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´ ´ UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANT´ ISIMA CONCEPCION FACULTAD DE INGENIER´ IA ´ ´ AREA CIENCIAS BASICAS

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Problemas y Preguntas de Repaso: Cantidades f´ısicas y vectores F´ısica (IN 0024 C) M.Sc. Hern´ an Enrique Garrido Vertel 1. El a ´ngulo de torsi´ on de un a ´rbol de secci´ on circular sometido a un momento torsor viene dado por la ecuaci´ on θ = T L/GJ. ¿Cu´ ales son las dimensiones de J si θ es el a ´ngulo dado en radianes, T es el momento de fuerza, L es una longitud y G es una fuerza por unidad de superficie? 2. El alargamiento de una barra de secci´ on uniforme sometida a una fuerza axial viene dada por la ecuaci´ on δ = P L/AE. ¿Cu´ ales son las dimensiones de E si δ y L son longitudes, P es una fuerza y A es una a ´rea? 3. En la ecuaci´ on dimensionalmente homogenea w = X 3 + aX 2 + bX + a2 b/X, si X es una longitud ¿Cuales son las dimensiones de a, b y w? 4. A partir de la definici´ on 1 in=2.54 cm, determine cu´ antos: a) kil´ ometros hay en 1.00 milla y b) cu´ antos pies hay hay en 1.00 km. 5. ¿Cuantos nanosegundos tarda la luz en viajar 1.00 pie (ft) en el vac´ıo? 6. ¿Cu´ al de los campos siguientes no es un campo escalar? a) Desplazamiento de un mosquito en el espacio b) Intensidad de la luz en una sala c) Distribuci´ on de temperaturas en un sal´ on de clases d) Presi´ on atmosf´erica en una regi´ on dada e) Humedad de una ciudad 7. ¿Cu´ al de estas expresiones es correcta? a) A × A = |A|2

b) A×B + B×A = 0

c) A·B·C = B·C·A

d) ax · ay = az

e) ak = ax = ay

donde ak es un vector unitario. 8. ¿Cu´ al de las identidades siguientes no es v´ alida? a) a (b + c) = ab + bc b) a × (b + c) = a × b + a × c c) a · b = b · c d) c · (a × b) = −b · (a × c) e) aA · aB = cos θAB 9. ¿Cu´ al de los enunciados siguientes carece de sentido? a) A · B + 2A = 0 b) A · B + 5 = 2A c) A(A + B) + 2 = 0 d) A · A + B · B = 0 10. Sea F = 2ax − 6ay + 10az y G = ax + Gy ay + 5az . Si F y G tienen el mismo vector unitario, Gy es a) 6

b) -3

c) 0

d) 6

11. Puesto que A = ax + αay + az y B = αax + ay + az , si A y B son normales entre s´ı α es

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a) -2

b) -1/2

c) 0

d) 1

e) 2

d) 2

e) 10

12. Las componentes de 6ax + 2ay − 3az a lo largo de 3ax − 4ay es a) −12ax − 9ay − 3az

b) 30ax − 40ay

c) 10/7

13. Sea A = 2ax + 5ay − 3az , B = 3ax − 4ay y C = ax + ay + az . a) Determine A + 2B b) Calcule |A − 5C| c) ¿Respecto de cu´ ales valores de k es |kB| = 2? d) Encuentre (A × B)/(A · B) 14. Si A = 2ax + ay − 3az B = ay − az C = 3ax + 5ay + 7az determine a) A − 2B + C| b) C − 4(A + B) c)

2A−3B |C|

d) A · C − |B|2 e)

1 B 2

× ( 13 A + 14 C)

15. Si los vectores de posici´ on de los puntos T y S son 3ax − 2ay + az y 4ax + 6ay + 2az , respectivamente, determine: a) las coordenadas de T y S, b) el vector de distancia de T y S, c) la distancia entre T y S 16. Si A = 5ax + 3ay + 2az B = −ax + 4ay + 6az C = 8ax + 2ay halle los valores de α y β tales que αA + βB + C sea paralela al eje y. 17. Dados los vectores A = αax + ay + 4az B = 3ax + βay + 6az C = 5ax − 2ay + γaz determine α, β y γ tales que los vectores sean mutuamente ortogonales 18. a) Demuestre que (A · B)2 + (A × B)2 = (AB)2 b) Demuestre que ax =

ay × az , ax · ay × az

ay =

az × ax , ax · ay × az

az =

ax × ay , ax · ay × az

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19. Puesto que P = 2ax + ay − 2az Q = 4ax − 3ay + 2az R = −ax + ay + 2az halle: a) |P + Q − R|, b) P · Q × R, c) Q × P · R, d) (P × Q) · (Q × R), e) (P × Q) × (Q × R), f) cos θP R , g) sin θP Q 20. Simplifique las expresiones siguientes: a) A × (A × B) b) A × [A × (A × B)] 21. Determinar el m´ odulo R de la fuerza resultante de las cuatro fuerzas representadas en la figura y el a ´ngulo θx que forma su recta soporte con el eje x

22. Determine y dibuje en un diagrama, el m´ odulo de R de la resultante de las fuerzas representadas en la figura y los a ´ngulos θx , θy y θz que forma su recta soporte con los ejes de coordenadas x, y, z

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23. Un empleado postal conduce su cami´ on por la ruta de la figura. Use el m´etodo de componentes para determinar la magnitud y la direcci´ on de su desplazamiento resultante. En un diagrama de suma de vectores (a escala aproximada), muestre que el desplazamiento resultante obtenido del diagrama coincide cualitativamente con el obtenido con el m´etodo de componentes.