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• Gad Mestizo

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Propiedades de las matrices Las propiedades de las matrices son sus características propias, tales como se describen a continuación: - Una matriz es una tabla o arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se denominan elementos de la matriz. - Las líneas horizontales en una matriz se denominan filas y las líneas verticales se denominan columnas. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m ×n), y m y n son sus dimensiones. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. - La entrada de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna jésima se le llama entrada i,j o entrada (i,j)-iésima de A. Esto se escribe como Ai,j o A[i,j].

Tipos de matrices 1. Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero. Por ejemplo:

2. Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es n x n. Un ejemplo de matriz cuadrada es:

Dentro de las matrices cuadradas se les llama diagonal principal a la formada por los elementos a11, a22, a33,...,ann, siendo la matriz:

Operaciones con matrices - Suma y diferencia Dadas dos matrices (A y B) podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla:

Para sumar o restar dos matrices del mismo tamaño, se suman o restan los elementos que se encuentren en la misma posición, resultando otra matriz de igual tamaño. Por ejemplo:

Si las matrices tienen diferente tamaño, no se pueden sumar o restar entre sí. Presenta propiedades la suma: a) Conmutativa: A + B = B + A b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C c) Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente. d) Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A.

- Producto por un número real Dada una matriz cualquiera A y un número real k, el producto k*A se realiza multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual tamaño.

Propiedades: a) Distributiva respecto de la suma de matrices: k·(A + B) = k·A+k·B b) Distributiva respecto de la suma de números: (k + d)·A= k·A+d·A c) Asociativa: k·(d·A)=(k·d)·A d) Elemento neutro, el número 1: 1·A=A

- Trasposición de matrices Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At a la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A. Por ejemplo, si

, entonces la matriz traspuesta de A es:

Evidentemente, si A es una matriz de tamaño m x n, su traspuesta At tendrá tamaño n x m, pues el número de columnas pasa a ser el de filas y viceversa. Si la matriz A es cuadrada, su traspuesta tendrá el mismo tamaño.

- Producto de matrices No todas las matrices pueden multiplicarse. Dos matrices se pueden multiplicar sólo cuando se cumple la siguiente condición: “El número de columnas de A sea igual al número de filas de B” Una vez comprobado que el producto A·B se puede realizar, si A es una matriz m x n y B es una matriz n x p , A·B da como resultado una matriz C de tamaño n x p del siguiente modo: “El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C=A·B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados” Propiedades del producto de matrices a) Asociativa: A·(B·C) = (A·B)·C b) Distributiva respecto de la suma: A ·(B +C) = A ·B + A· C (B +C)· A = B · A+ C · A c) Elemento neutro, la matriz identidad correspondiente, si A es m x n: d) En general el producto de matrices no es conmutativo A· B = B · A

- La matriz inversa Se puede plantear que si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que A· X = In es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In. Sin embargo, hay algunas condiciones: 1) No podemos “despejar” la matriz X de este modo si no se ha definido la división de matrices. 2) No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” Dada una matriz cuadrada de orden n , A, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular ), Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible. Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es única (solo hay una).

Programa en Matlab que tiene la finalidad de mostrar las propiedades de las matrices clc; disp('Este es un programa que tiene como finalidad mostrar las propiedades ') disp ('de las matrices') disp('Si tenemos una matriz A') A = [ 4 5 6; 7 8 9; 1 7 8] disp('Y una matriz B') B = [ 8 4 5; 5 9 7; 7 5 1] disp('Las cuales podemos sumar para obtener una matriz C') C = A+B disp('Restarlas') A-B disp('Multiplicarlas') A*B disp('Dividirlas') A/B disp('La matriz C, ahora la vamos a multiplicar por un escalar (45) y nos da: ') 45*C disp('Y elevar cada uno de los elementos de la matriz C a la tercera potencia') C^3 disp('Sacar su inversa') inv(C) disp ('Si queremos conocer las dimensiones de la matriz C, usamos el Comado size (x),') disp ('el cual nos arroja el numero de columnas por el numero de filas') size(C) disp( 'Creamos ahora una matriz D, que es la transpuesta de la matriz C ') D = C' disp('Podemos encontrar los logaritmos de cada uno de los valores de D ') log (D)

disp(' Haremos ahora una matriz E donde todos sus elementos nulos ') E = zeros(3) disp(' Ahora a la diagonal de la matriz E, le daremos valores de 1') disp (' Para tener la matriz identidad') E(1,1)=1; E(2,2)=1; E(3,3)=1

Ventanas de Salida de la simulación en Matlab

Resumen hecho a mano para la clase