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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Matemática Básica I Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E-mail: [email protected] - [email protected] http://migueltarazonagiraldo.com/ Febrero del 2020

PROGRESIONES OBJETIVOS ESPECIFICOS:  Diferenciar los términos: Progresión Aritmética y Progresión Geométrica.  Encontrar el término general de una progresión aritmética o geométrica.  Interpolar Medios Aritmética y Medios Geométrica.

Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión es finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión es infinita. El término general o término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos de la sucesión. Ejemplo: El término general de la sucesión: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49 es n2  n  N Dentro de las sucesiones tenemos PROGRESIONES.

COMENTARIO PREVIO: En muchas ocasiones los conjuntos de elementos cualesquiera se ordenan de igual manera que están ordenados los números naturales. Siempre que los elementos de un conjunto estén en correspondencia con los números naturales 1; 2; 3; … , de forma que a cada elemento le asignamos un número natural correspondiente, el conjunto se convierte en una SUCESION. ¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN? Es una función definida de N a R en la forma siguiente: S: N R S: n an N

CONTENIDO TEÓRICO: PROGRESIÓN ARITMÉTICA Es aquella, en la cual un término cualquiera, excepto el primero, es igual al anterior aumentado en una cantidad constante llamada razón aritmética. A la progresión aritmética también se le denomina progresión por diferencia. Representación  a1. a2 . a3 ..................… an

R S

 a1. (a1 + r). (a1 + 2r). … [a1 + (n – 1) r]

an

n

Elementos de una progresión aritmética n 1 2 3 4 : : n

 = Inicio de la progresión aritmética. a1= primer término an= término enésimo r = razón de la progresión aritmética Sn= Suma de los “n” primeros términos

an a1 a2 a3 a4 : : an

Clases de progresión aritmética: De acuerdo a la razón:

Sucesión: a1; a2; a3;…; an Ejemplos:

* Si: r > 0 Progresión Aritmética Creciente * Si: r < 0 Progresión Aritmética Decreciente

1; 4; 9; 16; 25; 36; 49 1; -x;

x2 2

;

3 –x

3

;

x4 4

;

5 –x 5

Propiedades: ;

x6 6

;….

las

Sea la P.A:  a1. a2. a3..... ak... ax… ay... an Página 1 de 8

Es aquella sucesión numérica, en la cual el primer término y la razón son diferentes de cero y además un término cualquiera, excepto el primero, es igual al anterior multiplicado por una misma cantidad llamada razón geométrica, a una progresión geométrica también se le denomina progresión por cociente.

I. Razón: r = a2 – a1 = a3 – a2 .... = ak – ak – 1 r  a k  a k 1 ; 1  k  n

II. Término General

Representación.

a x  a y  (x  y) r

 t1 : t2 : t3 : t4 : .........: tn

a n  a1  (n  1) r

 t1 : t1q : t1q2 : t1q3 : ......... : t1qn-1

III. Términos equidistantes de los extremos Sean ellos: aP; aq

Elementos de la progresión geométrica.

a1............ aP............. aq............ an p términos

 = Inicio de la progresión geométrica. t1 = Primer término [t1  0] : = Separación de términos q = Razón [q  0] tn = Término enésimo Sn = Suma de “n” primeros términos Pn = Producto de “n” primeros términos

p términos a p  a q  a1  a n

IV. Término Central: Cuando “n” es impar. a  an ac  1 2

Clases de P.G.

* Corolario: a  a x 1 a x  x 1 2

V. Suma:

* Si:

q>1

P.G. Creciente

*

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