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PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE VECTORES   1. Qué condiciones deben cumplir A, B para que se cumpla cada una de las siguientes proposiciones en forma independiente?

a) b) c)

  μAμB  0    μ A  μ B  2 μ B   μ A μA  0

SOLUCIÓN:   2. El producto escalar de A y B toma los siguientes valores.    AB a) A B  b) A B  1 2 AB

  En cada caso indique las características del vector proyección de A sobre B . SOLUCIÓN:

3. En el paralelepípedo ABCDEFG indicado en la figura determinar:

a) PQ Y ST en función de sus componentes. b) El ángulo formado por PQ y SE. SOLUCIÓN: a) PQ  OQ  OP       PQ  3 i  0 j  0 k  3 i  4 j  4 k    PQ  0 i  4 j  4 k

 

  



ST  OQ  OP       ST  0 i  4 j  2 k  6 i  4 j  2 k    ST   6 i  0 j  0 k

 

  



b) SE  OE  OP       SE  0 i  0 j  4 k  6 i  4 j  2 k    SE   6 i  4 j  2 k

 

  



   PQ  SE  θ  cos    PQ  SE           0 i  4 j  4 k   6 i  4 j 2 k θ  cos 1   42  42 62  42  22    8  θ  cos 1   5,667,48  θ  79,11 1













 

           4. Determinar la suma de A, B y C en donde A  5 i  10 j  7 k; B  9 i  4 j  2 k 

y C es un vector en el plano XY que forma un ángulo de 45° con la dirección positiva del eje de las X y se aleja del origen, su magnitud es 12. SOLUCIÓN: C X  12 cos 45  8,5 C Y  12 cos 45  8,5     C  8,5 i  8,5 j  0 k





    R  A B C           R  5 i  10 j  7 k  9 i  4 j  2 k  8,5 i  8,5 j  0 k     R  22,5 i  2,5 j  9 k

 

 



 



      5. Encontrar el valor de 2 A  3 B  A  4 B , conociendo que A  4 u, B  3 u y   que el vector A es perpendicular al vector B . SUGERENCIA: Escoger un sistema de referencia adecuado.



SOLUCIÓN:

 

 

    A  0 i  4 j 0 k     B  3 i  0 j 0 k

 



 R  R  R  R  R

   



     

     2 A 3 B  A 4 B              2 0 i  4 j 0 k  3 3 i  0 j 0 k  0 i  4 j 0 k  4 3 i  0 j 0 k              0 i  8 j  0 k  9 i  0 j  0 k  0 i  4 j  0 k  12 i  0 j  0 k         9 i  8 j  0 k  12 i  4 j  0 k

    

   





 76

     6. Sabiendo que A es 10 i  5 j  3 k y B tiene una longitud de 10m, la proyección

 BY  5 m el ángulo director α  60. Y que el vector C se inicia en el punto  0, 4, 5 y finaliza en el punto 2, 2, 1. Encontrar un vector D que satisfaga a:     A  B 1 2 C D  0

SOLUCIÓN:

  



    A  10 i  5 j  3 k     B  5 i  5 j  7,07 k     C  2 i  2 j 4 k





    A  B 1 2 C  D  0       1     10 i  5 j  3 k  5 i  5 j  7,07 k  2 i  2 j  4 k  D  0 2        15 i  0 j  4,07 k  i  j  2 k  D  0     14 i  j  6,07 k  D  0     D   14 i  j  6,07 k

  



    

 





8.

A partir de la figura determinar:  a) El vector R  2 NP  3IB  4CF b) El vector proyección de MI sobre AD c) El ángulo entre NJ y GA



d) Un vector perpendicular a GC y GP P: Punto medio de AD SOLUCIÓN: a) NP  OP  ON       NP  5 i  3 j  4 k  0 i  9 j  0 k    NP  5 i  6 j  4 k

 

  



IB  OB  OI       IB  10 i  0 j  8 k  5 i  6 j  4 k    IB  5 i  6 j  4 k

 



 



CF  OF  OC       CF  0 i  6 j  8 k  10 i  0 j  0 k    CF   10 i  6 j  8 k

 

  



 R  2 NP  3IB  4CF           R  2 5 i  6 j  4 k  3 5 i  6 j  4 k  4  10 i  6 j  8 k           R  10 i  12 j  8 k  15 i  18 j  12 k   40 i  24 j  32 k     R  65 i  54 j  12 k

 



    

   

b) MI  OI  OM       MI  5 i  6 j  4 k  0 i  9 j  4 k    MI  5 i  3 j  0 k

 

  



AD  OD  OA       AD  10 i  6 j  0 k  0 i  0 j  8 k    AD  10 i  6 j  8 k

 

MI AD 

MI AD MI AD MI AD MI AD

  



MI  AD   μ AD AD       5 i  3 j  0 k  10 i  6 j  8 k

 



  10 i  6 j 8 k 

10 2  6 2  8 2 10 2  6 2  8 2    50  18   0,70 i  0,42 j  0,56 k 14,14     2,26 0,70 i  0,42 j  0,57 k     1,6 i  0,95 j  1,28 k

















c) NJ  OJ  ON       NJ  5 i  6 j  0 k  0 i  9 j  0 k    NJ  5 i  3 j  0 k

 

  



GA  OA  OG       GA  0 i  0 j  8 k  0 i  6 j  0 k    GA  0 i  6 j  8 k

 

  



   NJ  GA  θ  cos    NJ  GA           1  5 i  3 j  0 k  0 i  6 j  8 k θ  cos  5 2  32  6 2  8 2    18  θ  cos 1   5,8310  θ  72,02 1













 

d) GC  OC  OG       GC  10 i  0 j  0 k  0 i  6 j  0 k    GC  10 i  6 j  0 k

 

  

GP  OP  OG       GP  5 i  3 j  4 k  0 i  6 j  0 k    GP  5 i  3 j  4 k

 

  





   i j k GC  GP  10  6 0 5 3 4    GC  GP   24 i  40 j   30  30 k    GC  GP   24 i  40 j  0 k





      9. Dados A  3 i  7 j y B  2 j  3 k Encuentre:

   a) El vector R   A  B   b) El vector perpendicular a A y B   c) El ángulo entre A y R

SOLUCIÓN: a)    R   A B      R   3 i  7 j   2 j 3 k     R   3 i  9 j 3 k





 





b)

   i j k   A B  3  7 0 0 2 3



     A B  21 i  9 j  6 k



c)

    A R  θ  cos     AR         1  3 i  7 j   3 i  9 j  3 k θ  cos  32  7 2  32  9 2  32    9  63   θ  cos 1   7,61  9,95  θ  161,96 1









 



       10. Determine la suma de A, B, C, donde A  3 i  j ; B contenido en el plano XZ, en la dirección N 20 O se aleja del origen su longitud es 3m. Los ángulos



directores de C son β  15 y γ  105, su módulo es 10m. SOLUCIÓN: 11. Una pelota es lanzada en línea recta desde el origen 0 a un punto P10, 15, 0 m. Hallar: a) Los cosenos directores. b) Un vector en la dirección de OP cuya longitud sea 3m. c) Las proyecciones XY, YZ, XZ de OP

SOLUCIÓN:

12. Un carro parte de P0, 50, 60 km con respecto a la pista, en dirección S 60 E y llega a una distancia de 75km, luego cambia de rumbo y corre 100km siguiendo    una dirección y sentido que coincide con el unitario de: R  5 i  12 k a) Encuentre la posición final del carro con respecto a la pista. b) El vector unitario de la posición final SOLUCIÓN:

13. En la figura determinar:

AB  AE  CD  OC  OD  BE  100 u CB  DE  OA  80 u a) El ángulo formado por AC y EC b) El vector proyección de OC sobre CD

SOLUCIÓN:

14. Encontrar el ángulo formado por la velocidad y la aceleración en el instante en que la rapidez es 30m/s en la dirección N 30 O y un ángulo de elevación de    45°, la aceleración es de 5 m s 2 en dirección 0,6 i  c j  0,4 k



SOLUCIÓN: 15.



En la figura determinar: a) La posición geográfica de L con respecto a Q b) La proyección de OQ sobre QL  c) El unitario de V  LN  2PQ SOLUCIÓN:

16. Dos cubos de 12 y 20 cm de lado, están colocados como indica la figura. Encontrar:

a) AJ  NB b) El ángulo formado por JM y GF c) La proyección de HK sobre GF SOLUCIÓN: a)

AJ  OJ  OA       AJ  12 i  20 j  0 k  0 i  0 j  20 k    AJ  12 i  20 j  20 k

 

  



NB  OB  ON       NB  20 i  0 j  20 k  0 i  32 j  0 k    NB  20 i  32 j  20 k

 

  



 R  AJ  NB        R  12 i  20 j  20 k  20 i  32 j  20 k     R  32 i  12 j  0 k

 



 



b) JM  OM  OJ       JM  0 i  32 j  12 k  12 i  20 j  0 k    JM   12 i  12 j  12 k

 

  

GF  OF  OG       GF  20 i  0 j  0 k  0 i  20 j  0 k    GF  20 i  20 j  0 k

 

  





   JM  GF  θ  cos    JM  GF            12 i  12 j  12 k  20 i  20 j 0 k θ  cos 1   12 2  12 2  12 2  20 2  20 2    240  240   θ  cos 1   20,78  28,28  θ  144,76 1











c) HK  OK  OH       HK  12 i  32 j  0 k  0 i  20 j  12 k    HK  12 i  12 j  12 k

 

  





 

GF  OF  OG       GF  20 i  0 j  0 k  0 i  20 j  0 k    GF  20 i  20 j  0 k

 

  

HK GF 

HK GF



HK  GF   μ GF GF       12 i  12 j  12 k  20 i  20 j  0 k

 



20 2  20 2

  20 i  20 j 0 k  





20 2  20 2

HK GF          17. Conociendo los vectores: A  2 i  3 j  6 k y B  2 i  4 j  4 k . Determinar el   vector proyección del vector A sobre la recta de acción del vector B .

SOLUCIÓN:

   A B  AB    μB B           2 i  3 j 6 k   2 i  4 j 4 k  2 i  4 j 4 k AB   22  42  42 22  42  42      4  12  24 AB    0,33 i  0,66 j  0,66 k 6     A B   1,76 i  3,52 j  3,52 k

















18. Se tiene una cuerda fija en el punto A y se hala con una fuerza de 50N de modo que el otro extremo está en el punto B.

Determinar:     a) El vector fuerza F en términos de i , j , k .  b) La proyección del vector F sobre DG



SOLUCIÓN: a)



    r  4 i  10 j  3 k









    F  50 N 0,36 i  0,89 j  0,268 k     F  18 i  44,5 j  13,5 k





    4 i  10 j  3 k μr  4 2  10 2  32     μ r  0,36 i  0,89 j  0,27 k







b)

  DG  G  D       DG  4 i  0 j  0 k   4 i  0 j  0 k    DG  8 i  0 j  0 k

 

  



  F DG  FDG   μ DG DG        18 i  44,5 j  13,5 k  8 i  0 j  0 k    FDG   i  0 j 0 k 8  144    FDG   i  0 j 0 k 8      FDG  FDG  18 i  0 j  0 k

















19. Dados los puntos A2, 1, 2; B5,  1, 4 y C7, 2, 1. Determinar los siguientes vectores: a) b) c)

 D paralelo a AB y de módulo 15N.  E perpendicular al triangulo ABC y módulo 20.  F de módulo 10u y paralelo a la bisectriz del ángulo ABC .



d) G en la dirección de AC y con módulo igual al módulo de la proyección de

AB sobre BC     e) Determinar " m" para que Q  5 i  m j  k sea perpendicular al vector AB.     f) El vector H  a i  b j  5 k que sea paralelo a BC.

SOLUCIÓN: a)

  AB  B A       AB  5 i  j  4 k  2 i  j  2 k    AB  3 i  2 j  2 k

 

  





D = 15 N 0, 73 i- 0, 49 j+ 0, 49 k



D = 10,90 i- 7, 28 j+ 7, 28 k







    3 i  2 j 2 k μ AB  32  2 2  2 2     μ AB  0,727 i  0,485 j  0,485 k





b) BC = C- B

  BC =  2 i+ 3 j- 3k 

BC = 7 i+ 2 j+1k - 5 i- j+ 4 k



   i j k AB  BC  3  2 2 2 3 3    AB  BC  6  6 i   9  4 j  9  4 k    AB  BC  0 i  13 j  13 k     0 i  13 j  13 k μ ABBC  132  132     μ ABBC  0 i  0,707 j  0,707 k















    E  20 0 i  0,707 j  0,707 k     E  0 i  14,14 j  14,14 k







c)

d)

ABBC =

AB • BC BC

ABBC = ABBC =

× m BC

3 i- 2 j+ 2 k  •  2 i+ 3 j- 3k  ×  2 i+ 3 j- 3k  22 + 32 + 32

22 + 32 + 32



-6 × 0, 426 i+ 0, 639 j- 0, 639 k 4, 69



ABBC = 0,54 i+ 0,82 j- 0,82 k







AB BC  0,542  0,822  0,822 AB BC  1,28   AC  C A       AC  7 i  2 j  1 k  2 i  j  2 k    AC  5 i  j  k     5 i  j k μ AC  52  1  1     μ AC  0,962 i  0,192 j  0,192 k

 





 









    G  1,28 0,962 i  0,192 j  0,192 k     G  1,23 i  0,25 j  0,25 k









e)

 AB  Q  0       3 i  2 j 2 k  5 i  m j k  0 15  2 m  2  0  13 m 2 m  6,5      Q  5 i  6,5 j  k







f)



   BC  2 i  3 j 3 k     k  H μ BCz    5  H  0,639  H

5 0,639

 H  7,82





    2 i  3 j 3 k μ BC  2 2  32  32     μ BC  0,426 i  0,639 j  0,639 k







    H  7,82 0,426 i  0,639 j  0,639 k     H  3,33 i  5 j  5 k







