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• Julio Garcia

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Proceso Térmico

En este proceso se supone que los flujos volumétricos a la entrada y a la salida, las densidades de los líquidos y las capacidades caloríficas son iguales y constantes y se conocen. El tanque esta bien aislado y liquido en su interior se considera en mezcla perfecta (perdidas despreciables de calor a los alrededores). También se considera despreciable la energía adicionada por el agitador. Estamos interesados en desarrollar el modelo matemático y la función de transferencia que describe cómo la temperatura de salida, T(t), responde a los cambios en el temperatura de entrada, Ti(t).

Proceso Térmico

Un balance en estado no estacionario del contenido del tanque, volumen de control, da la relación deseada entre las temperaturas de entrada y salida. Así, Velocidad de entrada - Velocidad de salida = Velocidad de acumulación de energía al tanque de energía del tanque de energía en el tanque En forma de ecuación,

donde, f = flujo de volumétrico, m3/s ρi, ρ = densidades de entrada y salida del líquido, kg/m3 V = Volumen de líquido en el tanque, m3 hi (t), h(t) = entalpias de entrada y salida del líquido, J/kg u(t) = Energía interna de líquido en el tanque, J/kg

Proceso Térmico Para temperaturas, utilizando como estado de referencia para u(t) and h(t) el componente liquido en estado liquido a 0 F y la presión del sistema, la ecuación anterior se puede escribir como:

Donde,

Cpi , Cpi = Capacidad calorífica de entrada y salida del líquido a presión

constante, J/kg- C Cv = Capacidad calorífica del líquido a volumen constante J/kg- C Ti,(t), T(t) = Temperaturas de entrada y salida, C

Si consideramos las densidades y capacidades caloríficas constantes dentro del rango de operación de las temperaturas, la ecuación anterior se puede escribir como:

(1)

1 ec. 1 incog. [ T(t)]

Esta ecuación es diferencial lineal ordinaria de primer orden que relaciona las temperaturas de entrada y salida.

Proceso Térmico En la ecuación anterior hay solo una incógnita, T(t). La temperatura de entrada es una variable de entrada que hace que la temperatura de salida cambie . En este proceso, se quiere conocer como Ti,(t) afecta T(t), nosotros definimos como cambia la temperatura de entrada, por lo cual no es una incógnita. La ecuación anterior es el modelo matemático de este proceso. Su solución produce la respuesta de la temperatura en función del tiempo. La temperatura a la entrada es la variable de entrada y se referencia como función de fuerza, porque es la variable que obliga la temperatura de salida a cambiar. La temperatura de salida es la variable de salida y se referencia como variable de respuesta porque es la variable que responde a la función de fuerza. Para resolver esta ecuación se efectúa un cambio de variable para facilitar la obtención de la función de transferencia .

Haciendo un balance de energía del contenido del tanque en estado estable a las condiciones iníciales, tenemos: (2)

Proceso Térmico Restando (2) de (1):

La derivada de la temperatura es también igual a

Este resultado también se obtiene al restar los lados derechos de las ecuaciones (1) y (2). Este truco es de gran ayuda en la definición de variables de desviación y en el desarrollo de las funciones de transferencia. Definiendo como variables de desviación :

donde, T ,

= valores de estado estacionario de las temperaturas de entrada y salida , C. = variables de desviación de las temperaturas de entrada y salida, C

Proceso Térmico Reemplazando : (3) Esta es la ecuación diferencial del proceso en variables de desviación. Las variables de desviación son muy utilizadas en la teoría de control. Y son muy importantes en el diseño de sistemas de control de procesos. Su valor indica el grado de desviación del estado estable inicial (puede ser el valor deseado). Si este estado se elige como cero, simplifica la solución de las ecuaciones diferenciales por la transformada de Laplace. La ecuación (3) puede arreglarse así:

Si definimos

Proceso Térmico Reemplazando :

(4)

tiene unidades de tiempo .

Aplicando la transformada de la place a la ecuación (4):

El valor inicial de la temperatura T(0) es

, así Г(0) = 0. Por lo tanto: (5)

o (6) Esta es la transformada deseada, es de primer orden (Retardo de 1er orden)

Proceso Térmico El nombre de función de transferencia proviene de que la solución de la ecuación traslada o transfiere la entrada Гi(t) a la salida Г(t). Si suponemos que la temperatura Ti(t) se incrementa por M C. Es decir la temperatura de entrada tiene un cambio escalón de M grados de magnitud. Matemáticamente esto es:

En variables de desviación

Donde u(t), representa un cambio escalón de magnitud la unidad

En transformada de Laplace, se tiene:

Proceso Térmico Substituyendo la expresión anterior en ecuación (5),

Utilizando el método de fracciones parciales se tiene:

Los valores de A y B se obtienen por fracciones parciales y se invierte para hallar la solución en función del tiempo.

O

Proceso Térmico

Al comienzo se da la mayor pendiente de la curva de respuesta, lo cual es típico en la respuesta de un sistema de primer orden, a un cambio escalón en la entrada. Como K es la unidad, el cambio total en la salida es M C. Si t = , Para un cambio escalón en la variable de entrada, la constante de tiempo ( ) indica el tiempo necesario para que la variable de salida alcance el 63.2% de su cambio total. En cinco constantes de tiempo se alcanza el 99.7 % del cambio total. Depende delas propiedades físicas y las condiciones de operación, además esta relacionado con la velocidad de respuesta del proceso.

Proceso Térmico En ejemplo anterior se consideraba que el tanque estaba bien aislado y las perdidas de calor con los alrededores eran despreciables. Por tanto no aparecía el calor perdido en el balance de calor. Si quitamos esta consideración y desarrollamos el modelo matemático; y las funciones de transferencia que relacionan las temperatura de salida, T(t), con las temperaturas de entrada, Ti(t), y los alrededores, Ts(t); tenemos:

Utilizamos los mismos estados de referencia para entalpias y energías internas. El balance de energía en estado no estacionario es:

O (7)

1 ec. 1 incog. [ T(t)]

Donde, q(t) = Velocidad de transferencia de calor a los alrededores, J/s U = coeficiente global de transferencia de calor , J/ m2 -K-s A = Área de transferencia de calor, m2 Ts(t) = temperatura de los alrededores, C, una variable de entrada

Proceso Térmico El coeficiente de transferencia de calor, U, depende de muchas cosas una de ellas la temperatura, en este ejemplo se supone constante. Si la masa del liquido en el tanque y su densidad se suponen constantes la altura del liquido es constante, en consecuencia el área de transferencia de calor, A, también es constante. La ecuación (7) es el modelo matemático del proceso. Restando de (7) la ecuación de balance de energía en estado estable, se tiene: (8)

Definiendo una nueva variable de desviación:

Remplazando en la ecuación (8):

Que es una ecuación diferencial lineal ordinaria de primer orden.

Proceso Térmico En este ejemplo, también hay una ecuación y una incógnita T(t), la nueva variable temperatura de los alrededores Ts(t), es también de entrada. Los cambios en esta temperatura afectan las perdidas de calor y en consecuencia la temperatura del liquido. La ecuación anterior puede reorganizarse así:

o (9) donde,

+ sin dimensiones y

+

sin dimensiones

Proceso Térmico El lado derecho de la ecuación (9), muestra que las dos variables de entrada Ti(t) y Ts(t) actúan sobre la variable de salida T(t). Tomando la transformadas de Laplace, se obtiene:

El valor inicial de la temperatura T(0) es a

, así Г(0) = 0, Por lo tanto:

Si la temperatura de los alrededores es constante, Ts(t) = , así Гs(t) = 0, y la función de transferencia que relaciona la temperatura del proceso y la de la entrada es:

Si la temperatura del liquido es constante, Ti(t) = , así Гi(t) = 0, y la función de transferencia que relaciona las temperaturas del proceso y los alrededores es:

Proceso Térmico Aquí, las ganancias de estado estacionario (ganancias de proceso) K1 y K2, no son la unidad. Si suponemos que la temperatura Ti(t) se incrementa por M C, Así:

La respuesta de la temperatura a esta función de fuerza es dada por :

De lo cual:

O

El cambio total en T(t) es dado por K1M. La ganancia nos dice que tanto cambia la salida por unidad de entrada, o en que proporción la entrada afecta la salida. Es decir la ganancia define la sensibilidad relativa de la salida a las variables de entrada.

Proceso Térmico

La ganancia también puede definirse matemáticamente como:

La ganancia es otro parámetro que describe las características del proceso. Por lo tanto, K, depende de las propiedades físicas y de las condiciones de operación del proceso. En este ejemplo hay dos ganancias, K1 relaciona la temperatura de salida con la temperatura de entrada y K2 relaciona la temperatura de salida y la temperatura de los alrededores.

Resumen Resumimos el procedimiento para desarrollar las funciones de transferencia, así: 1. Se plantea un conjunto de ecuaciones en estado no estacionario que describa el proceso. Modelamiento. 2. Se plantea un conjunto de ecuaciones en estado estable a las condiciones iníciales. 3. Se restan los dos conjuntos de ecuaciones y se definen las variables de desviación . 4. Se obtienen las transformadas de Laplace del modelo en variables de desviación. 5. Se obtienen las funciones de transferencia resolviendo explícitamente las transformadas de Laplace para las transformadas de las funciones de salida.

Gas en un Tanque

Un ventilador sopla aire dentro de un tanque, y del tanque el aire fluye a través de una válvula. Se considera que el flujo de aire que proviene es dado por:

(10) Donde, fi(t) = flujo de gas en pies3/min a condiciones estándar de 60 F y 1 atm mi(t) = señal al ventilador, % El flujo a través de la válvula es dado por: Donde, fo(t) = flujo de gas en pies3/min a condiciones estándar (scf/min) mo(t) = señal a la válvula, % p(t) = presión en el tanque, psia p1(t) = presión aguas abajo de la válvula, psia

(11)

Gas en un Tanque El volumen del tanque es 20 pies3, y se supone isotérmico 60 F. Las condiciones iníciales de estado estable son:

Desarrollar el modelo matemático, la función de transferencia y el diagrama de bloques que relacionan la presión en el tanque con los cambios a la señal al ventilador, mi(t) ; la señal a la válvula, mo(t) y la presión agua abajo, p1(t). El balance molar en estado no estacionario alrededor del volumen de control: ventilador, tanque y válvula de salida, es: Velocidad de entrada - Velocidad de salida = Velocidad de acumulación de moles al Vol. Crtl de moles al Vol. Crtl de moles al Vol. Crtl O

Donde ,

(12)

1 ec. 3 incog. [fi(t), fo(t), n(t)]

= densidad molar del gas a condiciones estándar, 0.00263 lbmoles/scf n(t) = moles de gas en el tanque, lbmoles

Gas en un Tanque De la ecuación (10) tenemos, 2 ec. 3 incog. De la ecuación (11) tenemos, 3 ec. 4 incog. [p(t)]. Como mi(t) y mo(t) son señales de entrada, que podemos definir como cambian , no se consideran incógnitas. Como la presión en el tanque es baja , podemos utilizar la ecuación de gas ideal para relacionar el numero de moles en el tanque con la presión :

(13)

4 ec. 4 incog.

Las ecuaciones (10) a (13) son el modelo matemático para este proceso. La ecuación (11) no es lineal, y la transformada de Laplace se aplica solo a ecuaciones lineales; por lo tanto se deben linealizar todos los términos no lineales utilizando expansiones en series de Taylor. Como fo(t) = fo [mo(t) ,p(t), p1(t)], su linealización se hace con respecto a mo(t) , p(t) y p1(t) cerca de sus valores de estado estable.

Gas en un Tanque O

(14)

Donde,

(15)

(16) (17) y

(18)

Las ecuaciones (10), (12), (13) y (14) son ecuaciones lineales y describen el proceso, cerca de los valores de linealización.

Despejando n(t) en la ecuación (13) y reemplazando en la ecuación (12) : (19)

Gas en un Tanque El sistema se redujo a las ecuaciones (10), (14) y (19) con las incógnitas fi(t),

fo(t) y p(t).

El balance molar en estado estable alrededor del tanque es:

Restando esta expresión de la ecuación (19): (20)

Las variables de desviación son :

Sustituyendo en (20) las variables de desviación: (21)

Gas en un Tanque Escribiendo la ecuación de estado estable del ventilador y restándola de (10): (22) Donde, Restando

a los dos lados de la ecuación (14) : (23)

Donde,

Reemplazando (22) y (23) en (21), y tomando transformadas de Laplace:

Donde,

Gas en un Tanque Se obtiene las funciones de transferencia deseadas: , Reemplazando los valores de estado estable:

Resumen Resumimos el procedimiento para desarrollar las funciones de transferencia, así: 1. Se plantea un conjunto de ecuaciones en estado no estacionario que describa el proceso. Modelamiento. 2. Linealizar el modelo si es necesario. 3. Se plantea un conjunto de ecuaciones en estado estable a las condiciones iníciales. 4. Se restan los dos conjuntos de ecuaciones y se definen las variables de desviación. 5. Se obtienen las transformadas de Laplace del modelo en variables de desviación. 6. Se obtienen las funciones de transferencia resolviendo explícitamente las transformadas de Laplace para las transformadas de las funciones de salida.

Efecto de las no linealidades del proceso El comportamiento lineal o no lineal es una de las características mas importantes del proceso. Para entender su significado recordemos el proceso térmico presentado anteriormente, en el cual dado que el flujo, F, es constante, las ganancias K1 y K2, son constantes en todo el rango de operación. y + Es decir, sus valores numéricos no cambian sin importar las condiciones de operación. La constante de tiempo, , también es constante. Si los parámetros

que describen las características del proceso son constantes, el comportamiento del proceso también es constante. Es decir, el proceso responderá de la misma manera, sensibilidad y velocidad en cualquier punto de operación. Un proceso con estas características se denomina lineal.

Como el controlador debe ser sintonizado o adaptado al proceso para obtener el desempeño de control adecuado, si el comportamiento del proceso es lineal, al hallar los parámetros óptimos de sintonización en un punto, estos serán óptimos en todo el rango de operación.

Efecto de las no linealidades del proceso Para el ejemplo del gas en un recipiente, las ganancias K1 , K2 y K3 dependen de C1, C2 y C3 ; cuyos valores numéricos dependen de alrededor de los cuales la función,f0 (t), fue linealizada.

La constante de tiempo, , depende de C2.. Lo cual, significa que los valores de los términos que describen las características del proceso, y su propio comportamiento dependen de las condiciones de operación. proceso con estas características se denomina no lineal. La mayoría de los procesos químicos son no lineales.

(a)

(b)

(c) Si graficamos el comportamiento de un tanque que se opera a diferentes presiones entre 25 y 75 psia, manteniendo el flujo constante, variando la señal a la válvula de salida y conservando las otras condiciones del proceso en su estado estable . En la figura (a) K1 cambia por un factor de 4, en la figura (b) K2 cambia por un factor de 10, en la figura (c) cambia por un factor de 5.

Efecto de las no linealidades del proceso El comportamiento no lineal de un proceso es muy perjudicial para su control. Si el comportamiento del proceso cambia con las condiciones de operación, El controlador debe ser resintonizado o adaptado, para mantener un optimo desempeño. Con frecuencia lo mejor que podemos hacer es sintonizar el

controlador para lograr el mejor desempeño a las condiciones de diseño y un desempeño aceptable dentro de un cierto rango de condiciones de operación. El tiempo muerto también depende de las condiciones de operación.

En la ecuación si q (m3/s) varia, el tiempo muerto también lo hace. Por todo lo anterior, todos los términos que describen el comportamiento del proceso son función de las condiciones de operación.

Las características de no linealidad no son deseables en un proceso, pero desafortunadamente son muy comunes en la realidad.