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• Eric Castillo

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INGENIERÍA SISMORRESISTENTE Ejercicios PROBLEMA 1.- Un sistema estructural tiene pórticos del tipo que se muestra en la figura 1. Se considera que la masa del sistema puede estimarse de acuerdo a las cargas especificadas permanentes de losa, acabados, vigas, tabiquería y un 25 % de la sobrecarga. Suponga que las columnas tienen masa despreciable y las vigas tienen rigidez infinita. Se requiere calcular el período natural de vibración de la estructura en la dirección del eje x. E=250,000 kg/cm2 Losa: 300 kg/m2 Acabados: 100 kg/m2 Sobrecarga: 350 kg/m2 Vigas: 200 kg/m2 Tabiquería: 200 kg/m2 50cm 30cm

3m

20m

X 6m

2m

50cm

30cm Eje pórtico

PROBLEMA 2.- Al centro de un puente se ha detenido un camión que pesa 40 toneladas. Un funcionario de la autoridad vial mide que la deformación al centro del puente es de 50.1 mm. El peso de la viga que se puede considerar concentrado al centro es de 20 t y que vibra conjuntamente con el camión. Calcule la frecuencia natural y el período de vibración del puente.

L

F(t)

PROBLEMA 3. Se tiene un sistema masa-resorte (sin amortiguamiento) de un grado de libertad (1GDL) f(t) sometido a la fuerza excitadora F(t) mostrada en la Figura . Se pide determinar analíticamente la respuesta del 1 sistema cuando existe un desplazamiento inicial U0 y una

M K

•

velocidad inicial U 0 . Suponiendo que los valores del desplazamiento y la velocidad iniciales son de 2 y 10 cm/s respectivamente, encontrar el factor de amplificación dinámica para el tiempo 0.5 s. M= 1t-s 2/m. K = 39.44 t/m. PROBLEMA 4. Se tiene un sistema masa-resorte (sin amortiguamiento) de un grado de libertad (1GDL) sometido a la fuerza excitadora F(t) mostrada en la Figura. Se pide determinar analíticamente la respuesta del sistema para el tiempo t > td. En el tiempo td = 0.5s se conoce que el desplazamiento es igual a 1cm y la velocidad a 1 cm/s. Encontrar el factor de amplificación dinámica (F.A.D.) para t>0.5 s.

F(t)

M

f(t) 1

K td

PROBLEMA 5.- Determine la ecuación de movimiento y el período natural de vibración del sistema de un grado de libertad, compuesto por una viga ( I = 4 000 cm4) con un peso concentrado de 500 kg. y una varilla de 5/8” de diámetro en uno de sus extremos, tal como se muestra en la figura 3. Ambos elementos son de acero (E = 2 100 000 kg/cm2 ).

L=3m

L=4m

F(t)

M L

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PROBLEMA 6.- Una unidad de aire acondicionado pesa 1200 kg y está localizado en la mitad de dos vigas de acero paralelas simplemente apoyadas cuya longitud es de 5m cada una. El momento de inercia de cada viga es de1000 cm4. El motor opera a una frecuencia de 300 r.p.m. y su rotor produce una fuerza rotatoria desbalanceada de 50 kg a esta velocidad. Suponiendo que no hay amortiguamiento y despreciando el peso de las Prof: Dr. Javier Piqué del Pozo

1.

vigas, determine la amplitud del movimiento permanente o estacionario. w

h

PROBLEMA 7.- Para el pórtico mostrado compare las frecuencia de vibración lateral y la de vibración vertical (Para este último cálculo puede suponer que la viga es rígida y vibra conjuntamente con las dos columnas). E=250 000 kg/cm² (L= 6m, h= 3m entre ejes) con columnas de 30 x 50 cm y viga de 30 x 60cm. Sobre él hay un carga repartida de 10 t/m. 8m

L

4m PROBLEMA 8.- Se tiene un tanque elevado como el que se muestra. Se desea calcular su periodo natural de vibración para una excitación sísmica. Suponga que todos los espesores son de 20cm. La cuba y el fuste son cilíndricos. Si se lo somete a una fuerza bruscamente aplicada de 20 t. calcular cuál es el máximo desplazamiento que puede producirse. Usted debe modelar la masa y la rigidez a considerar, explique sus criterios. (E = 230 000 kg/cm2 ) .25

.80

1.00

ELEVACION

VISTA LATERAL

Sa

15m

PROBLEMA 9.-Luego de la ocurrencia de un sismo en una visita de inspección usted observa en un cementerio antiguo que un losa que señala una tumba está volteada. La losa mide 80cm de ancho, 100cm de alto y 25 cm de espesor. Está hecha de granito (γ = 2.8). El guía de la visita le pide que estime la máxima aceleración del terreno en ese sitio. Haga las hipótesis que considere justificadas. Se puede suponer que la losa descansa sobre el terreno sin ninguna ligazón y que no se ha desplazado sino únicamente volteado.

PROBLEMA 10.- Para el espectro de aceleraciones que se muestra calcular y dibujar el espectro de desplazamientos relativos correspondiente desde T=0 hasta T=0.8s

0.08g/T ____

0.4g

3m

0.1 g T 0.8

0.2

PROBLEMA 11.- Se desea investigar la vibración de la losa aligerada de 20cm de espesor que constituye el techo de una casa. La losa está simplemente apoyada con una luz de 5m . Se puede suponer que la masa que vibra incluye un metro de ancho de losa y está concentrada al centro, su peso es de 3 toneladas. En la figura se muestra la sección transversal de la losa. Considerar un metro de ancho como colaborante. El módulo de elasticidad del material es de 230,000 kg/cm2.

F(t)

L

.30

.10

.30

.10

Al centro actúa una fuerza pulsante F(t) con un valor máximo de 10t y una frecuencia natural de 4 Hertzios. a) Luego de 10 segundos de vibración determine cuál será la frecuencia angular a la que vibra la masa al centro de la viga? La viga tiene un amortiguamiento de 5% del crítico . b) ¿Cuál es la máxima deformación que la carga actuante produce al centro de la losa c) c) Si se aplicara únicamente un desplazamiento inicial ¿cuántos ciclos se necesitan para que el desplazamiento se reduzca al 5% del inicial ?

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2.

w

PROBLEMA 12.- El pórtico de la figura está sometido a un movimiento de la base definido por üg = 50 sen Ωt cm/s² , Ω = 8π r/s. Las columnas h

laterales y la viga tienen una sección transversal de 25 x 40 cm. y a nivel de la viga hay una peso total de 19.72t que incluye la parte proporcional de las columnas.. El módulo de elasticidad del material es 250,000 kg/cm². Suponga que no hay amortiguamiento. L= 8m, h= 4m. Determine el máximo desplazamiento de la viga respecto a su base.

L w

PROBLEMA 13.El pórtico de la figura está sometido a un movimiento t d = 1s h t de la base definido por üG = −355.37 cm/s² que Üg máx actúa durante 1 segundo Las columnas laterales y la viga tienen una sección L transversal de 25 x 40 cm. y a nivel de la viga hay una peso total de 19.72t que incluye la parte proporcional de las columnas.. El módulo de elasticidad del material es 250,000 kg/cm². Suponga que no hay amortiguamiento. L= 8m, h= 4m. Las columnas y la viga solamente pueden soportar un momento máximo de 10 t-m luego de lo cual las secciones fluyen (giran sin incrementar su resistencia). a) Determine si bajo el movimiento especificado el pórtico “fluye” y de ser así en que tiempo sucede. b) Determine la expresión del desplazamiento de la viga en el rango plástico. Calcule la máxima demanda de ductilidad que experimentará el pórtico.

M

Sa PROBLEMA 14.- Se tiene una estructura conformada por dos pórticos como el mostrado en la figura. Las vigas se pueden considerar 0.4g infinitamente rígidas. El peso total a la altura del techo es de 40 toneladas. La altura es 4m. La sección transversal de las columnas es de 25cm x 30cm. orientadas con la mayor dimensión en el plano del pórtico. El concreto es de f´c = 210 kg/cm2. El módulo de elasticidad se puede 0.1 g considerar 250,000 kg/cm2. Este pórtico es sometido a un sismo representado por el espectro de diseño mostrado. a) Suponiendo en una primera etapa que sólo hay columnas (sin muro) y que todas son iguales. Suponiendo un factor de carga (factor de mayoración para rotura) para el sismo de 1.4, determinar el máximo esfuerzo cortante debido al sismo que se presentará en las columnas.. Diga si este esfuerzo resulta mayor que el esfuerzo cortante admisible del concreto v cu = 6.53 kg/cm2 . b) Al construir se ha adosado al lado de la columna de un extremo un muro de 4m 2.4 de alto. Calcule cuanto es ahora el esfuerzo de corte en esta columna acortada debido a la presencia del muro.

0.08g/T ____

T 0.2

0.8

muro

2.4m

PROBLEMA 15.- Considere el pórtico plano de la figura constituido por un muro, empotrado en su base y un pórtico 3m de luz. La altura es 3m. La sección transversal de todos los elementos es de 25cm x 40cm. orientadas con la mayor dimensión en el plano del pórtico. El muro es de 10 cm de espesor y 1.50m de largo. Al nivel de la viga se ha estimado un peso total de 120 toneladas. El material de ambos es concreto de f´c = 210 kg/cm2. El MURO módulo de elasticidad se puede considerar 250,000 kg /cm2. Este pórtico es sometido a un sismo representado por el espectro de diseño del problema anterior. Suponiendo un factor de carga para pasar a rotura (factor de mayoración de las cargas) de sismo de 1.4, determinar el máximo esfuerzo cortante que se presentará en la placa o muro debido al sismo, v su . Diga si este esfuerzo resulta mayor que el esfuerzo cortante admisible del concreto v cu = 6.53 kg/cm2 (4 puntos).

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3.

PROBLEMA 16. .- Se tiene un sistema de un grado de libertad con 5% de amortiguamiento. Si se aplica un desplazamiento inicial a la masa y se la deja vibrar libremente en qué porcentaje desciende la máxima amplitud en cada ciclo?. ¿Cuántos ciclos se necesitan para que la amplitud esté por debajo de 10% de la inicial ? (1 punto) ¿Depende este número del período del sistema? (1 punto). PROBLEMA 17. Calcular y dibujar el espectro de desplazamientos relativos (Sd vs. T) que corresponde al espectro de aceleraciones absolutas mostrado en la figura anterior

F(t) PROBLEMA 18.- Se tiene una viga simplemente F(t) apoyada de 30m de luz, y un peso al centro de 4 toneladas. La sección de la viga es de 30 x 150cm. El F1 módulo de elasticidad del material es de 250,000 L t kg/cm2. a) Calcular cual es la máxima fuerza F1 que se puede aplicar bruscamente (F1) para que el desplazamiento al centro no exceda de L/500. . b) Si la viga tiene un amortiguamiento de 2% del crítico, cuanto tiempo tomará para que la deformación producida por esta carga descienda por debajo del 50%. K viga= 48EI/L3

M

üg

t d= 1s

t

-1m/s2

PROBLEMA 19.- Se tiene un sistema de un grado de libertad sometido a un movimiento de la base de una aceleración -1 m/s 2 que actúa durante 1 segundo. (t d = 1s). La masa es de 10 t-s 2/m y la rigidez es 1577.53 t/m. Escribir la expresión de la respuesta "y" (desplazamiento relativo) para t < t d y calcular su valor máximo.

PROBLEMA 20. .- Se tiene un sistema de un grado de libertad con 5% de amortiguamiento. Si se aplica un desplazamiento inicial a la masa y se la deja vibrar libremente en qué porcentaje desciende la máxima amplitud en cada ciclo?. ¿Cuántos ciclos se necesitan para que la amplitud esté por debajo de 10% de la inicial ? (1 punto) ¿Depende este número del período del sistema? (1 punto). w

PROBLEMA 21.- Suponga que el pórtico de la figura está sometido a un movimiento de la base definido por üg = 100 senΩ t cm/s², donde Ω = h

377 r/s. Determine el máximo desplazamiento de la viga respecto a su base debido solamente a la vibración permanente. Considere 5% de amortiguamiento. h=3m. L=6m .

L

PROBLEMA 22.- Un sistema de un grado de libertad es sometido a un desplazamiento inicial de 5 cm. La frecuencia natural del sistema es de 10 Hertzios. Se desea calcular el amortiguamiento del sistema para lo que se ha medido que en el siguiente ciclo la amplitud del desplazamiento baja a 3 cm. Calcule cual es el porcentaje de amortiguamiento que presente este sistema . PROBLEMA 23.- Calcular y dibujar aproximadamente el espectro de respuesta de desplazamiento relativo (Sd) para un movimiento de la base definido por üG = - 3 m/s 2 que tiene una duración de 1s. Graficar solamente para un rango de periodos entre 0 y 2s. No considerar amortiguamiento.

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4.

1

2

2K

PROBLEMA 24.- La rigidez torsional de la estructura cuya planta se muestra es __________ K.

3

A

2m

K H

K B

K

K

4m K

C

3m

3m

El corte por torsión del pórtico C cuando actúa una fuerza cortante H de 50 t (ubicada en coordenadas (4m, 3m medidas desde la intersección de los ejes 1 y C) es: (+) ó (-) __________t. PREGUNTA 24.-¿Cuál es la diferencia entre riesgo sísmico y peligro o amenaza sísmica?. Escriba una expresión literal en la que se reflejen todos los factores que influyen en el riesgo sísmico y explique el significado de cada uno de ellos.

PROBLEMA 25.-Calcular como compara (¿cuántas veces más o veces menos?) la energía liberada en el sismo de Kobe (enero 1995) de magnitud 7.2 con el sismo de México de 1985 en que la magnitud fue 8.1. En vista del resultado explique a que se puede atribuir el hecho de que el sismo de Kobe fue más destructivo. De por lo menos tres razones.

PREGUNTAS.- Indique si las siguientes oraciones son verdaderas (V) o falsas(F) (V) (F)

Un acelerógrafo es un instrumento que sólo funciona cuando se presenta un movimiento que excede un nivel predeterminado de aceleración vertical.

(V) (F)

Aunque los sismos más severos se originan en los bordes entre placas, pueden producirse sismos también en fallas geológicas activas en el interior de las placas.

(V) (F)

Los sismos profundos afectan regiones más extensas y en consecuencia son más devastadores que los sismos cuyo foco está a menos profundidad.

(V) (F)

Los sismómetros se utilizan para registrar sismos a grandes distancias del epicentro.

(V) (F)

La máxima magnitud posible en la escala de Richter se cree que es de 9 grados.

(V) (F)

Las ondas longitudinales se conocen también como ondas compresionales o primarias.

(V) (F)

Las ondas de superficie son primarias y secundarias.

(V) (F)

La falla de San Andrés en California puede asimilarse a una falla reversa.

(V) (F)

La intensidad en una ciudad para un mismo sismo varía debido a las condiciones de suelo y las condiciones geológicas y topográficas.

(V) (F)

La escala M.S.K. llamada también internacional se usa para medir la intensidad de un movimiento sísmico.

(V) (F)

En el rango de periodos alrededor de 1 segundo, un espectro de respuesta mostrará mayores amplificaciones para un suelo arcilloso que para un suelo gravoso.

(V) (F)

Un espectro de diseño es el promedio de los espectros de respuesta de varios sismos pero suavizado y normalizado con la máxima aceleración esperada en el sitio.

(V) (F)

Las placas continentales se mueven entre 1 y 9 cm al año, ocurriendo el menor desplazamiento en la zona de Islandia.

(V) (F)

Aunque los sismos más severos se originan en los bordes entre placas, pueden producirse sismos también en fallas geológicas activas en el interior de las placas.

(V) (F)

La zona costera de Tacna y la frontera con Chile es la región del Perú en la que se han registrado más sismos en el presente siglo.

(V) (F)

Los sismos profundos afectan regiones más extensas y en consecuencia son más devastadores que los sismos cuyo foco está a menos profundidad.

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5.

(V) (F)

Los sismómetros se utilizan para registrar sismos a grandes distancias del epicentro.

(V) (F)

Las ondas longitudinales pueden ser percibidas por estaciones en cualquier punto de la superficie terrestre.

(V) (F)

Las ondas P son en general más destructivas que las ondas S.

(V) (F)

La placa del Pacífico se desplaza en dirección contraria a la placa de Sudamérica.

(V) (F)

Las ondas transversales se conocen también como ondas secundarias o cortantes.

(V) (F)

En el rango de periodos alrededor de 1 segundo, un espectro de respuesta mostrará mayores amplificaciones para un suelo arcilloso que para un suelo gravoso.

(V) (F)

El peligro o amenaza sísmica mide el riesgo sísmico sobre las construcciones en un lugar determinado.

(V) (F)

La vulnerabilidad representa la proporción del costo de una edificación que habría que invertir para reparar los daños que sufrirá después de sucedido un sismo

(V) (F)

Toda construcción ubicada en la Costa del Perú está sometida a un alto riesgo sísmico.

(V) (F)

Para que se presente un tsunami hace falta un sismo de magnitud mayor que siete.

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6.