidades ricas en recursos matemáticos. Conexiones Dinámicas Manipulables: Las Ecuaciones Diferenciales están cargadas de conceptos invisibles o abstractos y de símbolos. En este sentido, la imagen cobra un valor muy importante en esta asignatura ya que permite que el estudiante se acerque a los conceptos, sacándolos de lo abstracto mediante su visualización y transformándolos realizando cambios en las variables implícitas. Herramientas Avanzadas: Las hojas de cálculo, presentes en todos los paquetes de programas de computador, pueden ser utilizadas por los estudiantes en la clase de Ecuaciones Diferenciales como herramienta numérica. Las calculadoras gráficas enfatizan la manipulación de símbolos algebraicos, permitiendo graficar funciones, ampliarlas, reducirlas y comparar las graficas de varios tipos de funciones. Adicionalmente, las herramientas para graficar y analizar datos posibilitan que el estudiante descubra patrones en datos complejos, ampliando de esta forma su razonamiento estadístico. Comunidades Ricas en Recursos Matemáticos: Los tutores pueden encontrar en Internet miles de recursos para enriquecer la clase de Ecuaciones Diferenciales, como: simulaciones, proyectos de clase, calculadoras; software para resolver ecuaciones, graficar funciones, encontrar derivadas, elaborar y ejercicios, convertir unidades de medida, ejercitar operaciones básicas, construir y visualizar figuras geométricas, etc. Internet, el más poderoso sistema de comunicación que haya conocido la humanidad, posibilita la creación de ambientes colaborativos y cooperativos en el ámbito local, nacional o internacional, y en los cuales tutores y estudiantes comparten proyectos y opiniones sobre un tema en particular. Los estudiantes también pueden encontrar en este medio una variedad de bases de datos con información de todo tipo. Comunidades de aprendizaje autónomo:

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El aprendizaje virtual incluye y facilita el trabajo colaborativo de grupos de estudiantes a quienes se les pueden asignar en procesos participativos de decisión, tareas contextualizadas para el abordaje de problemas teórico-prácticos de la ecuaciones diferenciales conectados con realidades ambientales del entorno del estudiante. Estos trabajos se convierten en oportunidades de investigación formativa y en semilleros de investigación para orientar a los estudiantes hacia la integración a líneas institucionales de investigación lideradas por los docentes a nivel central y regional. Las Comunidades de Aprendizaje es un proyecto de transformación de centros educativos dirigido a la superación del fracaso universitario y la eliminación de conflictos. Este proyecto se distingue por el aprendizaje dialógico mediante los grupos interactivos, donde el diálogo igualitario se convierte en un esfuerzo común para lograr la igualdad educativa de todos los estudiantes.

Las comunidades de aprendizaje representan una apuesta por la igualdad educativa en el marco de la sociedad de la información para combatir las situaciones de desigualdad en las que se encuentran muchas personas.

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8. METODOLOGÍA GENERAL Al tratarse de un curso a distancia ajustado en el auto aprendizaje del estudiante mediante el aprovechamiento de material hipermedia con acceso a aula virtual, sin eliminación de otras interacciones de acompañamiento tutorial y de trabajo en grupos colaborativos, la metodología a aplicar parte de la carga de las temáticas fundamentales del curso en tres fases: reconocimiento, profundización y transferencia.

Grafica No. 2. METODOLOGÍA A USAR EN ECUACIONES DIFERENCIALES 1. Fase de Reconocimiento Se relaciona a la interacción entre los conocimientos previos y las nuevas conceptualizaciones del curso. Las actividades se enmarcan en situaciones didácticas que para la fase de reconocimiento, pueden corresponder a las siguientes posibilidades didácticas: 1.1.

Para

la

fase

de

reconocimiento

general

del

curso:

Una actividad individual a través de una lección evaluativa sobre los conocimientos previos del curso, es decir, la identificación de conceptos conocidos y conceptos nuevos que necesitan posterior profundización. En la metodología tradicional esta evaluación diagnóstica será realizada por el tutor, quien después de aplicar esta evaluación, debe proporcionar la respectiva retroalimentación. Esta actividad debe desarrollarse, desde el primer día de labores académicas, de acuerdo al cronograma académico establecido. 24

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Un foro donde pueden interactuar el tutor con el pequeño grupo, con el fin de que haya un reconocimiento de los compañeros de grupo y que se aborden todas las inquietudes relacionadas con el curso académico que tienen los estudiantes. Para los estudiantes de metodología tradicional se debe realizar un encuentro de grupo donde se analice el protocolo académico y la guía de actividades del curso, previa lectura de los mismos por parte de los estudiantes. En este evento se constituirán grupos colaborativos. 1.2

El reconocimiento de cada unidad temática

Se refiere a la confrontación de los contenidos del curso con los conocimientos y experiencias previas, identificando nuevos conceptos a adquirir. Se realiza mediante lecciones evaluativas individuales, para el caso de metodología tradicional esta evaluación será realizada por el tutor. Las preguntas formuladas en la lección evaluativa deben derivarse de un párrafo o contexto para que el estudiante, reconozca o identifique los tópicos o diferentes temáticas de la unidad. Esta evaluación será diseñada, revisada y calificada por el tutor, de manera individual, incorporando en el resultado la respectiva retroalimentación. 2. Fase de profundización Corresponde al desarrollo de actividades de aprendizaje por cada unidad temática que permiten analizar y re conceptualizar los conceptos encontrados en la fase de reconocimiento. Se realizan a través de quíz y lecciones evaluativas sobre los contenidos didácticos y objetos virtuales de aprendizaje de las unidades correspondientes, orientadas a precisar las nociones, procedimientos y estado del arte en los campos de frontera de la disciplina. Para los estudiantes de metodología tradicional el tutor diseña, aplica y califica las evaluaciones de acuerdo a los lineamientos del modelo de evaluación de la UNAD. 3. La fase de transferencia Integra los aprendizajes mediante una re contextualización, re significación y aplicación autónoma a situaciones problémicas de naturaleza teórica o práctica, generando competencias para el futuro desempeño interdisciplinario y transdisciplinario en el campo profesional. El proceso general se complementa y refuerza con sistemas de interactividad pedagógica asincrónica mediante foros para socialización de logros del estudio independiente, en pequeños grupos colaborativos, la realización de tareas, y el desarrollo de prácticas.

El proceso general de auto aprendizaje, se complementa y refuerza con momentos de auto evaluación, coevaluación y heteroevaluación, articulados con 25

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sistemas de interactividad pedagógica sincrónica o asincrónica para socialización de logros del estudio independiente, en pequeños grupos colaborativos, en grupo de curso, tutoría individual. El proceso final se refuerza con la realimentación sobre los logros sustentados en los procesos evaluativos a nivel formativo y sumativo.

COMPONENTES DEL TRABAJO ACADÉMICO ESTUDIO INDEPENDIENTE Es el momento donde el Estudiante inicia su proceso de auto aprendizaje, por medio de actividades académicas individuales y grupales. Por el sistema de créditos académicos, el Estudiante debe utilizar por lo menos 106 horas de estudio independiente, correspondiente a 3 créditos académicos para este curso. En este componente hay dos acciones a saber: Trabajo Personal El estudio por medio del trabajo personal, es la fuente fundamental del aprendizaje, donde el Estudiante indaga los núcleos generativos del conocimiento, por medio de la exploración del curso académico, la lectura y análisis de la guía didáctica, lectura del modulo y otro material escrito, consulta en sitios de la Web e Internet, desarrollo de actividades de la guía respectiva, la elaboración de resúmenes, realización de Auto evaluación, presentación de informes. Para esta acción, se recomienda que el estudiante desarrolle el método de lectura autor regulada. En este espacio el Estudiante desarrolla las fases de: Reconocimiento, ya que puede activar sus conocimientos previos, objetivar los significados de dichos conocimientos y conseguir métodos y herramientas para que ésta fase de adquisición de conocimientos sea más fácil de desarrollar. Profundización, porque el estudiante por medio de actividades planteadas didáctica y secuencialmente adquiere el dominio de conceptos y competencias de diversas índoles, según los propósitos, objetivos y competencias propuestos. Es importante que el estudiante aproveche al máximo este componente del trabajo académico, ya que de la ejecución de éste depende en gran parte el éxito del proceso de aprendizaje. De esta acción el estudiante debe haber realizado mínimo lo siguiente. 1. Un resumen del tema en cuestión, utilizando una de las siguientes herramientas. Mapa conceptual, ensayo y otros. 2. Conocer los principios del tema, destacando teorías, definiciones, fórmulas, otros. 26

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3. Identificar dudas, plantear inquietudes y proponer debates para el trabajo en grupo, paneles, sobre temas críticos que halla identificado a través del estudio realizado. 4. Un auto evaluación que permita detectar los avances del tema en estudio. En el trabajo personal el Estudiante deberá disponer de 80 horas/curso.

Trabajo En Pequeños Grupos Colaborativos de Aprendizaje Después del trabajo personal, el estudiante debe compartir lo aprendido con sus colegas, lo cual se hace por medio de un trabajo en grupo, donde se intercambian conocimientos, se debaten dudas, se hacen preguntas entre compañeros. Este trabajo se puede realizar en la Universidad, o en un sitio estratégico donde el número de estudiantes que componen el equipo se les facilite tanto el desplazamiento como los encuentros. Esta actividad se hace en ausencia del tutor y está basada en lo propuesto en la guía de actividades. Este es el espacio para comenzar a desarrollar la competencia de comunicación y a estimular las habilidades valorativas y de interacción. Este trabajo es importante y tiene carácter obligatorio en el desarrollo del curso académico y requiere que se utilicen 26 horas/curso. Este trabajo debe permitir: 1. 2. 3. 4. 5.

Complementar los conocimientos propios, con los de otros compañeros. Aclarar dudas acerca de temas concretos. Reforzar lo aprendido, con lo aportado por los demás compañeros. Proponer dudas grupales para compartir con el tutor. Desarrollar coevaluación que permita indagar los conocimientos adquiridos entre estudiantes y así detectar debilidades y dificultades en la comprensión del tema estudiado.

ACOMPAÑAMIENTO TUTORIAL Realizadas las actividades individuales y grupales por parte de los estudiantes, existen argumentos sólidos para realizar una tutoría, la cual puede ser de tres tipos según se explicará a continuación. El tiempo a utilizar en el acompañamiento tutorial es de 38 horas, según el número de créditos para este curso.

Tutoría Individual En este espacio el tutor hace acompañamiento al estudiante de manera individual sobre situaciones particulares de éste último, tales como contenidos temáticos y

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técnicas que está utilizando el estudiante en su proceso y así se pueda potenciar su aprendizaje. En este momento se puede valorar el trabajo del estudiante por medio de revisión de informes, evaluación de actividades, portafolios y otros, todo esto por medio de heteroevaluación realizada por el Tutor.

Tutoría a Pequeños Grupos Colaborativos En este espacio el Tutor hace acompañamiento a un pequeño grupo de Estudiantes acerca de situaciones particulares que puedan presentar éstos, tales como contenidos temáticos, pertinencia y efectividad de los métodos y técnicas que esta utilizando el grupo en su proceso y así se pueda estimular y potenciar el aprendizaje del grupo. En este momento se puede valorar el trabajo del pequeño grupo por medio de revisión de informes, evaluación de actividades, portafolios, exposiciones y otros, todo esto por medio de coevaluación y heteroevaluación.

Tutoría en Grupo de Curso Este es el espacio donde los estudiantes, con la orientación del tutor, se aborda aquellos temas específicos que han presentado algún grado de dificultad en los momentos previos. En las tutorías, el docente debe asumir el rol de orientador y dinamizador del aprendizaje, esperando que el encuentro sea dinámico y participativo por parte de los estudiantes. NO se debe esperar que el tutor “DICTE UNA CLASE”, ya que el espacio es para tratar temáticas de manera más profunda, aclarar dudas que no se pudieron solucionar ni individual ni grupal mente. En el acompañamiento tutorial, se desarrolla la fase de Transferencia del Proceso de aprendizaje; ya que el estudiante con los conocimientos adquiridos, esta en capacidad de resolver problemas en otras situaciones utilizando los mismos principios, teorías y definiciones. Pero además se fortalecen las fases de Reconocimiento y Profundización. La siguiente gráfica, permite comparar el modelo pedagógico tradicional, el cual NO se debe aplicar en nuestra institución y la propuesta de modelo que la UNAD quiere apropiar.

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Grafica No. 5. MODELO PEDAGOGICO

MODELO TRADICIONAL Transmisión

Recepción

Conocimiento elaborado

PROPUESTA

m

Como podemos observar en la gráfica, la propuesta está acorde con los momentos que se describen en la metodología a distancia que la UNAD viene desarrollando y quiere madurar para llegar a un modelo propio, que sea convalidado y plenamente probado para nuestra institución. Se visualizan los momentos de trabajo individual, trabajo en grupos colaborativos y acompañamiento tutorial. Pero se observa el uso de las TIC como herramienta básica para que la interiorización de los conocimientos sea más dinámica y significativa.

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9. SISTEMA DE EVALUACIÓN En la UNAD se aplican tres estilos de evaluación: Profundización AUTOEVALUACIÓN Es aquella que realiza el mismo estudiante, donde a medida que va estudiando, se va planteando preguntas y el mismo las resuelve. De esta forma el estudiante hace su propio seguimiento, identificando avances y dificultades, lo que hace el proceso de autoaprendizaje muy dinámico y participativo. Este tipo de evaluación NO tiene ponderación para la aprobación del curso, solo es una forma de identificar fortalezas y debilidades en el proceso de aprendizaje. COEVALUACIÓN Cuando el estudiante realiza estudio en pequeño grupo colaborativo, los compañeros pueden valorar los avances, por medio de la coevaluación, en ésta los compañeros se evalúan entre si, con el fin de identificar los avances y detectar debilidades en el desarrollo de los temas que se están estudiando. La coevaluación es un espacio para desarrollar habilidades comunicativas y NO tiene ponderación para la aprobación del curso. HETEROEVALUACIÓN Es aquella preparada por el tutor titular del curso, para hacer el seguimiento al rendimiento académico de los estudiantes, se puede realizar por medio de parciales, quices, revisión de informes, trabajos, portafolios, evaluación nacional y otros. Este estilo de evaluación es la utilizada por la UNAD para determinar la aprobación o no del curso académico. La nota definitiva para que un Estudiante apruebe el curso académico esta distribuida así: 1. Una nota obtenida de un examen nacional al final del curso académico que tiene un valor del 40% del total, la cual es alimentada por los tutores y docente titular del curso y diseñada por éste último. La prueba es aplicada en los CEAD con la supervisión de los tutores que orientan el curso. 2. Para el 60% restante de la nota del curso, se tiene la siguiente ponderación: En la fase de reconocimiento se utiliza el 10%, para la Profundización el 30% y para la fase de Transferencia el 20%. En forma general, el proceso de evaluación se dará bajo la siguiente gráfica:

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Grafica No. 6. FORMA DE EVALUACIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES

Es importante cubrir todos los aspectos antes de hacer una evaluación de cada uno de los temas. Si bien la concreción en la interpretación, inferencia de modelos, identificación de modelos y de métodos de solución están ligados a la evaluación del logro de habilidades; de manera simultánea, la participación, respeto a sus compañeros, apego a las reglas prestablecidas, etc., están ligados a la evaluación del cumplimiento de los compromisos. Tabla 5: Distribución de horas promedio para el aprendizaje académico según el sistema de créditos aplicado al contexto de la educación a distancia

ACTIVIDADES GENERALES DEL TRABAJO ACADÉMICO Estudio independiente Acompañamiento y seguimiento tutorial Total horas

No. De Créditos 3 108 36 144

Tabla 6: Horas promedio que el estudiante debe dedicar al desarrollo de actividades sistémicas de aprendizaje en educación a distancia, según número de créditos académicos

ACTIVIDADES Aprendizaje y estudio independiente Trabajo en pequeños grupos colaborativos Acompañamiento tutorial en grupo de curso Acompañamiento y seguimiento tutorial Total horas

DISTRIBUCIÓN DE HORAS DE ESTUDIO SEGÚN NÚMERO DE CRÉDITOS ACADÉMICOS 3 84 24 12 24 144 31

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Tabla 7: Distribución de horas por crédito académico para actividades en grupo de curso según fases de aprendizaje

ACTIVIDADES EN GRUPO DE CURSO Inducción Reconocimiento Profundización Transferencia Total horas

NÚMERO DE HORAS POR CRÉDITOS ACADÉMICOS 3 2 2 4 4 12

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10. GLOSARIO DE TERMINOS ALGEBRA: Parte de las matemáticas que trata de la cantidad en gral., valiéndose para representarla de letras u otros símbolos. ANÁLISIS: Parte de las matemáticas puras que estudia las materias no comprendidas en la aritmética, geometría y álgebra. Los límites de su contenido no están definidos con exactitud: ~ combinatorio, parte del análisis matemático que estudia los grupos que se pueden formar con elementos de conjuntos teniendo en cuenta, bien los objetos tomados, o bien el orden en que se toman, o ambos valores a la vez. APROXIMACIÓN: Diferencia admisible entre un valor obtenido en una medición o cálculo y el valor exacto desconocido. Es anglicismo en el sentido de la manera de abordar o de considerar aquello de lo que se va a tratar. BASE: Cantidad fija y distinta de la unidad, que ha de elevarse a una potencia dada, para que resulte un número determinado. CALCULO: Nombre de varias ramas de las matemáticas que implican ~: ~ infinitesimal, el que se ocupa en las cantidades infinitamente pequeñas. Comprende el ~ diferencial, que trata de las diferencias infinitamente pequeñas de las cantidades variables, y el ~ integral, que trata de la determinación de las cantidades variables, conocidas sus diferencias infinitamente pequeñas. CANONICA: Una fracción está en su forma reducida o canónica si el numerador y el denominador no tienen un factor común. COEFICIENTE: Número que escrito a la izquierda e inmediatamente a un monomio indica las veces que ha de tomarse como sumando. Cuando el coeficiente se refiere a todo un binomio o polinomio, enciérrese éste dentro de un paréntesis. CONDICION: A condición que, siempre que, con tal que. CONDICIONAMIENTO: Limitación, restricción. CONSTANTE: Cantidad, valor que se mantiene invariable: constantes vitales, medidas, conjunto de datos relativos a la composición y las funciones del organismo, cuyo valor debe mantenerse dentro de ciertos límites para que la vida prosiga en condiciones normales. CONTORNO: Conjunto de las líneas que limitan una figura o composición. CONVERGENCIA: Dirigirse a un mismo punto: dos líneas que convergen; varios caminos 33

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convergían en aquel lugar. DIFERENCIACIÓN: Operación por la cual se determina la diferencial de una función.

DIFERENCIAL: Diferencia infinitamente pequeña de una variable. DIVERGENCIA: Irse apartando sucesivamente unas de otras, dos o más líneas, superficies o cosas. ECUACIÓN: Igualdad entre dos expresiones que contienen una o más incógnitas.

ESPACIO VECTORIAL: Un espacio vectorial V es un conjunto no vacío de vectores que cumple una serie de propiedades. FACTOR: Cantidad que se multiplica con otra para formar un producto.

FORMULA: Resultado de un cálculo cuya expresión, simplificada, sirve de regla para resolución de todos los casos análogos. FUNCION: Magnitud cuyos valores dependen de los de otra u otras variables. GAMMA: Función matemática.

IDENTIDAD: Igualdad que se verifica siempre, sea cualquiera el valor de las variables que su expresión contiene. INTEGRAL: Determinar por el cálculo [una cantidad] conociendo sólo la expresión diferencial. METODO: Procedimiento, se aplica peralte. a la manera de hacer algo, esp. Cuando comprende más de una operación. MODELO: Esquema teórico de un sistema o realidad compleja que se elabora para facilitar su comprensión y estudio. NOTACIÓN: Representación por medio de signos convencionales PARCIAL: Relativo a una parte del todo RAICES: Valor que puede tener la incógnita de una ecuación. Cantidad que, tomada como factor cierto número de veces, da como producto una cantidad determinada: ~ cuadrada, la que, tomada dos veces como factor, da una cantidad determinada; ~ cúbica, la que, tomada tres veces como factor, da una cantidad 34

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determinada; ~ irracional o sorda, la que no puede expresarse exactamente con números enteros ni fraccionarios. REGLA: artificio que sirve para realizar mecánicamente ciertas operaciones aritméticas, por ejemplo multiplicar y dividir. SERIE: Sucesión de cantidades que se derivan unas de otras: ~ convergente, sucesión convergente. SISTEMAS: Colección de definiciones y reglas operativas que se introducen con un objetivo definido: ~ de coordenadas. - ENTRADA PROCESO Y SALIDA. SOLUCION: Cantidad que satisface las condiciones de un problema o una ecuación. TEOREMA: Proposición que afirma una verdad demostrable. Enunciado de una propiedad o proposición seguida de su demostración. Resultado de un estudio matemático. TRANSFORMADA: Resultado de una operación algebraica cualquiera, obtención de otra equivalente, aunque de forma distinta, por medio de una o de varias operaciones determinadas. VALORES: Determinación cuantitativa particular: valores de una variable. VARIABLE: Símbolo que designa un conjunto de números y representa indistintamente a cada uno de ellos. Estos números se llaman valores de la ~, y su conjunto campo de variabilidad.

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11. FUENTES DOCUMENTALES DOCUMENTOS IMPRESOS BIBLIOGRAFÍA Boyce, W.E., DiPrima, R.C. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Limusa, 1996. Dennis G. Zill. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones al Modelado. Ed. Thomson Hirsch, M.W., Smale, S. Ecuaciones diferencial, sistemas dinámicos y álgebra lineal, Alianza Editorial, 1983. Murray R. Spiegel. Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Ed. Prentice Hall

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas. Autor: George F. Simmons, Ed. MC Graw Hill. George F. Simmons. Ecuaciones Diferenciales (Segunda edición). McGraw-Hill, Madrid (1993). Matemáticas Avanzadas para Ingenieros. Autor Erwin Kreyszig, Ed. Limusa

SOFWARES LIBRES PARA TRABAJAR EN ECUACIONES DIFERENCIALES: Abacus MathWriter 4.3: Resuelve ecuaciones que contiene integrales y derivadas Maple. Este programa es útil para resolver tanto en ecuaciones Diferenciales como para los demás cursos matemáticos, como Calculo Integral, Diferencial, algebra lineal, etc.

DIRECCIONES DE SITIOS WEB 

Direcciones de internet de interés en ecuaciones diferenciales por buscador Google.

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Páginas auxiliares importantes.   

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Ábaco: Pagina personal de Pedro Corcho - Página dedicada al maravilloso mundo de las matemáticas. Antonio Pérez. Matemáticas - Página de Matemáticas Aplicaciones didácticas de Mathematica - Información sobre aplicaciones didácticas del programa Matemática en educación secundaria. Información para el diseño de aplicaciones, se ofrecen cuadernos y paquetes, punto de contacto con otras personas interesadas. Calcula Web - Aplicación de las calculadoras científicas y las hojas de cálculo en la enseñanza de las matemáticas en la educación secundaria. Departamento de Matemáticas y Estadística - Programas académicos del departamento, la actividad investigativa, la asesoría y la extensión que se ofrece a la comunidad, incluye una página completa sobre revistas electrónicas colombiana Dudas de Matemáticas - Donde los hispanohablantes nos encontramos para resolver las dudas de matemáticas que tenemos, a nivel colegio secundario y universitario. El Paraíso de las Matemáticas - El portal de las Matemáticas en castellano. Apuntes, ejercicios, exámenes, enlaces, consultas, etc. Enlaces a direcciones matemáticas interesantes - Enlaces a direcciones matemáticas interesantes. Esta lista de direcciones ha sido recopilada por. Antonio Gámez Mellado. Luis M. Marín Trechera. Fractales - 'Matemática de Belleza Infinita' - Datos para conocer la genialidad de los Fractales. Todo en español. Encuentre programas para bajar y Java. Notas de su descubridor, B.Mandelbrot. Funciones matemáticas - Math Functions. Funciones matemáticas derivadas - Derived Math Functions. Funciones matemáticas: - Next: Funciones de utilería: Previous: Funciones para cadenas: Contents: Contenido. Fundamentos para la matemática y para la física del futuro. - Se señalan los errores cometidos en el pasado y se superan las dificultades lógicas que lo propiciaron. Gacetilla Matemática - Anécdotas y curiosidades. Varios LAS CONICAS - Definición, aplicación y construcción de cónicas, parábolas, hipérbolas y elipses. applets kumon - Método japonés para el aprendizaje y dominio de las matemáticas y desarrollo del potencial, concebido y diseñado por el profesor Toru Kumon hace 50 años Matemáticas- Direcciones de Web útiles para la enseñanza de las matemáticas Matemáticas Aplicadas - Matemáticas Aplicadas. Investigación de Operaciones, administración de Operaciones, Programación Matemática y Desarrollo de Software en Visual Basic Matemáticas Discretas - Matemáticas Discretas. Esta materia me fue impartida por el M.C. Arturo González. Esta materia por lo regular es una de las llamadas difíciles pues a... 37

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MATEMATICAS SIGLO XXI - Ejercicios de matemáticas para resolver Matemáticas y Física - Astronomía: Simposio Internacional de Astronomía en Medellín. Astronomía: Planetario de Medellín. Astronomía: Un Banco de Imágenes de la NASA.  Olimpíadas Iberoamericanas de Matemáticas - Organización de Estados Iberoamericanos. Para la Educación, la Ciencia y la Cultura. Olimpíadas Iberoamericanas de Matemática. 12 años de Olimpíadas. Página Web de Matemáticas - Álgebra, calculo, estadística, problemas, software matemático, foros en Internet, apuntes, exámenes.

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