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• Angel Manda

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Algebra Lineal: Propiedades del Algebra de Matrices Departamento de Matem´ aticas Propiedades

Propiedades del Algebra de Matrices Sean A, B y C matrices m × n cualquiera, y sean a, b, y c escalares cualquiera. Entonces son v´alidas las siguientes afirmaciones: 1. La suma de matrices es asociativa: (A + B) + C = A + (B + C). 2. La suma de matrices es conmutativa: A + B = B + A. 3. La matriz 0 es el neutro bajo la suma: A + 0 = 0 + A = A. 4. Cada matriz tiene un inverso aditivo y este es precisamente el escalar −1 por la matriz: A + (−1 · A) = (−1 · A) + A = 0.

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5. El producto por escalares se distribuye sobre la suma de matrices: c · (A + B) = c · A + c · B 6. La suma de escalares se distribuye sobre la multiplicaci´on por matrices: (a + b) · A = a · A + b · A 7. La multiplicaci´ on por escalares es asociativa: (a · b) · A = a · (b · A) 8. El escalar 1 multiplicado por una matriz da como resultado la matriz inicial: 1·A=A 9. El escalar cero por una matriz da la matriz de ceros: 0 · A = 0.

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10. La multiplicaci´ on de matrices es asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C 11. La multiplicaci´ on de matrices se distribuye sobre la suma de matrices: 1 2

A · (B + C) = A · B + A · C y (A + B) · C = A · C + B · C

12. Movilidad de los escalares en una multiplicaci´on: a · (A · B) = (a · A) · B = A · (a · B) 13. La matriz cuadrada con s´ olo unos en la diagonal In es la identidad multiplicativa: Im · A = A · In = A 14. El resultado de multiplicar la matriz cero, de la dimensi´on adecuada, por cualquier matriz da como resultado la matriz cero: 0·A=A·0=0

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Propiedades de la Transpuesta

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1

La transpuesta de la transpuesta de una matriz A es otra  T =A vez A: AT

2

La transpuesta de una suma es la suma de las transpuestas: (A + B)T = AT + BT

3 4

(c · A)T = c · AT La transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas pero en orden contrario (A · B)T = BT · AT

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Propiedades de la Inversa 1

Propiedades

Si la matriz A, n × n, puede invertirse, entonces el sistema A x = b o [A|b] tiene soluci´ on u ´nica para cada vector b. Esta soluci´ on puede calcularse como x = A−1 · b

2

La inversa de un producto es el producto de las inversas pero en orden contrario: Sean A y B dos matrices cuadradas n × n invertibles cualquiera, entonces A · B es invertible y (A · B)−1 = B−1 · A−1

3

La inversa de una matriz invertible tambi´en es una matriz invertible y
−1 A−1 =A