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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN TEMA: “APLICACIÓN DEL TEOREMA DE LINEALIDAD DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER” NOMBRE:

OSCAR ANALUISA ALEX GUANGASI JAIME RAMÓN DIEGO TAIPE

NIVEL:

7 mo ELECTRÓNICA “A”

FECHA DE ENVÍO: 5-11-2014 FECHA DE ENTREGA: 10-11-2014 MODULO:

COMUNICACIÓN DIGITAL

TUTOR:

Ing. CARLOS SERRA Mg

OCTUBRE 2014- MARZO 2015

TEMA: “APLICACIÓN DEL TEOREMA DE LA LINEALIDAD DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER” I.

OBJETIVOS

Objetivo general 

Comprender el principio del Teorema de la Linealidad de la Transformada de

Fourier. Objetivos específicos

II.



Analizar y establecer en donde es aplicativo el Teorema de la Linealidad



Realizar un ejemplo explicativo en donde se aplica el teorema

MARCO TEÓRICO

INTRODUCCIÓN A LAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO CONTINUO La transformada de Fourier permite la representación, tanto de señales periódicas como de señales aperiódicas; la diferencia entre ellas respectivamente es que la primera se repite en un tiempo finito 𝑇_0 continuamente (∞), mientras que la segunda carece de periodo pero puede repetir un patrón muchas veces dentro de un tiempo finito. Estas propiedades proveen de un gran conocimiento acerca de la transformada y de la relación que existe entre las descripciones de una señal en el dominio del tiempo y de la frecuencia. Además, muchas de estas propiedades son útiles para reducir la complejidad en la evaluación de las transformadas inversas de Fourier. PROPIEDAD DE LA LINEALIDAD 1.- Expresión analítica Si 𝑓1 (𝑡) ⇔ 𝐹1 (𝜔) 𝑓2 (𝑡) ⇔ 𝐹2 (𝜔) Para cualquier constante arbitraria 𝑎1 y 𝑎2 se tiene: 𝑎1 𝑓1 (𝑡) + 𝑎2 𝑓2 (𝑡) ⇔ 𝑎1 𝐹1 (𝜔) + 𝑎2 𝐹2 (𝜔) 𝑎1 𝑓1 (𝑡) + 𝑎2 𝑓2 (𝑡) + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑓𝑛 (𝑡) ⇔ 𝑎1 𝐹1 (𝜔) + 𝑎2 𝐹2 (𝜔) + ⋯ + 𝑎𝑛 𝐹𝑛 (𝜔) Teniendo en cuenta que 𝐹[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑤) 𝑦 𝐹 −1 [𝐹(𝑤)] = 𝑓(𝑡) 2.- Significado físico La transformada de Fourier de una combinación lineal de dos señales es la misma combinación lineal de las transformadas de las componentes individuales. La propiedad de linealidad es fácilmente extendida a una combinación lineal de un número arbitrario de componentes. [1]

PROPIEDAD ESCALAR (HOMOGENEIDAD) Si 𝑓(𝑡) ⇔ 𝐹(𝜔) Para una constante 𝑎, real tenemos: 𝑓(𝑎𝑡) ⇔

1 𝜔 𝐹( ) |𝑎| 𝑎

Para demostrar esto supongamos 𝑎 como una constante real positiva. Entonces: ∞

ℱ[𝑓(𝑎𝑡)] = ∫ 𝑓(𝑎𝑡)𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 −∞

Supongamos ahora que: 𝑥 = 𝑎𝑡 ⇒ 𝑡 = ∞

ℱ[𝑓(𝑎𝑡)] = ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 −∞

−(

𝑥 𝑎

𝑗𝜔 𝑑𝑥 )𝑥 𝑎

𝑎

∞

𝑗𝜔 1 −( )𝑥 ℱ[𝑓(𝑎𝑡)] = ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 𝑎 𝑑𝑥 𝑎 −∞

ℱ[𝑓(𝑎𝑡)] =

1 𝜔 𝐹( ) 𝑎 𝑎

Por lo tanto: 1

𝜔

1

𝜔

ℱ[𝑓(𝑎𝑡)] ⇔ 𝑎 𝐹 ( 𝑎 ) Si 𝑎 < 0 ⇒ 𝑓(𝑎𝑡) = − 𝑎 𝐹 ( 𝑎 ) Entonces como conclusión tenemos: 𝑓(𝑎𝑡) ⇔

1 𝜔 𝐹( ) |𝑎| 𝑎

La función 𝑓(𝑎𝑡) representa 𝑓(𝑡) comprimida en la escala del tiempo por el factor 𝑎. 𝜔

De la misma forma, la función 𝐹 ( 𝑎 ) representa la función 𝐹(𝜔) expandida en la escala de frecuencia por el mismo factor 𝑎. En consecuencia la propiedad escalar establece que el comprimir una función en el dominio tiempo equivale a una expansión en el dominio de la frecuencia y viceversa. Como ejemplo considérese la señal cos 𝜔0 𝑡 que contiene componentes de frecuencia en ±𝜔0, la señal cos 2𝜔0 𝑡 representa una compresión de cos 𝜔0 𝑡 en un factor de 2 y sus componentes de frecuencia se encuentran en ±2𝜔0. Por lo tanto es evidente que se ha expendido el espectro de frecuencia en un factor de 2.

3. Ejemplo Aplicativo Para la resolución de ejercicios de transformada de Fourier, se tendrá en cuenta la forma elemental 1 y 2 de la transformada de Fourier y la Propiedad de linealidad detalladas a continuación. 2𝑎 𝑎 2 +𝑤 2 1 𝑒 −𝑎𝑡 } = 𝑎+𝑖𝑤



𝐹{𝑒 −𝑎|𝑡| } =



𝐹{𝐻(𝑡)

𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 1 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 2

Propiedades:   

Linealidad. 𝐹{𝑓(𝑡 − 𝑡0 )} = 𝑒 −𝑖𝑤𝑡0 𝐹(𝑤) 𝐹{𝑒 𝑖𝑤0 𝑡 𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑤 − 𝑤0 )



𝐹{𝑓(𝑎𝑡)} = |𝑎| 𝐹 ( 𝑎 )

1

𝑤

𝑎∈ℝ

𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎

Ejemplo: Hallar la transformada de Fourier de la siguiente función. 𝐹{3 𝑒 −4|𝑡+2| }  La propiedad de linealidad permite 3𝐹{ 𝑒 −4|𝑡+2| }  Sin el corrimiento y tomando en cuenta la forma elemental 1 tenemos que 𝐹 𝑒 −4|𝑡| ↔ =

2∗4 16 + 𝑤 2

 Ahora con el desplazamiento en el tiempo tendremos que

𝑒

−4|𝑡−(−2)|

𝐹 ↔

2∗4 𝑒 −𝑖𝑤(−2) 16 + 𝑤 2

=

𝑒 −4|𝑡−(−2)| ↔ =

8 𝑒 𝑖𝑤(2) 16 + 𝑤 2

 Utilizando nuevamente linealidad multiplicamos por 3, la transformada de Fourier es: 𝐹 3𝑒

−4|𝑡+2|

↔ =

24 𝑒 𝑖𝑤2 16 + 𝑤 2

III. CONCLUSIONES:  Se comprobó que la el teorema de la linealidad surge de un operación lineal de integración de la transformada de Fourier.  La transformada de Fourier y su inversa son transformaciones lineales, es decir, poseen la propiedad distributiva respecto de la suma. IV. RECOMENDACIONES  Establecer de forma clara los dferentes tipos de teoremas de la Transformada de Fourier y el medio aplicativo de cada una de ellas y si es en tiempo continuo o discreto V. BIBLIOGRAFIA:  http://www4.ujaen.es/~jmalmira/transformada_fourier_almira.pdf  http://cursos.itcg.edu.mx/libros/sistemas%20de%20comunicacion%20digital.p df  http://ocw.upc.edu/sites/default/files/materials/15011906/tema2.transf_fouri er_v29may2009-2742.pdf 