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• Steven Paico Soplopuco

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1) El depósito según la figura descarga agua a la atmósfera con un gasto de Q. La tubería de descarga sufre reducción de su sección transversal de A 2 y A1 ¿ Cuál es el valor de h ? P0

3

h

A2 2

.

A1

1 P0

Solución Según la figura consideramos es el punto 3, que se encuentra en la superficie liquido y aplicando la ecuación de Bernoulli; en los puntos 3 y 1 tenemos: P1 + ½ ρ v12 + ρ g h1 = P3 + ½ ρ V32 + ρ g h3 Además:

P3 =P1 = P0 h3 = h

.

A3 > A1 y A2

h1 = 0 V3 = 0

P0 + ½ ρ x 02 + ρ g h = P0 + ½ ρ V12 + ρ g x 0  V12 = 2 gh

.................................... (1)

Aplicando la ecuación de continuidad: Q = A1 V1 = A2 V2 …………..................................... (2) Reemplazando la ecuación (2) en (1) tenemos:

del

2) Una tubería de 15 cm. De diámetro por la cual circula agua llenándola completamente tiene un estrechamiento de 7.5 cm de diámetro. Si la velocidad en la parte ancha es de 1.2m/seg, calcúlese: a. La velocidad del fluido, en el estrechamiento. b. El caudal en litros/seg. Solución

A1 Vl = A2 V2 a. π (15/2 cm)2 (1.2 m/s) = π (7.5/2 cm)2 V2 V2 = (15/7.5)2 (1.2 m/s) = 4.8m/s V2 = 4.8 m/s b.

Q = AV = π (15/2 x 10-2 m )2 (1.2 m/s) = 3.14 x 56.25 x 1.2 x 10-4 m3/s además: 1m3 = 1000 dm3 = 103 litros. C = Q = 21.2 litro

3) Calcular la velocidad V1 que debe tener el agua en un tubo de Venturi, si la sección A1 = 5 A2 = 5 cm2 y la presión P1 = 48 x 105 Pa, la velocidad V2 es tal que P2 = 0

A

V

1

1

A

V

2

2

P

P

1

2

Solución 1. De la ecuación de continuidad A1 V1 = A2 V2 ( 5 A1) V1 = A2 V2 => V2 = 5 V1 2.

.......................... ( 1 )

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre (1) y (2) tenemos: P1 + ½ ρ V12 + ρ g h1 = P2 + ½ ρ V22 + ρ g h2  Pl = 2 x 105 Pa

 P2 = 0  .h1 = h2 = 0 (Por coincidir con el nivel de referencia) P1 + ½ ρ V12 + 0 = 0 + ½ ρ V22 + 0 P1 + ½ ρ V12 = 25/2 ρ V12 P1

= 24 ρ V12 2 P1 =

V1 =

P1 12 ρ

48 x 105

V1 = 12 x 1000

V1 =

4 x 102

V1 = 20m/seg 4) La caída de presión media en un Km. de cierto oleoducto es de 1 x 105 Newton/m2 a. ¿Cuál es el valor de trabajo realizado por la presión al hacer que 1m 3 de petróleo recorra un km de este oleoducto? b. Suponga que la tubería es horizontal y que tiene una sección transversal constante. ¿Cuál es el valor de la caída de presión? Solución a.

w = (P1 – P2)m/ρ = (P1 – P2) V w = (P1 – P2) V w = 1 x 105 N/m2 x 1m3 = 105 Joules

b.

P + ½ ρV2 + ρgh = constante P1 + ½ ρV12 + ρgh1 = P2 + ½ ρV22 ρgh2

De acuerdo al problema, la sección transversal es constante, desde la ecuación de la continuidad se tiene que: V1 = V2 Además si la tubería es horizontal tenemos que: h1 = h2 Luego :

P1 =P2 = 0

5) ¿Cuál es la diferencia de Presión entre el corazón y el cerebro de una jirafa si el cerebro está 2m por encima del corazón? (considerar que la velocidad de la sangre es la misma en todos los puntos) Solución P + ½ ρV2 + ρgh = constante Pco + ½ ρVco2 + ρg(0) = Pce + ½ ρVce2 ρgh Vco = Vce ; h = 2m => Pco - Pce = ρgh = (1059.5 kg/m3) (9.8 m/s2) (2m) Pco - Pce = 20766.2 N/m2 6) Evaluar la caída de presión en la atmósfera cuando se asciende desde el nivel del mar hasta la cumbre de una colina de 500 m. de altura a una temperatura de 0 ºC. Solución: P + ½ ρV2 + ρgh = constante V = 0, h = 500m Pm + ρg (0) = Pc + ρgh Pm – Pc = ρgh = 1.29 kg/m3 x 9.8 m/s2 x 500m. Pm – Pc = 6321 N/m2 7) El radio de una tubería de agua disminuye desde 0.2 a 0.1 m. si la velocidad media en la parte más ancha es de 3m S -1, hallar la velocidad media en la parte más estrecha. Respuesta: 12m/seg 8) Un vaso sanguíneo de radio r se divide en cuatro vasos sanguíneos, cada uno de radio r/3. si la velocidad media en el vaso más ancho es V1 ¿Cuál es la velocidad media en cada uno de los vasos estrechos ? Respuesta: 9/4V. 9)

Una corriente de agua circula por una tubería vertical de sección variable. En donde la sección transversal es de 4 x 10-5 m2, la presión es de 2 x 105 N/m2 y la velocidad del fluido es de 1.5m/seg en un punto de 3m más alto que el anterior, la sección transversal es de 12 x 10-5 m2. a. Hallar la velocidad del fluido en el punto más alto b. Utilizar la ecuación de Bernoulli para calcular la presión en el punto más alto. Respuesta: . 0.5m/s; 1.72 x 105 N/m2.

10) La sangre fluye en un capilar particular de 2 x 10-3 cm de diámetro a una velocidad de 0.5 mm/seg. La diferencia de presión entre los extremos del capilar es de 1500 dinas/cm2 a. ¿Qué volumen de sangre fluye por segundo? b. ¿Cuánto trabajo se efectúa por segundo para mantener el flujo ? Respuesta: 1.57 x 10-7 cm3; 2.36 x 10-4 ergios.

11) Un líquido de densidad 960 km/m3 circula por un tubo horizontal de radio 4.5 cm. En una sección del tubo cuyo radio se reduce a 3.2 cm, la presión del líquido es 1.5 x 103 N/m2, menos que en el tubo principal. Calcúlese la velocidad del líquido en el tubo Respuesta: 2.03 m/s 12) ¿Qué presión manométrica se crea en el compresor de un pulverizador, si el chorro de pintura sale de éste último con una velocidad de 50 m/seg ? la densidad de la pintura es: 0.8 gr/cm3. Respuesta: 107 dinas/cm2 13) Según la figura se muestra un sifón que descarga agua del tanque. La diferencia de nivel ente la superficie libre (punto “A”) y el vértice del sifón (punto “C”) es de 0.8 m y entre “C” y “B” es de 2.05 m. El diámetro de la tubería es de 40 mm. Determinar el caudal (en litro/seg) y la presión absoluta en el vértice “C”, g = 10m/s2

0.8m

C

A

2.05m

B

Nivel

referencial

Respuesta: 2π litro/seg. 14) Hay agua hasta una altura H en un tanque abierto con paredes verticales según la figura. Se hace un agujero en una pared a una profundidad h por debajo de la superficie del agua. a. ¿A qué distancia R del pie de la pared tocará el piso el chorro que sale? b. Sea H = 14.0 m y h = 4.0 m ¿A que distancia por debajo de la superficie podría hacerse un segundo agujero tal que el chorro que salga por el tenga el mismo alcance que el que sale primero?

.

h

H

R

15) Un tanque sellado que contiene agua hasta una altura de 12.0 m contiene también aire a una presión manométrica de 5.00 atm. Fluye agua a través de un agujero pequeño de fondo. Calcúlese la rapidez de salida del agua. Respuesta: 34.9 m/seg 16) Fluye agua continuamente de un tanque abierto como en la figura. La altura del punto “1” es de 10.0 m, y la de los puntos 2 y 3 es de 2.00m. El área transversal en el punto 2 es de 0.0300 m 2; en el punto 3 es de 0.0150 m2 . El área del tanque es muy grande en comparación con el área transversal del tubo. Si se aplica la ecuación de Bernoulli, calcule : a. La rapidez de descarga en m3/seg b. La presión manométrica en el punto 2. 1

10.0m

2

3

. 2.00m

17) El tubo horizontal según la figura tiene un área transversal de 40.0 cm2 en las porciones mas anchas y de 10.0 cm2 en la constricción. Fluye agua en el tubo, y la descarga de éste es de 5.00 x 10-3 m3/s (5.00 l/.s). calcule : a. La rapidez de flujo en las porciones ancha y estrecha. b. La diferencia de presión entre estas porciones. c. La diferencia en el tubo con forma de U. 40.0 cm2

10.0 cm2

.h

18) En un recipiente se echa agua a razón de 0.2 litros/seg. ¿Qué diámetro d deberá tener el orificio que hay en el fondo del recipiente para que el agua se mantenga en él a un nivel constante? h = 8.3 cm Respuesta: 1.41 x 10-2 m. 19) Un depósito cilíndrico de altura h = 1m está lleno de agua hasta los bordes. a. ¿Cuánto tiempo tardará en salir todo el agua a través de un orificio situado en el fondo del depósito?. El área de la sección transversal del orificio es 400 veces menor que el de la sección transversal del depósito. S1

dy

Respuesta: 180 seg.

Vy

y

h

S2

20) ¿Qué rapidez debe tener una esfera de oro de 2.00 mm. De radio en aceite de resina a 20º para que la fuerza de arrastre viscoso sea ¼ del peso de la esfera? (La viscosidad del aceite de resina a 20ºC es de 9.86 poise) Respuesta: 4.26 x 10-2 m/seg 21) Una esfera de cobre de 0.40 gr. Cae con una rapidez terminal de 5.0 cm/seg en un líquido desconocido. Si la densidad del cobre es de 8900 kg/m3 y la del líquido es de 2800 kg/m3 ¿Qué viscosidad tiene el líquido? 22) Considérese una manguera de sección circular de diámetro interior de 2,0 cm, por la que fluye agua a una tasa de 0,25 litros por cada segundo ¿Cuál es la velocidad del agua en la manguera?. El orificio de la boquilla de la manguera es de 1,0 cm de diámetro interior ¿Cuál es la velocidad de salida del agua? Respuesta: Vb = 316,5 cm/s 23) Por una tubería inclinada circula agua a razón de 9 m3/min, como se muestra en la figura: En a el diámetro es 30 cm y la presión es de 1 Kf/cm2. ¿Cuál es la presión en el punto b sabiendo que el diámetro es de 15 cm y que el centro de la tubería se halla 50 cm más bajo que en a? Respuesta:

24) Un tubo que conduce un fluido incompresible cuya densidad es 1,30 X 103 Kg/m3 es horizontal en h0 = 0 m. Para evitar un obstáculo, el tubo se debe doblar hacia arriba, hasta alcanzar una altura de h1 = 1,00 m. El tubo tiene área transversal constante. Si la presión en la sección inferior es P0 = 1,50 atm, calcule la presión P1 en la parte superior.

Respuesta: P1 = 138 760 Pa = 1,38 atm ¡La presión bajó desde 1,5 atm hasta 1,38 atm!. Esta conclusión parece contradecir lo encontrado en el efecto Venturi, donde las presiones eran inversamente proporcionales a las velocidades. Sin embargo, ha de recordarse que aquel era cierto bajo la restricción de líneas de flujo horizontales, en las que no hubiera diferencias significativas en la energía potencial del fluido en movimiento. 25) Un fluido incompresible fluye de izquierda a derecha por un tubo cilíndrico como el que se muestra en la figura. La densidad de la sustancia es de 105 utm/m3. Su velocidad en el extremo de entrada es v0 = 1,5 m/s, y la presión allí es de P0 = 1,75 Kgf/cm2 y el radio de la sección es r0 = 20 cm. El extremo de salida está 4,5 m abajo del extremo de entrada y el radio de la sección allí, es r1 = 7,5 cm. Encontrar la presión P1 en ese extremo. Respuesta: P1 = 1,62 kp/cm2

26) Un tanque cilíndrico de 1,80 m de diámetro descansa sobre una plataforma de una torre a 6 m de altura, como se muestra en la figura. Inicialmente, el tanque está lleno de agua, hasta la profundidad h0 = 3 m.De un orificio que está al lado del tanque y en la parte baja del mismo, se quita un tapón que cierra el área del orificio, de 6 cm2. ¿Con qué velocidad fluye inicialmente el agua del orificio? ¿Cuánto tiempo necesita el tanque para vaciarse por completo?. Respuesta: t = 3 263,3 segundos

27) Un tanque cilíndrico de 1,2 m de diámetro se llena hasta 0,3 m de profundidad con agua. El espacio encima del agua está ocupado con aire, comprimido a la presión de 2,026 X 105 N/m2. De un orificio en el fondo se quita un tapón que cierra un área de 2,5 cm3. Calcular la velocidad inicial de la corriente que fluye a través de este orificio. Encontrar la fuerza vertical hacia arriba que experimenta el tanque cuando se quita el tapón. Respuesta: F = 52,12 Newton Cuando la presión P1 es suficientemente grande, este es básicamente el mecanismo de propulsión de un cohete.

28) Considérese una manguera de sección circular de diámetro interior de 2,0 cm, por la que fluye agua a una tasa de 0,25 litros por cada segundo. ¿ Cuál es la velocidad del agua en la manguera?. El orificio de la boquilla de la manguera es de 1,0 cm de diámetro interior. ¿Cuál es la velocidad de salida del agua? SOLUCIÓN

Amvm = Abvb vb 

3  3 cm   0,25x10  s  G cm vm     79,6 2 2 A s 3,14x1 cm





A m Vm G  Ab Ab

cm3 0,25x10 s  316,5 cm v  b 29) Por una tubería inclinada circula 2agua2 a razón de 9 m3/min, como se s 3,14x0,5 cm muestra en la figura: En a el diámetro es 30 cm y la presión es de 1 Kf/cm2. 3

¿Cuál es la presión en el punto b sabiendo que el diámetro es de 15 cm y que el centro de la tubería se halla 50cm más bajo que en a? SOLUCIÓN

AAvA=AB vB=G

9m3 G m cm 60s vA    2,14  214 A A 3,14x0,152 m2 s s

9m3 G m cm 60s vB    8,33  833 A B 3,14x0,0752 m2 s s v A  214

cm s

PA  gy A 

v B  833

cm s

1 1 v A 2  PB  gyB  v B 2 2 2

PB  PA  g  y A  yB   PB  106  1 980  50cm 



1  v A 2  vB2 2



1 1 45796  693889   2

 Dinas  PB  724953,5  2   cm  30) Calcule el caudal de agua en el venturímetro vertical de la figura si el diámetro en la parte angosta (B) es de 15 cm y en la parte ancha (A) es de 30 cm. El desnivel entre las columnas de mercurio en el tubo en U es de 40 cm. El agua sube por el venturímetro. SOLUCIÓN

1 1 PA  agua gy A  agua v 2A  PB  agua gyB  agua vB2 2 2

PA  PB 





1 agua vB2  v 2A  agua g  yB  y A  2

PA  PB 





1 agua vB2  v 2A  agua gL 2 2



1



1 PA  PB  agua vB2  v 2A  agua gL2 2

1

PA  agua g(L1  0,4)  PB  agua g(L1  L 2 )  hg g(0,4)

2 

PA  PB  agua gL 2  hg g(0,4)  agua g(0,4) PA  PB 





1 agua v B2  v 2A  agua gL 2 2

1

PA  PB  agua gL 2  hg g(0,4)  agua g(0,4) igualando

1



2

2

con



1 agua vB2  v 2A  agua gL2  agua gL2  hg g(0,4)  agua g(0,4) 2



1 2 agua v B  v 2A 2

v

2 B

v

v

2 B

2 A



 v2 A



hg

g(0, 4)  agua g(0, 4)

2 hg g(0, 4)  agua g(0, 4)  



agua 2 13, 6  9,8  0, 4  1  9,8  0, 4 

2 vB  v2 A  98,784

vB2  v 2A  98,784 A A v A  AB vB A A rA 2 v A 152 v A vB    AB rB 2 7,52

1

3 

3 

reemplazando  4  en  3 

 4v A   v 2A  98,784 2

Q  rA2 v A  3,14  0,152  2,566  m3  Q  0,181   s  31) Un depósito que contiene agua, densidad, d = 1 kg /l, está herméticamente cerrado teniendo en la cámara interior una presión de 3 atmósferas. Determinar la velocidad de salida del agua por un grifo situado a 6 m por debajo del nivel del agua. Si se rompiese el depósito por su parte superior, ¿ qué velocidad de salida habría ?.