• Author / Uploaded
• mortara72

• Categories
• Ortogonalidad
• Espacio vectorial
• Escalar (Matemáticas)
• Vector Euclidiano
• Álgebra abstracta

Citation preview

Fundamentos matematicos de la ingenieria I

Relación de Problemas

Tema V

Curso 2011-2012

Pedro Garcia Ferrandez Noviembre 2011

Relacion de ejercicios Espacios euclideos 1. Sean V1 y V2 dos espacios vectoriales euclideos reales, considerese el espacio vectorial V = V1 × V2 en el que se define la aplicacion V ×V →R (u, v) → u · v = u1 · v1 + u2 · v2 donde u = (u1 , u2 ) con u1 ∈ V1 , y u2 ∈ V2 , y v = (v1 , v2 ) con v1 ∈ V1 , y v2 ∈ V2 , u1 · v1 es el producto escalar de los vectores u1 y v1 en V1 , u2 · v2 es el producto escalar de los vectores u2 y v2 en V2 . Se pide (a) Demostrar que la aplicacion definida en V × V es un producto escalar y que, por tanto, V es un espacio euclideo. (b) Obtener la expresion del producto escalar en el caso de V1 = R3 y V2 = R2 . 2. Sea el espacio vectorial de las matrices columna M2×1 y sea una matriz cuadrada A de orden 2, sean X, Y ∈ M2×1 , se define X · Y = X T AY Obtener las condiciones que debe de cumplir A para que X · Y sea un producto escalar. 3. Demostrar que, dado un espacio euclideo V , para tres vectores cualesquiera u, v, w ∈ V , se verifica ku + v + wk2 = kuk2 + kvk2 + kwk2 + 2u · v + 2u · w + 2v · w 4. Demostrar que, dado un espacio euclideo V , si dos vectores cualesquiera u, v ∈ V , verifican kuk = kvk entonces los vectores u + v y u − v son ortogonales. 5. En el espacio euclideo R3 , con el producto escalar definido por (x1 , x2 , x3 ) · (y1 , y2 , y3 ) = 2x1 y1 + x1 y3 + x2 y2 + x3 y1 + 3x3 y3 Se pide, obtener la matriz de Gram y una base ortogonal a partir de los vectores de la base canonica.

1

6. En el espacio euclideo R3 , con el producto escalar definido por (x1 , x2 , x3 )·(y1 , y2 , y3 ) = 2x1 y1 −x1 y2 +x1 y3 −x2 y1 +4x2 y2 +x2 y3 +x3 y1 +x3 y2 +3x3 y3 Se pide, obtener la matriz de Gram y una base ortogonal a partir de los vectores de la base canonica. 7. En el espacio euclideo R4 , con el producto escalar definido por u · v = 2x1 y1 + x1 y3 − x1 y4 + 4x2 y2 + x3 y1 + 3x3 y3 − x3 y4 − x4 y1 − x4 y3 + 4x4 y4 siendo u = (x1 , x2 , x3 , x4 ) y v = (y1 , y2 , y3 , y4 ). Se pide, obtener la matriz de Gram y una base ortogonal a partir de los vectores de la base canonica. 8. Determinese los valores de α ∈ R para los que (x1 , x2 , x3 ) · (y1 , y2 , y3 ) = (2x1 − x2 + x3 ) (2y1 − y2 + y3 ) + α (x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ) define un producto escalar en R3 . Para el caso α = 1, se pide obtener (a) la matriz de Gram del producto escalar (b) Una base ortogonal 9. Determinese el menor valor de α ∈ R para el que (x1 , x2 , x3 )·(y1 , y2 , y3 ) = x1 y1 +αx2 y2 +2x3 y3 +x1 y2 −x1 y3 +x2 y1 −x2 y3 −x3 y1 −x3 y2 define un producto escalar en R3 . Obtener ademas, la matriz de Gram y una base ortogonal. 10. En el espacio vectorial R3 , dada la matriz   2 −1 1 4 1  G =  −1 1 1 3

comprobar que u · v = X T GY , donde X, Y son las columnas con las coordenadas de u, v, define un producto escalar en R3 .

11. En el espacio vectorial R4 , dada la matriz  2 −1 0 0  −1 5 0 1 G=  0 0 3 −1 0 1 −1 4

   

comprobar que u · v = X T GY , donde X, Y son las columnas con las coordenadas de u, v, define un producto escalar en R4 . 2

12. En el espacio euclideo canonico R4 , es decir R4 con el producto escalar habitual 4 P xi yi , se consideran los vectores i=1

u = (1, 0, 1, 0) v = (0, 1, 0, 1) w = (0, 0, 1, 0)

obtener una base ortogonal del subespacio generado por {u, v, w}. 13. En el espacio euclideo canonico R5 , dados los vectores u = (1, 2, 0, −1, 0) v = (0, 1, −1, 1, 0) w = (0, 0, 1, 2, 1) escribir el vector w como suma de un vector w1 combinacion lineal de u y v y otro w2 ortogonal a w1 . 14. En el espacio P3 de los polinomios de grado menor o igual que 3, con el producto escalar definido por Z 1

p·q =

p (x) q (x) dx

−1

© ª Obtener una base ortogonal a partir de la base 1, x − 1, (x − 1)2 , (x − 1)3 .

15. En el espacio vectorial V de las funciones continuas definidas en [−π, π], considerando el producto escalar habitual Z π f ·g = f (x) g (x) dx −π

Comprobar que los sistemas S1 = {sen x, sen 2x, sen 3x} S2 = {1, cos x, cos 2x, cos 3x} son ortogonales. 16. En un espacio euclideo V de dimension 3 los vectores de la base B = {e1 , e2 , e3 } verifican que e1 · e1 = 1 e1 · e2 = 0 e2 · e2 = 1 (2e2 − e3 ) · e1 = 0 e3 · e3 = 2 (2e2 − e3 ) · e3 = 0 se pide

(a) Obtener la matriz metrica, o de Gram, del producto escalar respecto de B. (b) Obtener una base ortogonal de V .

3