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• Francisco Javier Coliote

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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD ZACATENCO INGENIERIA ELECTRICA COMPUTACION APLICADA A SISTEMAS ELECTRICOS

Propiedades de matrices Alumno Valencia Salas Erick Omar Boleta 2007302304

Grupo: 9EM2

PROFESOR: M. en C. Baldomero Guevara Cortes.

Objetivo: Conocer las principales propiedades de las matrices para su aplicación posterior. Introduccion. Las matrices se distinguen por letras mayúsculas y los elementos de una matriz A;B, X ; en tanto los elementos de una matriz se denotan por la misma letra que la matriz pero en minúsculas y con dos subíndices representando en la fila y la columna en la que se encuentran, aij, bij. Cuando escribimos una matriz a través de sus elementos escribimos en forma de tabla y delimitamos por paréntesis. Escribimos la matriz de orden m x n.

Dentro de las propiedades de las matrices se encuentran las siguientes: 1.- Determinante de una matriz 2.- Transpuesta de una matriz. 3.- Inversa de una matriz. 4.- Matriz identidad. 5.- Adjunta de una matriz. 6.- Matriz Ortogonal. 7.- Conjugada de una matriz. 1.- Determinante de una matriz 1. El valor de un determinante no varía si se intercambian sus filas por sus columnas; es decir: 2.- det(λA) = λndet(A) donde n es el orden de A. 3.-det(AB)=det(A)det(B). 1 4.- det ( A )= det ⁡( A)

suponiendo que A-1 existe.

5. Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante son nulos, el valor del determinante es nulo. 6. Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, el valor del determinante es cero. 7. Si un determinante tiene dos filas o columnas proporcionales, el valor del determinante es cero. 8. Si todos los elementos de una fila o columna se multiplican por un mismo escalar, el valor del determinante queda multiplicado por dicho escalar. 9. Si en un determinante se intercambian dos de sus filas o columnas, el valor del determinante cambia de signo, pero mantiene su valor absoluto. 10. Si a una fila o columna de un determinante se le suma el múltiplo de cualquier otra (fila o columna), el valor del determinante no varía. 11. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. 12. Si det(A)= 0, A es una matriz singular. 13. Si det (A) ≠0, Aes una matriz no singular. 2.- Transpuesta de una matriz Dada una matriz se define la matriz transpuesta AT(la transpuesta), como aquella que cambia las filas por columnas o viceversa, es decir Si A=(aij), entonces AT=(aji) Para una matriz en M3

Si

(

a11 a12 a13 A= a 21 a22 a 23 a 31 a32 a33

)

, entonces

(

a11 a 21 a31 A = a12 a 22 a32 a13 a 23 a33 T

)

Propiedades de la matriz transpuesta: 1.- (AT)T= A, la transpuesta de una transpuesta es igual a la matriz. 2.- (A+B)T= AT+ BT, la transpuesta de una suma, es la suma de las transpuestas. 3.- (AB)T= BTAT , la transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas conmutado. 4.- (rA)T= rAT, la transpuesta de un producto escalar es el producto escalar de la transpuesta. 5.- Si A= AT, la matriz se llama simétrica. 6.- Si AT= - A , la matriz se llama antisimetrica. 3.- Inversa de una matriz 1.- A-1 es única

2.- (A-1)-1= A 3.- (AB)-1= B-1A-1 ∝A ¿ 4.¿ ¿ 5.- (An)-1= (A-1)n 6.- (AT)-1= (A-1)T 7.-

−1

A =

1 ( Adj A) donde Adj A es la Adjunta de A. det ( A )

4.- Matriz identidad En Mn existe la matriz identidad, que consiste en una matriz con unos en la diagonal (es decir donde i=j) y ceros en otro lugar (ósea donde i≠ j). Por ejemplo en M3

( )

1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1

Formalmente In= (aij) =

0 si i ≠ j 1 si i=j

5.- Adjunta de una matriz 1.- A (Adj A) = (Adj A) A = det(A) In. 6. - Matriz Ortogonal 1. - AT= A-1. 2. - AAT= AT A= 1 7.- Conjugada de una matriz