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• Matías Martínez

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FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LAS TÉCNICAS - 4º ICCP

TEMA 2 - VECTORES EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS

TEMA 2. VECTORES EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS. 1. Conceptos básicos. 2. Expresión del producto escalar. Matriz de Gram. 3. Cambios de base. 4. Componentes covariantes de un vector. 5. Componentes covariantes frente a cambios de base. 6. Base recíproca de una base dada. 7. Interpretación geométrica de las componentes covariantes y contravariantes. 8. Forma bilineal fundamental en la base recíproca. 9. Relación entre bases recíprocas frente a cambios de base. 10. Bases ortonormales. 11. Cuestiones teóricas y prácticas. 12. Ejemplos prácticos.

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1. CONCEPTOS BÁSICOS. Siguiendo con los “recuerdos” sobre espacios vectoriales, se llama espacio vectorial euclídeo a todo espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales (R) en el que, además, se define una conexión interna entre vectores (producto escalar de dos vectores cuyo resultado es un número real) que ha de satisfacer determinadas propiedades axiomáticas que ya son sabidas, y conviene tener presentes: simetría, bilinealidad y carácter de definida positiva. La notación usualmente empleada es: •

Espacio vectorial euclídeo o, abreviadamente, espacio euclídeo: E n (el subíndice n hace referencia a la dimensión del espacio).

•

Producto escalar de dos vectores u y v: u·v.

Sobre la base de la existencia del producto escalar se definen unos conceptos exclusivos de los espacios euclídeos tales como: •

Norma de un vector v: N(v) = v·v (Hay que recordar aquí que una de las propiedades que se le exigen a la conexión interna es que el producto escalar de cualquier vector por sí mismo es mayor que cero, sí el vector es distinto del nulo, y cero sí se trata del vector nulo, esto es: N(v) > 0 ⇔ v ≠ 0 y N(v) = 0 ⇔ v = 0 ).

•

Módulo de un vector v: v que es la determinación positiva de la raíz cuadrada de la norma, esto es: v = + N( v ) =

v·v . Se llama vector unitario a aquel vector cuyo

módulo es la unidad. v = 1. •

Ángulo entre dos vectores u y v : ϕuv que es el ángulo cuyo coseno es el cociente entre el producto escalar de los vectores y el producto de sus módulos, cos ϕuv =

u·v uv

supuestos u y v no nulos. •

Ortogonalidad de vectores; u y v son vectores ortogonales entre sí, siempre que: u·v = 0, siendo u ≠ 0 y v ≠ 0. En el espacio de los vectores geométricos si dos vectores son ortogonales, el ángulo entre ellos es de 90º.

Todo lo anterior permite definir dos tipos de bases especiales en los espacios euclídeos que son: •

Base ortogonal: Es toda base del espacio cuyos vectores son ortogonales entre sí, luego todos los productos escalares entre vectores de bases ortogonales son siempre nulos. Por ejemplo: Sean a, b y c los vectores de una base ortogonal del espacio euclídeo E3, deberá de cumplirse que:

a·b = b·c = c·a = 0

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•

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Base ortonormal: Es toda base ortogonal cuyos vectores, además, son unitarios, luego el módulo de cualquier vector de una base ortonormal será siempre la unidad. Volviendo a la base a, b, c, anterior, si dicha base es ortonormal se cumplirá:

a·b = b·c = c·a = 0 y además:

a = b = c =1

2. EXPRESIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR. MATRIZ DE GRAM. Sea e i una base del espacio, y sean u y v dos vectores del mismo. Dichos vectores se pueden expresar como:

u = ui ei

(1)

v = vi ei

(2)

El producto escalar de estos vectores es, por tanto:

u·v = (u i e i)·(v j e j)

(3)

Aplicando ahora la propiedad axiomática de bilinealidad, que se le exige al producto escalar, al producto de las dos combinaciones lineales que aparecen a la derecha de la igualdad (3), resulta:

u·v = (u i v j) ( e i·e j)

(4)

De esta forma se concluye que la determinación del producto escalar de dos vectores requiere el conocimiento de los n2 productos escalares e i·e j de los vectores de la base entre sí. De acuerdo con la notación usual designaremos por g i j el conjunto de dichos productos escalares: g i j = e i·e j

(5)

Hay que hacer notar en este punto que el sistema de n2 números reales configurado por g i j es simétrico por ser conmutativo el producto escalar. Es decir: g i j = e i·e j = e j·e i = g j i Teniendo en cuenta, ahora, la expresión (5) el producto de dos vectores expresado en (4) puede escribirse:

u·v = u i v j g i j

(6)

De esta forma el producto escalar de dos vectores queda expresado como una forma lineal de las componentes de ambos. Por ello, a la expresión (6) se la llama forma bilineal fundamental en la base e i, y a los números g i j coeficientes de la forma bilineal fundamental en la base dada.

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Para un espacio vectorial de dimensión 3 (n=3), la expresión (1) u = u i e i y (2) v = v i e i quedarán como:

u = ui ei = u1 e1 + u2 e2 + u3 e3 v = vi ei = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 Resultando que el producto escalar (3):

u·v = (u i e i)·(v j e j) = = (u e 1)·(v e 1) + (u 1 e 1)·(v 2 e 2) + (u 1 e 1)·(v 3 e 3) + + (u 2 e 2)·(v 1 e 1) + (u 2 e 2)·(v 2 e 2) + (u 2 e 2)·(v 3 e 3) + + (u 3 e 3)·(v 1 e 1) + (u 3 e 3)·(v 2 e 2) + (u 3 e 3)·(v 3 e 3) + 1

1

De donde aplicando la propiedad de bilinealidad del producto escalar obtenemos (4):

u·v = (u i v j) (e i·e j) = = (u v ) (e 1·e 1) + (u 1 v 2) (e 1·e 2) + (u 1 v 3) (e 1·e 3) + + (u 2 v 1) (e 2·e 1) + (u 2 v 2) (e 2·e 2) + (u 2 v 3) (e 2·e 3) + + (u 3 v 1) (e 3·e 1) + (u 3 v 2) (e 3·e 2) + (u 3 v 3) (e 3·e 3) + 1

1

Sustituyendo los productos escalares entre los vectores de la base de referencia, según la notación (5), obtendremos:

u·v = (u i v j) g i j = = (u 1 v 1) g 1 1 + (u 1 v 2) g 1 2 + (u 1 v 3) g 1 3 + + (u 2 v 1) g 2 1 + (u 2 v 2) g 2 2 + (u 2 v 3) g 2 3 + + (u 3 v 1) g 3 1 + (u 3 v 2) g 3 2 + (u 3 v 3) g 3 3 + y teniendo en cuenta la simetría de los n2 números reales g i j, la expresión (6) en este caso, quedará: u·v = (u i v j) g i j = 1 1 = (u v ) g 1 1 + (u 1 v 2) g 1 2 + (u 1 v 3) g 1 3 + + (u 2 v 1) g 1 2 + (u 2 v 2) g 2 2 + (u 2 v 3) g 2 3 + + (u 3 v 1) g 1 3 + (u 3 v 2) g 2 3 + (u 3 v 3) g 3 3 + Obsérvese que cuando se define la forma bilineal fundamental y sus coeficientes, se hace referencia a la base del espacio en la que se trabaja, pues naturalmente, estos coeficientes serán distintos en cada base del mismo. Quiere esto decir que si se trabaja en otra base e i´ en la que los anteriores vectores u y v tengan por componentes u i´ y v j´, respectivamente, será: g i´ j´ = e i´·e j´

(5´)

y el producto escalar de dos vectores en esta base e i´:

u·v = u i´ v j´ g i´ j´

(6´)

Quizá conviene recordar en este punto que, aunque los coeficientes de la forma bilineal fundamental en cada base son distintos así como las componentes de los vectores, el resultado de su aplicación a dos vectores concretos, para calcular su producto escalar, será el mismo. Dicho de otra manera, el producto escalar de dos vectores es intrínseco o sea que su valor no depende de la base de trabajo elegida. Luego, se cumplirá siempre que:

u·v = u i v j g i j = u i´ v j´ g i´ j´

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Finalmente, la expresión (6) puede traducirse al lenguaje matricial de la siguiente forma:

u·v = u i v j g i j = (u i) G {v j}

(7)

donde G = [g i j], es decir que se trata de la matriz cuadrada cuyos elementos son los n2 coeficientes de la forma bilineal fundamental y que, entre otras cosas, es una matriz simétrica. Esta matriz G es la que se conoce como matriz de Gram del espacio euclídeo en la base dada. Expresando matricialmente el último desarrollo en un espacio de dimensión 3:

⎡ e 1·e 1 e 1 ·e 2 1 2 3 ⎢ u·v = (u u u ) ⎢e 2 ·e 1 e 2 ·e 2 ⎢⎣e 3 ·e 1 e 3 ·e 2

e 1 ·e 3 ⎤ e 2 ·e 3 ⎥⎥ e 3 ·e 3 ⎥⎦

⎧ v1 ⎫ ⎪ 2⎪ 1 2 3 ⎨v ⎬ = (u u u ) ⎪v 3 ⎪ ⎩ ⎭

⎡ g11 g12 ⎢ ⎢g21 g22 ⎢⎣g31 g32

g13 ⎤ ⎥ g23 ⎥ g33 ⎥⎦

⎧ v1 ⎫ ⎪ 2⎪ ⎨v ⎬ ⎪v 3 ⎪ ⎩ ⎭

Obviamente, en el caso de que la base de trabajo elegida fuese ortogonal, la matriz de Gram sería una matriz diagonal y si, además, la base fuese ortonormal la matriz de Gram sería la matriz identidad G = I o, en términos indiciales: gij = δij

(8) (sólo para bases ortonormales)

3. CAMBIOS DE BASE.

Sean dos bases e i (antigua) y e i´ (nueva) relacionadas por: e i´ = A ii´ e i

(9)

e i = A ii´ e i´

(10)

Tal como se ha visto, las expresiones de la forma bilineal fundamental en dichas bases serán: u·v = g i j u i v j

(11) (Es la misma que 6)

u·v = g i´ j´ u i´ v j´

(12) (Es la misma que 6´)

Interesa ahora encontrar las relaciones entre los n2 coeficientes de la forma bilineal fundamental en ambas bases, esto es, las relaciones entre g i j y g i´ j´. Partiendo de la expresión (5´) y sustituyendo (9) y (10) resulta: g i´ j´ = e i´·e j´ = ( A ii´ e i)·( A jj´ e j) = A ii´ A jj´ e i·e j con lo que, teniendo en cuenta (5), es: g i´ j´ = A ii´ A jj´ g i j Para un espacio vectorial de dimensión 3 (n=3), la expresión (13) se desarrolla como: g 1´ 1´ = e 1´·e 1´ = ( A 1i ´ e i)·( A 1j´ e j) = A 1i ´ A 1j´ e i·e j = A 1i ´ A 1j´ g i j g 1´ 2´ = e 1´·e 2´ = ( A 1i ´ e i)·( A 2j ´ e j) = A 1i ´ A 2j ´ e i·e j = A 1i ´ A 2j ´ g i j

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(13)

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g 1´ 3´ = e 1´·e 3´ = ( A 1i ´ e i)·( A 3j ´ e j) = A 1i ´ A 3j ´ e i·e j = A 1i ´ A 3j ´ g i j g 2´ 2´ = e 2´·e 2´ = ( A i2´ e i)·( A 2j ´ e j) = A i2´ A 2j ´ e i·e j = A i2´ A 2j ´ g i j g 2´ 3´ = e 2´·e 3´ = ( A i2´ e i)·( A 3j ´ e j) = A i2´ A 3j ´ e i·e j = A i2´ A 3j ´ g i j g 3´ 3´ = e 3´·e 3´ = ( A i3´ e i)·( A 3j ´ e j) = A i3´ A 3j ´ e i·e j = A i3´ A 3j ´ g i j Cumpliéndose por la simetría de las componentes de la forma bilineal fundamental que: g 2´ 1´ = g 1´ 2´ ; g 3´ 2´ = g 2´ 3´ ; g 3´ 1´ = g 1´ 3´ Desarrollando ahora las anteriores expresiones: g 1´ 1´ = e 1´·e 1´ = ( A 11´ e 1 + A 12´ e 2 + A 13´ e 3)·( A 11´ e 1 + A 12´ e 2 + A 13´ e 3) = = A 11´ A 11´ e 1·e 1 + A 11´ A 12´ e 1·e 2 + A 11´ A 13´ e 1·e 3 + + A 12´ A 11´ e 2·e 1 + A 12´ A 12´ e 2·e 2 + A 12´ A 13´ e 2·e 3 + + A 13´ A 11´ e 3·e 1 + A 13´ A 12´ e 3·e 2 + A 13´ A 13´ e 3·e 3 = = A 11´ A 11´ g 1 1 + A 11´ A 12´ g 1 2 + A 11´ A 13´ g 1 3 + + A 12´ A 11´ g 2 1 + A 12´ A 12´ g 2 2 + A 12´ A 13´ g 2 3 + + A 13´ A 11´ g 3 1 + A 13´ A 12´ g 3 2 + A 13´ A 13´ g 3 3 + g 1´ 2´ = e 1´·e 2´ = ( A 11´ e 1 + A 12´ e 2 + A 13´ e 3)·( A 12´ e 1 + A 22´ e 2 + A 32´ e 3) = = A 11´ A 12´ e 1·e 1 + A 11´ A 22´ e 1·e 2 + A 11´ A 32´ e 1·e 3 + + A 12´ A 12´ e 2·e 1 + A 12´ A 22´ e 2·e 2 + A 12´ A 32´ e 2·e 3 + + A 13´ A 12´ e 3·e 1 + A 13´ A 22´ e 3·e 2 + A 13´ A 32´ e 3·e 3 = = A 11´ A 12´ g 1 1 + A 11´ A 22´ g 1 2 + A 11´ A 32´ g 1 3 + + A 12´ A 12´ g 2 1 + A 12´ A 22´ g 2 2 + A 12´ A 32´ g 2 3 + + A 13´ A 12´ g 3 1 + A 13´ A 22´ g 3 2 + A 13´ A 32´ g 3 3 + g 1´ 3´ = e 1´·e 3´ = ( A 11´ e 1 + A 12´ e 2 + A 13´ e 3)·( A 13´ e 1 + A 32´ e 2 + A 33´ e 3) = = A 11´ A 13´ e 1·e 1 + A 11´ A 32´ e 1·e 2 + A 11´ A 33´ e 1·e 3 + + A 12´ A 13´ e 2·e 1 + A 12´ A 32´ e 2·e 2 + A 12´ A 33´ e 2·e 3 + + A 13´ A 13´ e 3·e 1 + A 13´ A 32´ e 3·e 2 + A 13´ A 33´ e 3·e 3 = = A 11´ A 13´ g 1 1 + A 11´ A 32´ g 1 2 + A 11´ A 33´ g 1 3 + + A 12´ A 13´ g 2 1 + A 12´ A 32´ g 2 2 + A 12´ A 33´ g 2 3 + + A 13´ A 13´ g 3 1 + A 13´ A 32´ g 3 2 + A 13´ A 33´ g 3 3 + y de igual forma las restantes componentes... Si se observa la estructura de operaciones simbolizadas en esta última expresión, puede hacerse su traducción al lenguaje matricial quedando de la siguiente forma: G´ = A G AT

(14)

En la que G y G´ son, respectivamente, las matrices de Gram en las bases “antigua” y “nueva”; A es la matriz del cambio de base y AT su traspuesta.

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La expresión inversa de la (14) puede obtenerse premultiplicando, en ambos miembros, por A-1 y postmultiplicando por A-1 T resultando: G = A-1 G´ A-1 T

(15)

Partiendo, ahora, de (7) y teniendo en cuenta (15), así como las expresiones del tema anterior (15) ((v i) = (v i´) A) y (17) ({v j } = A T {v j´}), resulta: u·v = (u i) G {v j} = (u i´) A A -1 G´ A -1 T A T {v j´} = (u i´) I G´ I {v j´} = (u i´) G´ {v j´} quedando comprobada, así, la coherencia de (14) y (15) con el carácter intrínseco del producto escalar de dos vectores.

4. COMPONENTES COVARIANTES DE UN VECTOR. La existencia de la conexión interior en los espacios euclídeos permite la introducción de un nuevo tipo de componentes asociadas a cada vector en una base dada e i. En efecto, dado un vector v se definen como componentes covariantes del mismo en e i los “n” números reales obtenidos como: v i = v·e i

(16)

Luego en un espacio de dimensión 3: v 1 = v·e 1 , v 2 = v·e 2 y v 3 = v·e 3 Obsérvese la diferente posición del índice (subíndice) utilizada para este nuevo tipo de componentes respecto de las que, hasta ahora, habíamos llamado componentes de un vector (v i) en las que la posición es de superíndice y que, para diferenciarlas de las que se acaban de definir, llamaremos componentes contravariantes a partir de ahora. Para encontrar la relación entre ambos tipos de componentes de un vector en una cierta base, basta partir de la expresión (16) y sustituir en ella la expresión (3) (v = v j e j) del tema anterior. En efecto: v i = v·e i = v j e j·e i = v j g j i Aprovechando la simetría de los coeficientes de la forma bilineal fundamental, la expresión anterior puede escribirse también como: vi = vj gij

(17)

Para un espacio de dimensión 3, la anterior expresión se traduce en: v1 = vj g1j = v1 g11 + v2 g12 + v3 g13 v2 = vj g2j = v1 g21 + v2 g22 + v3 g23 v3 = vj g3j = v1 g31 + v2 g32 + v3 g33 En lenguaje matricial la traducción de (17) da lugar a: (v i) = (v j) G o bien, trasponiendo y teniendo en cuenta que G T = G

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(18)

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{v i} = G {v j}

(19)

Siguiendo con el lenguaje matricial, las expresiones inversas de (18) y (19) son: (v j) = (v i) G -1

(20)

{v j} = G -1 {v i}

(21)

Si se conviene en llamar ahora g i j a los elementos de la matriz inversa de G, las expresiones anteriores pueden escribirse en lenguaje indicial como: vi = vj gij

(22)

que es la expresión inversa de (17). Para un espacio de dimensión 3, las anteriores expresiones se traducen en:

⎡ g11 g12 ⎢ (v 1 v 2 v 3) = (v v v ) ⎢g21 g22 ⎢⎣g31 g32 1

2

3

g13 ⎤ ⎥ g23 ⎥ = (v 1 v 2 v 3) g33 ⎥⎦

⎡ g11 ⎢ ⎢g12 ⎢⎣g13

g12 g22 g23

g13 ⎤ ⎥ g23 ⎥ g33 ⎥⎦

trasponiendo, y teniendo en cuenta la simetría de la matriz G:

⎡ g11 ⎧ v1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎢ ⎨v 2 ⎬ = ⎢g12 ⎪v ⎪ ⎢⎣g13 ⎩ 3⎭

g12 g22 g23

g13 ⎤ ⎥ g23 ⎥ g33 ⎥⎦

⎧ v1 ⎫ ⎪ 2⎪ ⎨v ⎬ ⎪v 3 ⎪ ⎩ ⎭

siendo las expresiones inversas de estas dos últimas:

⎡ g11 g12 ⎢ (v 1 v 2 v 3) = (v 1 v 2 v 3) ⎢g21 g22 ⎢g31 g32 ⎣ ⎧ v1 ⎫ ⎡ g11 g12 ⎪ 2⎪ ⎢ 21 g22 ⎨v ⎬ = ⎢g ⎪v 3 ⎪ ⎢g31 g32 ⎩ ⎭ ⎣

g13 ⎤ ⎥ g23 ⎥ g33 ⎥⎦

g13 ⎤ ⎥ g23 ⎥ g33 ⎥⎦

⎧ v1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎨v 2 ⎬ ⎪v ⎪ ⎩ 3⎭

donde g i j son los elementos de la matriz inversa de G, que también es simétrica. Se observa pues, como las operaciones de cambio de contravariantes a covariantes, bajada de índice, y las de componentes covariantes a contravariantes, subida de índice, se realizan con la matriz de Gram y su inversa respectivamente. Como anotación adicional a todo lo dicho, y por un procedimiento semejante al utilizado en el apartado 5 del tema anterior, puede verse que: g i j g j k = δ ki que corresponde en lenguaje matricial a:

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G G -1 = I Para un espacio de dimensión 3 lo expresaremos:

⎡ g11 g12 ⎢ ⎢g21 g22 ⎢⎣g31 g32

( ( (

⎡ g11 g11 + g12 g21 + g13 g31 ⎢ 11 21 31 ⎢ g21 g + g22 g + g23 g ⎢ g g11 + g g21 + g g31 32 33 ⎣ 31

) (g ) (g ) (g

11

21 31

g13 ⎤ ⎥ g23 ⎥ g33 ⎥⎦

⎡ g11 g12 ⎢ 21 g22 ⎢g ⎢g31 g32 ⎣

g13 ⎤ ⎥ g23 ⎥ = g33 ⎥⎦

g12 + g12 g22 + g13 g32 g12 + g22 g22 + g23 g32 g12 + g32 g22 + g33 g32

) (g ) (g ) (g

11

21 31

g13 + g12 g23 + g13 g33 g13 + g22 g23 + g23 g33 g13 + g32 g23 + g33 g33

)⎤⎥ )⎥ = )⎥⎦

⎡ 1 0 0⎤ ⎥ ⎢ = ⎢0 1 0⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦

5. COMPONENTES COVARIANTES FRENTE A CAMBIOS DE BASE. Dado un vector v de componentes covariantes v i y v i´ en dos bases e i y e i´ relacionadas entre sí por las expresiones tales como las (9) y (10), se trata de encontrar las relaciones entre ellas. Para ello puede partirse de (16), y sustituyendo (10), resulta: v i = v·e i = v·( A ii´ e i´) = A ii´ v·e i´ de manera que teniendo en cuenta que, por definición, es: v i´ = v·e i´ resulta: v i = A ii´ v i´

(23)

Para un espacio de dimensión 3 se escribirá: v 1 = A 1i´ v i´ = A 11´ v 1´ + A 12´ v 2´ + A 13´ v 3´ v 2 = A i2´ v i´ = A 12´ v 1´ + A 22´ v 2´ + A 32´ v 3´ v 3 = A i3´ v i´ = A 13´ v 1´ + A 32´ v 2´ + A 33´ v 3´ Si en lugar de partir de (16) se hubiera partido de su equivalente en la base nueva, es decir v i´ = v·e i´ , sustituyendo (9) se llega a: v i´ = v·e i´ = v·( A ii´ e i) = A ii´ v·e i con lo cual, finalmente, resulta:

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v i´ = A ii´ v i

(24)

que es la inversa de (23). En un espacio de dimensión 3 se escribirá: v 1´ = A 1i ´ v i = A 11´ v 1 + A 12´ v 2 + A 13´ v 3 v 2´ = A i2´ v i = A 12´ v 1 + A 22´ v 2 + A 32´ v 3 v 3´ = A i3´ v i = A 13´ v 1 + A 32´ v 2 + A 33´ v 3 Matricialmente, (23) y (24) pueden escribirse de la siguiente forma: (v i´) = (v i) A T o bien {v i´} = A {v i}

(25) (proceden de 24)

(v i) = (v i´) A -1 T o bien {v i} = A -1 {v i´}

(26) (proceden de 23)

A modo de resumen, y a los efectos comparativos que después se verán, puede establecerse el siguiente cuadro de expresiones en el que se apuntan, en primer lugar, las relaciones entre dos bases, a continuación las relaciones entre las componentes covariantes de un vector en ambas bases y, finalmente, las correspondientes a las componentes contravariantes vistas en el tema anterior: Bases

c. covariantes

c. contravariantes

e i´ = A ii´ e i

v i´ = A ii´ v i

v i´ = A ii´ v i

e i = A ii´ e i´

v i = A ii´ v i´

v i = A ii´ v i´

De la observación del cuadro se ve como, formalmente, las expresiones relativas a las componentes covariantes frente a cambios de base son las “mismas” que las del propio cambio de base, mientras que las relativas a las contravariantes son las “contrarias” de las del cambio de base (la que da las componentes contravariantes nuevas en función de las antiguas es como la que expresa la base antigua en función de la nueva). Esta es la justificación del adjetivo contravariante que se da a este tipo de componentes.

6. BASE RECÍPROCA DE UNA BASE DADA. Dada una base e i en un espacio euclídeo es posible, utilizando la conexión interior, definir un nuevo concepto, el de “base recíproca” e i de la base dada e i, que es el conjunto de n vectores e i que satisfacen las siguientes expresiones: e i·e j = δ ij

(27)

Obviamente, por la propiedad conmutativa del producto escalar, es igual que: e i·e j = δ ij = δ ij En otros términos, y a modo de ejemplo, en un espacio euclídeo de dimensión 3 las condiciones anteriores significan que el primer vector de la base recíproca e 1 es ortogonal a

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TEMA 2 - VECTORES EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS

los vectores segundo e 2 y tercero e 3 de la base dada, el segundo de la recíproca e 2 lo es al primero e 1 y tercero e 3 de la base dada y, finalmente, el tercero de la recíproca e 3 es ortogonal al primero e 1 y segundo e 2 de la base dada. Para caracterizar los vectores de la base recíproca e i en la base dada e i, se puede partir de: ei = λij ej

(28)

donde simplemente se hace uso de que todo vector puede expresarse de manera única como combinación lineal de los vectores de una base. Estamos pues designando por λ i j a las componentes contravariantes de los vectores de la base e i (recíproca de e i) en la propia base e i y se trata, por tanto, de identificar dichas componentes. Para un espacio de dimensión 3, la expresión (28) se escribirá: e1 = λ1j ej = λ11 e1 + λ12 e2 + λ13 e3 e2 = λ2j ej = λ21 e1 + λ22 e2 + λ23 e3 e3 = λ3j ej = λ31 e1 + λ32 e2 + λ33 e3 Para ello, partiendo de (28) y efectuando el producto escalar por un vector e k de la base dada en ambos miembros, resulta: e i·e k = (λ i j e j)·e k = λ i j e j·e k = λ i j g j k Por otra parte, y de acuerdo con (27) es e i·e k = δ ik con lo que: λ i j g j k = δ ik y por tanto, de acuerdo con lo visto al final del apartado 4: (g i j g j k = δ ik ), debe ser: λij = gij

(29)

Es decir que las componentes contravariantes λ i j de los vectores de la base recíproca e i de una base dada e i, en dicha base e i, son los elementos de la matriz inversa de la matriz de Gram g i j = G-1 en la base dada e i. Así, a partir de ahora puede escribirse: ei = gij ej

(30)

En forma matricial la expresión anterior puede escribirse: {e i} = G-1 {e j}

o bien

(e i) = (e j) G–1 T

(31)

y por ser simétrica la matriz de Gram: (e i) = (e j) G–1 expresión a la que se puede dar la siguiente interpretación: “En el cambio de base de una base dada e i a su recíproca e i la matriz inversa de la matriz de Gram [g i j] desempeña el papel de matriz de cambio de base”.

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Para un espacio de dimensión 3, la expresión (30) se escribirá: e1 = g1j ej = g11 e1 + g12 e2 + g13 e3 e2 = g2j ej = g21 e1 + g22 e2 + g23 e3 e3 = g3j ej = g31 e1 + g32 e2 + g33 e3 Mientras que en forma matricial resultará:

⎧ e 1 ⎫ ⎡ g11 ⎪ 2 ⎪ ⎢ 12 ⎨e ⎬ = ⎢g ⎪e 3 ⎪ ⎢g13 ⎩ ⎭ ⎣

g12 g22 g

23

g13 ⎤ ⎥ g23 ⎥ g33 ⎥⎦

⎧e1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎨e 2 ⎬ ⎪e ⎪ ⎩ 3⎭

⎡ g11 ⎢ (e 1 e 2 e 3) = (e 1 e 2 e 3) ⎢g12 ⎢g13 ⎣

o bien

g12 g22 g23

g13 ⎤ ⎥ g23 ⎥ g33 ⎥⎦

Por otra parte, dado el carácter no singular (det lGl ≠ 0) de la matriz G, la expresión (31) confirma la independencia lineal de los “n” vectores e i y, por tanto, el carácter de base que, desde el principio, hemos supuesto para ellos. La expresión inversa de (31) es: {e i} = G {e j}

(32)

ei = gij ej

(33)

cuya traducción al lenguaje indicial es:

que es la inversa de (30). En un espacio vectorial n=3, la expresión (32) se escribirá:

⎧ e 1 ⎫ ⎡ g11 ⎪ ⎪ ⎢ ⎨e 2 ⎬ = ⎢g12 ⎪e ⎪ ⎢g ⎩ 3 ⎭ ⎣ 13

g12 g22 g23

g13 ⎤ ⎥ g23 ⎥ g33 ⎥⎦

⎧e1 ⎫ ⎪ 2⎪ ⎨e ⎬ ⎪e 3 ⎪ ⎩ ⎭

⎡ g11 ⎢ (e 1 e 2 e 3) = (e e e ) ⎢g12 ⎢⎣g13 1

o bien

2

3

g12 g22 g23

g13 ⎤ ⎥ g23 ⎥ g33 ⎥⎦

y la (33) como:

e1 = g1j ej = g11 e1 + g12 e2 + g13 e3 e2 = g2j ej = g21 e1 + g22 e2 + g23 e3 e3 = g3j ej = g31 e1 + g32 e2 + g33 e3 Comprobado el carácter de base de lo que hemos definido como base recíproca de una base dada procede ahora hacer el siguiente análisis: Sea un vector v cuyas componentes contravariantes v i, y covariantes v i, en una base e i son conocidas. Se trata de determinar las componentes contravariantes y covariantes de dicho vector v en la base e i recíproca de la base dada e i. Las componentes contravariantes en e i serán n números reales, a los que denotaremos de momento por v ∗ i (diferenciándolas así de las v i que son las contravariantes en e i) tales que:

v = Σ v∗i ei

(34)

Efectuando el producto escalar de ambos miembros de (34) por un vector cualquiera de la base e i, y teniendo en cuenta (27) (e i·e j = δ ij ), resulta:

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v·e j = (Σ v ∗ i e i)·e j = Σ v ∗ i e i·e j = Σ v ∗ i δ ij La última expresión obtenida es un sumatorio en “i” para un cierto valor de “j” dado. Así, dado el valor de las “deltas de Kronecker”, en el desarrollo de dicho sumatorio solo será distinto de cero el sumando correspondiente a i=j y, por tanto, el resultado de las operaciones anteriores es:

v·e j = v ∗ j de manera que teniendo en cuenta ahora (16) (v i = v·e i) resulta que para todo valor de “j” es: vj = v∗j

(35)

Es decir que las componentes contravariantes de un vector en la base recíproca de una base dada coinciden con sus covariantes en la base dada. Por ello, a partir de ahora la expresión (34) se escribirá de la siguiente forma:

v = vi ei

(36)

Análogamente, si llamamos v ∗ i a las componentes covariantes del vector v en la base e i, recíproca de la e i, por definición será: v ∗ i = v·e i Sustituyendo ahora v por su expresión como combinación lineal de los vectores de la base e i, y volviendo a tener en cuenta (27) (e i·e j = δ ij ), es: v ∗ i = (v j e j)·e i = v j e j·e i = v j δ ij = v i Es decir que las componentes covariantes de un vector en la base recíproca de una base dada coinciden con las contravariantes de dicho vector en la base dada. En un espacio vectorial n=3, la anterior deducción se obtiene: v∗1 = (vj ej)·e1 = (v1 e1 + v2 e2 + v3 e3)·e1 = v1 e1·e1 + v2 e2·e1 + v3 e3·e1 = v1 δ11 + v2 δ12 + v3 δ13 = v1 v∗2 = (vj ej)·e2 = (v1 e1 + v2 e2 + v3 e3)·e2 = v1 e1·e2 + v2 e2·e2 + v3 e3·e2 = v1 δ12 + v2 δ 22 + v3 δ 32 = v2 v∗3 = (vj ej)·e3 = (v1 e1 + v2 e2 + v3 e3)·e3 = v1 e1·e3 + v2 e2·e3 + v3 e3·e3 = v1 δ13 + v2 δ 32 + v3 δ 33 = v3

En resumen, las componentes contravariantes (covariantes) de un vector en una base son covariantes (contravariantes) en la recíproca. Este es un resultado importante, que nos permite, a partir de ahora, expresar todo vector v indistintamente como:

v = vi ei

(37)

v = vi ei

(38)

siendo v i y v i las componentes contravariantes y covariantes de v, respectivamente, en la base e i (o covariantes y contravariantes, respectivamente, en la base e i recíproca de la

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base dada e i) relacionadas entre sí, según lo visto en el apartado 4, según las expresiones (17) y (22) vistas antes: vi = gij vj (17) vi = gij vj

(22)

siendo g i j los coeficientes de la forma bilineal fundamental en e i. En un espacio vectorial n=3,la expresión (37) se escribirá:

v = vi ei = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 mientras que la (38) resultará:

v = vi ei = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 la expresión (17) y (22) se escribirán: v1 = g1j vj = g11 v1 + g12 v2 + g13 v3 v2 = g2j vj= g21 v1 + g22 v2 + g23 v3 v3 = g3j vj = g31 v1 + g32 v2 + g33 v3 v1 = g1j vj = g11 v1 + g12 v2 + g13 v3 v2 = g2j vj = g21 v1 + g22 v2 + g23 v3 v3 = g3j vj = g31 v1 + g32 v2 + g33 v3

7. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS COMPONENTES COVARIANTES Y CONTRAVARIANTES. Para realizar una interpretación geométrica de las componentes covariantes y contravariantes de un cierto vector u en una base dada e i, vamos a estudiar el caso concreto de que el espacio euclídeo considerado es E 2 y en él se tiene una base cualquiera formada por los vectores unitarios e 1 y e 2, es decir |e 1|=1 y |e 2|=1; los hemos supuesto unitarios para facilitar la comprensión de la figura siguiente.

l1 luI

e1

e2

l2

donde se observa que:

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u

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u = l1 e1 + l2 e2 por lo que podemos identificar las longitudes acotadas l 1 y l 2 con las componentes contravariantes del vector u en la base dada e i del espacio vectorial euclídeo E 2, es decir:

u = l 1 e 1 +l 2 e 2 = u 1 e 1 + u 2 e 2 Seguidamente observando esta nueva representación del mismo vector u, y en la misma base:

90º

l1

u

e1

e2 90º

l2

Analizando esta última construcción geométrica, aplicando las propiedades del producto escalar de dos vectores, podemos decir: l 1 = |u| cos α = u·e 1 = u 1 l 2 = |u| cos β = u·e 2 = u 2 lo cual nos da el significado geométrico de las componentes contravariantes y covariantes de un vector en una base dada.

8. FORMA BILINEAL FUNDAMENTAL EN LA BASE RECÍPROCA. Sea e i una base del espacio y e i su recíproca. De acuerdo con (38) dados dos vectores u y v se podrán expresar como:

u = ui ei v = vi ei Y por tanto su producto escalar será:

u·v = (u i e i )·(v j e j ) = u i v j e i·e j

(39)

Así, el producto escalar de dos vectores queda, también como una forma bilineal de las componentes covariantes de los vectores en la base e i, de modo que los coeficientes de

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dicha forma son los productos escalares de los vectores de su base recíproca. Llamando µ i j a dichos coeficientes es:

µ i j = e i·e j Teniendo en cuenta (30), operando en la expresión anterior queda:

µ i j = (g i k e k)·e j = g i k e k·e j = g i k δ kj = g i j O sea que los coeficientes de la forma bilineal fundamental en la base recíproca de una base dada son los de la matriz inversa de la matriz de Gram en la base dada. En términos exclusivamente matriciales ello significa que la matriz de Gram en la base recíproca de una base dada es la inversa de la matriz de Gram en la base dada. Así, finalmente, la expresión del producto escalar de dos vectores, de (39), puede expresarse definitivamente como:

u·v = g i j u i v j

(40)

que es una expresión alternativa a la (6) para el cálculo del producto escalar de dos vectores. Para un espacio vectorial euclídeo de dimensión 3, tendremos:

u·v = g i j u i v j = = g11 u1 v1 + g12 u1 v2 + g13 u1 v3 + g21 u2 v1 + g22 u2 v2 + g23 u2 v3 + g31 u3 v1 + g32 u3 v2 + g33 u3 v3

En lenguaje matricial (6) queda:

u·v = (u i) G-1 {v j}

(41)

Para un espacio vectorial euclídeo de dimensión 3, tendremos:

⎡ g11 g12 ⎢ u·v = (u 1 u 2 u 3) ⎢g21 g22 ⎢⎣g31 g32

g13 ⎤ ⎥ g23 ⎥ g33 ⎥⎦

−1

⎧ v1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎨v 2 ⎬ = (u 1 u 2 u 3) ⎪v ⎪ ⎩ 3⎭

⎡ g11 g12 ⎢ 21 g22 ⎢g ⎢g31 g32 ⎣

g13 ⎤ ⎥ g23 ⎥ g33 ⎥⎦

⎧ v1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎨v 2 ⎬ ⎪v ⎪ ⎩ 3⎭

9. RELACIÓN ENTRE BASES RECÍPROCAS FRENTE A CAMBIOS DE BASE. Sea un cambio de base como el definido por (9) y (10)

e i´ = A ii´ e i

(9)

e i = A ii´ e i´

(10)

Entre las correspondientes bases recíprocas quedarán establecidas unas relaciones como las siguientes:

e i´ = B ii´ e i

(42)

e i = B ii´ e i´

(43)

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Si en (42) se efectúa el producto escalar, en ambos miembros, por un vector cualquiera de la base nueva y se tiene en cuenta (9), resulta:

e i´·e j´ = ( B ii´ e i)·e j´ = ( B ii´ e i)·( A jj´ e j) = B ii´ A jj´ e i·e j de modo que recordando ahora (27) (e i·e j = δ ij ) el resultado es: δ ij´´ = B ii´ A jj´ δ ij = B ii´ A jj´ lo cual significa, recordando lo visto en el último apartado del tema anterior, que: B ii´ = A ii´ y de igual forma: B ii´ = A ii´ Por ello, a partir de ahora (42) y (43) se escribirán:

e i´ = A ii´ e i

(44)

e i = A ii´ e i´

(45)

Para un espacio vectorial euclídeo de dimensión 3, tendremos las siguientes expresiones:

e 1´ = A 1i´ e i = A 11´ e 1 + A 12´ e 2 + A 13´ e 3 e 2´ = A i2´ e i = A 12´ e 1 + A 22´ e 2 + A 32´ e 3 e 3´ = A i3´ e i = A 13´ e 1 + A 32´ e 2 + A 33´ e 3 y:

e 1 = A 1i´ e i´ = A 11´ e 1´ + A 12´ e 2´ + A 13´ e 3´ e 2 = A i2´ e i´ = A 12´ e 1´ + A 22´ e 2´ + A 32´ e 3´ e 3 = A i3´ e i´ = A 13´ e 1´ + A 32´ e 2´ + A 33´ e 3´ La obtención de (44) y (45) permite, por otra parte, determinar la relación entre los n2 números reales g i j y los g i´ j´ correspondientes a dos bases, antigua y nueva respectivamente. En efecto: g i´ j´ = e i´·e j´ = ( A ii´ e i)·( A jj´ e j) = A ii´ A jj´ e i·e j = A ii´ A jj´ g i j

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(46)

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10. BASES ORTONORMALES. Resulta interesante particularizar todos los análisis anteriores al caso en que las bases consideradas en el espacio euclídeo sean ortonormales. En efecto, si e i es ortonormal los coeficientes de la forma bilineal fundamental son: g i j = δ i j (G = I) y, por tanto, los inversos son: g i j = δ i j (G-1 = I) Así, aplicando las expresiones (17) o (22) se obtiene un primer resultado que es: vi = vi Es decir que en una base ortonormal las componentes contravariantes y covariantes de cualquier vector coinciden. Del mismo modo si se aplican las expresiones (30) o (33) se obtiene, adicionalmente, que:

ei = ei Es decir que toda base ortonormal es autorrecíproca o recíproca de sí misma. Por todo ello resulta, finalmente, que la expresión de la forma bilineal fundamental es:

u·v = Σ u i v i = (sí se prefiere) = Σ u i v i Respecto a los análisis efectuados en torno a los cambios de base hay que tener en cuenta que si tanto la base antigua como la nueva son ortonormales, la matriz del cambio de base es ortogonal. Es decir:

A-1 = AT

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11. CUESTIONES TEÓRICAS Y PRÁCTICAS. 1. Recordando las propiedades axiomáticas de la conexión interna (producto escalar o producto interno) de un espacio vectorial euclídeo, establecer las características de la matriz G. 2. Desarrollar matricialmente de manera teórica la expresión del producto escalar de dos vectores a, b del espacio vectorial euclídeo E4, expresados en una base cualquiera e i de dicho espacio euclídeo. Partiendo de la expresión (3) y aplicando las correspondientes propiedades realizar el desarrollo hasta llegar a una expresión del tipo (7). 3. En un espacio euclídeo E n dados los vectores a, b y c en sus componentes contravariantes a i, b i, c i, en una cierta base e i, interpretar las expresiones algebraicas siguientes: ai gij bj ck ai gij aj bk ai bk gij cj (siendo g i j los coeficientes de la forma bilineal fundamental en la base e i). 4. En el espacio euclídeo En, referido a una base e i, obtener la base recíproca de la recíproca. ¿Coincide con la base original?. 5. Estudiar como son las componentes g i j y g i j en el caso de que la base e i sea ortogonal. 6. Demostrar que las siguientes expresiones también definen el producto escalar de dos vectores:

u·v = u i v i = u i v i así como sus correspondientes expresiones matriciales:

u·v = (u i) {v i} = (u i) {v i} 7. Traducir a lenguaje matricial las siguientes expresiones:

e i´ = A ii´ e i e i = A ii´ e i´ 8. Traducir al lenguaje matricial la siguiente expresión de cambio de base de la matriz de Gram: g i´ j´ = A ii´ A jj´ g i j 9. Si la base nueva e i´ y la base antigua e i son ortonormales, se cumple que: A-1 = AT. Aplicando esta propiedad, demostrar que las expresiones relativas a los cambios de base conducen a que en la nueva base ortonormal resulta que: v i´ = v i´

e i´ = e i´ g i´ j´ = δ i´ j´ g i´ j´ = δ i´ j´

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12. EJEMPLOS PRÁCTICOS. 1. Interpretación geométrica de las componentes covariantes y contravariantes en el caso concreto de una base dada e i unitaria en el espacio euclídeo E 2, siendo:

Para la resolución vamos a recurrir al mismo ejemplo que en el apartado 7, pero de forma numérica, así pues, partimos de un cierto vector u en una base dada {e i}, formada esta por dos vectores unitarios, e 1 y e 2, esto es e 1 = 1 y e 2 = 1, siendo definidos respecto al sistema cartesiano de referencia en dos dimensiones: e 1 = 1 cos25º i - 1 sen25º j e2 = 0 i + 1 j

α = 115º

Tomando ahora un cierto vector u de módulo u = 4, que forma un ángulo de 15º respecto del eje x, podemos representar todo lo anterior:

4

e2

u

1

15º

e1

25º

1

formando con la base unitaria del espacio vectorial euclídeo E 2, 40º respecto del vector e 1 y 75º respecto del vector e 2. Así pues podemos escribir: u = (4 cos15º) i + (4 sen15º) j u = l1 e1 + l2 e2

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sustituyendo en esta última expresión, obtendremos dos ecuaciones de donde podemos despejar l 1 y l 2: u = (4 cos15º) i + (4 sen15º) j u = l 1 (1 cos25º i - 1 sen25º j) + l 2 (0 i + 1 j) = l 1 cos25º i + (l 2 - l 1 sen25º) j 4 cos 15º = l 1 cos25º ⇒ l 1 =

4 cos 15º cos 25º

4 sen15º = l 2 - l 1 sen25º ⇒ l 2 = 4 sen15º + l 1 sen25 º = 4 sen15º +

4 cos 15º sen25º cos 25º

⇒

⇒ l 2 = 4 sen15º + 4 cos15º tan 25º

siendo l 1 y l 2 longitudes de las componentes contravariantes del vector u en la base formada por e 1 y e 2. l1 =

4 cos15º = 4,263 = u 1 cos 25º

l 2 = 4 sen15º + 4 cos15º tan 25º = 2,837 = u 2

Por otra parte las componentes covariantes del vector u en la base formada por e 1 y e 2, se definen como el producto escalar entre el vector u y cada uno de los vectores que integran la base del espacio vectorial en el que nos encontramos, así pues: u 1 = u e 1 = u e 1 cos40º = 4 cos40º = 3,064 = l 1 u 2 = u e 2 = u e 2 cos75º = 4 cos75º = 1,035 = l 2

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2. En el espacio vectorial R 3 (R) se define un producto escalar mediante la expresión: x·y = x 1 y 1 + 2 x 2 y 2 + 2 x 3 y 3 - x 1 y 3 - x 3 y 1

Siendo: ⎧ e1 ⎫ ⎪ ⎪ x = (x x x ) ⎨e 2 ⎬ ⎪e ⎪ ⎩ 3⎭ 1

2

3

e

⎧ e1 ⎫ ⎪ ⎪ y = (y y y ) ⎨e 2 ⎬ ⎪e ⎪ ⎩ 3⎭ 1

2

3

con x e y ∈ R 3 (R)

Se pide: 1. Componentes de la matriz de Gram en la base {e i}. 2. Dados los vectores: a = (1 -1 1) {e i} y b = (2 0 1) {e i}, obtener su norma, módulo, conexión interna, y ángulo que forman entre sí. 3. Componentes covariantes de los vectores a y b en la base {e i}. 4. Componentes covariantes de los vectores {e 1, e 2, e 3} en la base {e i}. 5. Dado el vector c = (0 1 1) {e i}, obtener la forma bilineal fundamental en la base {a, b, c}. 6. Dado el vector z = (1 0 2) por sus componentes covariantes en la base {e i}, obtener sus componentes contravariantes en la base {a, b, c}. 7. Obtener la base recíproca de la constituida por los vectores {a, b, c} expresándola en la base {e i}. 8. Obtener la base recíproca de la constituida por los vectores {e i} expresándola en la base {a, b, c}. 9. Considerando el subespacio vectorial euclídeo E 2 formado por los vectores {a, b}; determinar la base recíproca, en E 2 de {a, b}, expresándola por sus coordenadas en la base {e i} de R 3 (R).

En primer lugar debemos de comprobar que la anterior conexión interna define un producto escalar, para ello deberemos verificar que cumple las propiedades axiomáticas del producto escalar: I.

x·y = y·x (conmutatividad).

II. x·(α y + β z) = α (x·y) + β (x·z) (bilinealidad). III. x·x ≥0, x·x = 0 ⇔ x = 0 (definida estrictamente positiva). I.

x·y = x 1 y 1 + 2 x 2 y 2 + 2 x 3 y 3 - x 1 y 3 - x 3 y 1 y·x = y 1 x 1 + 2 y 2 x 2 + 2 y 3 x 3 - y 1 x 3 - y 3 x 1

Se ve claramente que ambas expresiones son iguales, por lo tanto cumple la propiedad conmutativa.

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II. x·(α y + β z) = α (x·y) + β (x·z) (bilinealidad). x·(α y + β z) = 1

1

1

2

2

2

= x (α y + β z ) + 2 x (α y + β z ) + 2 x 3 (α y 3 + β z 3) - x 1 (α y 3 + β z 3) - x 3 (α y 1 + β z 1) = = α x 1 y 1 + β x 1 z 1 + 2α x 2 y 2 + 2β x 2 z 2 + 2α x 3 y 3 + 2β x 3 z 3 - α x 1 y 3 - β x 1 z 3 - α x 3 y 1 - β x 3 z 1 = = α (x 1 y 1 + 2 x 2 y 2 + 2 x 3 y 3 - x 1 y 3 - x 3 y 1) + β (x 1 z 1 + 2 x 2 z 2 + 2 x 3 z 3 - x 1 z 3 - x 3 z 1) = = α (x·y) + β (x·z)

Por lo tanto cumple la bilinealidad. III. x·x ≥0, x·x = 0 ⇔ x = 0 (definida estrictamente positiva). x·x = x 1 x 1 + 2 x 2 x 2 + 2 x 3 x 3 - x 1 x 3 - x 3 x 1 = (x 1) 2 + 2 (x 2) 2 + 2 (x 3) 2 - 2 x 1 x 3 =

= (x 1) 2 - 2 x 1 x 3 + (x 3) 2 + 2 (x 2) 2 + (x 3) 2 = (x 1 - x 3) 2 + 2 (x 2) 2 + (x 3) 2

Como (x 1 - x 3) 2 ≥ 0, 2 (x 2) 2 ≥ 0,

(x 3) 2 ≥ 0 ⇒ x·x ≥ 0

1. Componentes de la matriz de Gram en la base {e i}.

El producto escalar de dos vectores queda definido por el doble sumatorio: x·y = x i y j g i j =

= g11 x1 y1 + g12 x1 y2 + g13 x1 y3 + + g21 x2 y1 + g22 x2 y2 + g23 x2 y3 + + g31 x3 y1 + g32 x3 y2 + g33 x3 y3

Identificando coeficientes entre las expresiones que figuran en el punto 2 del tema y la expresión del producto escalar dada en el enunciado: x·y = x 1 y 1 + 2 x 2 y 2 + 2 x 3 y 3 - x 1 y 3 - x 3 y 1

Podemos escribir ⎡ 1 0 - 1⎤ ⎢ ⎥ [g i j] = G = ⎢ 0 2 0 ⎥ ⎢⎣- 1 0 2 ⎥⎦

Por definición: g i j = e i·e j. Podríamos obtener estas componentes, realizando los correspondientes productos escalares entre los vectores {e i}. Como las componentes contravariantes de e 1, e 2 y e 3 en la base {e i} son respectivamente (1 0 0), (0 1 0) y (0 0 1), por ejemplo tenemos: g 1 1 = e 1·e 1 = 1·1 + 2·0·0 + 2·0·0 - 1·0 - 0·1 = 1 g 2 3 = e 2·e 3 = 0·0 + 2·1·0 + 2·0·1 - 0·1 - 0·0 = 0

23

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TEMA 2 - VECTORES EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS

etc ... 2. Dados los vectores: a = (1 -1 1) {e i} y b = (2 0 1) {e i}, obtener su norma, módulo, conexión interna, y ángulo que forman entre sí.

La expresión matricial de la conexión interna es: ⎡ 1 0 - 1⎤ ⎧ y 1 ⎫ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ x·y = (x 1 x 2 x 3) ⎢ 0 2 0 ⎥ ⎨y 2 ⎬ ⎢⎣- 1 0 2 ⎥⎦ ⎪y 3 ⎪ ⎩ ⎭

Tanto las componentes x i del vector x, como las y i del vector y deben de referirse a la misma base en que está expresado el tensor métrico fundamental G. La aplicamos al cálculo de: Norma de a: ⎡ 1 0 - 1⎤ ⎧ a1 ⎫ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ N(a) = a·a = (a 1 a 2 a 3) ⎢ 0 2 0 ⎥ ⎨a 2 ⎬ = (1 -1 1) ⎢⎣- 1 0 2 ⎥⎦ ⎪a 3 ⎪ ⎩ ⎭

⎡ 1 0 - 1⎤ ⎧ 1 ⎫ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ 0 2 0 ⎥ ⎨- 1⎬ = (1 -1 1) ⎢⎣- 1 0 2 ⎥⎦ ⎪⎩ 1 ⎪⎭

⎧0⎫ ⎪ ⎪ ⎨- 2⎬ = 3 ⎪1⎪ ⎩ ⎭

Norma de b: ⎡ 1 0 - 1⎤ ⎧b1 ⎫ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ N(b) = b·b = (b 1 b 2 b 3) ⎢ 0 2 0 ⎥ ⎨b 2 ⎬ = (2 0 1) ⎢⎣- 1 0 2 ⎥⎦ ⎪b 3 ⎪ ⎩ ⎭

⎡ 1 0 - 1⎤ ⎧2⎫ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ 0 2 0 ⎥ ⎨0⎬ = (2 0 1) ⎢⎣- 1 0 2 ⎥⎦ ⎪⎩1⎪⎭

⎧1⎫ ⎪ ⎪ ⎨0⎬ = 2 ⎪0⎪ ⎩ ⎭

Conexión interna: ⎡ 1 0 - 1⎤ ⎧b1 ⎫ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ a·b = (a 1 a 2 a 3) ⎢ 0 2 0 ⎥ ⎨b 2 ⎬ = (1 -1 1) ⎢⎣- 1 0 2 ⎥⎦ ⎪b 3 ⎪ ⎩ ⎭

⎡ 1 0 - 1⎤ ⎧2⎫ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ 0 2 0 ⎥ ⎨0⎬ = (1 -1 1) ⎢⎣- 1 0 2 ⎥⎦ ⎪⎩1⎪⎭

Los módulos: a = + N(a ) =

3

b = + N(b ) =

2

Ángulo que forman: cos ϕ a b =

a·b = ab

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1 3

2

=

1 6

⎧1⎫ ⎪ ⎪ ⎨0⎬ = 1 ⎪0⎪ ⎩ ⎭

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ϕ a b = arccos

1 6

3. Componentes covariantes de los vectores a y b en la base {e i}.

Las componentes covariantes de un vector x = x i e i, en una base {e i}, se definen por los siguientes productos escalares: x i = x·e i

Desarrollando esta expresión: x i = (x i e i)·e j = x i e i·e j = x i g i j

Matricialmente expresada: ⎡ g11 g12 ⎢ (x 1 x 2 x 3) = (x x x ) ⎢g21 g22 ⎢⎣g31 g32 1

2

3

g13 ⎤ ⎥ g23 ⎥ = (x 1 x 2 x 3) g33 ⎥⎦

⎡ 1 0 - 1⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 2 0⎥ ⎢⎣- 1 0 2 ⎥⎦

Vector a: ⎡ g11 g12 ⎢ (a 1 a 2 a 3) = (a a a ) ⎢g21 g22 ⎢⎣g31 g32 1

2

3

g13 ⎤ ⎥ g23 ⎥ = (1 -1 1) g33 ⎥⎦

⎡ 1 0 - 1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 2 0 ⎥ = (0 -2 1) ⎢⎣- 1 0 2 ⎥⎦

g13 ⎤ ⎥ g23 ⎥ = (2 0 1) g33 ⎥⎦

⎡ 1 0 - 1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 2 0 ⎥ = (1 0 0) ⎢⎣- 1 0 2 ⎥⎦

Vector b: ⎡ g11 g12 ⎢ (b 1 b 2 b 3) = (b b b ) ⎢g21 g22 ⎢⎣g31 g32 1

2

3

Como las componentes covariantes de un vector en una base, son las componentes contravariantes del mismo vector en la base recíproca de la dada, podemos expresar: a = e1 - e2 + e3 = - 2 e2 + e3 b = 2 e1 + e3 = e1

Donde {e i} es la base recíproca de la {e i}. 4. Componentes covariantes de los vectores {e 1, e 2, e 3} en la base {e i}.

Como las componentes contravariantes de e 1, e 2 y e 3 en la base {e i} son respectivamente (1 0 0), (0 1 0) y (0 0 1), las covariantes serán: Vector e 1:

25

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TEMA 2 - VECTORES EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS

⎡ 1 0 - 1⎤ ⎢ ⎥ e 1 = (1 0 0) ⎢ 0 2 0 ⎥ = (1 0 -1) ⎢⎣- 1 0 2 ⎥⎦

Vector e 2: ⎡ 1 0 - 1⎤ ⎢ ⎥ e 2 = (0 1 0) ⎢ 0 2 0 ⎥ = (0 2 0) ⎢⎣- 1 0 2 ⎥⎦

Vector e 3: ⎡ 1 0 - 1⎤ ⎢ ⎥ e 3 = (0 0 1) ⎢ 0 2 0 ⎥ = (-1 0 2) ⎢⎣- 1 0 2 ⎥⎦

Esto es; las componentes covariantes de cada uno de los vectores de la base son las propias columnas (o filas) de la matriz G. 5. Dado el vector c = (0 1 1) {e i}, obtener la forma bilineal fundamental en la base {a, b, c}.

La forma bilineal fundamental no es sino la expresión del producto escalar, en la que desarrollamos el doble sumatorio x i y j g i j. Así, la forma bilineal fundamental, en la base {e i} queda: x1 y1 + 2 x2 y2 + 2 x3 y3 - x1 y3 - x3 y1

Veamos si los vectores {a, b, c} constituyen una base: ⎡ 1 - 1 1⎤ det ⎢⎢2 0 1⎥⎥ = 0 + 0 + 2 - 0 - (- 2) - 1 = 3 ≠ 0 ; luego sí son una base del e.v. R3(R). ⎢⎣0 1 1⎥⎦

Necesitamos conocer las componentes de la forma bilineal fundamental en la base {a, b, c}:

Llamando {e i´} a la base {a, b, c}: a = 1 e1 - 1 e2 + 1 e3 b = 2 e1 + 0 e2 + 1 e3 c = 0 e1 + 1 e2 + 1 e3

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e i´ =

A ii´

⎡ 1 - 1 1⎤ ⎧ e 1 ⎫ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ e i = ⎢2 0 1⎥ ⎨e 2 ⎬ ⎢⎣0 1 1⎥⎦ ⎪⎩e 3 ⎪⎭

TEMA 2 - VECTORES EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS

⇒

A=

[ A ii´

⎡ 1 - 1 1⎤ ⎢ ⎥ ] = ⎢2 0 1⎥ ⎢⎣0 1 1⎥⎦

⎡ 1 2 0⎤ ⎢ ⎥ y A = ⎢- 1 0 1⎥ ⎢⎣ 1 1 1⎥⎦ T

g i´ j´ = A ii´ A jj´ g i j

Matricialmente quedará: G´= A G AT

⎡ 1 - 1 1⎤ ⎡ 1 0 - 1⎤ ⎡ 1 2 0⎤ ⎡ 1 - 1 1⎤ ⎡ 0 1 - 1⎤ ⎡ 3 1 - 1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ G´= ⎢2 0 1⎥ ⎢ 0 2 0 ⎥ ⎢- 1 0 1⎥ = ⎢2 0 1⎥ ⎢- 2 0 2 ⎥ = ⎢ 1 2 0 ⎥ ⎢⎣0 1 1⎥⎦ ⎢⎣- 1 0 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 1 1⎥⎦ ⎢⎣0 1 1⎥⎦ ⎢⎣ 1 0 2 ⎥⎦ ⎢⎣- 1 0 4 ⎥⎦

Estas componentes se podrían obtener también realizando los correspondientes productos escalares e i´·e j´ . Así por ejemplo: g 1´ 1´ = e 1´·e 1´ = 1·1 + 2·(-1)·(-1) + 2·1·1 -1·1 - 1·1 = 3 g 1´ 2´ = e 1´·e 2´ = 1·2 + 2·(-1)·0 + 2·1·1 -1·1 - 1·2 = 1 g 1´ 3´ = e 1´·e 3´ = 1·0 + 2·(-1)·1 + 2·1·1 -1·1 - 1·0 = -1

etc ... y la forma bilineal fundamental: 3 x 1´ y 1´ + 2 x 2´ y 2´ + 4 x 3´ y 3´ + x 1´ y 2´ + x 2´ y 1´ - x 1´ y 3´ - x 3´ y 1´

donde x i´, y j´ son las componentes contravariantes de los vectores x e y en la base {a, b, c}. 6. Dado el vector z = (1 0 2) por sus componentes covariantes en la base {e i}, obtener sus componentes contravariantes en la base {a, b, c}.

Podemos obtenerlas por dos caminos diferentes: a) Obtener las componentes contravariantes en la base {e i}, y posteriormente cambiar de base estas últimas. x i = g i j x j que matricialmente queda: {x i} = G-1 {x j} ⇒ (x i) = (x j) G-1 x i´ = A ii´ x i que matricialmente queda: (x i´) = (x i) A-1 = (x j) G-1 A-1

operando, nos queda:

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⎡2 0 1⎤ ⎢ ⎥ G = [g ] = ⎢0 21 0⎥ ⎢⎣ 1 0 1⎥⎦ ij

-1

⎡- 31 ⎢ A-1 = [ A ii´ ] = ⎢- 32 ⎢2 ⎣3

2 3 1 3 - 31

⎡ g11 g12 ⎢ (x 1´ x 2´ x 3´) = (x 1 x 2 x 3) ⎢g21 g22 ⎢g31 g32 ⎣ ⎡2 0 1⎤ ⎡- 31 ⎥ ⎢ ⎢ = (1 0 2) ⎢0 21 0⎥ ⎢- 32 ⎢⎣ 1 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 32

2 3 1 3 - 31

- 31 ⎤ 1 ⎥ 3 ⎥ 2 ⎥ 3 ⎦

- 31 ⎤ 1 ⎥ = (1 0 2) 3 ⎥ 2 ⎥ 3 ⎦

b) Obtener

las componentes covariantes contravariantes en esta misma base.

⎡ A 11´ ⎢ 1´ ⎢A 2 ⎢ A 1´ ⎣ 3

g13 ⎤ ⎥ g23 ⎥ g33 ⎥⎦

⎡0 ⎢ 1 ⎢- 3 ⎢ 1 ⎣3

A 12´ A 22´ A 32´

A 13´ ⎤ ⎥ A 32´ ⎥ = A 33´ ⎥⎦

1 0⎤ 1 1⎥ = 6 6⎥ 1 1⎥ 3 3⎦

(32

5 3

2 3

)

en {a, b, c} y posteriormente las

x i´ = A ii´ x i que matricialmente queda: {x i´} = A {x i} x i´ = g i´ j´ x j´ que matricialmente queda: {x i´} = (G´)-1 {x j´} = (G´)-1 A {x j} ⎡ 3 1 - 1⎤ Como conocemos G´ = ⎢⎢ 1 2 0 ⎥⎥ podemos obtener (G´)-1= ⎢⎣- 1 0 4 ⎥⎦

8 ⎡ 18 ⎢ 4 ⎢- 18 ⎢ 2 ⎣ 18

4 - 18 11 18 - 181

2 ⎤ 18 1 ⎥ - 18 ⎥ 5 ⎥ 18 ⎦

Finalmente operando, nos queda: ⎡ g1´1´ ⎧ x 1´ ⎫ ⎪ 2´ ⎪ ⎢ 2´1´ ⎨ x ⎬ = ⎢g ⎪x 3´ ⎪ ⎢g3´1´ ⎩ ⎭ ⎣ 8 ⎡ 18 ⎢ 4 = ⎢- 18 ⎢ 2 ⎣ 18

4 - 18 11 18 - 181

2 ⎤ 18 1 ⎥ - 18 ⎥ 5 ⎥ 18 ⎦

g1´2´ g

2´ 2´

g3´2´

g1´3´ ⎤ ⎥ g2´3´ ⎥ g3´3´ ⎥⎦

⎡ A 11´ ⎢ 1 ⎢ A 2´ ⎢A1 ⎣ 3´

A 12´ A 22´ A 32´

A 13´ ⎤ ⎥ A 32´ ⎥ A 33´ ⎥⎦

⎡0 - 31 ⎡ 1 - 1 1⎤ ⎧1⎫ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ 1 ⎢2 0 1⎥ ⎨0⎬ = ⎢ 1 6 ⎢0 - 1 ⎢⎣0 1 1⎥⎦ ⎪⎩2⎪⎭ 6 ⎣

1 ⎤ 3 1⎥ 3⎥ 1⎥ 3⎦

⎧ x1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎨x 2 ⎬ = ⎪x ⎪ ⎩ 3⎭ ⎧ 32 ⎫ ⎧1⎫ ⎪ ⎪ ⎪5 ⎪ ⎨0⎬ = ⎨ 3 ⎬ ⎪2⎪ ⎪2⎪ ⎩ ⎭ ⎩3 ⎭

7. Obtener la base recíproca de la constituida por los vectores {a, b, c} expresándola en la base {e i}.

Dada una base {e i}, su base recíproca {e i} es aquella que verifica el siguiente sistema de ecuaciones:

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TEMA 2 - VECTORES EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS

e i · e j = δ ij

Siendo δ ij las funciones Deltas de Kronecker. Sea u = u i e i ; v = v i e i ; w = w i e i la base recíproca de la base {a, b, c}. Como conocemos las componentes contravariantes de los vectores a, b, c en la base {e i}:

a = (a 1 a 2 a 3) {e i} = (1 -1 1) {e i} b = (b 1 b 2 b 3) {e i} = (2 0 1) {e i} c = (c 1 c 2 c 3) {e i} = (0 1 1) {e i}

Y la expresión de la forma bilineal fundamental: ⎡ 1 0 - 1⎤ ⎧u1 ⎫ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ a · u = a i u j g i j = (a i) G {u j} = (1 -1 1) ⎢ 0 2 0 ⎥ ⎨u 2 ⎬ ⎢⎣- 1 0 2 ⎥⎦ ⎪u 3 ⎪ ⎩ ⎭

Aplicando e i · e j = δ ij obtendremos: ⎡ 1 - 1 1⎤ ⎡ 1 0 - 1⎤ ⎡ u1 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎢2 0 1⎥ ⎢ 0 2 0 ⎥ ⎢u ⎢⎣0 1 1⎥⎦ ⎢⎣- 1 0 2 ⎥⎦ ⎢u 3 ⎣

w1 ⎤ ⎡ 1 0 0⎤ ⎥ ⎢ 2⎥ w ⎥ = ⎢0 1 0⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ w 3 ⎥⎦

v1 v2 v3

De donde, despejando la matriz de incógnitas obtenemos las componentes contravariantes de la base recíproca de la (a b c) en la base {e i}. ⎡ u1 ⎢ 2 ⎢u ⎢u 3 ⎣

v1 v

2

v3

w1 ⎤ ⎡2 0 1⎤ ⎡- 31 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ w 2 ⎥ = ⎢0 21 0⎥ ⎢- 32 ⎢⎣ 1 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 32 w 3 ⎥⎦

⎡2 0 1⎤ ⎡- 31 ⎥ ⎢ ⎢ = ⎢0 21 0⎥ ⎢- 32 ⎢⎣ 1 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 32

2 3 1 3 - 31

u = ui ei = -

1 3

v = vi ei = e1 + w = wi ei =

1 6

29

- 31 ⎤ 1 ⎥ 3 ⎥ 2 ⎥ 3 ⎦

2 3 1 3 - 31

⎡0 - 31 ⎤ ⎢ 1 ⎥ = ⎢- 31 3 ⎥ 2 ⎥ ⎢ 1 3 ⎦ ⎣3

e2 + 1 6

1 3

e2 +

e2 +

1 3

e3 1 3

e3

e3

⎡ 1 0 0⎤ ⎥ ⎢ ⎢0 1 0⎥ = ⎢⎣0 0 1⎥⎦ 1 0⎤ 1 1⎥ 6 6⎥ 1 1⎥ 3 3⎦

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TEMA 2 - VECTORES EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS

8. Obtener la base recíproca de la constituida por los vectores {e i} expresándola en la base {a, b, c}.

Los vectores a determinar son: e 1 = e 1 i e i = e 1 i´ e i´ e 2 = e 2 i e i = e 2 i´ e i´ e 3 = e 3 i e i = e 3 i´ e i´

Siendo (e i´) = (a b c) Sabemos que las componentes contravariantes de {e i} en si misma son (1 0 0), (0 1 0), (0 0 1) respectivamente. Y que la expresión de la forma bilineal fundamental es: ⎡ 1 0 - 1⎤ ⎧ e11 ⎫ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ e 1 · e 1 = e 1 i e 1 j g i j = (e 1 i) G {e 1 j} = (1 0 0) ⎢ 0 2 0 ⎥ ⎨e12 ⎬ ⎢⎣- 1 0 2 ⎥⎦ ⎪e13 ⎪ ⎩ ⎭

Aplicando la expresión e i · e j = δ ij obtenemos: ⎡ 1 0 0⎤ ⎡ 1 0 - 1⎤ ⎡ e11 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 12 ⎢0 1 0⎥ ⎢ 0 2 0 ⎥ ⎢e ⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣- 1 0 2 ⎥⎦ ⎢e13 ⎣

e 21 e 22 e 23

e 31 ⎤ ⎡ 1 0 0⎤ ⎥ ⎢ 32 ⎥ e ⎥ = ⎢0 1 0⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ e 33 ⎥⎦

De donde al despejar la matriz de incógnitas obtenemos las componentes contravariantes, en la base {e i}, de los vectores que constituyen la base recíproca {e i} de la base {e i}. ⎡ 1 0 - 1⎤ ⎡ e11 ⎥ ⎢ 12 ⎢ ⎢ 0 2 0 ⎥ ⎢e ⎢⎣- 1 0 2 ⎥⎦ ⎢e13 ⎣ ⎡ e11 ⎢ 12 ⎢e ⎢e13 ⎣

e 21 e 22 e 23

e 21 e 22 e 23

e 31 ⎤ ⎡ 1 0 0⎤ ⎥ ⎢ 32 ⎥ e ⎥ = ⎢0 1 0⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ e 33 ⎥⎦

e 31 ⎤ ⎡2 0 1⎤ ⎥ ⎢ 32 ⎥ e ⎥ = ⎢0 21 0⎥ = G-1 ⎢⎣ 1 0 1⎥⎦ e 33 ⎥⎦

Se comprueba que las componentes buscadas coinciden con las de la matriz inversa de la matriz de Gram. Si ahora lo que queremos calcular son las componentes contravariantes de los vectores que constituyen la base recíproca {e i} de la base {e i}, en la base {a, b, c}, efectuaremos el cambio de base.

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x i´ = A ii´ x i

TEMA 2 - VECTORES EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS

(x i´) = (x i) A-1

y en forma matricial

Como a = 1 e1 - 1 e2 + 1 e3 b = 2 e1 + 0 e2 + 1 e3 c = 0 e 1 + 1 e 2 + 1e 3

y

e i´ =

A ii´

ei

[ A ii´

⇒

⎡ 1 - 1 1⎤ ⎥ ⎢ ] = A = ⎢2 0 1⎥ ⎢⎣0 1 1⎥⎦

[ A ii´

y

⎡- 31 ⎢ ] = A = ⎢- 32 ⎢2 ⎣3 -1

2 3 1 3 - 31

- 31 ⎤ 1 ⎥ 3 ⎥ 2 ⎥ 3 ⎦

tenemos que (e 1 i´) = (e 1 i) A-1 ⎡- 31 ⎢ (e 1 1´ e 1 2´ e 1 3´) = (e 1 1 e 1 2 e 1 3) A-1 = (2 0 1) ⎢- 32 ⎢2 ⎣3

2 3 1 3 - 31

- 31 ⎤ 1 ⎥ 3 ⎥ 2 ⎥ 3 ⎦

luego ⎡ e11´ ⎢ 21´ ⎢e ⎢e 31´ ⎣

e12´ e

22´

e 32´

⎡ e11 e12 e13´ ⎤ ⎢ ⎥ e 23´ ⎥ = ⎢e 21 e 22 ⎢e 31 e 32 e 33´ ⎥⎦ ⎣

⎡2 0 1⎤ ⎡- 31 ⎥ ⎢ ⎢ = ⎢0 21 0⎥ ⎢- 32 ⎢⎣ 1 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 32

e13 ⎤ ⎥ e 23 ⎥ e 33 ⎥⎦

⎡- 31 ⎢ 2 ⎢- 3 ⎢2 ⎣3

⎡0 - 31 ⎤ ⎢ 1 ⎥ = ⎢- 31 3 ⎥ 2 ⎥ ⎢ 1 3 ⎦ ⎣3

2 3 1 3 - 31

2 3 1 3 - 31

- 31 ⎤ 1 ⎥ = 3 ⎥ 2 ⎥ 3 ⎦

1 0⎤ 1 1⎥ 6 6⎥ 1 1⎥ 3 3⎦

e1 = 0 a + 1 b + 0 c = b e2 = e1 =

1 3 1 3

a+ a+

1 6 1 3

b+ b+

1 6 1 3

c c

9. Considerando el subespacio vectorial euclídeo E 2 formado por los vectores {a, b}; determinar la base recíproca, en E 2 de {a, b}, expresándola por sus coordenadas en la base {e i} de R 3 (R).

Sean u = u i e i ; v = v i e i los vectores buscados. Se deben cumplir las siguientes relaciones:

31

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TEMA 2 - VECTORES EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS

a·u=1 ; b·u=0 a·v=0 ; b·v=1

Matricialmente: ⎡a ⎤ ⎢b ⎥ G [u v ] = ⎣ ⎦ ⎡ u1 ⎡0 - 2 1⎤ ⎢ 2 ⎢ ⎥ ⎢u ⎣ 1 0 0⎦ ⎢u 3 ⎣

⎡ 1 0 - 1⎤ ⎡ u1 ⎡ 1 - 1 1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎢ ⎥ ⎢ 0 2 0 ⎥ ⎢u ⎣2 0 1⎦ ⎢- 1 0 2 ⎥ ⎢u 3 ⎦ ⎣ ⎣ v1 ⎤ ⎡- 2 u 2 + u 3 ⎥ v2 ⎥ = ⎢ u1 ⎣ v 3 ⎥⎦

v1 ⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎥ v2 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣0 1⎦ v 3 ⎥⎦

⎡ 1 0⎤ - 2 v2 + v3 ⎤ ⎥ = ⎢ ⎥ 1 v ⎣0 1⎦ ⎦

Necesitamos dos condiciones más: u, v ∈ E 2 ; luego: u = α1 a + α2 b v = β1 a + β2 b

con α i y β j ∈ R Por ser linealmente dependientes de los vectores a y b, podemos asegurar que: ⎡ 1 -1 1 ⎤ ⎥ ⎢ det ⎢ 2 0 1 ⎥ = 0 ⎢⎣u1 u 2 u 3 ⎥⎦

⇒

- u 1 + 2 u 2 - (-2) u 3 - u 2 = 0

⇒

- u1 + u2 + 2 u3 = 0

⎡ 1 -1 1 ⎤ ⎥ ⎢ det ⎢ 2 0 1 ⎥ = 0 ⎢⎣v 1 v 2 v 3 ⎥⎦

⇒

- v 1 + 2 v 2 - (-2) v 3 - v 2 = 0

⇒

- v1 + v2 + 2 v3 = 0

Resolviendo el sistema de 6 ecuaciones y 6 incógnitas planteado: - 2 u2 + u3 = 1 - 2 v2 + v3 = 0 u1 = 0 v1 = 1 - u1 + u2 + 2 u3 = 0 - v1 + v2 + 2 v3 = 0

Obtenemos:

32

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TEMA 2 - VECTORES EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS

u1 = 0 ; u2 = v1 = 1 ; v2 = 2 5

u=-

; u3 =

2 5

; v3 =

1 5

1 5

e2 + 1 5

v = e1 +

1 5

e2 +

2 5

e3 2 5

e3

Nótese que cualquier vector perteneciente a E 2 es combinación lineal de a y b; y que por tanto, el producto escalar de dos vectores cualesquiera de E 2 queda definido de la siguiente forma: x, y ∈ E 2 x = x 1´ a + x 2´ b y = y 1´ a + y 2´ b ⎡a·a a·b⎤ ⎧ y 1´ ⎫ x · y = (x 1´ x 2´) ⎢ ⎥ ⎨ 2´ ⎬ ⎣b·a a·a ⎦ ⎩y ⎭

Por tanto, si u = u 1´ a + u 2´ b y v = v 1´ a + v 2´ b, son la base recíproca, en E 2, de los vectores a y b, se verifica: ⎡ 1 0⎤ ⎡a·a a·b⎤ ⎡ u1´ ⎢ ⎥ ⎢ 2´ ⎥ ⎢ ⎣0 1⎦ ⎣b·a a·a ⎦ ⎣u ⎡ u1´ ⎢ 2´ ⎣u

⎡a·a a·b⎤ v 1´ ⎤ = ⎢ ⎥ 2´ ⎥ v ⎦ ⎣b·a a·a⎦

−1

⎡ 1 0⎤ v 1´ ⎤ = ⎢ ⎥ 2´ ⎥ v ⎦ ⎣0 1⎦

⎡3 1⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ 1 2⎦

−1

⎡2 = ⎢ 51 ⎣- 5

- 51 ⎤ 3 ⎥ 5 ⎦

Luego u=

2 5

a-

v=-

1 5

a+

1 5

b 3 5

b

Que en la base {e i}: u= v=-

1 5

2 5

1 5

(e 1 - e 2 + e 3) -

(e 1 - e 2 + e 3) +

3 5

(2 e 1 + e 3) = -

2 5

(2 e 1 + e 3) = e 1 +

33

e2 + 1 5

1 5

e2 +

e3 2 5

e3