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• OLVIN QUISPE

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4º SECUNDARIA

LICEO NAVAL C DE C. MANUEL CLAVERO”

AÑO LECTIVO 2018

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

•

SUCESIÓN Es un conjunto de números que aparecen ordenados. Estos números se obtienen de acuerdo a una Ley de formación.

* *

Decreciente , si: r < 0 Trivial , si: r = 0

PRINCIPALES FÓRMULAS

Generalmente, la sucesión se presenta mediante:

1) Término de posición "n" (an)

a1 , a2 , a3 , a4 , ...........

an = a1 + (n-1)r

Si la sucesión está dada por: an = 3n2 - 7 ; n  1 Ley de formación

n=2

Resolución:

a3 = 3(3)2 - 7 = 20 a4 = 3(4)2 - 7 = 41

n=3 n=4

a1 = 4 ; r = 3 (creciente) ; a10 = ? Luego: an = a1 + (n-1)r Reemplazando: a10 = 4 + 9(3) a10 = 31 Datos:

La sucesión es: -4 , 5 , 20 , 41 , ................ 

PROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.A.) Son aquellas sucesiones en las cuales se cumple que cualquier término, después del primero, es igual al anterior más una cantidad constante llamada Razón aritmética o diferencia.

, +2

2) Término Central (ac) Si n es impar:

ac =

a1  an 2

* Ejemplo: De la siguiente P.A. de 21 términos

Ejemplo: a) 3

 4 , 7 , 10 , ............. Calcular el décimo término.

a1 = 3(1)2 - 7 = -4 a2 = 3(2)2 - 7 = 5

n=1

* Ejemplo : Dada la P.A.

5

,

7

,

+2

9 , ................

Razón = 2 Aritmética

+2

b) 45 ,

40 ,

35 ,

-5

-5

-5

30 , ................

Razón = -5 Aritmética

NOTACIÓN Las progresiones aritméticas, llamadas también progresiones por diferencia, se representan de la siguiente manera:  a1 . a2 . a3 ....... an Donde: a1 an n r

 Primer término  Último término  Número de términos  Razón Aritmética



 2 , 4 , 6 , ............. , 42

Hallar el término central. Resolución: Datos: a1 = 2 ; an = 42 ; r = 2 (creciente) ; ac = ? a  an Usando: ac = 1 2 Reemplazando: ac =

2  42  ac  22 2

3) Suma de "n" términos (Sn)  a  an  n ............... Sn   1 2  

(

También se usa:

CLASES

Sn = ac . n

Una progresión aritmética puede ser: * Creciente , si: r > 0

Además, como : an = a1 + (n-1)r Reemplazando en la relación () :

ac : Término central

El genio se hace con un 1% de talento, y un 99% de trabajo.

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AÑO LECTIVO 2018

 a1  a1  (n  1)r  xn 2  

r=

Sn = 

Donde:

 2a1  (n  1)r  n 2  

Sn = 

20  5 3 4 1

Interpolando: 5

8

11

14

17

20

Ejemplo: Calcular: S = 5 + 8 + 11 + ...... (20 términos) Medios Interpolados

Resolución: Datos:

a1 = 5 ; n = 20 ; r = 3 (creciente)  2a1  (n  1)r  n 2  

Usando: Sn = 

 2(5)  (20  1)(3)   (20) 2  

Reemplazando: Sn = 

EJEMPLO 1 Los lados de un triángulo rectángulo forman una progresión aritmética. Hallar la suma de las tangentes de sus dos ángulos agudos. Resolución: A partir de la figura:

Sn = 670

 a-r

MEDIOS ARITMÉTICOS O DIFERENCIALES Se llaman así a los términos de una progresión aritmética, comprendidos entre los términos extremos así: 6 , 10 , 14 , 18 , 22

INTERPOLACIÓN DE MEDIOS ARITMÉTICOS. Interpolar "m" medios aritméticos entre los números "a" y "b" , es formar una P.A. cuyo primer término es "a" , el último "b" y el número de términos "m+2". Para poder interpolar se debe calcular la razón de interpolación. Así, del esquema:

a ..................... b

Se obtiene la razón de interpolación: r=

ba m 1

* Ejemplo: Interpolar 4 medios aritméticos entre 5 y 20.

Resolución: Datos: a = 5 ; b = 20 ; m = 4 Calculando la razón de interpolación:

a+r 

a Por el teorema de Pitágoras:

(a + r)2 = (a - r)2 + (a)2 (a + r)2 - (a - r)2 = a2 4ar = a2  a = 4r Entonces: Tg =

Tg =

Tg + Tg =

a  r 3r 3   a 4r 4

a 4r 4   a  r 3r 3 3 4 25   4 3 12

EJEMPLO 2 Timoteo no pudiendo cancelar una deuda de S/. 12 950 le propone a su acreedor pagarle del siguiente modo: S/. 600 al final del primer mes y cada mes siguiente S/. 50 más que el anterior. ¿Cuál será el importe del último pago? Resolución: DATOS: S = 12 950 ; a1 = 600 ; r = 50 n Sn = 2a1  (n  1)r  2 Luego: 12 950 = [2(600) + (n-1)50] Operando: n = 14 2) Como:

an = a1 + (n-1)r

El genio se hace con un 1% de talento, y un 99% de trabajo.

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LICEO NAVAL C DE C. MANUEL CLAVERO” an = 600 + (14-1)50  an = S/. 1 250

AÑO LECTIVO 2018

TALLER DE APRENDI

1. ¿Cuál es el cuarto término de la progresión aritmética: 2.5.8...?

2. Halle la razón de la P.A.  4.10.16...

6. Calcular: S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 19

7. La diferencia entre el quinto y tercer término de una P.A. es 4. Halle la razón.

3. El primer término de una P.A. es 5 y el tercero es 13. Halle el segundo término.

4. Halle "x" de la P.A. (x - 1) . 2 . (x + 7)

8. El octavo término es 6 unidades mayor que el quinto término de una P.A. Halle la razón.

9. Halle la razón para interpolar 3 medios aritméticos entre 5 y 25.

5. Halle el valor de "x" en la P.A.  5 . 2x - 3 . 11

10. El segundo y el tercer término de una P.A. son 24 y 28. Señale la suma del primer y cuarto término.

El genio se hace con un 1% de talento, y un 99% de trabajo.

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AÑO LECTIVO 2018

PROGRESIÓN ARI

1. Calcular el vigésimo término en cada una de las siguientes progresiones: I. 3 , 7 , 11 , 15 , ............... II.  81 , 77 , 73 , 69 , ............... a) 79 ; 10 d) 80 ; 4

b) 79 ; 5 e) 5 ; 80

c) 5 ; 79

2. Calcular el primer término de una P.A. , si el décimo término es 57 y la razón es 5. a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

3. El tercer término de una P.A. es 18 y el sétimo 30. Obtener la razón. a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

4. La suma del tercer y quinto término de una P.A. es 10 y la suma del segundo con el cuarto es 2. Obtener el primer término de la progresión. a) -2 d) 1 e) 2

b) -1

c) -7

5. Sabiendo que a > 0 , hallar la razón en la siguiente P.A.:  (a2 + a + 1) . (2a2 + 3) . (a2 - a + 23) a) 3 d) 9

b) 5 e) 8

c) 6

6. Sabiendo que el término central de una P.A. de 23 términos es 15, calcular la suma de los 23 términos de dicha progresión. a) 243 d) 345

b) 240 e) 350

c) 340

7. La suma de los 11 términos de una P.A. creciente es 176 y la diferencia de los extremos es 30. Hallar el último término. a) 31 d) 33

b) 35 e) 37

c) 40

8. Hallar la razón de una progresión aritmética donde la suma de los "n" primeros términos está dada por: Sn = 5n2 + 7n. a) 8

b) 9

d) 12

e) 4

9. Una deuda se paga en cuotas que conforman una progresión aritmética. El primer pago realizado es S/. 31 y el último S/. 94. Si la suma que se debía es igual a S/. 625, determinar el incremento que se realizó en cada pago.

c) 10

a) S/. 6 d) 8

b) 5 e) 9

c) 7

10. ¿Cuántas medias aritméticas se pueden interpolar entre 8 y 48, de tal manera que se forme una progresión cuya suma de términos sea 588? a) 17 d) 20

b) 18 e) 21

c) 19

11. Si el último término de una P.A. es 75, el primer término es 3 y la razón es una unidad más que el primer término, hallar el número de términos. a) 17 d) 20

b) 15 e) 24

c) 19

12. En una P.A. se cumple que el quinto término es igual a la suma de los 3 primeros. Hallar la razón, sabiendo que el primer término es igual a 4. a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

13. Hallar el número de términos de una P.A. si se sabe que el primer término es "b-6a", el último término es "8b+a" y la razón es "a+b". a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

14. En una P.A. la suma del primer y segundo término es 23; la suma del cuarto y quinto término es 57. Calcular el tercer término. a) 8 d) 18

b) 12 e) 20

c) 16

15. Se tiene la P.A. :  (2x+1) . (4x+2) . (5x+5) Se pide calcular el noveno término. a) 30 d) 45

b) 35 e) 50

c) 40

16. En una progresión aritmética de términos positivos, se sabe que el triple del cuadrado del término central es igual a 243. Si la suma de todos sus términos da 171, ¿cuántos términos posee dicha progresión?

El genio se hace con un 1% de talento, y un 99% de trabajo.

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LICEO NAVAL C DE C. MANUEL CLAVERO” a) 15

b) 16

c) 17

AÑO LECTIVO 2018

d) 18

e) 19

TAREA DOMICILIARIA 1. En una P.A. de 14 términos, la suma de todos sus términos es 280. Si la razón es 2, calcular el primer término.

8. Si la suma de los términos de:  (x) . (x+4) . (x+8) . (x+12) ...... (5x) es 720

a) 4 d) 9

b) 6 e) 12

c) 7 Hallar "x".

2. La suma de los "n" primeros términos de una P.A. es: 3n2+2n, para todos los valores de "n". Hallar la razón de la progresión. a) 4 d) 9

b) 6 e) 7

c) 8

3. Se va a pagar una deuda de 150 soles en letras que forman una progresión aritmética. El primer pago que se realizará será de 30 soles y cada pago posterior será dos soles menos que el pago anterior. ¿En cuántas letras se terminará de pagar? a) 6 d) 25

b) 7 e) 19

4. Dada la siguiente P.A. :

c) 4

 a , ............ ,(7b  6a) " x " términos

Si la razón es (b - a), hallar "x". a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

5. En una progresión aritmética de cinco términos, el primer término es 3 y su suma es 45. Calcular el quinto término. a) 12 d) 15

b) 13 e) 18

c) 14

6. La suma del cuarto y décimo término de una P.A. es 28 y la relación del segundo y décimo término es como 1 es a 5. Hallar el primer término. a) 10 d) 14

b) 12 e) 9

c) 2

7. Dada la siguiente progresión:  (a+b) . (4a-3b) . (5b+3a) 2 b Luego,   es: a 1 a) 9 b) 25 c) 9 4 16 9 d) e) 9 4

a) 15 d) 17

b) 14 e) 18

c) 16

9. La suma de los "n" primeros términos de una P.A. es "3n2 - n". Dar el trigésimo primer término de la progresión. a) 320 d) 182

b) 381 e) 180

c) 328

10. Calcular la suma de términos de: 3 ; ........ ; 23 ; ........... ; 59 Sabiendo que el número de términos comprendidos entre 23 y 59 es el doble de los comprendidos entre 3 y 23. a) 461 d) 464

b) 462 e) 465

c) 463

11. Un alpinista escala una montaña de 5 700 m de altura. En el transcurso de la primera hora alcanzó una altura de 800m; mientras que durante cada hora siguiente subió a una altura de 25m menor que en la precedente. ¿Cuántos metros ascendió durante la última hora, en qué alcanzó la cima? a) 500 m d) 600

b) 480 e) 625

c) 590

12. El primer término de una P.A. creciente es 2. El segundo y tercer término son respectivamente iguales a los cuadrados de dos números naturales consecutivos. Hallar la razón. a) 2 d) 6

b) 3 e) 7

c) 5

13. Se tiene la siguiente P.A.:  a0 . a1 . a2 . ...... an 1 1 1 1    ........  Calcular: E  a0 a1 a1a2 a2 a3 an1an

a)

n a0

d)

n a0 an

1

b) a a 0 n e)

n an

El genio se hace con un 1% de talento, y un 99% de trabajo.

c)

1 an

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AÑO LECTIVO 2018

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Son aquellas sucesiones en las cuales cualquier término, después del primero, es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada Razón Geométrica o cociente. Ejemplos: a) 1 , 2 , 4 , 8 , ....... x2

x2

x2

c) -3

,

x 1 2

9

x(-3)

Razón = 1 2 Geométrica

2) Término central (tc) Si "n" es impar

x 1 2

tc  t1 x t n

* Ejemplo: A partir de la P.G. :

, -27 , 81 .......... x(-3)

Datos: t1 = 4 ; q = 3 (creciente) ; t5 = ? Luego: tn = t1 x qn-1 Reemplazando: t5 = 4 x 35-1  t5 = 324

Razón = 2 Geométrica

b) 100 , 50 , 25 , 12.5 , ....... x 1 2

Resolución:

Razón = -3 Geométrica

 2 : 4 : 8 : 16 : ............. : 512 Hallar el término central.

x(-3)

NOTACIÓN

Resolución:

Las progresiones geométricas, llamadas también progresiones por cociente, se representan de la siguiente manera: ¸¸ t1 :

Datos: t1 = 2 ; tn = 512 ; n = 9 (impar) Como piden término central: tc 

t1 . t n

Reemplazando:

t2 : t3 : .......... : tn

 tc = 32 3) Producto de términos (P)

Donde: t1  tn 

Primer término

n  q 

Número de términos Razón geométrica; q ¹ 0

P

Último término

Ejemplo: Hallar P  2 x 4 x 8 x ............ x 1024    10 términos

Resolución:

Clases: Una progresión geométrica puede ser: * Creciente , si: q > 1 * Decreciente , si: 0 < q < 1 * Oscilante , si: q < 0 siempre que: t1 > 0

t1 x tn n

De acuerdo a fórmula: 55 P  2 x 102410  2 



 P = 255 4) Suma de Términos (Sn)

Principales Fórmulas

 n   q 1 Sn  t1   q  1   

1) Término de posición "n" (tn)

NOTA: El número de términos es limitado.

tn = t1 . qn-1 * Ejemplo: Hallar el quinto término de: ¸¸ 4 : 12 : 36 : .......................

* Ejemplo: Hallar: S = 2 + 6 +18 + ..... (30 términos) Resolución: DATOS: t1 = 2 ; q = 3 ; n = 30 ( limitado)

El genio se hace con un 1% de talento, y un 99% de trabajo.

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LICEO NAVAL C DE C. MANUEL CLAVERO” USANDO:

AÑO LECTIVO 2018

 30   3 1 Sn  2  3  1   

 S = 330 – 1 · SUMA LÍMITE Cuando se deben sumar los términos de una P.G. que cumpla con las siguientes condiciones: * an  0 * n  *q < 1; q0

(El último término se hace muy pequeño) (Número ilimitado de términos) (-1< q < 0  0 < q < 1 )

ya no se aplica la fórmula analizada en 4) sino que se usa la suma límite: t SLímite  1 1q

q  m1

* Ejemplo: Interpolar 3 medios geométricos entre 5 y 80. Resolución: DATOS: a = 5 ; b = 80 ; n = 3 Calculando la razón de interpolación: q 

Resolución: datos : t1 = 1 ; q = 1/2 ; n (ilimitado) t1 luego : SLímite = 1q SLímite =

1 1

· Medios

1 2



1 1 2

 S2

3 1

Interpolando:

5 : 10 NOTA: El número de términos es ilimitado. * Ejemplo: Hallar: S = 1  1  1  1  ....... 2 4 8

b a

20

40

80 2 5

80

Medios Interpolados PROBLEMAS RESUELTOS 1. Hallar el término 18 de la P.G. sabiendo que el quinto término es 32 y el octavo es 4. Resolución: Como: tn = t1 . qn-1

Geométricos o Proporcionales

Se llaman así a los términos de una progresión geométrica, comprendidos entre los términos extremos. Así: 4 : 8 : 16 : 32 : 64 3 Medios Geométricos

Luego: t1 . q4 = 32...................................... (1) t1 . q7 = 4

............................ (2)

1 1 dividiendo (2) y (1) : q3 =  q 8 2 reemplazando "q" en (1) : t1 = 512

piden : 17

1 t18=t1 . q17t18= 512   2

 t18 

29 217

 t18 

1 256

· Interpolación de Medios Geométricos Interpolar "m" medios geométricos entre los números "a" y "b" es formar una progresión geométrica cuyo primer término es "a", el último "b" y el número de términos es "m+2". Para poder interpolar se debe calcular la Razón de Interpolación. Así, del esquema:

a : .................... : b "m" Medios Geométricos

Se obtiene la razón de interpolación:

2. En una P.G. creciente: t1 + t2 + t3 = 39 Además: 3t6 = t5 . t2 Hallar "t2" (tn : término de posición "n") Resolución:

como:

tn = t1 . qn-1

* t1+t2+t3 = 39  t1 + t1q + t1q2 = 39 t1 (1+q+q2) = 39......... ()  3 . t1q5 = t1q4 . t1q Simplificando : t1 = 3

* 3t6 = t5 . t2

reemplazando en ( : 3(1+q+q2) = 39 formamos :

q2 + q - 12 = 0 (q+4)(q-3) = 0

El genio se hace con un 1% de talento, y un 99% de trabajo.

4º SECUNDARIA

LICEO NAVAL C DE C. MANUEL CLAVERO” q = -4 NO



q=3 SI

AÑO LECTIVO 2018

Luego : t2 = t1 q = 3 x 3 = 9  t2 = 9

(Creciente)

TALLER DE APRENDI

1. ¿Cuál es el cuarto término de la P.G.  2: 6: 18?

6. Calcular: S = 3 + 9 + 27 + 81 + ... + 729

2. Halle la razón de la P.G.  3 : 6 : 12 7. Al dividir el octavo entre el sexto término de una P.G. se obtiene 16. Halle la razón.

3. El número de términos de la P.G.  2 : 4 : 8 : ... : 256 ; es: 8. Si el primer y tercer término de una P.G. son 4 y 9 respectivamente, entonces el segundo término es:

4. Halle "x" en la P.G.  1 : x : 2x 9. ¿Cuál es la razón para interpolar 2 términos entre 5 y 40?

5. El cuarto término de una P.G. es 6 y el quinto es 12. Halle la razón. 10. El segundo y tercer término de una P.G. son 18 y 36 respectivamente. Halle la suma del primer y cuarto término.

El genio se hace con un 1% de talento, y un 99% de trabajo.

4º SECUNDARIA

LICEO NAVAL C DE C. MANUEL CLAVERO”

AÑO LECTIVO 2018

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 1. Calcular el sexto término en cada una de las siguientes progresiones: I.  2 : 6 : 18 ... II.  81 : 27 : 9 ... a) 243; d) 486;

b) 243; e) 243;

c) 486;

2. Hallar el término de lugar 12 de la siguiente P.G.: 1 1 1  : : : ...  128 64 32 a) 4 d) 12

b) 16 e) 24

c) 8

3. El quinto término de una P.G. creciente es 2 y el décimo primero es 128. Calcular el valor de la razón. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

4. La diferencia del quinto con el tercer término de una P.G. es 36, y su cociente es 4. Hallar el primer término, si la progresión es creciente. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

5. La suma de tres números positivos en P.A. es 21. Si a los dos primeros se les suma 3 y al último 8, los nuevos números forman una P.G. Hallar la razón de la progresión aritmética. a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

Sn = suma de los "n" primeros términos. Se sabe que: S4 = 17S2 Hallar la razón geométrica. b) 3 e) 16

b) 40 e) 100

c) 60

8. Hallar el valor de "x", sabiendo que entre x2n y x4n se han interpolado (n-1) medios geométricos, que conforman una progresión de razón 9. a) 1 d) 27

b) 3 e) 81

c) 9

9. Calcular la siguiente suma límite: 1 1 1 S=4+1+ + + + ... 16 64 4 a) 17 2 16 d) 3

16 9 15 e) 2

b)

c) 15 4

10. En un cuadrado de lado "a" se unen los puntos medios de los cuatro lados y se forma otro cuadrado cuyos puntos medios se unen también para formar otro nuevo cuadrado y así sucesivamente. Hallar el límite de la suma de las áreas de todos los cuadrados. a) a d) 3a2

b) 2a e) 2a2

c) 3a

11. Hallar el término 12 de una P.G., si el quinto es 4 y el octavo es 32. 1 a) 4 b) c) 512 32 1 d) 256 e) 16 12. Calcular el décimo término en la siguiente progresión:   96 : 48 : 24 ...

6. En una P.G. creciente donde:

a) 2 d) 8

a) 20 d) 80

c) 4

7. Interpolar cuatro medios geométricos entre 160 y 5. Indicar la suma de los términos centrales.

1 16 5 d) 8

a)

3 4 3 e) 8 b)

c)

3 16

13. Una bacteria tiene un peso determinado inicialmente. Cada día aumenta su peso al doble. Si al cabo de una semana su peso es "n", calcular el peso que tenía el tercer día. n n n a) b) c) 8 2 4

El genio se hace con un 1% de talento, y un 99% de trabajo.

d)

4º SECUNDARIA

LICEO NAVAL C DE C. MANUEL CLAVERO” n n e) 16 32

AÑO LECTIVO 2018

TAREA DOMICILIARIA 1. ¿Cuál es la razón de una P.G. de 4 términos si la suma de los dos primeros es 28 y la de los dos últimos 175? b) 3 2 1 e) 2

a) 5 d)

5 2

c) 3

2. La suma de tres números positivos que forman una P.A. es 18. Si a estos números se les suma 2, 4 y 11 respectivamente, los nuevos números forman una P.G. Hallar los números iniciales. a) 1;3;6 d) 12;15;18

b) 3;6;9 e) 15;18;14

c) 6;9;12

3. La suma de los seis primeros términos de una P.G. es igual a 126 veces la suma de sus tres primeros términos. Indicar la razón de dicha progresión. a) 4 d) 6

b) 5 e) 7

c) 3

a) 2 m d) 5 m

a) 1 d) 2

b) 5 e) 3

c) 4

5. Entre 3 y 768 y entre 7 y 112 se han interpolado "n" medios geométricos. Si la razón de la primera progresión es el doble de la segunda, hallar "n". a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

6. Calcular la siguiente suma: 2

3

4

E = (0,1) - (0,1) + (0,1) - (0,1) + ...

1 2 1 d) 11 a)

b) e)

1 13 1 10

c)

1 5

9. En una progresión por cociente de 4 términos, la razón es la novena parte del segundo y la suma de los extremos 252. Determinar el tercer término. a) 9 d) 243

b) 27 e) 729

c) 81

10. Una P.G. decreciente de 4 términos, es tal que la suma de sus extremos es 27 y la de los centrales 18. Hallar la razón.

a) 3 d) 2

1 c) 3

1 b) 2 e) 4

11. Hallar "x" en la P.G.: x 2 : 22x 1 : 4 3x  2    2 5 6 d) 5

a)

3 5 7 e) 5

b)

c)

4 5

12. La suma de tres números en progresión geométrica creciente es 70; si los extremos se multiplican por 4 y el intermedio por 5, los productos están en progresión aritmética. Hallar el segundo término de la progresión geométrica dada. a) 15 d) 20

7. Se dibuja un triángulo equilátero de lado "m"; si se unen los puntos medios de los lados, se forma otro triángulo equilátero. Al efectuar la misma operación indefinidamente, el límite de la suma de los perímetros de todos los triángulos es:

c) 4 m

8. Si el quinto y el octavo término de una progresión geométrica son 5a y 8a respectivamente, ¿cuál es la razón? 2 3 8 5 a) b) 3 c) 5 5 3 1 2 d) 3 e) 5 3

4. ¿Cuántos medios geométricos se han interpolado entre "x+1" y "x6 + x5", si la razón obtenida es "x"?

b) 3 m e) 6 m

b) 10 e) 18

c) 30

13. Entre "x2" y "x3" se han interpolado "x-1" medios proporcionales. Si el término de lugar "x" de la nueva progresión formada es

6

x

El genio se hace con un 1% de talento, y un 99% de trabajo.

17

, hallar "x".

4º SECUNDARIA

LICEO NAVAL C DE C. MANUEL CLAVERO” a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

14. Calcular: S= 5

10 20 40    ... 3 9 27

El genio se hace con un 1% de talento, y un 99% de trabajo.

AÑO LECTIVO 2018