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• Yisrael Lopez

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Propiedades de los Logaritmos - Fórmulas Definición Logaritmo del número b con la base a (loga b) se define como el índice de la potencia a que hay que elevar el número a, para sacar b (el logaritmo tienen sólo los números positivos). logab = x significa que ax = b El uso más amplio tienen los siguients tipos de logaritmos   

loga b - logaritmo del número b con base a (a > 0, a ≠ 1, b > 0) lg b - logaritmo decimal (el logaritmo con la base 10, a = 10). ln b - logaritmo natural (el logaritmo con la base e, a = e). Propiedades de los Logaritmos

Para cualquier a; a > 0; a ≠ 1 y para cualquier x; y > 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

alogab = b - Identidad logarítmica esencial loga 1 = 0 - el logaritmo de 1 es cero loga a = 1 - el logaritmo en base a de a es uno loga(x · y) = logax + logay loga xy = logax - logay loga 1x = -logax loga xp = p logax logak x = 1k loga x, si k ≠ 0 logax = logac xc loga x = logb xlogb a - Fórmula del traspaso a una base nueva loga x = 1logx a

Formulas de factorizacion Formulas de factorizacion — son casos frecuentes de multiplicación de polinomios, se usan para decomposición de los polinomios a multiplicadores, la simplificación de fórmulas, la simplificación de polinomios. Fórmulas de cuadrados

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

– cuadrado de una suma

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

– cuadrado de una diferencia

a2 – b2 = (a – b)(a + b) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

– diferencia de cuadrados

Fórmulas de cubos

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

– cubo de una suma

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

– cubo de una diferencia

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

– suma de cubos – diferencia de cubos

Fórmulas para la cuarta potencia

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4

a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a2 + b2) Fórmulas para

n potencia

– k)!an – kbk + ... + bn (a - b)n = an - nan – 1b + n(n – 1)2an – 2b2 + ... + (-1)kn!k!(n – k)!an – kbk + ... + (-1)nbn (a + b)n = an + nan – 1b + n(n – 1)2an – 2b2 + ... + n!k!(n

Potencia propiedades y fórmulas Definición Número c se llama n potencia del número a si

a · a · ... · a c = an = n Potencia propiedades y fórmulas se usan en la reducción y simplificación de expresiones complejas, también cuando calculamos unas ecuaciones y desigualdades. 1. a0 = 1

(a ≠ 0)

2. a1 = a 3. an · am = an + m 4. (an)m = anm 5. anbn = (ab)n 6. a-n = 1an 7. anam = an - m 8. a1/n = n√a

Propiedades de los Radicales - Fórmulas Definición La radicación de orden n de un número a es cualquier número b tal que,

bn = a. Para a > 0, b > 0 y números naturales n, m, k utilizan las proporciones siguientes: 1.

n

√a b = n√a · n√b

2.

abn=anbn

3.

(an)k=akn

4.

amn=anm

5.

aknk=an

6. am·kn·k=(amn) 7.

|a| si n – número par

a si n – número impar

ann= 8. 9. Para cualquier a y b, n √ a ≤ n√ b

tales

que

0

≤ a ≤ b es

correcto

la

desigualdad:

Propiedades de Progresión Aritmética - Fórmulas Definición Progresión aritmética es secuencia numerativa a1, a2, a3, ..., donde cada miembro, empezando por segundo, equivale al suma del miembro anterior y el tal número constante d, que se llama diferencia de la progresión. Miembro n de la progresión aritmética

an = a1 +

(n -

an = an - 1 + d Diferencia de la progresión aritmética

d = an - an - 1 Fórmulas del suma de progresión aritmética

Sn =

Sn =

(a1 + an) · n 2 2a1 + (n - 1) d 2

·n Propiedades de la progresión aritmética

an =

an + 1 + an - 1 2

1)d

Propiedades de Progresión Geométrica - Fórmulas Definición Progresión geométrica — es secuencia numerativa b1, b2, b3, ..., en que cada número siguiente, empezando por segundo, sale del anterior mediante su multiplicación por un cierto número q (razón de la progresión), где b1 ≠ 0, q ≠ 0. Miembro n de la progresión geométrica

bn = b1 · qn -

1

bn = bn - 1 · q Razón de la progresión geométrica

q=

bn bn - 1 Fórmulas de suma de la progresión geométrica

Sn =

b1 - bn + 1 1-q

Sn = b1 ·

1 - qn 1-q Propiedade de la progresión geométrica

bn2 = bn + 1 · bn - 1 Suma de la progresión geométrica infinita Si |q| < 1 entonces con n → ∞

S=

b1 1-q

Identidades Trigonométricas. Identidades Trigonométricas — son expresiones matemáticas que frecuentan para las funciones tigonométicas que se cumplen con todas valores del argumento.         

Razones trigonométricas Relaciones básicas Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos Razones trigonométricas del ángulo doble Razones trigonométricas del ángulo triple Identidades para la reducción de exponentes Transformaciones de sumas en productos Transformaciones de productos en sumas Substición trigonométrica universal

Razones trigonométricas

sen

α , cos

α sen

+

π πn tg α , α cos α , = ≠2 n α

єZ

cos ,

α α ctg

≠

α sen π = + α πn ,

n єZ

π + sec , πn α cos α , 2 = α ≠ n 1

єZ 1 ,

α ≠

π α sen + = α πn

cosec

,

n єZ

Relaciones básicas

sen2

α + cos2

α =1 tg

α · ctg

α =1 1 + tg2 1 α cos2 α = 1 + ctg2 1 α sen2

α

=

Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

sen(

α +

β ) = sen

α · cos

β + cos

α · sen

β sen(

α –

β ) = sen

α · cos

β – cos

α · sen

β cos(

α +

β ) = cos

α · cos

β – sen

α · sen

β cos(

α –

β ) = cos

α · cos

β + sen

α · sen

β tg tg(

α

α

+ tg

+

1 – tg

β )=

β α · tg

β tg tg(

α

α – tg – β β 1 + tg )= α · tg

β ctg

α ctg( · ctg

α

β

+

-1 ctg

β

β

)=

+ ctg

α ctg

α ctg( · ctg

α

β

-

+1 ctg

β

β

)=

- ctg

α Razones trigonométricas del ángulo doble

sen 2

α = 2 sen

α · cos

α cos 2

α = cos2

α - sen2

α

2 tg

tg 2

α α 1 - tg2 = α ctg2

α

ctg 2

α

-1 2 = ctg

α

Razones trigonométricas del ángulo triple

sen 3

α = 3 sen

α - 4 sen3

α cos 3

α = 4 cos3

α - 3 cos

α 3 tg tg 3

α =

α - tg3

α 1 - 3 tg2

α ctg 3

α =

3 ctg

α - ctg3

α

1 - 3 ctg2

α Identidades para la reducción de exponentes

sen2 1 - cos 2

α

α

=

2

cos2 1 + cos 2

α

α

=

2 3 sen

α

3

sen

α - sen 3 = α 4 3 cos cos

α

3

α + cos 3 = α 4

Transformaciones de sumas en productos

sen

α + sen

β = 2 sen sen

α - sen

β = 2 sen

α

α

+

β

cos

β

2

2

α

α

-

+

β cos β 2

2

cos

α + sen

β = 2 cos cos

α

α

α

+

-

β cos β 2

2

α

α

+

- sen

β = -2 sen

β

sen

2

2

sen(

α tg

+

α

β

+ sen

) cos

β =

α · cos

β sen(

α tg

-

α

β

- sen

) cos

β =

α · cos

β sen(

α ctg

+

α

β

+ sen

) sen

β =

β

α · sen

β

sen(

α ctg

-

α

β

- sen

) sen

β

α

=

· sen

β

a sen

α +

b cos

α =

r sen (

α +

φ ), где

b

b

r 2

=

a

2

2

, tg

φ b r = a +

, sen

φ =

Transformaciones de productos en sumas

1 (cos(

α sen

-

α

β

· sen ) - cos( 2

β

α

=

+

β )) 1 (sen(

α sen

+

α

β

· cos ) + sen( 2

β

α

=

-

β )) 1 (cos(

α cos

+

α

β

· cos ) + cos( 2

β

α

=

-

β ))

Substición trigonométrica universal

2 tg ( sen

α =

α /2) 1 + tg2 (

α /2)

cos 1 - tg2 (

α

α

=

/2) 1 + tg2 (

α /2) 2 tg ( tg

α

/2) α 1 - tg2 ( =

α

/2) 1 - tg2 ( ctg

α =

α /2) 2 tg (

α /2)

Propiedades de los logaritmos ¿Quieres aprender a aplicar las propiedades de los logaritmos? ¿Quieres saber cómo funcionan? A continuación te voy a explicar cada una de las propiedades de los logaritmos. Lo interesante de las propiedades de los logaritmos no es sólo saberlas, sino saber aplicarlas en la resolución de ecuaciones logarítmicas. Estudiaremos paso a paso, con todo detalle, todas las propiedades de los logaritmos, con ejemplos resueltos para que las comprendas mejor y empieces a saber cómo funcionan. Si has llegado hasta aquí es porque no entiendes los logaritmos y no entiendes cómo resolverlos ni cómo se resuelven las ecuaciones logarítmicas. Entre mis cursos de matemáticas puedes encontrar el Curso de Logaritmos, donde aprenderás todo esto y mucho más, todo explicado paso a paso y con ejercicios resueltos. Te lo recomiendo si quieres que los logaritmos dejen de ser un problema para ti. Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

Propiedades de los logaritmos y ejemplos Propiedad 1 El logaritmo en cualquier base de 1 es igual a 0:

Directamente, cuando veamos el logaritmo de 1, da igual la base que tenga, podemos sustituirla por un 0. Por ejemplo:

Propiedad 2 Cuando en el logaritmo de un número, la base y el número son iguales, el resultado del logaritmo es 1:

Gracias a esta propiedad, podemos sustituir directamente un logaritmo con igual base e igual número por 1, si nos conviene para resolver ecuaciones: Por ejemplo:

Propiedad 3 Cuando en el logaritmo de un número, la base y el número son iguales y el número está elevado a un exponente, el logaritmo será igual al exponente del número:

Esta propiedad es muy útil para convertir cualquier número en un logaritmo Por ejemplo:

Con esta propiedad, también podemos calcular el valor de un logaritmo si es posible expresar el contenido del logaritmo como potencia de la misma base del logaritmo, como por ejemplo:

Escribimos el 81 en forma de potencias de 3:

Y directamente aplicando esta propiedad, vemos que el resultado es igual a 4.

Propiedad 4 El logaritmo en una base cualquiera de la multiplicación de dos números es igual a la suma de los logaritmos en esa misma base:

Por ejemplo para resolver un logaritmo de dos números multiplicándose:

Aplicamos la propiedad de la multiplicación:

Expresamos los números en forma de potencia:

Y aplicamos la propiedad 3 para resolver cada logaritmos y dar el resultado final:

Esta propiedad es una de la más utilizadas en la resolución de ecuaciones logarítmicas, ya que nos permite simplificar varios logaritmos en uno:

Propiedad 5 El logaritmo en una base cualquiera de la división de dos números es igual a la resta de los logaritmos en esa misma base:

Por ejemplo:

Aplicamos la propiedad de la división:

Expresamos los números en forma de potencia:

Y resolvemos los logaritmos aplicando la propiedad 3, ya que la base del logaritmo y la base de la potencia son iguales, llegando al resultado de la operación:

Junto con la propiedad anterior, permite simplificar varios logaritmos en uno sólo cuando estamos resolviendo ecuaciones logarítmicas:

Propiedad 6 Si tenemos un exponente en el logaritmo, ese exponente puede pasar a multiplicar al logaritmo:

Gracias a esta propiedad, podemos poner multiplicando el exponente, o colocar un número que multiplica al logaritmo como exponente según nos convenga. Por ejemplo:

Aplicamos la propiedad poniendo el 6 multiplicando al logaritmo:

Ahora resolvemos el logaritmo sin el exponente, pasando el 512 a forma de potencia:

Calculamos el logaritmo aplicando la propiedad 3 y al final, multiplicamos los dos números que nos quedan:

Con esta propiedad, también podemos resolver los logaritmos de una raíz, como por ejemplo:

Ponemos la raíz en forma de potencia:

Y ahora el exponente lo colocamos delante del logaritmo multiplicando:

Ahora pasamos a resolver el logaritmo ya sin raíz. Ponemos el 4 en forma de potencia:

Resolvemos el logaritmo y lo multiplicamos por la fracción que teníamos delante:

Para resolver ecuaciones logarítmicas, conviene deshacernos de los números que están multiplicando a los logaritmos. Esta propiedad, nos permite hacerlo, pasando el número como exponente del logaritmo, como por ejemplo:

Estas propiedades, son válidas para los logaritmos en cualquier base, por tanto, también se aplican para los logaritmos neperianos. Aunque las propiedades de los logaritmos sean algo complejas de asimilar de forma aislada, cobran un mayor sentido cuando las apliquemos en la resolución de ecuaciones logarítmicas. Te lo explico más despacio en el Curso de Logaritmos.