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• Finnegan Mccool

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Propiedades de los logaritmos El logaritmo se define como:

De la definición de logaritmo podemos deducir:

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

Propiedades de los logaritmos

Propiedades

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

Ejemplo

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

Ejemplo

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

Ejemplo

4.El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

Ejemplo

5. Cambio de base:

Ejemplo

Ecuación logarítmica

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo

Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:

1 Las propiedades de los logaritmos. 1 2 3 4

5 6 7

2 inyectividad del logaritmo:

3 Definición de logaritmo:

4 Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos logaritmos nulos o negativos. Ejemplos

1. En el primer miembro aplicamos del logaritmo de un producto y en segundo la propiedad del logaritmo de una potencia.

Teniendo en cuenta la inyectividad de los logartmos tenemos:

Resolvemos la ecuación y comprobamos que no obtenemos un logartmo nulo o negativo.

2.

En el 2º miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente.

Restamos en los dos miembros log x y teniedo en cuenta que el log 10 = 1, tenemos:

Teniendo en cuenta la definición de logaritmo y que es un logaritmo decimal:

3. En primer miembro aplicamos la propiedad del producto y en el 2º la de la potencia de un logaritmo.

Teniendo en cuenta la inyectividad de los logartmos tenemos:

Resolvemos la ecuación y comprobamos la solución.

4.

Multiplicamos en los dos miembros por log(3x −4).

En el 2º miembro aplicamos la propiedad de la potencia de un logaritmo y tenemos en cuenta la inyectividad de los logartmos.

Resolvemos la ecuación x = 0 no es solución porque nos encontrariamos al sustituir en la ecuación nos encontraríamos en el denominador un logarítmo negativo.

CAMBIO DE BASE Las calculadoras científicas permiten solamente obtener logaritmos decimales y neperianos. Los logaritmos decimales son los logaritmos de base 10, y se acostumbra denotar log10 x = log x omitiendo la base. El logaritmo neperiano o natural es el logaritmo cuya base es el número e ≅ 2,7182 y se denota loge x = ln x . Si queremos calcular logaritmos en otra base, es conveniente realizar un cambio de base.