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• SERRANO QUEVEDO FLAVIA JAHAIRA

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PROBLEMAS PROPUESTOS N° 01 OSCILACIONES Y ONDAS MECANICAS

UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

PROBLEMAS PROPUESTOS N°1 Estudiante: Serrano Quevedo, Valerie Romina Código: 191VP90713 Docente: Maco Santamaría, Henry Armando Fecha de presentación: 01-10-2020 Equipo de trabajo: 

Barturen Gonzales Julisa



Burgos Medina Valeria



Pérez Cabrejos Aldair



Serrano Quevedo Romina



Zapata Chiroque Lesly

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE – ENERGÍA DEL MAS

1.

Si un objeto en una superficie horizontal sin fricción se une a un resorte, se desplaza y después se suelta, oscilará. Si se desplaza 0.120 m de su posición de equilibrio y se suelta con rapidez inicial cero, después de 0.800 s su desplazamiento es de 0.120 m en el lado opuesto, habiendo pasado la posición de equilibrio una vez durante este intervalo. Calcule: a) Amplitud A=0.120 m b) El Periodo T =0.8 2 T =1.6 s c) La frecuencia 1 f= T 1 f= 1.6 f =0.635 Hz

2.

En la figura, se muestra el desplazamiento de un objeto oscilante en función del tiempo.

Calcule: a) La frecuencia 1 F= ; T =16.0 s T 1 F= → F=0.0625 Hz 16.0 b) La amplitud

A=10.0 cm c) El periodo T =10.0 cm d) La frecuencia angular de este movimiento. rad w=2 πf → w=2 π ( 0.0625 Hz ) → w=0.393 s 3.

La velocidad de una masa de 0.500 kg en un resorte está dada en función del tiempo

(

por v x ( t )= 3.6

cm π Sen ( 4.71 s−1 ) t− . Calcule: s 2

) [

]

Formulas

a)

El periodo

w=

2π 2π →T= →T =1.33 s T 4.71 s−1

b)

La amplitud

wA=36

c)

cm 3.6 cm → A= → A=0.764 cm→ A=7.64 mm s 4.71 s−1

La aceleración máxima de la masa

Amax =w2 A → A max = Amax =0.169

d)

( 4.71 )2∗0.764∗1 m 100 m

m s−1

La constante de fuerza del resorte.

π 2∗m K=4 T2

K=4

π 2∗0.500 kg 1.33 s2

K=11.1

4.

N m

El desplazamiento en función del tiempo de una masa de 1.50 kg en un resorte está dado por la ecuación: x ( t )=( 7.40 cm ) cos [ ( 4.16 s−1 ) t−2.42 ] . Calcule: x= Acos(wt +ϕ) a) El tiempo que tarda una vibración completa 2π =4.16→ T =1.51 s T b) La constante de fuerza del resorte K w 2= m 2 K=1.50 ( 4.16 ) N K=26 m c) La rapidez máxima de la masa v= A∗w v=7.40 ( 4.16 ) m v=30.78 s d) La fuerza máxima que actúa sobre la masa a= A∗w2 m a=1.28 2 s F=1.5∗1.25=1.92 N e) La posición, rapidez y aceleración de la masa en t = 1.00 s y T =15 s x (1)=7.39 cm m → v ( 1 )=0.93 s

5.

Un objeto está en MAS con periodo de 0.300 s y una amplitud de 6.00 cm. En t = 0, el objeto está instantáneamente en reposo en x = 6.00 cm. Calcule el tiempo que el objeto tarda en ir de x = 6.00 cm a x =-1.50 cm.

x= A cos ( w∗t+ϕ ) 2π x=6 cos ∗t 0.3

(

x=6 a x=−1.5

)

−1.5 cos A=6 cm=0.06 m w=2 π

2π ∗t ) ( 0.3

rad s

1.82 ( 0.3 ) 2π t=0.087 s t=

6.

Un sistema bloque–resorte oscila con una amplitud de 3.50 cm. La constante de resorte es 250 N/m y la masa del bloque es 0.500 kg. Determine: a) La energía mecánica del sistema Mecánica=Elástica Em=0.5 K A 2 Em=0,5 x ( 250 ) ( 6,035 ) Em=0,153 J b) La rapidez máxima del bloque 2 Ec =0,5 mv 2 0,153=0,5 ( 0,500 ) ( v ) 0,6125=v 2 0,78 m/s=v c) La aceleración máxima. 2

2

V F2=V i 2 +2 ad( 0,153 ) = ( 0 ) + 2 a ( 0,035 ) m a=17,5 2 s 7.

Un objeto de 1;4 kg de masa se une a un muelle de constante elástica 15 N/m. Calcula la velocidad máxima del objeto cuando el sistema vibra con una amplitud de 2;0 cm. ¿Cuál es el valor de las energías cinética y potencial elástico cuando el objeto se encuentra a 1cm de la posición central de vibración?

 Velocidad máxima: K V =( A) m 15 V = ( 0,02 ) 1,4 V =0,065  Energía potencial y cinética, distancia a 1cm de la posición central:

√

√

1 Ep= k A2 2 15 x ( 0,01 )2 Ep= 2 E p =0,00075 J 1 Ec = m ( V máx )2 2 1 Ec = ( 1,4 )( 0,065 )2 2 Ec =0,03 J Un bloque de 50 g, conectado a un muelle de constante elástica 35 N/m, oscila en una superficie horizontal sin fricción con una amplitud de 4 cm. cuando el bloque se encuentra a 1 cm de su posición de equilibrio, calcule:

8.

a) La fuerza ejercida sobre el bloque. F=35 x 0.01 F=0,35 N b) La aceleración del bloque. F=m .a a=

0,35 0,050

a=7 m s2

c) La energía potencial elástica del sistema. F p=( 0,5 ) ( 35 ) ( 0,01 )2 F p=1,75 x 10−3 J d) La velocidad del bloque. Em =Ec + E p Ec =E m−E p

1 1 m. v 2= k ( A 2−x 2 ) 2 2 k v 2= ( A 2−x 2 ) m 35 v 2= ( ( 0,04 )2−( 0,01 )2 ) 0,05 v=1,02 m/ s

9.

Un péndulo de 2 m de longitud tiene un periodo T en Andrómeda cuya aceleración de la gravedad es 9,68 m/s2 y si se lleva a Ceres su periodo se incrementa en un 10 %. Determine la aceleración de la gravedad en Ceres y establezca en cuanto se debe variar la longitud del péndulo para que su periodo sea el mismo que en Andrómeda.  Periodo de Andrómeda: L 2 T =2,85 s T =2 π T =2 π g 9,68  Gravedad en Ceres:

√

√

Periodo + 10% 10 T =2,85+ x 2,85 100 T =3,14 g en Ceres: 2 2 m g=8 m 2 2 m 3,14 = 0,25= 3,14=2 π s g g g 2π

√

( )

2



10.

Variación de la longitud: 2 L T A=T C 2 L =2 L = L=1,65 m 9,68 8 9.68 8 Un péndulo simple que tiene una masa de 0.25 kg y una longitud 1 m, se desvía un ángulo de 15° y se suelta. Calcular:

√

√

a) la rapidez máxima V máx =

√

( 0,25 ) . ( 9,8 ) m. g V máx = m 0,25 V máx =3,13 m / s L 1

√

b) la aceleración angular máxima

W=

V r

r CA r =cos 15 x 1 m W =3,26 sr =0,96 m c) la máxima fuerza de restitución. F=m . gF=0,25 x 9,8 F=2,45 N Hallar el radio:

cos 15=

W=

3,13 0,96

OSCILACIONES AMORTIGUADAS Y FORZADAS 11.

Una masa de 2 kg unida a un resorte es accionada por una fuerza externa F=( 3 N ) cos(2 πt) . Si la constante de fuerza del resorte es 20 N/m determine. a) El periodo. 2π T= w 2π T= 20 N 2m T =1.99 s

√

b) La amplitud del movimiento. F0 m A= √¿ ¿ ¿ ¿ 3 2 A= −( 10+ ( 6.28 )2 ) A=0.05 m 12.

Un bloque que pesa 40.0 N está suspendido de un resorte que tiene una constante de fuerza de 200 N/m. El sistema no está amortiguado y está sujeto a una fuerza impulsora armónica de 10.0 Hz de frecuencia, lo que resulta en una amplitud de movimiento forzado de 2.00 cm. Determine el valor máximo de la fuerza impulsora. Formulas: F0 m A= √¿ ¿ ¿ ¿

F 0= A∗m ( w2−w20 )

w=2 πF → w=62.83

rad s

N 200 K m rad w 0= = =7 m 4.08 kg s

√

√

F 0=4.08 kg ( 0.02m ) ¿ F 0=318.13 N

MOVIMIENTO ONDULATORIO 13.

La función de onda para una onda progresiva en una cuerda tensa es (en unidades SI) π y ( x , t )=( 0.350 m ) sen 10 πt −3 πx + 4

(

)

a) ¿Cuáles son la rapidez y dirección de viaje de la onda? v=λ

(

v=0.35 sin 10 π∗t−3 π∗x+

π 4

)

m s Dirección :laonda va hacialaizquierda v=1.5∗5 → v =7.5

b) ¿Cuál es la posición vertical de un elemento de la cuerda en t = 0, x = 0.100 m?

(

y=0.35sin 10 π∗0−3 π∗0.1 m−

π 4

)

y=0.05 s c) ¿Cuáles son la longitud de onda y frecuencia de la onda? 2π =0.67 M K W =10 π λ=

d) ¿Cuál es la máxima rapidez transversal de un elemento de la cuerda? v max . =w∗A v max. =10 π ( 0.35 ) v max . =10.99 14.

a) Escriba la expresión para y como función de x y t para una onda sinusoidal que viaja a lo largo de una soga en la dirección x negativa con las siguientes características: A = 8.00 cm, λ = 80.0 cm, f = 3.00 Hz y y(0, t) = 0 en t = 0. b) ¿Qué pasaría si? Escriba la expresión para y como función de x y t para la onda en el inciso a) si supone que y(x, 0) = 0 en el punto x = 10.0 cm. a) λ=80 cm K =0.80 m F=300 Hz A=8.00 cm y ( 0 , t ) =0 en t=0 b) A= ymax=8 cm=0.08 m Entonces: 2π 2π K= = =θ=7.85 m−1 θ 0.08 m rad w=2 πF =6 π s Por lo tanto: y= A sin ( kx+ wt ) cuando y ( 0 , t ) =0 → y =0.08 sin (7.85 x +6 πt ) m

Expresión general y=0.08 sin ( 7.85 x +6 πt +θ ) m ¿ Asumiendo ( x , 0 )=0 en x =0.8 m ¿ Necesario→ 0=0.08 sin ( 0.785+w ) tambien w=−0.785 ¿ Por lo tanto y =0.08 sin ( 0.08 x+6 π −0.785 ) m

15.

Una onda sinusoidal en una cuerda se describe mediante la función de onda y=(0.15 m) sen ¿), donde x y y están en metros y t en segundos. La masa por unidad de longitud de esta cuerda es 12.0 g/m. Determine: a) La rapidez de la onda

λ t 7.85 m m v= → v =62.5 0.12 s s v=

b) la longitud de onda 2π w= λ 2π 0.8= λ λ=7,85 m c) la frecuencia 1 F= T 1 F= 0.125 s F=7.95 Hz d) la potencia transmitida a la onda. 1 P= ∗μ∗v∗w2∗A 2 2 1 kg m 0.012 62.5 2 m s P=21.0938 w 16.

P=

(

)(

La

función

de

2

)(

50

onda

(

rad 2 ( 2 0.15 m ) s

)

para

y ( x , t )=( 0.350 m ) sen 10 πt −3 πx +

A=0.35 mw=10 π

una

onda

sobre

una

cuerda

tensa

es

π , donde x esta en metros y t en segundos. 4

)

rad N K =3 π s m

a) ¿Cuál es la rapidez promedio a la que se transmite la energía a lo largo de la cuerda si la densidad de masa lineal es de 75,0 g/m? rad s m → v =3.33 3π s

10 π v=

b) ¿Cuál es la energía contenida en cada ciclo de la onda?

1 1 Hz E= μ∗w2∗A2∗λ → 0.075 ( 10 π )2 ( 0.35m )2 ( 0.67 m ) 2 2 m 2π λ= =0.67 m E=0.31 J 3π

(

17.

)

Una cuerda de violín de L = 31,6 cm de longitud y μ = 0,065 g/m de densidad lineal, se coloca próxima a un altavoz alimentado por un oscilador de frecuencia variable. Observamos que cuando la frecuencia del oscilador se hace variar continuamente entre 500 y 1500 Hz, la cuerda sólo oscila apreciablemente a las frecuencias de 880 y 1320 Hz. Determinar la tensión a la que está sometida la cuerda. 2F +1 )∗c ( c ( n+1 )∗( c ) L= → L= 1

2 F2 2 F2 2 F 1∗L n= c=2 L ( F2−F 1 ) c T =2 L ( F 2−F 1 )2∗μ T =4 L ( F 2−F 1 )∗μ

(

T =4 ( 0.316 ) ( 1320−880 )2 0.00065

kg m

)

T =50.26 N

18.

A lo largo de una cuerda que tiene 20 m de largo, una masa de 0,12 kg y una tensión de 50 N se mueven ondas de frecuencia de 200 Hz y Amplitud de 1,2 cm. a) ¿Cuál es la energía total media de las ondas en la cuerda? 1 Er = μ∗w2∗A 2∗λ 2 μ=

m 0.12 = kg=0.006 L 20

w=2 πF w=2 π∗200=1256.64 v=

t 50 = =91.29 μ 0.006

√ √

v 91.29 λ= = =0.46 F 200

1 ET = ( 0.006 ) ( 1256.64 )2 ( 1.2 )2 ( 0.46 ) 2 J ET =3138.1 m b) Hallar la potencia transmitida que pasa por un punto determinado de la cuerda. 1 P= ( 0.006 )( 1256.64 )2 ( 1.2 )2 ( 91.29 ) 2 P=622771.1 ONDAS SONORAS - EFECTO DOPPLER 19.

Una onda sonora en aire a 20 °C tiene frecuencia de 150 Hz y amplitud de desplazamiento de 5.00 x 10-3 mm. Para esta onda, calcule: a) La amplitud de presión (en Pa) Amax =( P¿¿ aire a 20 ° C )(v sonidoen el aire20 ° C )(w)( Smax )¿ Paire a 20° C =1.204

kg m2

v sonido enel aire20 ° C =3.43

m s

w=2 πF =2 π ( 150 Hz )=942.48

rad s

kg m rad 343 942.48 ( 5∗10−3 m ) 2 s s m ∆ Pmax =1.94 Pa

(

∆ Pmax = 1204

)(

)(

)

b) La intensidad (en W/m2) 2 1 kg m rad 2 ( 1.204 2 343 942.48 5∗10−3 m) 2 s s m w L=4.59∗10−3 2 m

L=

(

)(

)(

)

c) El nivel de intensidad del sonido (en dB).

β=10 log

( L1 )=10 log 0

(

4.59∗10−3 −3

10

w m2

w m2

)

β=96.62 dB 20.

El sonido más tenue que un ser humano con oído normal puede detectar a una frecuencia de 400 Hz tiene una amplitud de presión aproximada de 6.0 x 10 -5 Pa. Calcule:

a) La intensidad correspondiente 400 5.8∗10−11 I =68.97∗1011 I=

b) El nivel de intensidad 68.97∗1011 10−12 β=248.4 dB β=10 log

(

)

c) La amplitud de desplazamiento de esta onda sonora a 20 °C P x V x W x A=P 1.2∗342.9∗2513.3∗a=6∗10−5 A=3.8∗10−11 m

21.

De pie en un crucero, usted escucha una frecuencia de 560 Hz de la sirena de una ambulancia que se aproxima. Después de que la ambulancia pasa, la frecuencia

observada de la sirena es de 480 Hz. Determine la rapidez de la ambulancia a partir de estas observaciones. F ´ =f

( V ±VVF )

m/s ( 343343m/s−VF ) … (1) 343 m/ s 480 Hz=F ( … (2) 343 m/ s +VF ) 560 Hz=F

Despejamos F de (1) y su t de (2) 343−VF F=560 Hz 343 343−VF 343 480 HZ =560 Hz 343 343+VF 480 HZ ( 343+VF )=560 HZ ( 343−VF ) 164640+ 480VF=192080−560VF 480 VF+ 560VF=192080−164640 1040 VF =27440 VF =26,38 m/s

(

)

(

22.

)(

)

a) Una fuente sonora que produce ondas de 1.00 kHz se mueve hacia un receptor estacionario a la mitad de la rapidez del sonido. ¿Qué frecuencia oirá el receptor? b) Suponga ahora que la fuente está estacionaria y el receptor se mueve hacia ella a la mitad de la rapidez del sonido. ¿Qué frecuencia oye el receptor? a) Vs ( Vs−VF ) 340 F ´ =1 ( 340−170 ) F ´ =F

F ´ =2 KHz b)

( Vs+Vo Vs ) 340+170 F ´ ´ =1 ( 340 ) F ´ ´ =F

F ´ ´ =1,50 KHz

Vs=340

m s

También te piden la mitad de la velocidad del sonido: 340 X= =170 m/ s 2

23.

Un tren viaja a 25.0 m/s en aire tranquilo. La frecuencia de la nota emitida por el silbato de la locomotora es de 400 Hz. Calcule la longitud de las ondas sonoras a) Frente a la locomotora m m 344 −25 V −VF s s λ= = =0,797 Fr 400 Hz b) Detrás de la locomotora. Calcule la frecuencia del sonido que oye un receptor estacionario

λ=

V −VF = Fr

m m +25 s s =0,9225 400 Hz

344

c) Frente a la locomotora +Vo 344+0 ( VV +VF ) Fr=( 344−25 ) 400=431 Hz

λ 2=

d) Detrás de la locomotora. +Vo 344 +0 ( VV +VF ) Fr=( 344+25 ) 400=372 Hz

λ 2= 24.

Una alarma de automóvil emite ondas sonoras con frecuencia de 520 Hz. Usted está en una motocicleta, alejándose del auto. ¿Con qué rapidez se está moviendo si detecta una frecuencia de 490 Hz? Fr=

+Vo F ( VV +VF ) F ⇒( V +Vo V )

V . Fr= (V +Vo ) F ´ FrV −VF ´ =Vo . F ´ m 344 ) ( 490 Hz−520 Hz ) ( s FrV −VF ´ Vo= = F´ Vo=−19,8 m/s

520 Hz

25.

Un tren viaja a 30.0 m/s en aire tranquilo. La frecuencia de la nota emitida por su silbato es de 262 Hz. ¿Qué frecuencia oye un pasajero de un tren que se mueve en dirección opuesta a 18.0 m/s? y a) ¿se acerca al primer tren? m m +18 V +Vo s s Fr= F ´= 262 Hz V +VF m m 344 −30 s s

(

Fr=302 Hz b)

)

(

344

)

¿se aleja de él?

m m −18 V +Vo s s Fr= F ´= 262 Hz V +VF m m 344 +30 s s

(

Fr=228 Hz

)

(

344

)