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• juan gomez

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SELECCIÓÓ N DE PRÓBLEMAS DE MEZCLA

EDGAR CABELLÓ GIL MA 2115

Una mezcla es un sistema material formado por dos o más componentes unidos pero no combinados fuertemente. El problema de mezcla se refiere por la teoría de fluidos y su sistema de comportamiento. El problema de vaciado se riegue por la ley del teorema de Torricelli

a ya

h b ya

Al mezclar dos soluciones salinas con concentraciones distintas podemos encontrar una ecuación diferencial que define la cantidad de sal que contiene la mezcla. Supongamos que un tanque mezclador contiene 300 galones de agua donde se ha disuelto sal. Otra solución de salmuera se bombea al tanque a una tasa de 3 galones por minutos. El contenido se agita y es desalojado a la misma tasa. Si la concentración de la solución que entra es 2 lb/galon . Vamos a formar un modelo de cantidad de sal en el tanque en cualquier momento.

A(t) : Cantidad de sal en el tanque

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EDGAR CABELLÓ GIL MA 2115

dA Tas de ntrad  Tas desalida  Rapidezconquecambia A(t)   R1R2 dt delasu tancia delasu tancia R 1  Razon con que entra al tanque lb/min R 2  Razon con que sale del tanque lb/min

R 1   3 gal/min. 2lb / gal   6 lb / min A  A  R 2   3 gal/min . lb / gal   lb / min  300  100

Entonces dA A 6 dt 100

Problema 2. Si se introduce una solución en otra que contiene una concentración de b Kg/m 3 que es introducida a una velocidad de c m 3 /seg . A demás sacamos parte de la solución al otro del recipiente a una velocidad de f m 3 /seg . Si y(t) es la cantidad de solución dentro del recipiente por unidad de tiempo tenemos que la variación de dicha cantidad viene dada por y (t)  Ve  Vs

Donde Ve  Velocidad de entrada de sustancia

Vs  Velocidad de salida de sustancia y(t) Kg Como Vs  V(t) seg

Donde

V  Vo  et  ef

Es el volumen de disolución en el recipiente El problema de condición inicial es: 2

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y   y (t)  b e  f  Vo  et  ft   y ( o)  x o 

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Esta es la ecuación que modela la cantidad de sustancia que hay en el

recipiente por unidad de tiempo. Problema 3. Supongamos un tanque que contiene originalmente 400 lts de agua. Se introduce salmuera en el tanque que contiene 5x10 -2 Kg de sal por litro a una velocidad de 8 litros por minutos y se deja que la mezcla salga del recipiente a la misma velocidad.. Determinar la cantidad de sal que habrá en el recipiente al cabo de 20 minutos. El volumen se mantiene constante. Tenemos la ecuación

y   0.4 

y resolviendo nos queda 1000

y (t )  Ke t / 1000 . Como

y (t )  Ke t / 1000 se tiene

e t / 1000 e t / 1000  0.4  K (t ) luego 1000 1000  4 t / 1000 4  Ce t / 1000 K (t )  0.4   e t / 1000 dt  e  C luego K (t )  e t / 1000 entonces y (t )  10000 10000 Como y (0)  0 se tiene y (t )  K (t )e t / 1000  K (t )

0

4 C 10000

y (t ) 

C 

4 luego 10000

4  e t / 1000  1 . 10.000

A los 20 minutos la cantidad de sal que queda en el tanque es y (20) 

4  e1 / 50  1 Kg 10.000

Problema 4. Un tanque contiene originalmente S o lb de sal disueltas en 200 galones de agua. En el tiempo t=0 entra agua que contiene

1 lb de sal por galón, con un gasto de 4 gal/min y la 2

solución homogenizada sale del depósito con la misma intensidad. Determine la concentración de sal en el tanque para todo tiempo t>0. Solución. Sea S(t) la cantidad de sal en el tanque en el tiempo t que debe ser igual al gasto con el cual entra la sal en el tanque, menos el gasto con el cual sale del tanque. La rapidez con la cual entra la sal al tanque es: 1 lb /galon(veces). 4 gal/min  2lb/min 2

Gasto con el cual fluye la sal del tanque es: 4 gal/min( veces)

S(t) , Así 200

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S(t) , S(0)  S 0 luego 50 S(t)  S 0 e 0, 02t  100 1  e 0, 02t S(t)  2 -





La concentración está dada por S (t ) 1 C(t)   S 0 e 0 , 02t  1  e 0 , 02t  200 2 Problema 5. Un tanque con capacidad de 500 galones contiene originalmente 200 galones de agua en los cuales hay disueltas 10 lb. De sal. Si se introduce agua al tanque conteniendo 1 lb sal/galon , a una velocidad de 3galon /min y al mismo tiempo se deja que la mezcla salga del tanque a una velocidad de 2 gal/min , entonces. a) Encuentre una expresión que le permita determinar la cantidad de sal presente en el tanque en cualquier instante t. b) Cúal es la concentración de sal en el tanque, cuando el volumen de mezcla presente es de 400 gal. c) Si el tanque tuviese una capacidad infinita cual sería la concentración de sal para tiempos muy grandes. Solución.

2 gal/min

a)

dQ  v1C1  v 2 C 2 ............(1) dt

Condición inicial v1  3 gal/min , v 2  2 gal/min …..(2)

Ecuación de concentración C2 . 

Q(t) entonces C 2 .  1 lb/gal V(t)

Ecuación de volumen V(t)  V0   V1  V2  t .......(3) Sustituyendo en (3) V(t)  200   3  2  t  200  t

dQ Q 2Q  (3)(1)  2  3 dt 200  t 200  t

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dQ 2Q   3 ..........lineal dt 200  t 2/(200- t)  (t)  e 

  (t)  C  200  t 

dt

2

luego

C

Q(t)  200  t 

 200  t  2

Q(t)  200  t 

C

 200  t  2

Usando condiciones iniciales 100  200  0 

C

 200  0' 2

 C  (-100)(200) 2

La ecuación para saber la cantidad presente para cualquier momento t Q(t)  200  t 

100(200) 2  200  t  2

b) Usando (2) y (3) , remplazando Q(t) y V(t) en la ecuación de concentración C (t ). 

G(t) V(t)

200  t C(t) 

100(200) 2

 200  t  2

200  t

V (t ).  400  400  200  t  t  200

Para lograr la concentración 200  200 C(200) 

100(200) 2

 200  0 2

200  200

 C(200) 

375  0,937 lb/gal 400

C(200)  0,937 lb/gal

C(t) c) lim t  100(200) 2 (200  t) 2  lim 1  100( 200) 2 (200  t ) 3  1 t  200  t

200  t lim t 





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Problema 6. Un tanque que contiene originalmente 100 gal de agua fresca , se vierte dentro del tanque agua que contiene ½ lb de sal por galón a una velocidad de 2 gal/min. Se permite que salga la mezcla con la misma rapidez. Después de 10 min. Se para el proceso y se vierte agua fresca dentro del tanque a la velocidad de 2 gal/min, dejando salir la mezcla a la misma velocidad. Encontrar la cantidad de sal en el tanque al final de los 20 minutos. Solución. La ecuación deferencial asociada a la mezcla es: Q2 dx  X dt V0   Q1  Q2  t T: tiempo Q1 : Caudal de entrada Q 2 : Caudal de salida V0 :

Volumen inicial

x : soluto C : concentración dx 2 1  X  2. dt 100   2  2  t 2

dx 1  x 1 dt 50



Para t=0 se tiene

dx 1  1  x dt 50

C  50 Ln 50  x

 

, dx  1 

luego

1  x dt  50 

Ln 50  x 50



t 50

 50 Ln 50  x  t  C

 x  50 - 50 e - t/50

Problema 7. Un tanque de 120 galones inicialmente contiene 90 libras de sal ,disuelta en 90 galones de agua hacia el tanque fluye salmuera que contiene 2 lb/gal a razón 4 gal/min. Se permite que salga la mezcla con una rapidez de 3 gal/min. Cuanta sal contiene el tanque cuando se llena. Solución El volumen de salmuera aumenta constantemente en el tanque en V(t)  90  t (galones) El cambio x en la cantidad x de sal en el tanque desde el momento t hasta el instante  x  t  t(min) viene dada por: x  (4)(2) t - 3  t  90  t 

Entonces la ecuación diferencial es: dx 3x   0 Ecuación lineal. resolviendo se tiene para x(0)=90 se tiene C  - 90  4 dt 90  t (90) 4 x ( t )  2 ( 90  t )  Y la cantidad de sal en el tanque al momento t es: . (90  t ) 3

El tanque se llena en 30 min. Cuando t=30 se tiene x(30)  2(90  30) 

(90) 4  202lb de sal. (90  30) 3

Problema 8. Un tanque contiene inicialmente 100 galones de una solución salina que contiene 20 lb de sal. Para t=0 se vierte agua en el tanque a razón de 5 gal/min, mientras que sale solución bien mezclada a la misma velocidad. Halle la cantidad de sal en el tanque para un momento t, 6

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Solución. La ecuación diferencial que se forma es

dQ Q  O dt 20

 Q  Ce t / 20

Para t=0 se tiene Q=20 luego Q  20 e  t / 20 Problema 9. Un tanque contiene inicialmente 100 galones de una solución salina que contiene 1 lb de sal. Para t=0 otra solución salina que contiene 1 lb de sal por galón se agrega al tanque a razón de 3 gal/min, mientras que una solución bien mezclada sale del tanque a la misma velocidad. Hallar a. La cantidad de sal en el tanque en un momento t. y b. El momento en el cual la mezcla que está en el tanque contiene 2 lb de sal Solución dQ  0,03Q  3  Q  Ce 0,03t  100 dt Para t=0 se tiene Q=1 entonces 1  Ce 0  100  C  -99 luego

La ecuación diferencial es Q  99e 0, 03t  100

b) Cuando Q=2 se necesitan t. así que resulta 2  99e 0, 03t  100 t

ó e 0, 03t 

98 99

luego

1 98 Ln min. 0.03 99

Problema 10. Un tanque de 50 galones, contiene inicialmente 10 galones de agua pura. Para t=0 una solución salina que contiene 1 lb de sal por galón se agrega al tanque a razón de 4 gal/min, mientras que una solución bien mezclada sale del tanque a la velocidad de 2 gal/min.. Hallar a. La cantidad de tiempo necesaria para que se llene el tanque. y b. La cantidad de sal que hay en el tanque en el momento en que se llena Solución El volumen de solución salina en el tanque en un tiempo t es: 50  10  2t entonces t  20 min

Asi que tenemos la ecuación diferencial

resolviendo se tiene Q 

dQ 2  Q  4 ecuación lineal entonces dt 10  2t

40t  4t 2  C 10  2t

Para t=0, Q=0 se tiene C=0. En este momento el tanque está lleno entonces t=20. Luego Q

40(20)  4(20) 2  48lb 10  2(20)

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