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Colegio Técnico industrial DON BOSCO Antofagasta

Nombre: Carlos Carmona Curso: 4 Medio “A” Fecha: 14 nov. 08 Profesor: Juan satelices

Índice Historia y problemática……………………………………………………………….. Pág. 1 Historiadores de los logaritmos…………………………………………………….. Pág. 2 Primeras utilizaciones ........………………………………………………………….. Pág. 3 Estatus tematico ………………………………………………………………………. Pág. 4 La Herramienta logaritmica …………………………………………………………. Pág. 5 Exploracion matematica …………………………………………………………….. Pág. 6 Reglas de calculo …………………………………………………………………….. Pag. 7 Conclusión …………………………………………………………………………….. Pág. 11

HISTORIA DE LOS LOGARITMOS Un ejemplo del desarrollo de un concepto en matemáticas No se debe ver la historia de las matemáticas como una marcha triunfal a lo largo de una avenida sin obstáculos. Al contrario, esta historia presenta numerosas interrupciones, y el camino seguido raramente se parece a una línea recta, encontrándose incluso a veces en un callejón sin salida....Hubo avances bruscos debidos a nuevos conceptos, que respondieron a problemas a veces muy alejados de las cuestiones iniciales que los habían generado. Los logaritmos son un ejemplo de este desarrollo caótico y fecundo a la vez. Partiendo de una idea simple, pero cuya puesta en práctica necesitaba un gran trabajo (la construcción de las tablas), han sido en primer lugar el motor de un desarrollo de las matemáticas aplicadas, antes de revelarse como la solución de un problema geométrico. Objeto de estudios teóricos seguidos de profundizaciones, han sido también una herramienta indispensable para la modelización de múltiples fenómenos físicos. La presentación pedagógica tradicional de los logaritmos privilegia el logaritmo llamado "neperiano". Se lo introduce como la función primitiva de la función inversa que se anula para el valor 1 de la variable. Aunque esta introducción sea matemáticamente satisfactoria se halla muy lejos de ser evidente para los estudiantes y su propiedad fundamental queda oculta. Por supuesto, el problema histórico que llevó a concebir los logaritmos también está ausente, mientras que su uso para presentar esta nueva noción tiene la ventaja de la simplicidad: se trata sencillamente de construir una tabla que permita realizar rápidamente multiplicaciones, divisiones y potencias. Hoy la utilización de los logaritmos para el cálculo está en desuso, pero el concepto sigue siendo fundamental en la cultura matemática básica y están presentes tanto en física como en química. Su historia es sin duda un capítulo modesto, pero su ejemplaridad, incluso su riqueza dan testimonio del desarrollo de las Matemáticas. PROBLEMÁTICA: El origen del concepto de logaritmo se encuentra en un problema matemático, sin duda, pero en un problema de matemáticas aplicadas: se trata de simplificar la pesada tarea de los calculadores, excesivamente complicada en cuanto implica multiplicaciones, divisiones, incluso potencias o extracción de raíces. En los siglos XIV, XV y XVI (y seguramente antes) los campos implicados no son tanto las cuestiones económicas como los problemas de agrimensura, y sobre todo, la astronomía, en particular en sus aplicaciones a la navegación. Estas operaciones exigen ahora cierta precisión . Si los progresos de la numeración han podido hacer avanzar las cosas, como la utilización de las cifras llamadas árabes, los algoritmos de multiplicación y de división son desconocidos; los números racionales, sistemáticamente escritos en forma de parte entera más una fracción de la unidad, convierten incluso a la suma en una operación muy complicada.

Se debe al matemático árabe IBN JOUNIS el haber propuesto, en el siglo XI, un método, llamado prostaféresis , para reemplazar la multiplicación de dos senos por una suma de las mismas funciones, y este método permanecerá mucho tiempo en vigor. La multiplicación de senos (y su división) es una operación esencial, ya que todo cálculo en geometría, en particular la resolución de triángulos, es una operación sobre longitudes no medibles, obtenidas a partir de la medida de ángulos. A ARQUÍMEDES se debe la idea fundamental que generaría los logaritmos: "Cuando varios números están en proporción continua a partir de la unidad, y algunos de estos números se multiplican entre si, el producto estará en la misma progresión, alejado del más grande de los números multiplicados tantos números como el más pequeño de los números multiplicados lo está de la unidad en la progresión, y alejado de la unidad la suma menos uno de los números de lugares que los números multiplicados están alejados de la unidad" (Arenario, trad. VERECKE) Sea:

con

o sea:

La idea de ARQUÍMEDES vuelve a aparecer en los trabajos de CHUQUET y de STIFEL, en el siglo XV, pero, ni uno ni otro han tenido suficiente influencia para imponer la comparación de una progresión geométrica con una progresión aritmética como medio de cálculo, o como nuevo campo de investigación matemática. NAPIER Y BRIGGS John NAPIER (escrito también NEPER) nació en 1550. Procedente de la baja nobleza escocesa, mostró toda su vida un espíritu curioso y dinámico, a pesar de una vida alejada de los centros culturales de la época. La introducción de los logaritmos no es su único título de gloria, puesto que escribió también un texto sobre las ecuaciones e imaginó además un sistema de cálculo por medio de regletas graduadas (Rabdología) En 1614 publicó el "Mirifici logarithmorun canonis descriptio..." donde, utilizando una aproximación cinemática, pone en relación una progresión geométrica con una progresión aritmética. La primera es la de las distancias recorridas con velocidades proporcionales a ellas mismas, la segunda, la de las distancias recorridas con velocidad constante; éstas son entonces los "logaritmos" de las primeras ( el neologismo es de NAPIER). La unidad elegida es 107, y la obra comprende una tabla de logaritmos de senos, cuya importancia hemos mencionado anteriormente, con los ángulos variando de minuto en minuto. En 1619 apareció una segunda obra, "Mirifici logarithmorum canonis constructio...." donde el autor explica cómo calcular los logaritmos. Esta obra es póstuma, puesto que NAPIER murió en 1617. Mientras tanto, un eminente matemático de Londres, Henry BRIGGS, había descubierto la importancia de estos trabajos y viajó a Escocia para encontrarse con el autor. Retomando la idea fundamental, pero considerando una progresión geométrica simple, la de las potencias de 10, publica en 1617 una primera tabla, con 8 decimales. El logaritmo de un número x es por lo tanto definido como el exponente n de 10, tal que x sea igual a 10 elevado a n.

Siguieron otras tablas que permitieron la difusión del método, en particular en el continente. En realidad, la idea estaba en el aire; un colaborador de KEPLER, el suizo BÜRGI, proponía en la misma época, para simplificar los cálculos que debía realizar, hacer corresponder una progresión aritmética (números rojos) y una progresión geométrica (números negros); sin embargo sus trabajos no fueron publicados hasta 1620. PRIMERAS UTILIZACIONES Es en Alemania donde se van a desarrollar los logaritmos. Al principio de 1617, KEPLER, que se hallaba fortuitamente en Viena, tiene la ocasión de consultar la primera obra de NEPER. Hojeándola rápidamente, comete un error de interpretación. El año siguiente hará partícipe de ello a un amigo en una carta: " Un barón escocés del que no recuerdo su nombre, propone un brillante trabajo en el que reemplaza la necesidad de la multiplicación y de la división, por la simplicidad de la suma y de la sustracción, sin emplear los senos: en cambio, necesita la regla de las tangentes; y la cantidad, la amplitud y la pesadez de la adición y de la sustracción sustituyen la dificultad de la multiplicación y la división" Ahora bien KEPLER utiliza evidentemente la regla de los senos, tanto en un triángulo plano como esférico; para él, el trabajo de NEPER no tiene interés. En el transcurso de 1618, dispone, sin embargo, de la obra de Benjamín URSINUS: "Trigonometría Logarithmica John Neperi"; reconoce entonces su error y se muestra entusiasta de este nuevo cálculo. En 1619, por fin, el libro "Mirifici Logarithmorum descriptio" llega a Linz, a KEPLER, el cual emprende rápidamente la tarea de modificar el concepto para adaptarlo a sus necesidades. Su adhesión es tal que dedica sus efemérides de 1620 ( aparecidas al final de 1619) al "célebre y noble señor JOHN NEPER, barón de MERCHISTON" La difusión en el continente de esta nueva noción se debe sobre todo a las tablas publicadas por el flamenco Adrien ULACQ, en 1628, retomando las tablas de BRIGGS. El objetivo era realizar un tratado de cálculo práctico, en particular para uso de los agrimensores. Las primeras tablas fueron seguidas por otras, cada vez más precisas, y en ellas se menciona que su principal aplicación son los cálculos trigonométricos. El método para la construcción de las tablas pasa primero, evidentemente, por la determinación de los logaritmos de los números primos; los demás se calculan entonces por simple suma. Se trata de hecho de tomar "o bien medias proporcionales o bien raíces cuadradas". EULER escribirá en 1748: "Así tomando medias proporcionales, se llega a encontrar Z=5,000000, a lo que responde el logaritmo buscado 0,698970, suponiendo la base logarítmica = 10. En consecuencia 1069897/100000 = 5 aproximadamente. Es de esta manera como BRIGGS y ULACQ han calculado la tabla ordinaria de logaritmos, aunque se haya encontrado después métodos más expeditivos."

EL ÁREA BAJO LA HIPÉRBOLA La etapa esencial del desarrollo matemático del concepto se encuentra en su relación con la hipérbola. Esta relación se debe al jesuita GREGOIRE DE SAINT-VINCENT, nacido en Brujas en 1584. Había acabado la redacción de un "Opus geometricorum...." en 1630, en el cual pretendía haber resuelto los problemas de la cuadratura del círculo y de la hipérbola. Esta obra no fue publicada hasta 1647, y aunque fue un fracaso en cuanto a la cuadratura del círculo, puso en evidencia que las áreas bajo la hipérbola se parecen a los logaritmos. El trabajo de este autor no se sitúa en una perspectiva ligada específicamente a los logaritmos, sino más bien en un intento de resolución de problemas generales de cuadraturas, muy de moda en esta época y en un estilo completamente tradicional; el aspecto innovador reside en la utilización de cierto paso al infinito para justificar la primera parte de su demostración. Estamos sin embargo antes de la era de LEIBNIZ y de NEWTON. La relación del cálculo del área bajo la hipérbola con los logaritmos no es pues de GREGOIRE DE SAINT - VINCENT; su obra, en principio desconocida, ha sido objeto de críticas, fundadas por otra parte en lo que concierne a la cuadratura del círculo. Será uno de sus defensores, el jesuita SARASSA quien mencionará que " las áreas hiperbólicas pueden tener relación con los logaritmos" El cálculo de GREGOIRE DE SAINT - VINCENT se apoya sobre el hecho de que cuando las abscisas están en progresión geométrica, las áreas están en progresión aritmética. Tomemos la hipérbola más simple, de ecuación x.y=1, referida a un sistema de referencia ortonormal. A, B, C, .....serán puntos del eje de abscisas (eje de las "x") en progresión geométrica; D, E, G, .....serán entonces los puntos de la hipérbola correspondientes a estas abscisas. GREGOIRE DE SAINT - VINCENT muestra en primer lugar que las áreas entre la curva y DE por una parte, y entre EG y la curva, por otra, son iguales; al tener los trapecios ADEB y BEGC la misma superficie, las áreas bajo la hipérbola son iguales. Se encontrará algunos años más tarde, en ciertos manuales de geometría, tal como el de PARDIES (1671), el enunciado del resultado encontrado por DE SAINT - VINCENT, lo que distaba de ser el caso general, ¡ y PARDIES era también un jesuita! ESTATUS MATEMÁTICO Si el aspecto analítico del logaritmo, en otros términos, el estatus de función, había sido ya considerado por KEPLER, corresponde a TORRICELLI, seguido por HUYGENS, estudiar la curva logarítmica, y a WALLIS, después de un primer trabajo de MERCATOR, proponer un desarrollo en serie (1667). Esta técnica es nueva y es sin duda uno de los raros atractivos de la obra de MERCATOR; en efecto, este autor no parece haber sabido desarrollar la idea inicial, a saber, la integración de la serie:

En Log (1+x)

Este nuevo aspecto permite entonces un cálculo más fácil de los logaritmos de los números y se encontrará en lo sucesivo en los manuales del siglo XVIII. En lo que concierne a la curva de la función logarítmica, llamada "curva logarítmica", TORRICELLI propone la gráfica desde 1646, en algunas cartas a sus corresponsales, pero su muerte en 1647 retrasa la difusión. Será a HUYGENS a quien corresponderá exponer sus propiedades en el "Discurso sobre la causa de la gravedad", aparecido en 1690. HUYGENS estaba interesado desde 1651 por los logaritmos y por su cálculo, en particular en el marco de la cuadratura de la hipérbola; había retomado el problema mucho más tarde (1666) cuando participaba en los trabajos de la nueva Academia Real de Ciencias de París, y había utilizado la noción en cuestiones de probabilidad y de combinatoria. Los logaritmos en esa época forman parte realmente del corpus matemático; no se trata de un simple método de cálculo, sino de un dominio completo. Se hallan en numerosas obras sin que su estatus teórico suponga ningún problema.

LA HERRAMIENTA LOGARÍTMICA Los logaritmos en cuanto herramienta serán de gran ayuda para el nacimiento de la física matemática a finales del siglo XXVII. Así ocurre con el "Discurso sobre la causa de la gravedad" de HUYGENS, y también con los diferentes trabajos sobre la presión atmosférica, en particular los de MARIOTTE. Es preciso ver la utilización de los logaritmos siguiendo cuatro directrices: - la primera es la que los genera, a saber, el cálculo de fórmulas geométricas, utilizadas en astronomía y aplicacadas en navegación, y también, de modo más simple, en agrimensura. Se publicarán muchas tablas con formato de bolsillo para su utilización sobre el terreno o a bordo de los navíos. Estas tablas irán precedidas de un manual de uso, e incluirán también una tabla de logaritmos de senos. - la segunda, más simple aún, es la de la aplicación a todo cálculo multiplicativo. Condujo a la construcción de "reglas de cálculo", al empleo por todo estudiante de bachillerato de una tabla para cualquier operación en ciencias físico - químicas y a la elaboración de algoritmos para las máquinas de calcular contemporáneas. - la tercera consiste en conjeturar a partir de experiencias con modelos donde los logaritmos entraron en juego por comparación de valores. Poner de manifiesto una relación entre medidas en progresión aritmética con otra serie en progresión geométrica conducirá a considerar el primer fenómeno como un logaritmo del segundo. Las escalas logarítmicas son hoy día moneda corriente.... - la última es totalmente teórica; la introducción por LEIBNIZ y NEWTON del cálculo diferencial e integral permitirá numerosos razonamientos analíticos, concernientes a fenómenos físicos o químicos, pudiendo conducir por simple integración de los inversos a los resultados logarítmicos. Los logaritmos utilizados en los tres primeros casos serán los de BRIGGS, es decir los logaritmos decimales; por el contrario, la integración introduce los logaritmos "naturales", llamados "neperianos" en honor al padre fundador.

EXPLORACIÓN MATEMÁTICA En el campo de las matemáticas puras, los logaritmos introducen nuevas magnitudes trascendentes. Contribuyen por consiguiente a ampliar el campo de comprensión de los números; sin embargo, no se puede hablar de función, de función logarítmica en el sentido moderno, antes de que intervenga EULER en la segunda mitad del siglo XVIII. Esto no impide a LEIBNIZ y a NEWTON utilizar las relaciones: (escritas con notación moderna)

como lo atestigua un manuscrito del primer autor fechado en 1675. Es EULER quien de nuevo, en las "Institutions de calcul integral" publicadas de 1668 a 1770 tratará de manera magistral la integración de los logaritmos. La utilización de la integración por partes es sistemática y conduce a una última operación, sea directamente integrable o bien desarrollable en serie entera. Además al principio del siglo XVIII , LEIBNIZ y JEAN BERNOULLI sostienen una controversia sobre la existencia de los logaritmos de los números negativos, e incluso de los imaginarios. EULER, en 1749 cerrará el debate abandonando el carácter unívoco del logaritmo; un número tiene una infinidad de logaritmos (complejos) de los cuales sólo uno es real. Finalmente, es necesario evocar la exponencial, que según se admite fue introducida por LEIBNIZ y JEAN BERNOULLI, en el marco de sus trabajos en análisis. Esta nueva noción será desarrollada por EULER, y le permitirá resolver el problema de la catenaria en su "Iniciación al análisis infinitesimal" de 1748.

LA REGLA DE CÁLCULO

En 1620, no mucho después de la invención de los logaritmos, Edmond Gunter demostró cómo podían realizarse mecánicamente cálculos logarítmicos. Esto se hizo sobre longitudes de una regla que representan los logaritmos de los números, combinando dichas longitudes en diversas formas. La idea se desarrolló y con las contribuciones de Mannheim en 1851 la regla de cálculo se convirtió en lo que conocemos hoy. La regla de cálculo es un aparato mecánico con el cual puede realizarse cualquier cálculo aritmético con excepción de la adición y sustracción. Las operaciones más comunes con la regla de cálculo son multiplicación, división, determinación del cuadrado o cubo de un número, extracción de la raíz cuadrada y cúbica de un número. Además, frecuentemente pueden realizarse operaciones trigonométricas.

Figura 8-1. Diagrama simplificado de una regla de cálculo. La ventaja de la regla de cálculo es que se puede usarla con relativa facilidad para resolver problemas complicados. Una limitación de ella consiste en que sus resultados sólo tienen un máximo de tres dígitos significativos. Esto es suficiente en la mayoría de los cálculos, puesto que la mayor parte de las constantes físicas sólo son correctas a dos o tres dígitos significativos. Cuando se necesita mayor exactitud se usan otros métodos. En la figura 8-1 se ha representado un diagrama simplificado de la regla de cálculo. La parte central deslizable se llama REGLA. El visor de plástico o de vidrio con una guía impresa sobre él se denomina INDICADOR. Hay una escala C impresa en la regla y una escala D, exactamente igual a la escala C, impresa en el CUERPO de la regla de cálculo. La marca que está asociada con el.número 1 en cualquier regla de cálculo recibe el nombre de ÍNDICE. Existe un índice en los extremos izquierdo y derecho en las escalas C y D. Hay otras escalas, cada una con un uso particular. Algunas de ellas se mencionarán luego. Teoría de la regla de cálculo. Hemos dicho que la regla de cálculo se basa en logaritmos. Recordamos que para multiplicar dos números sumamos simplemente sus logaritmos. Previamente determinamos estos logaritmos en las tablas, pero si los logaritmos están en escalas tales como la C y D de la regla de cálculo podemos sumar las longitudes que representan estos logaritmos. Para confeccionar una escala así marcamos las mantisas que van de 0 a 1 en una regla como la de figura 8-2. Luego determinamos en las tablas los logaritmos para los números 1 a 10 y escribimos opuesto a cada número su correspondiente logaritmo en la escala.

Figura 8-2. Logaritmos y números correspondientes sobre una escala.

La tabla 8-7 da una lista de los números de 1 a 10 y sus correspondientes logaritmos con tres cifras. Estos números se escriben en oposición con sus logaritmos en la escala que muestra la figura 8-2. Si tenemos dos de tales escalas, exactamente iguales, dispuestas de forma tal que una de ellas pueda deslizarse a lo largo de la otra, podemos realizar, por ejemplo, la operacion de la multiplicación SUMANDO LONGITUDES; es decir, sumando logaritmos. Por ejemplo, si deseamos multiplicar 2 x 3, determinamos el logaritmo de 2 en la escala fija y movemos la escala deslizable de modo que su índice quede sobre aquella marca. Luego sumamos el logaritmo de 3 localizando ese logaritmo sobre la escala móvil y leyendo debajo de ella, en la escala fija, el logaritmo suma de los dos. Visto que no nos interesan los logaritmos en sí sino los números que ellos representan, es posible eliminar la notación logarítmica en la escala de la figura 8-2 y dejar sólo la escala numérica espaciada logarítmicamente. Las escalas C y D de la regla de cálculo común están hechas en esa forma. La figura 8-3 muestra la multiplicación de 2 x 3. Si bien se han eliminado las escalas logarítmicas, los números 2 y 3 significan realmente los logaritmos de 2 y 3, vale decir, 0,301 y 0,477; el producto 6 en la escala significa realmente el logaritmo de 6, o sea, 0,778. Entonces, si bien los logaritmos constituyen el principio básico, trabajamos directamente con los números.

Tabla 8-7. Números y sus logaritmos correspondientes

Se observará que la escala está formada sólo por la mantisa. La característica debe determinarse separadamente, como en el caso en que se usan las tablas. Puesto que las mantisas identifican únicamente la secuencia del dígito, el dígito 3 en la regla de cálculo representa no sólo 3 sino 30, 300, 0,003, 0,3, etcétera. Entonces, las divisiones representan el número multiplicado o dividido por cualquier potencia de 10. Esto es válido, también, para números interiores a las divisiones. La secuencia de dígitos 1001 podría representar 100,1, 1,001, 0,01001, etcétera. El siguiente ejemplo muestra el uso del mismo grupo de mantisas que aparece en el ejemplo anterior, pero con una característica diferente y por tanto con una respuesta distinta. Ejemplo : Use logaritmos (posiciones en la regla de cálculo) para multiplicar 20 por 30. SOLUCIÓN:

log 20 = 1,301 (2 en la regla de cálculo) log 30 = 1,477 (3 en la regla de cálculo) -----------------------------------------log respuesta = 2,778 (6 en la regla de cálculo) Puesto que el 2 en el logaritmo de la respuesta es simplemente el indicador de la posición de la coma decimal en ésta, no esperamos determinarla en la escala de la regla de cálculo. Como en el ejemplo anterior, encontramos el dígito 6 opuesto al multiplicador 3. Esta vez el 6 representa 600, porque la característica del log representado por 6 en este problema es 2. Lectura de las escalas Leer en una regla de cálculo no es más complicado que hacerlo en una regla común, si se comprenden las diferencias entre sus divisiones. Entre los dos índices de las escalas: C o D (el dígito 1 en el extremo izquierdo y derecho de las escalas) hay divisiones numeradas 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Cada longitud entre dos divisiones consecutivas ha sido dividida en diez secciones y cada sección se divide en espacios (ver figura 8-4).

Figra 8-4. División, sección, y espacio en una regla de cálculo. Note que la división entre 1 y 2 ocupa alrededor de un tercio de la longitud de la regla. Este es un espacio suficiente para poder escribir un número para cada una de las marcas de las secciones. Las secciones en las divisiones remanentes no están numeradas, debido a que el espacio es más limitado. Advierta además que en la división entre 1 y 2 las secciones están divididas cada una en 10 espacios. Las secciones entre las divisiones 2 y 4 están subdivididas solamente en 5 espacios, y las que van de 4 hacia el índice de la derecha han sido subdivididas solamente en 2 espacios. Estas divisiones se hallan dispuestas así debido a los límites de espacio. En la regla de cálculo se lee sólo la secuencia de los dígitos significativos. La posición de la coma decimal se determina separadamente. Por ejemplo, si la guía del indicador está en la posición izquierda señalada en la figura 8-5, los dígitos significativos se leen como sigue:

FIGURA 8-5. Lecturas en la primera división de una regla de cálculo. 1. Cada vez que la guía cae en la primera división, el primer dígito significativo es 1. 2. Cuando la guía cae entre el índice y la primera marca de sección sabemos que el numero está entre 1,0 y 1,1, ó 10 y 11 ó 100 y 110, etcétera. El segundo dígito significativo es 0. 3. A continuación determinamos cuánto esta alejado el índice de la guía. Esto nos lleva a la marca para el tercer espacio. 4. Las tres cifras significativas son 103. En el segundo ejemplo mostrado en la figura 8-5 la guía se encuentra localizada en la primera división, novena sección y sobre la marca del cuarto espacio de esa sección. Por tanto, los dígitos significativos son 194. Vemos entonces que todo número que caiga en la primera división de la regla siempre tendrá 1 como primer dígito significativo. Como segundo dígito significativo puede tener cualquier número de 0 a 9; también cualquier número de 0 a 9 como tercer dígito. A veces puede aproximarse groseramente un cuarto digito en esta primera división, pero el numero es de veras exacto con tres dígitos significativos. En la segunda y tercera divisiones cada sección está dividida solamente en 5 espacios (ver figura 8-6). Entonces, cada espacio es igual a 0,2 de la sección. Supongamos, por ejemplo, que la gula cae sobre la marca del tercer espacio después del 2 que indica la segunda división. El primer dígito significativo es 2. Puesto que la guía cae entre 2 y la marca de la primera sección, el segundo dígito es 0. La guía cae sobre la marca del tercer espacio ó 0,6 de la mitad entre la marca de la división y la primera marca de la sección, de modo que el tercer dígito es 6. Así, los dígitos significativos son 206. Note que si la guía cae sobre la marca del espacio el tercer dígito puede escribirse con precisión; de otra manera sólo será aproximado. Desde la cuarta división a la derecha del índice, cada sección está dividida sólo en dos espacios. Entonces, si la guía está en la cuarta división y en la marca del espacio entre la sexta y séptima secciones, leeremos 465. Si la guía no cae sobre la marca del espacio, el tercer dígito sólo puede ser aproximado.

Figura 8-6. Lectura en la segunda división de una regla de cálculo.

CONCLUSIÓN Desde su introducción, los logaritmos pueden encontrarse tanto en los manuales de aritmética como en los de análisis. Objeto y método, no sólo han participado del desarrollo de las Matemáticas, sino también de la historia de las ciencias físico - químicas. La ph metría, por ejemplo, no habría podido ser concebida a principios del siglo XX sin la ayuda de este concepto matemático. Surgidos de una idea de hecho muy simple, los logaritmos continúan siendo un instrumento tal vez modesto, pero a pesar de todo esencial para el conocimiento científico.