• Categories
• Sistema de coordenadas cartesianas
• Vector euclidiano
• Cálculo vectorial
• Triángulo
• Cálculo multivariable

Citation preview

PROBLEMAS PROPUESTOS DE VECTORES MÉTODO DE LOS PARES ORDENADOS uuu r 1. Dados los puntos A = (3,3) y B = (7,6), determine el módulo y la dirección del vector BA . A) 5; 217º B) 7; 180º C) 5; 270º D) 6; 153º E) 4; 360º 2. Diego

representa un vector como un par ordenado cuyo origen se encuentra en el origen de r coordenadas: A = (6;8) . Determine el módulo y dirección de este vector. A) 10 y 37° con el eje X B) 10 y 53° con el eje X C) 10 y 45° con el eje X D) 20 y 60° con el eje X E) 100 y 37° con el eje X En la figura mostrada determine el módulo y la dirección del vector A.

3. y

(8;6)

6 A 0

8

x

A) 10 y 37° con el eje X D) 20 y 60° con el eje X

B) 10 y 53° con el eje X C) 10 y 45° con el eje X E) 100 y 37° con el eje X

4. Pablo

representa un vector como un par ordenado cuyo origen se encuentra en el origen de r coordenadas: A = (8;6) . Determine el módulo y dirección de este vector. A) 10 y 37° con el eje X B) 10 y 53° con el eje X C) 10 y 45° con el eje X D) 20 y 60° con el eje X E) 100 y 37° con el eje X

5. Pedro

representa un vector como un par ordenado cuyo origen se encuentra en el origen de r coordenadas: A = (9;12) . Determine el módulo y dirección de este vector. A) 15 y 37° con el eje X B) 15 y 53° con el eje X C) 15 y 45° con el eje X D) 15 y 60° con el eje X E) 100 y 37° con el eje X

6. Determine el módulo de la resultante. (1,9) (-5,5)

(4,-1)

(-6,-5)

A) 8

B) 6

C) 12

D) 16

E) 10

MÉTODO DE LOS VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS 7. Determine el ángulo que forma el vector resultante con el eje X, si se tienen los

ur

ur

vectores A = −5i + 4 j y B = 9i − j . A) 53º B) 60º E) 37º

C) 120º

r A = 6 i r+ 8 j 2A Halle el módulo del vector: 5

8.Conociendo el vector:

1

D) 90º

A) 5

B) 4

C) 6

D) 12

E) 13

D) 2

E) 3

r A = 6 i r- 8 j −A Halle el módulo del vector: 5

9.Conociendo el vector:

A) 5

B) 4

C) 6

r 9 i + 12 j A = r 2A Halle el módulo del vector: 5

10.

A) 5

Conociendo el vector:

B) 4

C) 6

D) 12

E) 13

D) 2

E) 3

r 4i-3j A = r 2A Halle el módulo del vector: 5

11.

A) 5

Conociendo el vector:

B) 4

C) 6

12. Sean los vectores: a = 4 i , b=4j ¿Qué ángulo forman los vectores a y b? A) 60° B) 180° C) 90° D) 60°

E) 0°

13. Sean los vectores: a = 4 i , b = -3 i ¿Qué ángulo forman los vectores a y b? A) 60° B) 180° C) 90° D) 60°

E) 0°

14. Sean los vectores: a = 2 i + 2 j Halle el módulo del vector: a + b A) 5 B) 1 C) 11

,

b=2i+1j

D) 12

15. Sean los vectores: a = 15 i + 2 j Halle el módulo del vector: a + b A) 25 B) 21 C) 11

,

E) 13 b=9i+5j D) 12

16. Sean los vectores: a = 15 i + 12 j Halle el módulo del vector: a - b A) 0 B) 1 C) 11

,

E) 13

b=3i+7j D) 12

17. Sean los vectores: a = 2 i + 4 j Halle el módulo del vector: 3 a - 2 b A) 0 B) 1 C) 1

,

18. Sean los vectores: a = 5 i + 3 j Halle el módulo del vector: a + b A) 14 B) 5 C) 13

,

E) 13

b=3i+5j D) 2

E) 3

b=7i+2j

D) 12

E) 15

19. Dado el conjunto de vectores: a = 2 i - 4 j Halle el módulo del vector: R = a - 3 b + 2 c A) 4 B) 5 C) 6 D) 7

b = -1 i + 2 j

c = -1 i + 3 j

E) 13

20. Sean los vectores: a = 3 i + 4 j b = -2 i + 5 j c=mi+nj y R = a + b + c, donde el módulo de R es igual a 10 unidades y además es paralelo al eje “y” del sistema de coordenadas, hallar (m + n). A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) N.A 21.

ABCD. Determine (x + y + z) si: uuur Se tiene el paralelogramo uuur uuur AB = 3.i + y. j + z.k AD = 2.i + j − 3.k AC = x.i + 2k

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5 2

E) Ninguna anterior

22. El vector resultante de los vectores A y B es R = 10 i + 11 j. Si los vectores unitarios de A y B son a = 0,8 i + 0,6 j y b = 0,6 i + 0,8 j respectivamente. Determine el vector A. A) 4 i +3 j B) 8 i + 6 j C) 3 i + 4 j D) 6 i + 8 j E) 12 i + 16 j MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

Determinar el módulo del vector resultante. Se tiene que A = B = C = 6.   B

23.

A

60º

60º A) 12

60º

B) 15

 C

C) 20

D) 8

E) 10

24. La figura muestra un paralelogramo, donde el módulo de los vectores son: A = 7; B = 8 y R = 13. Determine la medida del ángulo θ. A

R=A+B

θ B

A) 30°

B) 45°

C) 37°

D) 53°

E) 60°

25. La figura muestra un paralelogramo, donde el módulo de los vectores son: A = 7; B = 15 y R = 20. Determine la medida del ángulo θ. A

R=A+B

θ B

A) 30° 26.

B) 45°

C) 37°

D) 53°

E) 60°

En la figura mostrada, determine le módulo del vector resultante. y

40° 50u x

170°

30u

A) 20 27.

B) 70

C) 80

D) 100

E) N.A.

En la figura mostrada, determine le módulo del vector resultante.

A=5 B=3 85°

25°

O1

O2

A) 14

B) 7

C) 13

D) 12

E) 15

28. En la figura mostrada el módulo de los vectores son A = 10 y B = 12. Si la medida del ángulo es θ = 60°, determine le módulo del vector diferencia D. A

D

θ B

A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

29.En la figura mostrada el módulo de los vectores son a = 5 y b = 6. Determine le módulo del vector: a – b 3

a b 30°

83° O1

O2

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 4

30.En la figura mostrada el módulo de los vectores son a = 5 y b = 3. Determine le módulo del vector: a – 2b

a

b

63° A) 5

10° B) 6

C) 7

D) 8

E) N.A.

31. En la figura mostrada el módulo de los vectores son A = 50 y B = 14. Determine le módulo del vector: A – B. A

B 50°

56°

A) 24

B) 48

C) 36

D) 64

E) 42

32. ¿Qué ángulo deben formar dos fuerzas de módulos 27 N y 45 N para que actúen sobre un cuerpo como una sola fuerza de 63 N? A) 30° B) 45° C) 37° D) 53° E) 60° 33. ¿Qué ángulo deben formar dos fuerzas de módulos 3 N y 5 N para que actúen sobre un cuerpo como una sola fuerza de 7 N? A) 30° B) 45° C) 37° D) 53° E) 60° 34. ¿Qué ángulo deben formar dos fuerzas de módulos 6 N y 10 N para que actúen sobre un cuerpo como una sola fuerza de 14 N? A) 30° B) 45° C) 37° D) 53° E) 60° 35. ¿Qué ángulo deben formar dos fuerzas de módulos 9 N y 15 N para que actúen sobre un cuerpo como una sola fuerza de 21 N? A) 30° B) 45° C) 37° D) 53° E) 60° 36. ¿Qué ángulo deben formar dos fuerzas de módulos 12 N y 20 N para que actúen sobre un cuerpo como una sola fuerza de 28 N? A) 30° B) 45° C) 37° D) 53° E) 60° 37. ¿Qué ángulo deben formar dos fuerzas de módulos 15 N y 20 N para que actúen sobre un cuerpo como una sola fuerza de 7 N? A) 164° B) 135° C) 127° D) 143° E) 120° 38. El módulo de la resultante de dos vectores varía entre un valor mínimo de 2 unidades y un valor máximo de 14 unidades. Determine el módulo de la resultante cuando los vectores formen un ángulo de 90°. A) 2 B) 11 C) 10 D) 12 E) 13 39. El módulo de la resultante de dos vectores varía entre un valor mínimo de 7 unidades y un valor máximo de 17 unidades. Determine el módulo de la resultante cuando los vectores formen un ángulo de 90°. A) 128 B) 11 C) 10 D) 12 E) 13

4

40. El módulo de la resultante de dos vectores varía entre un valor mínimo de 8 unidades y un valor máximo de 12 unidades. Determine el módulo de la resultante cuando los vectores formen un ángulo de 53°. A) 128 B) 11 C) 10 D) 10,5 E) 9 41. El módulo de la resultante de dos vectores varía entre un valor mínimo de 2 unidades y un valor máximo de 8 unidades. Determine el módulo de la resultante cuando los vectores formen un ángulo de 60°. A) 6 B) 7 C) 5 D) 4 E) 3 42. El módulo de la resultante de dos vectores varía entre un valor mínimo de 4 unidades y un valor máximo de 16 unidades. Determine el módulo de la resultante cuando los vectores formen un ángulo de 60°. A) 14 B) 7 C) 10 D) 12 E) 13 43. El módulo de la resultante de dos vectores varía entre un valor mínimo de 6 unidades y un valor máximo de 24 unidades. Determine el módulo de la resultante cuando los vectores formen un ángulo de 60°. A) 14 B) 21 C) 20 D) 22 E) 23 44. La figura muestra dos vectores un de módulo 60 unidades y el otro de módulo variable. Determine la resultante mínima que se puede conseguir. B 143° A=60

A) 12 45.

B) 24

C) 36

D) 48

E) 60

Se muestra tres vectores. Determine el módulo del vector resultante. 4u

5u 67°

O

3u

A) 12 46.

B) 2

C) 3

D) 8

E) N.A.

Se muestra tres vectores. Determine el módulo del vector resultante. 3 2

6 75°

3 2

O

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) N.A.

47. Se muestra tres vectores, donde A = 5, B = 3 y C = 8. Determine el módulo del vector resultante. A C

A) 0

60°

B

B) 5

C) 10

D) 12

E) N.A.

48. Determine el módulo de la resultante de dos vectores cuyos módulos son 15 y 7 unidades, si forman un ángulo de 53º. A) 32 B) 28 C) 20 D) 40 E) 30

5

49. La resultante máxima de dos vectores mide 17 unidades y la mínima 7 unidades. Determine el módulo de la resultante cuando los vectores formen un ángulo de 90º entre sí. A) 12 B) 17 C) 22 D) 13 E) 15 50. Un vector horizontal forma 143º con otro vector de 15 unidades. Determine el módulo de dicho vector de tal manera que su resultante sea mínima. A) 12 B) 13 C) 22 D) 8 E) 18 51. Determine el ángulo que forman dos vectores, si ambos vectores y su resultante tienen el mismo módulo. A) 120º B) 60º C) 90º D) 45º E) 127º 52.

Hallar el módulo de la resultante de los vectores en metros. B

BM = MN = NC  A = 90º

M 3m

N

A) 14

C

4m

A

B) 10

C) 18

D) 15

E) 7

53. Dos vectores poseen módulos de 11 y 23 unidades, si el vector diferencia posee un módulo de 30 unidades, calcule el módulo del vector suma. A) 40 B) 50 C) 30 D) 60 E) 20 54. Determine el módulo del vector resultante. La figura muestra los módulos de los vectores con origen común.

2m 9m

•

60º 4m

5m A) 5m

B) 6m

C) 7m

D) 8m

E) 10m

Determine el valor del ángulo θ, para que la resultante de los vectores mostrados sea mínima.

55.

θ

θ

θ A) 35,5º

B) 45º

C) 30º 6

D) 22,5º

E) 60º

r

r

Dados los vectores con módulos a = 5 N y b = 3N , calcule el módulo de a − 2b .

56.

 a

 b 10º

63º A) 7N 10N

B) 6N

C) 12N

D) 5N

E)

La resultante máxima de dos vectores mide 10 unidades y su resultante mínima 2 unidades. Calcule el módulo de la resultante cuando los vectores forman un ángulo de 120º. A) 3 5 B) 5 6 C) 11 D) 2 3 E) 2 7

57.

58. del

En la figura mostrada el módulo de los vectores es a = 5 y b = 12. Determine el módulo vector resultante: R

b

a

A) 26

B) 14

C) 16

D) 13

E) 30

MÉTODO DEL POLÍGONO

59.

Señale las afirmaciones correctas: a. La suma de dos vectores puede ser igual a la de otros cuatro vectores. b. Si dos pares de vectores dan la misma resultante entonces son idénticos. c. Un vector puede ser generado por la suma de infinitos pares de vectores. A) FFF B) FFV C) FVF D) VFV E) VVV 60.

Calcule el módulo de la resultante del sistema mostrado.   B

 A

  A + B = 15  C

 D

A) 45

B) 30

C) 25

D) 35

61. Se muestra una cuadricula donde el lado de cada cuadrado es módulo del vector resultante. A C A) 2u

B

B) 3u

C) 4u

D) 5u

7

E)

30

E) 50

3 u. Determine el

62.

En el sistema vectorial mostrado, determine el módulo del vector resultante. b c a 1

A) 0

B) 3

63.

C) 5

D) 6

E) 7

En el sistema vectorial mostrado, determine el módulo del vector resultante. 1 1

A) 13 64.

B) 14

C) 15

D) 16

E) 10

En el sistema vectorial mostrado, determine el módulo del vector resultante.

1

A) 1

B) 2

65.

C) 3

D) 4

E) 10

En el sistema vectorial mostrado, determine el módulo del vector resultante.

b

c

a

d 1 B) 2

A) 1

C) 3

D) 4

E) N.A.

66. De muestra un cuadrado de vértices A, B, C y D donde cada lado mide 2 cm. Si M es el punto medio de CD, determine el módulo del vector resultante. B

C M

A

D

A) 5

B) 4

67.

C) 3

D) 2

E) N.A.

En la figura mostrada, determine el módulo del vector resultante.

3

4

A) 3

B) 4

C) 5

D) 10

E) 0

68. Sabiendo que los segmentos miden AB = 6 y CD = 8. Determine el módulo del vector resultante.

8

D A

B

C

A) 10

B) 12

C) 14

D) 16

E) 0

69. La figura muestra un cuadrado de vértices ABCD de lado 2 cm. Si M es punto medio de BC, determine el módulo del vector resultante (en cm). M

B

C

A

D

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 8

70. La figura muestra cinco vectores, donde se observa un rectángulo y una diagonal. Determine el módulo del vector resultante. 4 cm 37°

A) 3 cm 71.

B) 4 cm

C) 5 cm

D) 10 cm

E) 0

En la figura mostrada determine el vector resultante a

i

b

h

e g c

d

f

A) e

B) -e

C) 2e

D) 3e

E) N.A.

72. Se muestra cuatro vectores. Si AB = BC = AC = 3 cm, determine el módulo del vector resultante. B

A

C

A) 0

B) 3 cm

C) 6 cm

D) 9 cm

E) N.A

MÉTODO DE LA DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR 73. En el sistema vectorial mostrado determine la dirección del vector resultante respecto del eje “x” positivo. y

10

5

37°

x

3

9

A) 30°

B) 45°

C) 37°

D) 53°

E) 60°

74. En el sistema vectorial mostrado determine la dirección del vector resultante respecto del eje “x” positivo. y 8

4

10

60°

x

2 3

A) 60°

B) 45°

C) 135°

D) 120°

E) N.A.

75. En el sistema vectorial mostrado determine el módulo del vector A, tal que el vector resultante este contenido en el eje “y” positivo. y A

50 37°

x

60° 0

A) 60

B) 70

C) 80

D) 90

E) N.A

76. En el sistema vectorial mostrado la resultante es nula. Determine el módulo del vector A y la medida del ángulo θ. y

A

16

θ

x

12

A) 20 y 30°

B) 20 y 45°

C) 20 y 37°

D) 20 y 53°

E) 48 y 60°

77. En el sistema vectorial mostrado determine la mediad del ángulo θ tal que el modulo del vector resultante sea mínima. y

5

5 0

θ

A) 60° 78.

x

5

B) 45°

C) 135°

D) 120°

E) N.A.

Determine el modulo del vector resultante sabiendo que: A = B = 10 y C = 5. A

y

B 30°

30°

x C

A) 5

B) 7

C) 8

D) 9

E) 0

79. En la figura mostrada determine la dirección del vector resultante respecto del eje “x” positivo. y

10

5

37° 0

3

x

A) 60° B) 45° C) 135° D) 120° E) N.A. 80. En la figura mostrada determine la dirección del vector resultante respecto del eje “x” positivo.

10

y

35

15

53° 0

A) 60° 81.

x

20

B) 45°

C) 37°

D) 53°

E) N.A.

El la figura mostrada determine el módulo del vector resultante. y

10

6

53° x

8

A) 5

B) 7

C) 8

D) 9

E) 0

Determine la medida del ángulo θ, tal que, el vector resultante tiene dirección horizontal.

82.

y

20

15

θ

0

x

20

A) 60°

B) 45°

C) 37°

D) 53°

E) 90°

Determine la medida del ángulo θ, tal que, la resultante de los vectores sea nula.

83.

y

F

12

θ

0

x

9

A) 60°

B) 45°

C) 37°

D) 53°

E) 90°

84. La figura muestra tres vectores de módulos iguales, A = B = C = 5. Determine el módulo del vector resultante. B

A 60°

60°

60°

C

O

A) 0

B) 5

C) 10

D) 15

E) N.A

Si la resultante del conjunto de vectores mostrados se encuentra sobre el eje Y, determine el valor del ángulo θ.

85.

5N 37º

θ

8N

6N A) 45º 30º

B) 60º

C) 53º

D) 37º

E)

DESCOMPOSICIÓN POLIGONAL 86. Se muestra un trapecio de vértices A, B, C y D. Si M es punto medio de AB y además BC = 5 cm y AD = 7 cm determine el módulo del vector resultante.

11

B

C a

M

b

A

A) 10 cm 87.

D

B) 12 cm

C) 14 cm

D) 16 cm

E) 18 cm

Sabiendo que AP = 12, PC = 4 y PB = 3. Determine el módulo del vector resultante. B

A

P

C

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) N.A. 88. Sabiendo que AB = 12, BC = 4 y PB = 2. Determine el módulo del vector resultante. D

A

B

A) 10

C

B) 12

C) 14

D) 16

E) N.A.

RESULTANTE CERO Y LEY DE SENOS 89.

Determine el módulo de la resultante.

 b

82º 135º

A) 2 90.

 a

a = 10,b = 4 2 y c = 10

 c

B) 3 C) 3 D) 2 2 E) 6 Si la resultante de los vectores es nula, determine la medida del ángulo θ.

 C A) 45º 60º

B) 30º

 A

θ A = 5, B = 3, C = 7

  B

C) 90º

D) 53º

E)

EXPRESIÓN DE UN VECTOR EN FUNCIÓN DE OTROS 91. b.

La figura muestra un paralelogramo. Expresar el vector x en función de los vectores a y a

x

b

A) 2 a - b

B) a + 2 b

C) 3 a + 4 b

D) 3 a + 2 b

E) 2 a + 6 b

92. La figura muestra un triángulo, donde M es el punto medio del segmento PQ. Expresar el vector x en función de los vectores a y b. 12

O a

b

x

P

M

Q

A) 2 a -3 b 93.

B) 0,5a + 0,5 b

C) 3 a + 4 b

D) 3 a + 2 b

E) a + b

Sabiendo que a = 4 j y b = -3 i. Determine el módulo del vector resultante. y

a x b

A) 3

B) 4

C) 5

D) 10

E) 15

r

r

r

Determine una expresión para x en función de las vectores a y b . El polígono es un hexágono regular.

94.

 a

 x

 b r r r r a+b a+b A) B) 4 2

r r a − 2b C) 4

r r 2a + b D) 2

r r a−b E) 2

VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL 95.

Se muestra un cubo de arista 2 cm. Determine el módulo del vector resultante.

A) 1 cm 96.

B) 2 cm

C) 4 cm

D) 6 cm

E) N.A.

Se muestra un cubo de arista 2 cm. Determine el módulo del vector resultante.

A) 8 cm

P

P B) 2 cm

C) 4 cm

D) 6 cm

E) N.A.

PROBLEMAS DE REPASO 1. En la figura, AB = BC = CD = DE = EF = FG = GH = HI, además, PE = 1 cm. Determine el módulo del vector resultante. A) 3 A) 5 A) 7 A) 9 A) ninguna anterior 13 A

B

C

D

Para el problema 01

E

F

G

H

I

A

B

C

D

Para el problema 02

E

F

G

2. En la figura, AB = BC = CD = DE = EF = FG, además, PD = 1 cm. Determine el módulo del vector resultante. A) 3 A) 5 A) 7 A) 9 A) ninguna anterior 3. En la figura, AB = BC = CD = DE, además, PC = 1 cm. Determine el módulo del vector resultante. A) 3 A) 5 A) 7 A) 9 A) ninguna anterior 4. En la figura, AB = BC = CD = DE = EF = FG = GH, además, PA = 4 y PH = 5, Tg (P) = 24 . Determine el módulo del vector resultante. A) 7 A) 14 A) 21 A) 28 A) ninguna anterior P P

5. En la figura, AB = BC = CD = DE = EF, además, PA = 4 y PF = 5, Tg (P) = 24 . Determine el módulo del vector resultante. A) 7 A) 14 A) 21 A) 28 A) ninguna anterior 6. En la figura, AB = BC = CD, además, PA = 5 y PD = 4, Tg (P) = 24 . Determine el módulo del vector resultante.

A

B

C

D

E

F

G

A

H

C

D

E

Para el problema 03

Para el problema 04

1m

P

1m

B

1m

1m

P

1m

Para el problema 12

Para el problema 11

A

B

C

D

E

A

F

B

C

Para el problema 06

Para el problema 05

14

D

A) 7

A) 14

A) 21

A) 28

A) ninguna anterior

7. Determine el módulo del vector resultante, si el cubo tiene arista de largo “a”. A) a B) 2a C) 3a D) 4a E) ninguna anterior 8. Se muestra un hexágono ABCDEF de lado 3 cm. Determine el módulo del vector resultante. A) 6 cm B) 3 cm C) 12 cm D) 9 cm E) ninguna anterior 9. Se muestra un hexágono ABCDEF de lado 3 cm. Determine el módulo del vector resultante. A) 6 cm B) 3 cm C) 12 cm D) 9 cm E) ninguna anterior

B

C

A

D

Para el problema 07

E

F B

Para el problema 08

C

A

D

E

F

1m 1m 1m 10. Se muestra conjunto Para el un problema 09de vectores. Determine el módulo del vector resultante. A) 10 B) 6 C) 11 D) 8 E) ninguna anterior Para el problema 10 11. Se muestra un conjunto de vectores. Determine el módulo del vector resultante. A) 10 B) 6 C) 11 D) 8 E) ninguna anterior 12. Se muestra un conjunto de vectores. Determine el módulo del vector resultante. A) 10 B) 6 C) 11 D) 8 E) ninguna anterior 13. Se muestra un conjunto de vectores. Determine el vector resultante. A) 0 A) e A) 2e A) e + f A) ninguna anterior 14. Se muestra un conjunto de vectores. Determine el módulo del vector resultante. A) 10 B) 6 C)a 11 D) 8 E) ninguna anterior i h b

1m

e g c

d

f

1 m

Para el problema 13

1

1

1

1

m

m

m

m

Para el problema 14

15

15.

Se muestra un conjunto de vectores. Determine el

1 m

1m

1 m

1 m

1 m

Para el problema 15

módulo del vector resultante. A) 10 B) 6 C) 11 D) 8

E) ninguna anterior

16. Se muestra un conjunto de vectores. Determine el módulo del vector resultante. A) 10 B) 6 C) 11 D) 8 E) ninguna anterior 17. Se muestra un conjunto de vectores. Determine el módulo del vector resultante. A) 10 B) 6 C) 11 D) 8 E) ninguna anterior

1 m

1 1 m m Para el problema 17

1 m

1 m

18. Se muestra un conjunto de vectores. Determine el módulo del vector resultante. A) 10 B) 6 C) 11 D) 8 E) ninguna anterior r r 19. Dado los vectores a = 5 y b = 6, determinar el módulo del vector: a − b A) 5 B) 6 C) 11 D) 8 E) ninguna anterior

r r

20. Dado los vectores a = 20 y b = 7, determinar el módulo del vector: a − b a A) 10 B) 15 a C) 20 D) 25 E) ninguna anterior 21. Determinar el módulo de la resultante de los vectores sabiendo que: c = 3 y f = 4. A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 bE) ninguna anterior

1 1 1 1 1 b m mmódulo del m vectormresultante, 22. Determinar el = 8. m esabiendo que: a = 5 y c47° 73° problema 16 E) ninguna anterior 10° A) 10 B) 15ParaC)el20 25 a D)20° d O1 b O2 O1 O2 f vectores que 23. Determinar el módulo del vector resultante de los se muestran en la figura, si a = 15, b = el problema Para el problema 20 9, c = 12 yPara el ángulo entre19 b y c es 90°. A) 36 B) c38 C) 40 D) 30 E) 0

uuuv uuuv uuuv a Expresar el vector AC en función de los vectores 90° AB y ADb 90° a b Para el problema 21 A B C D c f 16 3 2 d

e

24.

Para el problema 24 Para el problema 23

e

d 37° c Para el problema 22

uuu r uuur 2 AB + 3 AD A) A) 5 25. A) 26. A) 27. A)

uuur uuur 3 AB + 2 AD B) 5

uuur uuur 3 AB + 5 AD C) 8 uuuv uuuv Expresar el vector AC en función de los vectores AB y uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 AB + 3 AD 3 AB + 2 AD 3 AB + 5 AD A B) C) 5 5 8 uuuv uuuv Expresar el vector AC en función de los vectores AB y uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 AB + 3 AD 3 AB + 2 AD 3 AB + 5 AD B) C) 5 5 8 uuuv uuuv Expresar el vector AC en función de los vectores AB y uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 AB + 3 AD 3 AB + 2 AD 3 AB + 5 AD B) C) 5 5 8

uuu r uuur 5 AB + 7 AD D) 12 uuuv AD .

uuur uuur 5 AB +B7 AD C N.A. D) E) 12 uuuv 2 3 AD . uuur uuur 5 ABPara + 7 AD el problema 25 D) E) N.A. 12 uuuv AD . uuur uuur 5 AB + 7 AD D) E) N.A. 12

A B D Auu u v uuuvB uuuv C 28. Expresar el vector AC en función de los vectores AB y AD .

uuur uuur uuur uuur uuur uuur 5 3 AB + 2 AD 3 2 AB + 3 AD 3 AB + 5 AD A) B) C) 5 Para el problema526 8

E) N.A.

C

D

uuur uuur 5 5 AB +77 AD D) E) N.A. 12 Para el problema 27

A

A

D B

C 2

C 2

D 3

Para el problema 29

Para el problema 28

17

B 3

D

29.

uuur uuur 2 AB + 3 AD A) 5

30. A) 31. A)

uuuv

uuuv uuur uuur 3 AB + 2 AD B) 5

uuuv

Expresar el vector AC en función de los vectores AB y AD .

uuur uuur uuur uuur 3 AB + 5 AD 5 AB + 7 AD C) D) 8 12 uuuv uuuv uuuv Expresar el vector AC en función de los vectores AB y AD . uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 AB + 3 AD 3 AB + 2 AD 3 AB + 5 AD 5 AB + 7 AD B) C) D) 5 5 8 12 uuuv uuuv A uuuv A Expresar el vector AC en función de los vectores AB y AD . uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 AB + 3 AD 3 AB + 2 AD 3 AB + 5 AD 5 AB + 7 AD B) C) D) 5 5 8 12

E) N.A.

E) N.A.

E) N.A.

32. Se muestra un triángulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro del triángulo. Expresar el uuuv uuuv uuur vector GP en función de los vectores AB y AC . 33. Se muestra un triángulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro del triángulo. Expresar el uuuv uuuv uuur B en función de los C vectores AB D B C D vector GP y AC .

7

5

5

3

A es el baricentro del triángulo. Expresar el 34. A Se Para muestra un triángulo de vértices A, B y C, donde G Para el problema 31 uuuv uuuv uuur el problema 30 vector GP en función de los vectores AB y AC .

35. Se muestra un triángulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro del triángulo. Expresar el uuuv uuuv uuur vector GP en función de los vectores AB y AC . G

G

A G es el baricentro del triángulo. Expresar el 36.A Se muestra un triángulo de vértices A, B y C, donde uuuv uuuv uuur vector GP en función de los vectores AB y AC .

uuu v AB B A) 3

uuu v uuuv

1

AB + AC B) P 3

uuu v uuuv uuu v uuuvB P AB + AC AB − 2 AC 1 C C) D) E) Ninguna anterior 36 6 Para el problema 33 A

Para el problema 32 G

C

1

G

B

37. Se muestra un triángulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro del triángulo. Expresar el uuuv uuuv uuuv vector AG en función de los vectores AB y AC .

uuu v

A)

BAB

3

uuu v uuuv uuu v uuuv uuu v uuuv AB + AC AB + AC AB − 2 AC B P P C B) C) G D) E) Ninguna anterior 1 3 1 G 3 6 6

C 2

Para el problema 35 Para el problema 34 38. Se muestra un triángulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro del triángulo. Expresar el uuuu vB uuuv uuuv C P vector GM en función de los vectores . 1 2 AB y AC

uuu v AB A) 3

uuu v uuuv uuu v uuuv uuu v uuuv A AB + AC AB + AC AB − 2 AC B)Para el problema C) 36 D) E) Ninguna Paraanterior el problema 37 3 6 6

C

B

B

M M

M

G

G 18

A

Para el problema 38

C

A

Para el problema 39

C

39. Se muestra un triángulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro del triángulo. Expresar el uuuu v uuuv uuuv vector GM en función de los vectores AB y AC . B

B

G G

A

C

A

C Para el problema 45

Para el problema 42

uuu v AB A) 3

uuu v uuuv uuu v uuuv uuu v uuuv AB + AC AB + AC AB − 2 AC B) C) D) E) Ninguna anterior 3 6 6

40. Se muestra un triángulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro del triángulo. Expresar el uuuv uuuv uuuu r vector MG en función de los vectores AB y AC .

uuu v AB A) 3

uuu v uuuv uuu v uuuv uuu v uuuv AB + AC AB + AC AB − 2 AC B) C) D) E) Ninguna anterior 3 6 6 B

B

C

D

G A

A

M Para el problema 40

Para el problema 41

C B

B

G

G

19A

A Para el problema 44

C

C Para el problema 43

uuuv uuuv uuuv BC a = expresar el vector AC en función de los vectores AB y AD . CD b uuuv uuuv uuuv b AB + a AD Respuesta: AC = a+b Si

41. Se muestra un triangulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro. Determinar el vector resultante. r uuuv uuuv uuuv A) 0 B) AG C) BG D) CG E) ninguna anterior 42. Se muestra un triangulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro. Determinar el vector resultante. r uuuv uuuv uuuv A) 0 B) AG C) BG D) CG E) ninguna anterior B

G

A

C Para el problema 47

B

G

A

C Para el problema 46

20

Z 43. Se muestra un triangulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro. Determinar el vector P resultante.

r

uuuv

uuuv

uuuv

A) 0 B) AG C) BG D) CG E) ninguna anterior 44. Se muestra un triangulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro. Determinar el vector resultante. r uuuv uuuv uuuv A) 0 B) C) BG D) CG E) ninguna anterior Z AG Z 45. Se muestra un triangulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro. Determinar el vector Y P P O resultante. A r uuuv uuuv uuuv A A) 0 B) AG C) BG D) CG E) ninguna anterior 46. Se muestra un triangulo de vértices A, B y C, donde G es el baricentro. Determinar el vector resultante. B r uuuv uuuv uuuv A) 0 B) AG C) BG D) CG C E) ninguna anterior B

Z O

A

Y X

O Z

A

B

Y

Para el problema 51

A

B B

CC Y

Para el problema 52

X

O

X C

P

Z

Para el problema 55

Y

Z O

P X

C

P

A

C

Para el problema 48

XP

Para el problema 49

B Z

Y

O

B

O

A A

C Para el problema 53

Para el problema 54

X

X B

Y O

P

C X

Para el problema 50

21

Y

47.

Se muestra un cubo de arista 1,0 metro y los puntos A, B y C están contenidos en la misma línea

AB 2 = , determine el vector BCuuu v 3 uuuv uuu v 3PA + 2 PC uuu v A) PB = B) PB = 5 recta. Si

uuu v uuuv uuu v PB , en función de PA y PC . uuu v uuuv uuu v uuuv uuu v PA + PC 2 PA + 3PC C) PB = 5 2

uuu v uuuv uuu v 2 PA − 3PC D) PB = E) 5

N.A. .

48.

Se muestra un cubo de arista 1,0 metro y los puntos A, B y C están contenidos en la misma línea

AB 2 = , determine el vector BCuuu v 3 uuuv uuu v 3PA + 2 PC uuu v A) PB = B) PB = 5 recta. Si

uuu v uuuv uuu v PB , en función de PA y PC . uuu v uuuv uuu v uuuv uuu v PA + PC 2 PA + 3PC C) PB = 5 2

uuu v uuuv uuu v 2 PA − 3PC D) PB = E) 5

N.A.

49.

Se muestra un cubo de arista 1,0 metro y los puntos A, B y C están contenidos en la misma línea

AB 2 = , determine el vector BCuuu v 3 uuuv uuu v 3PA + 2 PC uuu v A) PB = B) PB = 5 recta. Si

uuu v uuuv uuu v PB , en función de PA y PC . uuu v uuuv uuu v uuuv uuu v PA + PC 2 PA + 3PC C) PB = 5 2

uuu v uuuv uuu v 2 PA − 3PC D) PB = E) 5

N.A.

50.

Se muestra un cubo de arista 1,0 metro y los puntos A, B y C están contenidos en la misma línea

AB 2 = , determine el vector BCuuu v 3 uuuv uuu v 3PA + 2 PC uuu v A) PB = B) PB = 5 N.A. uuu v uuuv uuu v 3PA + 2 PC uuu v A) PB = B) PB = 5 recta. Si

uuu v uuuv uuu v PB , en función de PA y PC . uuu v uuuv uuu v uuuv uuu v PA + PC 2 PA + 3PC C) PB = 5 2 uuu v uuuv uuu v uuuv uuu v PA + PC 2 PA + 3PC C) PB = 5 2

uuu v uuuv uuu v 2 PA − 3PC D) PB = E) 5 uuu v uuuv uuu v 2 PA − 3PC D) PB = E) 5

N.A.

51. Se muestra un culo de arista 1,0 metro y los puntos A, B y C están contenidos en la misma línea recta. uuu v Si AB = BC, determine el vector PB .

uuu v uuuv uuu v 3PA + 2 PC A) PB = 5

uuu v uuuv uuu v uuuv uuu v 2 PA + 3PC uuu v PA + PC B) PB = C) PB = 5 2

uuu v uuuv uuu v 2 PA − 3PC D) PB = E) 5

N.A.

52.

Se muestra un culo de arista 1,0 metro y los puntos A, B y C están contenidos en la misma línea recta.

uuu v AB 2 = , determine el vector PB . Si BC 3uuu v uuuv uuu v uuuv uuu v uuuv uuu v 3PA + 2 PC uuu v 2 PA + 3PC uuu v PA + PC A) PB = B) PB = C) PB = 5 5 2

uuu v uuuv uuu v 2 PA − 3PC D) PB = E) 5

N.A.

53. Se muestra un culo de arista 1,0 metro y los puntos A, B y C están contenidos en la misma línea recta. uuu v Si AB = BC, determine el vector PB .

uuu v uuuv uuu v 3PA + 2 PC A) PB = 5

uuu v uuuv uuu v uuuv uuu v 2 PA + 3PC uuu v PA + PC B) PB = C) PB = 5 2

uuu v uuuv uuu v 2 PA − 3PC D) PB = E) 5

N.A.

54.

Se muestra un culo de arista 1,0 metro y los puntos A, B y C están contenidos en la misma línea recta.

uuu v AB 2 = , determine el vector PB . BC 3uuu v uuuv uuu v uuuv uuu v uuuv uuu v 3PA + 2 PC uuu v 2 PA + 3PC uuu v PA + PC A) PB = B) PB = C) PB = 5 5 2 Si

N.A. 22

uuu v uuuv uuu v 2 PA − 3PC D) PB = E) 5

55.

Se muestra un culo de arista 1,0 metro y los puntos A, B y C están contenidos en la misma línea recta.

uuu v AB 2 = , determine el vector PB . Si BC 3uuu v uuuv uuu v uuuv uuu v uuuv uuu v 3PA + 2 PC uuu v 2 PA + 3PC uuu v PA + PC A) PB = B) PB = C) PB = 5 5 2 N.A.

23

uuu v uuuv uuu v 2 PA − 3PC D) PB = E) 5