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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE DEPARTAMENTO CIENCIAS DE LA TIERRA Y CONSTRUCCIÓN MODALIDAD PRESENCIAL PERIODO ABRIL-AGOSTO 2016

Asignatura: Algebra Lineal

Docente: Ing. Carlos León

Bloque: B-311

Fecha: 3 de Mayo de 2016

Nombre: Edison Quicaliquin Tema: Propiedades de las Matrices, Propiedades de la matriz inversa. Objetivo: Reconocer algunas matrices especiales como identidad, simétrica, diagonal, triangular, escalonadas, etc. Tener bien claro los conceptos de rango de una matriz, para calcular perfectamente el rango de una matriz de cualquier orden.

MATRIZ IDEMPOTENTE Una matriz idempotente es una matriz la cual es igual a su cuadrado, es decir: A es idempotente si A × A = A.2 Si representamos el producto

por

, entonces

es idempotente sólo si:

En general, la idempotencia hace referencia a una operación que, si se repite, produce el mismo resultado que si se llevara a cabo una sola vez. En el caso de la matriz idempotente se cumple que: , lo que es válido, para cualquier valor natural de n (valor entero, no negativo, ni nulo). La ecuación anterior muestra que realizar el producto un número finito de veces produce el mismo resultado que realizarlo una sola vez. Un caso particular de matriz idempotente es una matriz de proyección. Ejemplos de matrices idempotentes son si la matriz es nula o la matriz unidad: . Algunas fórmulas de matrices idempotentes: Si el determinante está comprendido entre {0 y 1}

Por ejemplo, las siguientes matrices son idempotentes:

Nota: No debe ser necesariamente simétrica. O sea: la matriz elevada al cuadrado va a ser la misma matriz sin elevarla. MATRIZ ORTOGONAL FORMULA

A· A t = I.

Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta. El conjunto de matrices ortogonales constituyen una representación lineal del grupo ortogonal .

Geométricamente las matrices ortogonales representan transformaciones isométricas en espacios vectoriales reales1 (o más exactamente espacios de Hilbert reales) llamadas justamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son isomorfismos internos del espacio vectorial en cuestión. En el caso real dichas transformaciones pueden ser rotaciones, reflexiones especulares o inversiones y son usadas extensivamente en computación gráfica. Por sus propiedades, también son usadas para el estudio de ciertos fibrados y en física se las usa en el estudio del movimiento de cuerpos rígidos y en la formulación de ciertas teorías de campos. Ejemplo:

MATRIZ INVOLUTIVA Una matriz involutiva es una matriz cuadrada (tiene igual número de filas que de columnas) que es su propia inversa. Es decir, la multiplicación por la matriz A es una involución si y sólo si A² = I. Esto es simplemente una consecuencia del hecho de que cualquier matriz no singular multiplicada por su inversa es la identidad. Ejemplo:

MATRIZ ELEMENTAL

Una matriz elemental de orden n es el conjunto de matrices que se obtienen de la matriz identidad aplicando solo una operación elemental de fila o columna, i,e:   

Por escalamiento (Intercambio de filas) Producto de fila por un escalar o suma de una fila con una combinación lineal de otras (eliminación). Por permutación

Propiedades: Se puede probar fácilmente que el producto de una matriz cualquiera con una elemental por la izquierda (derecha) equivale a realizar las operaciones elementales entre las filas (columnas) de la matriz A. Es fácil ver que estas matrices tienen inversas(eventualmente, también elementales), y estas pueden ser calculadas de manera simple pensando en ellas como matrices A a las que se debe aplicar la operación "inversa". Ejemplo: 1. Por ejemplo, para el caso de una matriz obtenida por escalamiento

Queremos que el elemento

sea 1. Entonces:

2. Para el caso de una matriz obtenida por eliminación:

Queremos que el elemento

sea 0. Entonces:

Descomposición de matrices como producto de matrices elementales Sea la matriz A en

, si A es invertible (en cuyo caso m=n) la solución del

sistema por eliminación gaussiana sería: que se lleva a cabo mediante la aplicación de un conjunto finito de operaciones elementales de fila, es decir, mediante el producto a izquierda de la matriz original por matrices elementales, i,e: , luego Por tanto, dado que la inversa de una elemental, es elemental, toda matriz invertible puede escribirse como producto de tales matrices. Cabe notar la similitud de rol de estas matrices con los números primos.

PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA Definición de matriz inversa: Se dice que una matriz cuadrada A es inversible, si existe una matriz B con la propiedad de que A·B = B·A = I siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1. Una matriz se dice que es inversible o regular si posee inversa. En caso contrario, se dice que es singular

Propiedades 1 (A · B) − 1 = B − 1 · A − 1 2 (A − 1 ) − 1 = A 3 (k · A) − 1 = k − 1 · A − 1 4 (A t ) − 1 = (A − 1 ) t Cálculo por el método de Gauss Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A − 1 , seguiremos los siguientes pasos: 1 Construir una matriz del tipo M = (A | I) , es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2 Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A − 1 . F2 = F2 − F1

F3 = F3 + F2

F2 = F2 − F3

F1 = F1 + F2

F 2 = (−1) F 2

La matriz inversa es:

Conclusión: Puedo concluir que teniendo bien claro los conceptos de cada una de las propiedades de las matrices y sus componentes, podemos llegar a la resolución de cualquier problema y se nos hace más fácil su resolución. Bibliografia:  

Teoría y Problemas de Matrices. Ayres, Frank, JR. Serie de compendios Schaum. México. 1969 Introducción al Álgebra Lineal. Larson – Edwards. México. Editorial Limusa. 1994