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• Cristin Miller

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1 TP "LOGARITMOS" (4° año) 1) Traten de estimar el o los posibles valores para los exponentes faltantes de modo tal que se verifique la igualdad a) 3...... = 9

b) 2 ...... = 8

c) 3...... = 81

d) 2 ...... = 64

e) 2 ...... = 5

¿Hay más de una solución?

Definición Dados un cierto número a positivo y distinto de 1, y otro número b positivo, decimos que c es el logaritmo en base a de b si y sólo si al elevar a a la c se obtiene b. En símbolos:

a ∈ ℜ+ ∧ a ≠ 1 ∧ b ∈ ℜ : loga b = c ⇔ ac = b • • •

a: es la base b: es el logaritmando c: es el logaritmo en base a de b

Ej: log 2 8 = 3 porque 2 3 = 8

Ej: log10 100000 = 5

porque 10 5 = 100000

2) Calculen, si es posible, los logaritmos que les piden a continuación y justifiquen sus resultados a) log 3 27 = .... porque ........ = ....

b) log10 100 = .... porque ........ = ....

c) log 8 1 = .... porque ........ = .... e) log1 2 = .... porque .........

d) log 4 (−16) = .... porque ............... f) log − 2 4 = .... porque ..............

g) log0 0 = .... porque .............

h) log2 32 = .... porque ........ = ....

i) log1 1 = .... porque ................

j) log 1

1 = .... porque ........ = .... 4

2

3

n

Recordatorio: "exponente fraccionario"

m

an = a m

Ej:

5

33 = 3 5 ; Ej:

1 2

71 = 7 2

k) log 4 2 = .... porque ........ = ....

l) log16 4 = .... porque ........ = ....

m) log9 3 = .... porque ........ = ....

n) log27 3 = .... porque ........ = ....

o) log64 2 = .... porque ........ = ....

p) log 1 4

Recordatorio: "exponente negativo" a −n =

1 an

Ej: 5 −1 =

1 = .... porque ........ = .... 6 1 q) log2 = .... porque ........ = .... 4

1 = .... porque ........ = .... 2

1 1 1 1 = ; Ej: 3 − 4 = 4 = 51 5 3 81

1 = .... porque ........ = .... 7 1 r) log3 = .... porque ........ = .... 27

o) log6

p) log7

3) De acuerdo a lo visto y a la definición de logaritmo, traten de analizar a qué van a ser igual las siguientes operaciones a)

loga a = .... porque ...............

EEM N°1 DE 12 "Julio Cortázar"

b)

loga 1 = ..... porque................... Matemática 4°, Prof: Marcelo Stigliano

2 Notación Las bases más usadas para los logaritmos son el 10 y el número e (2,71……) Los de base 10 son llamados logaritmos decimales. Se los escribe directamente sin indicar la base

log10 b = log b Los de base e son llamados logaritmos naturales o neperianos. Se los escribe directamente sin indicar la base pero reemplazando "log" por "ln".

loge b = ln b Propiedades Analicen el enunciado de cada propiedad y después intenten dar un ejemplo de cada una

( )

I) loga b.c = loga b + loga c

(

)

II) log a b : c = log a b − log a c III)

log a b c = c. log a b (para cualquier c real)

Ej: ………………………………………………………………. Ej: ………………………………………………………………. Ej: ………………………………………………………………. Ej: ……………………………………………………………….

IV) loga b =

logc b logc a

V) a = b ⇒ x = x

VI)

("cambio de base")

logc b log c a

loga b = loga b c

Ej: ……………………………………………………………….

(c ≠ 0)

c

¡¡ CUIDADO !!

Ej: ……………………………………………………………….

Ej: ……………………………………………………………….

loga (b ± c ) NO TIENE NADA QUE VER CON loga b ± loga c

4) De acuerdo con las propiedades, indiquen cuál o cuáles de las opciones son la o las correctas

a) log(2.3) =

* log 2 + log 3 * 3.log2 * log2 - log3 * ∃ log 2 * log 3

b) log 5 (20 + 5 ) =

log (m . n) log (p . q) * log m + log n − log p − log q

1 3 *3

*

m.n  = c) log   p.q 

* ∃ * log m + log n − (log p + log q)

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* log 5 20 + log 5 5 *2 * 5.log 20 * ∃ log 20 * log 5

*

d) ln e 3 =

*e * ∃

Matemática 4°, Prof: Marcelo Stigliano

3 5) Calculen los siguientes logaritmos usando las propiedades a) log 10 3 =

b) log 3 9 5 =

c) log 3 9 5 =

e) log13 130 − log13 10 = i) log12 3 + log12 8 − log12 2 =

f) log5 (25.5 ) = g) log 4 (2 : 4 ) = 4 j) − log18 3 − 4. log18 2 + log18 6 4 = 3

d) log 5 + log 2 = 5

h) log6 3 + log6 2 = k) log 4 6 + log 2 12 − log 4 54 =

m) log 1 − log 5 4 − log  5  = 5 5 5   5

l) log 8 − log 16 3 − log  1  = 2 2 2 2

6) Calculen, si es posible, los siguientes logaritmos. De ser necesario apliquen "cambio de base" y usen la calculadora redondeando a tres decimales (si la cuarta cifra detrás de la coma está entre 0 y 4 la tercera cifra no cambia, si la cuarta está entre 5 y 9 la tercera cifra suma un milésima) f) log 1 5 =

a) log2 3 =

b) log3 2 =

c) log5 7 =

d) log7 5 =

e) log7 3 =

g) log3 (− 2 ) =

h) log9 11 =

i) log1 6 =

j) log0 ,7 11 =

k) log12 3,71 = l) log3 ,2 0,74 =

2

Ecuaciones Logarítmicas

Por ser el logaritmo una función continua en todo su dominio cumple las condiciones para aplicarla de forma uniforme a una igualdad, es decir:

Si a = b

Ej: 10

x

⇔ log c a = log c b

∀a ∈ ℜ + ∧ ∀b ∈ ℜ + ∧ ∀c ∈ ℜ + ∧ c ≠ 0

= 100 ⇔ log 10 x = log 100 ⇔ x.log 10 = log 100 ⇔ x.1 = 2 ⇔ x = 2 resultado obvio!

x 7) Hallen el valor de "x" que verifica la igualdad. Si es necesario usen: a = b ⇒ x =

a) 3x = 8 h) 3 x = 0

b) 81x = 3 i) 2,3 x = 5

c) 5 x = 3 j) 5 x = 2,3

d) 7 x = −2 k) 2 x = 32

e) 4 x = 1 l) 0,9 x = 0,1

8) Hallen el valor de "x" que verifica la igualdad. Si es necesario usen: a) log 3 x = 7

b) log 2 x = 0

c) log x = 4 1

logc b logc a

f) 6 x = 10 m) 1x = 1

g) − 4 x = 1 ! n) 0 x = 0

loga b = c ⇔ ac = b

d) log 3 x = −3

e) log x = −2 3

2

! f) log −

5

1 2

x = 124

9) Hallen el valor de "x" que verifica la igualdad. Apliquen las propiedades necesarias d) 3 x −2 = 5

f) 2.3 x +2 = 5

c) log( x + 6) − 1 = 0 g) − 2 log(− x + 1) = 2

i) − log( x ) − 1 = 0

j) 3 x −1 + 2 = 0

k) − log(− x ) + 1 = 0

l) − 2.3 x − 1 = 0

m) − 1 log( x + 1) = 0

n)  1  2

o) − log(3x − 1) + 2 = 0

p) −  1  3

a) 3 log( x ) + 3 = 0 e) log − x + 3  − 1 = 0  2

b) 3 x + 2 = 5

h) − 5.3 x +2 = −5



2

3

3 x −1

=4

x −1

+2=0

--- Después vienen funciones logarítmicas y exponenciales!! ---

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